[数学][二模]山东省菏泽市2024届高三下学期试题（解析版）

这是一份[数学][二模]山东省菏泽市2024届高三下学期试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于，，是上的减函数，不合题意；
对于B，是定义域是且为增函数，符合题意；
对于C，，定义域是，不合题意；
对于D，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B.
2. 已知向量，且，则的值是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】因为，即，
化简，整理得，
则，解得.
故选：D
3. 在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（ ）
A. 9种B. 36种C. 38种D. 45种
【答案】B
【解析】由题意，恰有两人报考同一高校的方法共有种.
故选：B.
4. 如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（ ）
A. 平面
B. 平面平面
C. 平面
D. 平面内存在与平行的直线
【答案】C
【解析】因为为正方体，设正方体边长为2，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
同理解得平面的法向量，
，故A不正确；
，故B不正确；
，
，所以，
又，所以平面，C正确；
平面的一个法向量为，
，故D不正确；
故选：C
5. 已知是等差数列，，在数列中，若是等比数列，则的值为（ ）
A. 6072B.
C. D.
【答案】C
【解析】设的公差为的公比为，
则由题意可得，，即，解得，
所以
根据已知又有：，
则，得，
所以，进而，
故.
故选：C.
6. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知一组样本数据，，…，()，现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大
B. 已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4
C. 50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为20人
D. 已知随机变量，若，则
【答案】D
【解析】对于A：新数据的总和为，
与原数据的总和相等，且数据个数相等，因此平均数不变，
因为，而 ，
即极差变小了，由于两组数据平均数不变，而极差变小，
说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，故A错误；
对于B：因为回归直线方程必经过样本中心点，
所以，解得，故B错误；
对于C：因为一模考试中的数学成绩，，
所以，所以，
所以人数为人，故C错误；
对于D：因为，所以，
，解得，故D正确.
故选：D.
7. 已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】由椭圆的离心率，
双曲线的离心率，可得，
令，因为双曲线的渐近线的斜率不超过，即，
则此时，即，
则的最大值是.
故选：B.
8. 已知函数，且，若在上有个不同的根，则的值是（ ）
A. 0B. C. D. 不存在
【答案】B
【解析】由，得，
又，所以，
即，
若，则，
当，
所以在上有4个不同的根，
且，
，即，
所以．
故选：B
二、多选题
9. 下列选项正确的有（ ）
A. 若是方程的一个根，则
B. 复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为
C. 若复数满足，则的最大值为
D. 若复数，满足，则
【答案】BCD
【解析】对于A：若是方程的一个根，
则方程的两个根分别，
所以，
所以，故A错误；
对于B：由题意可知，
所以，
所以向量表示的复数为，故B正确；
对于C：设，
若复数满足，
则在复平面内点在圆上，
圆的圆心，半径，
则的几何意义为原点到圆上点的距离，又，
则的最大值为，C正确；
对于D：因为，
所以，
，
所以，D正确．
故选：BCD.
10. 如图，已知二面角的平面角大小为，垂足分别为，，若，则下列结论正确的有（ ）
A. 直线与平面所成角的余弦值为
B. 点到平面的距离为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 三棱锥外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】对于A中，过点作，使得，
过点作，使得，连接，
过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
因为，则，
所以即为的二面角，则，
同理可得，且四边形为矩形，
又因为，且平面，则平面，
因为平面，所以，
又因，平面，则平面，
所以为直线与平面所成的角，
因为，
则，所以，
所以，所以A正确；
对于B中，由，且，平面，
则平面，因为平面，所以，
又因为，平面，则平面，
由A项知，所以，即点到平面的距离为，所以B正确；
对于C中，连接，过点作，垂足为，
由B知平面，因为平面，所以，
又因为平面，则平面，
因为平面，所以，所以为的二面角，
又因为，由，可得，所以，
所以，所以C错误；
对于D中，设三棱锥的外接球球心为，由，
取的中点为，取的中点为的中点为，
连接，则平面，且平面，，
因为平面，则，又因平面，则平面，同理可得：平面，则四点共面，且，
则，，所以，
因为，所以，
即外接球的半径为，则外接球的表面积为：，所以D正确.
