2024年新高考数学各地模拟卷汇编（一）——立体几何解答题

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如图,三棱柱中,侧面底面,,点是棱的中点,.
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(1)连接.
满足,所以,即.
平面平面,且交线为,由,得平面.
由平面,得,又,且,所以平面.由平面,得.
设,有,解得:.
所以,满足,即,所以平面.
由平面,得.
(2)以为坐标原点,为轴的正方向建立空间直角坐标紊,.
设平面的法向量,
由,即,
取,得到平面的一个法向量.
又.
设直线与平面所成角的大小为,
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
2、（2024年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题15)如图,三棱柱中,侧面底面,且.
(1)证明:平面;
(2)若,求平面与平面夹角的余弦值.
证明:(1)取的中点,连结、.
因为,所以.
由于平面,且,因此平面.
因为平面,所以.又因为,所以,
因为平面平面,平面平面,且平面,所以平面.
因为,所以平面
解:(2)因为,且,所以.
以所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则.
所以.
设平面的法向量为,则,可得,令,则,
设平面的法向量为,则,可得,令,则
设平面与平面夹角为,则,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
3、（2024届【大湾区4月份】普通高中毕业年级联合模拟考试（二）15)
如图,三棱柱的底面是等腰直角三角形,,侧面是菱形,,平面平面.
(1)证明:;
（2）求点到平面的距离.
解:(1)连接,因为四边形为菱形,所以,
因为,所以,又因为面面,面面面,
所以平面,
又平面,所以,
因为,所以,又因为平面,所以平面,
又平面,所以.
（2）到平面的距离即三棱雉的底面上的高,
由(1)平面,所以三棱雉的底面上的高为,设点到平面的距离为,则,即,
因为,所以的面积,
所以,
由可得,
又,所以,
又,由余弦定理得,
所以,所以的面积,
所以,即.
4、（2024年5月温州三模数学试卷15)由四棱柱截去三棱雉后得到如图所示的几何体,四边形是菱形,为与的交点,平面.
（1）求证:平面;
(2)若,求平面与平面夹角的大小.
以为原点,为轴正向,为轴正向,建立空间直角坐标系,则,设,则,
(1),取中点,则,所以,所以व平面平面,所以平面.
(2),
设是面的一个法向量,(微信公众号:浙江省高中数学)则,取,,
设是面的一个法向量,则,取,
所以,所以平面与平面的夹角为.
5、（2023~2024学年度苏锡常镇高三教学情况调研（二）数学试题15)
如图,直三棱柱的体积为.
（1）求证:;
（2）求二面角的余弦值.
（1）证明：在直棱柱中,
面,则面面,面面面,所以面.
因为,所以面.则在面的射影为,在正方形中,有.
所以由三垂线定理得：.
(2)解:直三棱柱的体积为,则.
由（1）平面平面,则,在正方形中,,且平面,,所以平面.
设,在中,过作于,连接因为为在面的射影，由三垂线定理得：.
所以为二面角的平面角.
因为Rt,得,又在Rt中,,得,.
所以二面角的余弦值为.
6、广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（二）数学试卷17
如图,矩形是圆柱的轴截面,分别是上、下底面圆周上的点,且.
(1)求证:;
(2)若四边形为正方形,求平面与平面夹角的正弦值
【解析】(1)证明：方法一：
如图,过点作圆朴:的母线,连,则且.,
所以四边形和均是平行四边形,
所以,又,所以,所以(不妨记作),
而为底面圆的直径,所以,所以（均等于),所以四边形为平行四边形,所以,结合(*),可得
方法二：依题意,
所以,不妨记作,(必修第二册定理)又因为均为底而圆的直径,所以,所以,所以,又,所以,所以.
方法三:因为是圆杜的母线,所以幵面,以点为坐标原点,所在声线分别为轴,轴,过点垂直于的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.依兑意,,所以,不妨记作,又因为均为底面圆的直径,听以,所以,由此可得,,
又,,所以,
所以,所以,所以.
(2)解：由(1)可知,不妨设,则,因为是圆杜:的母线,所以平面,所以,
,依题意得,即,解得,
因为是圆柱的母线,为底面圆的直径,所以平面,故以点为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.所以.所以,设平面的法向量为,由,得取,得,同理可求平而的法向是,
所以,
所以平面与平面夹角的正弦值为.15分
7、江苏省南通、扬州、泰州七市2024届高三第三次调研测试数学试卷16
如图,在直三棱柱中,,.
（1）当时,求证:平面;
(2)设二面角的大小为,求的取值范围.
