2024年新高考数学各地模拟卷汇编（一）——数列解答题

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1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明；
2、数列满足，则是等差数列；
3、数列满足，为非零常数，且，则为等比数列；
4、在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解．
5、遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：
（1）形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出；
（2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论．
8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和；
（2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列中，若（，，，，），则．
在等比数列中，若（，，，，），则．
12、前项和与积的性质
（1）设等差数列的公差为，前项和为．
= 1 \* GB3 ①，，，…也成等差数列，公差为．
= 2 \* GB3 ②也是等差数列，且，公差为．
= 3 \* GB3 ③若项数为偶数，则，．
若项数为奇数，则，．
（2）设等比数列的公比为，前项和为
= 1 \* GB3 ①当时，，，，…也成等比数列，公比为
= 2 \* GB3 ②相邻项积，，，…也成等比数列，公比为．
= 3 \* GB3 ③若项数为偶数，则，；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列和均是等差数列，且等差数列的公差为，，为常数．
= 1 \* GB3 ①的等距子数列也是等差数列，公差为．
= 2 \* GB3 ②数列，也是等差数列，而是等比数列．
（2）设数列和均是等比数列，且等比数列的公比为，为常数．
= 1 \* GB3 ①的等距子数列也是等比数列，公比为．
= 2 \* GB3 ②数列，，，，，
也是等比数列，而是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小．
二、各地模拟卷汇编
1、（2024届江苏省南通市5月份高三四模数学试题19）
设有穷数列的项数为,若正整数满足:,则称为数列的“点”
(1)若,求数列的“点”;
（2）已知有穷等比数列的公比为2,前项和为.若数列存在“min点”,求正数的取值范围;
（3）若,数列的“点”的个数为,证明:.
（3）(1)若,则数列不存在“点”,即.
2、（2024湖北省襄阳四中数学押题卷19）
已知各项均为正整数的有穷数列满足:,有.若等于中所有不同值的个数,则称数列具有性质.
(I)分别判断下列数列是否具有性质;
(1);
(2).
(II)已知数列具有性质,求出的所有可能取值;
(III)若一个数列具有性质,则是否存在最小值?若存在,求出这个最小值,并写出一个符合条件的数列;若不存在,请说明理由.
3、（2024浙江5月份数学五校（杭二、温一、金华一中、衢州二中、绍兴一中）联考试卷19）
卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用.一般地,对无穷数列,定义无穷数列,记作,称为与的卷积.卷积运算有右图所示的直观含义,即中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和,易知有交换律.
（1）若,求;
(2) 对 , 定义 如下: (1)当 时, ; (2)当 时, 为满足通项 的数列 , 即将 的每一项向后平移 项, 前 项都取为 0 .试找到数列 , 使得 ;
（3）若 , 证明: 当 时, .
4、（2024苏州大学考前指导卷15）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）记,求数列的前项和.
5、（2024华师一附中内部适应性考试数学答案19)
对于数列,如果存在等差数列和等比数列,使得,则称数列是“优分解”的.
(1)证明:如果是等差数列,则是“优分解”的.
（2）记,证明：如果数列是“优分解”的,则或数列是等比数列.
(3)设数列的前项和为,如果和都是“扰分解”的,并且,求的通项公式.
6、（2024A10联盟2024届数学试题卷19）
特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法.
一般地,若数列满足,则数列的通项公式可按以下步骤求解:
①对应的特征方程为,该方程有两个不等实数根;
②令,其中为常数,利用求出,可得的通项公式.已知数列满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）求满足不等式的最小整数的值;
（3）记数列的所有项构成的集合为,求证:都不是的元素.
7、（2024.5浙江诸暨市数学试卷15）
已知函数的所有正荌点构威递堣数列.
（1）求函数的周期和最大值：
（2）求数列的通项公式及前硕和.
8、（2024年5月浙江省精诚联盟高三联考试卷17）
已知等比数列和等差数列,满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）记数列的前项和为,数列的前项和为,证明:.
9、（2024年5月镇海中学高三适应性考试试卷19）
已知无穷数列,构造新数列满足满足
满足.若为常数数列,则称为阶等差数列;同理令,若为常数数列,则称为阶等比数列.
(1)已知为二阶等差数列,且,求的通项公式;
(2)若为阶等差数列,为一阶等比数列,证明:为阶等比数列;
（3）已知,令的前项和为,证明:.
10、（2024年山东师范大学附属中学高考押题卷19)
已知数列为有穷正整数数列.若数列满足如下两个性质,则称数列为的减数列:
①
②对于,使得的正整数对有个.
(1)写出所有4的1减数列;
(2)若存在的6减数列,证明:;
(3)若存在2024的减数列,求的最大值.
11、（湖北省宜荆荆随恩2024届高三5月联考（二模）数学试题16）
已知数列前项和为,设
（1）是否存在常数,使数列为等比数列,若存在,求值,若不存在,说明理由.
（2）求的表达式,并证明.
12、（深圳中学2024届高三二轮一阶数学测试题17分)
设数列的前项之积为,满足.
(1)设,求数列的通项公式;
(2)设数列的前项之和为,证明:.
13、（山东省中学联盟2024届高三下学期5月份考前冲刺大联考数学答案16)
欧拉函数的函数值等于不超过正整数,且与互素的正整数的个数,例如.数列满足,其前项和为,
(1)计算,猜想的通项公式并加以证明;
（2）若数列的通项满足,设,记数列的前项和为,求.
14、（浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2024届高三第三次联考数学试题三模数学答案15)
已知等差数列的公差不为零,成等比数列,且.
(1)求数列的通项公式;
（2）求.
15、（2024年5月江淮十校高三五月联考数学15)
已知数列的首项,(微信公众号:浙江省高中数学)且满足.
(1)求的通项公式;
(2)已知,求使取得最大项时的值.(参考值:)
16、（南京市2024届5月份高三年级第二次模拟考试19)
已知数列的前项和为.若对每一个,有且仅有一个,使得,则称为“数列”.记,称数列为的“余项数列”.
(1)若的前四项依次为,试判断是否为“数列”,并说明理由;
(2)若,证明为“数列”,并求它的“余项数列”的通项公式;
(3)已知正项数列为“数列”,且的“余项数列”为等差数列,证明:.
17、（厦门市2024届高中毕业班第四次质量检查15.)
设为数列的前项和,已知,且为等差数列.
求的通项公式;(2)若
18、（东北三省三校三模2024届5月份高三数学试卷)已知数列的前项和为.
(I)求证:数列是等比数列;
(II)设,若是递增数列,求实数的范围.
19、（广东省广州市2024届普通高中毕业班综合测试（二）16)
已知等差数列的前项和为,且为等差数列.
(1)求的通项公式;
(2)在与之间插人个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,记数列的前项和为,求证:.
20、（2024届【大湾区4月份】普通高中毕业年级联合模拟考试（二）16)
已知数列为等差数列,,前项和为,满足:当且时,
（1）求的通项公式;
（2）定义集合且,记的元素个数为,数列的前项和为,求.