故选：ABD.
11. 函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．下列结论正确的有（ ）
A. 函数与函数无公共点
B. 若，则
C.
D. 所有满足的点组成区域的面积为
【答案】ABD
【解析】对于A：函数与函数的图象如图所示，
由图可得函数与函数无公共点，A正确；
对于B：若，则，则，
，
即，B正确；
对于C：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，
C错误；
对于D：当时，，此时组成区域的面积为1，
当时，，此时组成区域的面积为1，
当时，，此时组成区域的面积为1，
当时，，此时组成区域的面积为，
综上点组成区域面积为，D正确．
故选：ABD.
三、填空题
12. 已知，集合．则集合中所有元素之和为____________．
【答案】5
【解析】由题意，得，
则集合中所有元素之和为.
故答案为：5
13. 已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为____________．
【答案】
【解析】，则，
，当时，；当时，；
可知函数在上单调递减，
在上单调递增，
，当时，，
当时，，
在同一坐标系作出函数和圆的图象，如图：
可知函数在处的切线方程为，
圆在点处的切线方程为，
则当，即时，圆与函数的图象有且只有一个交点，
当，即时，圆与函数的图象有两个交点，
可得的取值范围为．故答案为：
14. 已知在棱长为2的正方体中，挖去一个以上下底面各边中点为顶点的四棱柱，再挖去一个以左右两侧面各边中点为顶点的四棱柱，则原正方体剩下部分的体积为____________．
【答案】
【解析】如图：
，
可知四棱锥为正四棱锥，
四边形为边长为2的正方形，棱锥的高为1，
可知两个挖去的四棱柱重合部分为两个正四棱锥的组合体，
四棱柱的底面是边长为的正方形，
则，
同理可得，
，
则挖去部分的体积为，
可得原正方体剩下部分的体积为．
故答案为：.
四、解答题
15. 已知在中，的面积为．
（1）求角的度数；
（2）若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值．
解：（1）设，则，又，因此，
由为的内角，所以.
（2）由（1）知，，又，则，因此，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，
，
显然，则有，因此当时，取到最小值，
此时，即，
所以的值.
16. 已知函数的图象与轴交于点，且在处的切线方程为，记．（参考数据：）．
（1）求的解析式；
（2）求的单调区间和最大值．
解：（1）由题意与轴的交点，又，
在点处的切线的斜率，
在点处的切线方程为，即切线方程为
（2）由（1）知，所以，
，
令得的变化情况列表如下，
所以的单调增区间为，单调减区间为和，
，又，
，
的最大值为．
17. 甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.
（1）求P；
（2）当时，求甲得分X的分布列及数学期望；
（3）若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：
.
（1）解：记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，，，，，，
则，解得；
（2）解：由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知
，，，
X的分布列为：
随机变量X的数学期望为.
（3）证明：由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，
则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令
当n为奇数时，，
则
又∵时，随着m的增大而增大，
∴.
18. 如图，已知为抛物线的焦点，过的弦交曲线于点（与不重合）．
（1）求证：点为弦的中点；
（2）连并延长交拋物线于点，求面积的最小值．
（1）解：设直线，的中点为且，
联立方程组，整理得，
则，且，
可得，
所以中点的坐标为，
又由方程组，解得，即，
所以点与重合，即为中点.
（2）解：由（1）知直线，
联立方程组，解得，
又由，所以，
所以，
令，则，可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，面积取得最小值．
19. 定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件．
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若．比较与0的大小关系，并说明理由．
附：参考公式
解：（1）由条件②可得；
由条件③可得．
（2）由条件②）可得：
，
，
，
将上述个等式相加，得；
由条件③可得：
，
，
将上述个等式相加，得．
（3）由（2），所以，
则，
则
，
当且仅当时，，上式取得等号，
即时，均有，
所以，当时，；
当时，；
当时，，所以．
0
2
+
-
减函数
极小值
增函数
极大值
减函数
X
0
1
2
P