（1）【证】（法一）因为在直棱柱中,,所以在直角中,,所以在直角中,,所以.又因为,所以.
在直棱柱中,平面,因为平面,所以.
又平面平面,所以平面.
又平面,所以.
又平面平面,
所以平面.
(法二)以为基底建立如图所示空间直角坐标系,则,.
当时,,
所以,.
所以,所以.
又平面平面,
所以平面.
（2）【解】,
设平面的一个法向量为,
则即,不妨取.
因为平面,所以平面的一个法向量为.
所以,
所以.
又因为,所以.
8、东北三省三校三模2024届5月份高三数学试卷18
如图:四棱桂底面为等腰梯形,.
(I)求证:平面;
(II)若为菱形,,平面平面.
(i)求平面和平面夹角的余弦;
(ii)求点到平面的距离.
(I)在棱上取点,使,连接
由已知,
∴四边形为平行四边形,∴
又∵,即四点共面
连接,由已知
∴
∴四边形为平行四边形,∴
∵平面平面
∴平面,即平面
(II)在菱形中,,取中点,连接,则
又平面平面平面
在等腰梯形中,
∵两两互相垂直,
以为原点所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系
(i)
设为平面的一个法向量则得
设为平面的一个法向量则
设平面与平面夹角为
则∴平面与平面夹角余弦值为
(ii)∵
∴点到平面的距离为
9、南京市2024届5月份高三年级第二次模拟考试17
在五面体中,平面平面.
（1）求证:;
(2)若,点到平面的距离为,求二面角的大小.
【解析】(1)证明:因为平面平面,所以.
因为平面平面,所以平面.
又Ì平面,平面平面,所以.
(2)解:因为平面,故以
为正交基底,建立空间直角坐标系.作于.
因为平面,所以.又,平面,所以平面.
所以即为点到平面的距离,所以.
又,所以,又,所以.
设,则,
所以.
因为,所以,解得,所以分
另法,设,过往作高,过往作高,则,,因为,所以,即,解得.设平面的法向量为,则即可取.因为平面,
所以为平面的一个法向量.
所以.故二面角的大小为.
10、2024年5月江淮十校高三五月联考数学试卷16
如图,在四棱雉中,底面是正方形,底面,
（1）已知为中点,求证:平面;
（2）求平面与平面的夹角.
(1)如图,连接交于,连,
因为底面,所以,
又正方形中,,所以平面,又平面,平面平面,且平面平面,因为,所以,
而,所以,所以平面.
(2)依题有两两垂直,以为原点,以为轴,为轴,为轴建立如图所示坐标系,不妨设,则,所以,
设为平面的法向量,则
,不妨取,则,所以为平面的一个法向量,
同理可求得平面的一个法向量为,设平面与平面的夹角为,则,所以平面与平面的夹角为.
11、浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2024届高三第三次联考数学试题三模数学试题16
已知四面体.
(1)证明:;
（2）若,求直线与平面所成角的正弦值.
(1)取的中点,连,
由,可得,
又因为、平面,
所以平面,
因为平面,
所以
（2）方法1:
因为,所以,
又,所以,
由（1）可得平面,所以平面平面,
作交延长线于点,则平面且,设点到平面的距离为,

设直线与平面所成角为
所以直线与平面取成线面角的正弦值为
方法2:
因为,所以,又,
所以,
由（1）可得平面
所以平面平面,
作交延长线于点,
则平面且,
如图,以为轴,为轴,轴//建立空间直角坐标系
设面的一个法向量为
令,则
所以
设直线与平面所成角为
所以直线 与平面 取成线面角的正弦值为
12、厦门市2024届高中毕业班第四次质量检查17.
如图,在四棱台中,底面是边长为2的正方形,.
(1)证明:平面;
(2)若,求平面与平面夹角的余弦值.
（1）由棱台定义可知与共面,且平面平面.
又平面平面,平面平面,所以.
连接交于点,则为中点.
因为,所以.
因为平面,所以
在Rt中,,所以
在中,,所以,所以.
以为原点,分别以为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系.,
所以.设平面的法向量为,
则,即,
令,则,所以,又因为平面的法向量,
所以,所以平面与平面所成角余弦值为.
13、2024湖北圆创五月联考数学试卷16
如图,平面在平面的同侧,.
(1)若四点在同一平面内,求线段的长;
(2)若,平面与平面的夹角为,求线段的长.
解:(1)∵平面平面平面.
∵,则四点共面.
∵平面平面,平面平面.
