[数学]四川省南充市西充县部分校2024届高三高考模拟联考试题(理)(解析版)
展开第Ⅰ卷
一、选择题
1. 已知复数满足,则复数在复平面内对应点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】设,则.
因为,则,
可得,解得,
即,所以复数在复平面内对应的点为,位于第一象限.
故选:A.
2. 已知椭圆的离心率为,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆,可得,,则,
所以,解得.故选:B.
3. 若集合,,且,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由,即,解得,
所以,
当时,,符合,
当时,由,解得,
所以,
因为,所以,解得.
综上可得的取值范围为.
故选:D
4. 设,是两个不同的平面,,是两条不同的直线,且则“”是“且”的( )
A. 充分不必要条件B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时,可能在内或者内,故不能推出且,所以充分性不成立;
当且时,设存在直线,,且,
因为,所以,根据直线与平面平行的性质定理,可知,
所以,即必要性成立,故“”是“且”的必要不充分条件.
故选:C.
5. 若满足约束条件则目标函数的最小值为( )
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】画出可行域如图所示,由,解得,
如图,当过点时,取得最小值,且最小值为.
故选:C.
6. 记等差数列的前项和为.若,,则( )
A. 140B. 70C. 160D. 80
【答案】D
【解析】因为是等差数列,所以,故.故选:D.
7. 三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会,若两个晚会都必须有人去,去几人自行决定,且每人最多参加一个晚会,则不同的去法有( )
A. 8种B. 12种C. 16种D. 24种
【答案】B
【解析】第一种情况,只有两人参加晚会,有种去法;
第二种情况,三人参加晚会,有种去法,共12种去法.故选:B.
8. 执行如图所示的程序框图后,输出的值为7,则p的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意,当时,执行循环体,当时,结束循环,输出,
运行程序框图,;;;,结束循环,
所以的取值范围为.
故选:A
9. 已知函数,现有下列四个结论:①是偶函数;②是周期为的周期函数;③在上单调递减;④的最小值为.其中所有正确结论的编号是( )
A. ①③B. ③④C. ①②④D. ①③④
【答案】D
【解析】因为,的定义域为全体实数,所以是偶函数,①正确;
,②错误;
当时,,
因为,所以在上单调递减,
又单调递增,所以在上单调递减,③正确;
因为,所以是周期为的周期函数,
当时,
则的最小值为,④正确.
故选:D.
10. 设,是双曲线:的两条渐近线,若直线与直线关于直线对称,则双曲线的离心率的平方为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可知经过第二、四象限,经过第一、三象限,设的倾斜角为.
当时,则,即,,
即,所以.
当时,,即,,
即,所以.
综上,双曲线的离心率的平方为.故选:C.
11. 已知奇函数的定义域为R,且,则在上的零点个数的最小值为( )
A. 7B. 9C. 10D. 12
【答案】B
【解析】由,可得的图象关于点对称,
又是奇函数,所以,则的周期为3,
所以
,则.故在上的零点个数的最小值为9.
取,显然满足题意,且恰好在上有9个零点.
故选:B.
12. 在长方形中,,,点在线段上(不包含端点),沿将折起,使二面角的大小为,,则四棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设,,其中为定值,
则点A到的距离为,,,
要使得四棱锥的体积最大,则,
此时四棱锥的体积,
则,
在上单调递减,且当时,.
令,,则,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
则,
即四棱锥体积的最大值为.
故选:C
第Ⅱ卷
二、填空题
13. 若,则______.
【答案】
【解析】由,可得,则.
故答案为:.
14. 已知0是函数的极大值点,则的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题,
当时,恒成立,故是增函数,无极值点,不符合;
当时,令或,
若,,所以:
当时,,故在和上单调递增,当时,,故在上单调递减,
则在处取得极小值,是的极小值点,不符合;
若时,,所以:
当时,,故在和上单调递增,
当时,,故在上单调递减,
则在处取得极大值,是的极大值点,
所以0是函数的极大值点,则的取值范围为.
故答案为:.
15. 已知点是的重心,,,,则________.
【答案】
【解析】由于点是的重心,故,
故,
即,
故
,故答案为:
16. 假设在某种细菌培养过程中,正常细菌每小时分裂1次(1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌),非正常细菌每小时分裂1次(1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌).若1个正常细菌经过14小时的培养,则可分裂成的细菌的个数为______.
【答案】
【解析】设经过小时,有个正常细菌,个非正常细菌,
则,.
又,,所以,,
则,所以,
所以是首项和公差均为的等差数列,
所以,
所以,所以.
故答案为:.
三、解答题
(一)必考题:共60分.
17.在中,内角的对边分别为,且.
(1)求的值;
(2)若,证明:为直角三角形.
(1)解:由,
可得,
所以,
所以,
则,即.
(2)证明:由(1)可得.
又,所以,
即,
故,
所以,
即,
因为,所以为锐角,
解得(负值舍去),即,
所以为直角三角形.
18. 现统计了甲次投篮训练的投篮次数和乙次投篮训练的投篮次数,得到如下数据:
已知甲次投篮次数的平均数,乙次投篮次数的平均数.
(1)求这次投篮次数的平均数与方差.
(2)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为,乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲,且甲、乙总共投篮了三次,表示甲投篮的次数,求的分布列与期望.
解:(1)这次投篮次数的平均数;
甲次投篮次数的方差,
乙次投篮次数的方差,
这次投篮次数的方差.
(2)所有可能的取值为,
;;;
的分布列为:
的期望.
19. 如图,在三棱柱中,,四边形为菱形,,.
(1)证明:.
(2)已知平面平面,求二面角的正弦值.
(1)证明:设为的中点,连接,,,,
因为,所以,
因为四边形为菱形,,所以为等边三角形,则,
又平面,平面,,所以平面,
因为平面,所以,
因为,平面,平面,
,所以平面,
因为平面,所以,所以四边形为菱形,即.
(2)解:因为平面平面,
且平面平面,,平面,
所以平面;
以为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,设.
则,,,,,
可得,,.
设平面的法向量为,则
令,则,,可得.
设平面的法向量为,则
令,则,,可得.
,
故二面角的正弦值为.
20. 已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立,求取值范围.
解:(1)的定义域为.
关于的方程,
当时,,,
所以在上单调递增.
当时,,此时,
,所以在上单调递增.
当时,则是方程的两根.
又,所以,
令,解得或,
令,解得,
所以在和上单调递增,在上单调递减.
(2)由,可得,即.
令,易知单调递增.
由,可得,则,即.
设,则,当时,单调递减,
当时,单调递增,所以,
所以,则的取值范围为.
21. 已知为坐标原点,经过点的直线与抛物线交于,(,异于点)两点,且以为直径的圆过点.
(1)求的方程;
(2)已知,,是上的三点,若为正三角形,为的中心,求直线斜率的最大值.
解:(1)设,,,联立方程得,
则,.
因为以为直径的圆过点,所以,则,即,
解得,
所以,解得,所以的方程为.
(2)设,,.不妨设,,按逆时针顺序排列.
①当有一边斜率不存在时,另一顶点为,不妨设,
则,.
与抛物线的方程联立得,,中心.
②当三边的斜率都存在时,,.
又,所以,
化简可得,
同理可得,
,
三式相加得.
因为,,是上的三点,所以,
又,
所以.
设,则,,代入上式得.
又①也满足,所以的轨迹方程为.
当,直线的斜率为,当且仅当时,
直线的斜率取得最大值.
当时,直线的斜率.综上,直线斜率的最大值为.
(二)选考题
22. 已知直线:(为参数),曲线:.
(1)求的普通方程和曲线的参数方程;
(2)将直线向下平移个单位长度得到直线,是曲线上的一个动点,若点到直线的距离的最小值为,求的值.
解:(1)由直线:(为参数),
消去参数,可得的普通方程为.
由曲线:,可得曲线的参数方程为(为参数);
(2)的方程为,即.
设点的坐标为,
则点到直线的距离.
因为,所以当时,d取得最小值,
即,解得.
23. 已知函数.
(1)当时,解不等式;
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.
解:(1)当时,,
当时,化为,解得,则;
当时,化为,解得,则;
当时,可化为,解得,则,
所以不等式的解集为.
(2)当时,化为,即,
整理得,则,
依题意,当时,不等式恒成立,
而,因此,所以实数的取值范围为.甲
乙
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