又,则四边形是平行四边形.
∴.
(2)以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,则设,
设是平面的一个法向量,由可得.
设是平面的一个法向量,由可得.
依题意,解得,
∴.
14、深圳中学2024届高三二轮三阶数学试题17
如图1,在直角棁形中,,点是边的中点,将沿折起,使平面平面，逶接，得到如图2所示的几何体.已知,且二面角的平面角的正切值为.
(I)求证:平面;
（II）请指出图2中哪个角是二面角的平面角,并计算线段的长度;
(III)求二面角的余弦值.
【解析】(I)因为平面平面,平面平面,又,所以平面.因为平面,所以.又因为折叠前后均有,所以平面.
(II)由（I）知平面,所以二面角的平面角为.又平面平面,所以.
依题意.因为,所以.设,则.
解得,故.
(III)法1:如图所示,建立空间直角坐标系,则,,所以.
由（I）知平面的法向量.
设平面的法向量
由得
令,得,所以.
所以.
由图可知二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
15、山东省中学联盟2024届高三下学期5月份考前冲刺大联考数学试题15
如图,已知四棱锥中,是线段的中点现将绕旋转到平面内,得到边长为2的正方形,且.
(1)当时,证明:平面,并求三棱雉的体积;
(2)当平面平面时,求直线和平面所成角的正弦值.
15.(1)解:因为,
所以,又因为,
所以平面
所以,在中,,
又,所以为直角三角形.
所以
(2)解:在平面内,过点作于点,那么平面
在Rt中,
以为坐标原点,所在的直线分别轴、轴,过点且垂直于平面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
所以
因为平面,
所以可以取平面的一个法向量为,设直线和平面所成的角为,
所以.
16、深圳中学2024届高三二轮一阶数学测试题15
如图,在四棱雉中,底面,,点为棱上一点,且.
(1)若平面,求实数的值;
(2)若平面,求直线和平面所成角的正弦值.
【详解】(1)∵底面,又平面,∴,又两两垂直,以所在直线为轴,轴,轴,建系如图,∵,∴,设,由,解得.设平面的法向量为,则,取,由题意,∴,解得;
(2)设平面的法向量为,则,取平面,设,则,解得.由(1)得平面的法向量为直线和平面所成角的正弦值为:.
17、武昌区2024届高三年级5月质量检测数学试题16
如图,在四棱雉中,平面平面,.
(1)证明:.
(2)若,求平面与平面的夹角的余弦值.
解:(1)证明:如图,取的中点,连接.
因为,
所以四边形为平行四边形.
因为,所以四边形为菱形,所以,所以.
因为平面平面,平面平面平面
所以平面.
因为平面,所以.
（2）由（1）可知平面,
因为,取中点为,连,所以.
以为轴,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则则,所以.
设平面的法向量为.
由得.
取,得则.
设平面的法向量为.由得
取,得,则.
所以.
设平面与平面的夹角为,则.
所以,平面与平面夹角的余弦值为.
18、湖北省宜荆荆随恩2024届高三5月联考（二模）数学15
在五面体中,四边形为等腰梯形,,.
（1）求证、、三线交于一点。
（2）若,求平面与平面所成角的大小.
15.(1)因为四边形是等腰梯形,,所以延长必
相交于一点,
设平面平面,
同理可得:平面,
又∵平面平面
即交于一点
(2)由得平面
又平面,
同理可得两两垂直
以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系
∵是等腰梯形,∴是等腰三角形,,
设平面法向量为
又平面法向量为
∴,所以平面与平面所成角为
19、2024辽南协作校三模数学15
如图所示,在梯形中,,平面为中点.
(1)证明:平面;
(2)证明:;
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
15.(1)证明:连接
∵是中点
∴且
∴四边形是平行四边形
∴
又∵
∴平面平面
又∵平面
∴//平面
(2)证明:∵平面
∴平面
∵平面
∴
是中点
∴且
又∵,
∴平行四边形为正方形
∴
又∵
∴平面
∵平面
∴
(3)∵平面,四边形是正方形
∴两两垂直
建立直角坐标系,以为原点,为轴,为轴,为轴
设平面的法向量
,当时,法向量
设平面的法向量
,当时,法向量
所以平面与平面夹角的余弦值为:
20、2024年5月镇海中学高三适应性考试试卷16
在空间四边形中,.
（1）求证:平面平面;
(2)对角线上是否存在一点,使得直线与平面所成角为.若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
(1)取中点,连.
因为,则,且.
又,则,且,
又,则,则
又平面,则平面,
又平面,则平面平面.
(2)以为原点,分别为轴,轴,轴建立直角坐标系,则,设,则,设平面的法向量为,由,令,则,则,
解得或(舍去),故.
21、2024届江苏南通高三高考考前押题数学试题16
如图,四边形是圆台的轴截面,是圆台的母线,点是的中点.已知,点是的中点.
(1)若直线与直线所成角为,证明:平面;
(2)记直线与平面所成角为,平面与平面的夹角为,若,求.
解:(1)连接,则四边形是直角梯形.
过作于,则四边形是矩形,∴.
连接为的中点.又为的中点,∴.
∵平面平面.
又∵平面.
在中,∵.
∵为的中点,∴.
又∵平面,
∴平面.
又平面.
∵平面,
∴平面.
(2)以为原点,直线分别为轴建立如图的空间直角坐标系.
设,则.
设平面的法向量,
则,取得.
设平面的法向量,
则,取得.
,解得.
在Rt中,.
由(1)知.
22、2024.5浙江诸暨市数学试卷16
如图,在三椄雉中,是正三角形,平面平面,点是的中点,.
（1）求证:为三棱琟外接球的球心
(2)求直线与平面所成角的正弦值:
(3)若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值最大时的值.
(1)为的中线,且,则为正的中心,
又RtBCD中,,
∴,即为三棱雉外接球的球心
(2)∵是正三角形,点是的中点,∴.
又∵平面平面,平面平面平面,
∴平面
∴为直线与平面所成的角
又Q
即直线与平面所成角的正弦值为
（3）坐标法:
在平面中,过点作垂足为,设,则.建立如图所示的空间直角坐标系则,设,则.设平面的法向量为,
由,得,令,故,
设平面的法向量为,
则,即,令,则.
设平面与平面所成锐二面角的平面角为,
∴,当时,,此时最大,即当时,平面与平面所成锐二面角的余弦值最大.
23、2024武汉五调数学高清试卷16.
如图,已知四棱雉中,平面,四边形中,,,点在平面内的投影恰好是的重心.
(1)证明:平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(1)∵平面平面,又∵,
∴与相交于点,∴平面,又∵平面,
∴平面平面.
(2)取中点四边形是平行四边形∴.
∵平面平面.
如图所示,以为原点,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.
此时,.连为的重心,∴在线段内且.
设平面.
由题意知,平面,又∵平面,
∴,即,解得.
由于是的重心,所以,于是,
∴.设是平面的法向量,
则,令.设直线与平面所成角为,则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
24、苏州大学2024高考考前指导卷16
如图,在三棱雉中,已知,.
(1)若为的中点,求证:;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
解:(1)过作面,垂足为,连接,
因为,所以,所以.
因为面面,所以.
又因为,所以面.
因为面,所以.
同理.
又因为,所以四边形为矩形.
在矩形中,,所以RtRt,所以.
又因为,所以.
因为面面,所以,
所以面面,所以
(2)因为两两垂直,所以以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由,得.
由,
得,.
设为平面的一个法向量,取,则.
设为平面的一个法向量,取,则.
设平面与平面夹角为,则,所以平面与平面夹角的余弦值为.
25、浙江5月份数学五校（杭二、温一、金华一中、衢州二中、绍兴一中）联考试卷17
如图,已知三棱台,点为线段的中点,点为线段的中点.
(1)证明:直线平面;
(2)若平面平面,求直线与平面所成线面角的大小
(1)取中点,则,故共面..2分由与平行且相等得平行四边形,故
（2）:以为原点，为轴正方向,
垂直于平面向上为轴正方向，建立空间直角坐标系.
设,表示出平面的法向星
故,
26、2024湖北省襄阳四中数学押题卷17
如图,圆台下底面圆的直径为是圆上异于的点,且为上底面圆的一条直径,是边长为6的等边三角形,.
(I)证明:平面平面;
(II)求平面和平面夹角的余弦值.
【解析】(I)∵为圆的直径,是圆上异于的点,故,
又∵,
而.
∵平面平面.
∵平面平面平面.
(注:也可以由,证明,得出)
(II)设为的中点,连接,则
由(1)可知,平面;所以
∵平面平面,
如图以为原点,分别以所在直线为轴,轴、轴建立空间直角坐标系,由题意可得
∵平面,四边形为矩形,
∴设平面的一个法向量为,
由,令,可得,
即,设平面的一个法向量为
即.设平面与平面的夹角为
则平面和平面夹角的余弦值为.