[数学][三模]江苏省苏州市八校2024届高三适应性检测试卷（解析版）

这是一份[数学][三模]江苏省苏州市八校2024届高三适应性检测试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. B.
C. D. 为纯虚数
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，所以A错误，
对于B，因为，的以不一定等于1，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以为实数，所以D错误，
故选：C
2. 已知为等比数列，则“”是“为递减数列”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当等比数列且时，，
此时不是递减数列 充分性不成立
当等比数列为递减数列时，显然成立 必要性成立
综上所述：“”是“为递减数列”的必要而不充分条件
故选
3. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
，
所以.
故选：A.
4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（ ）（参考数据:）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】C
【解析】设至少经过个小时才能驾驶，
则由题意得，则，
所以，
所以他至少经过6个小时才能驾驶.故选：C.
5. 已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（ ）
A. 4B. C. D. 6
【答案】B
【解析】由题意可得，所以，即，
所以①，
因为，所以，即，
所以②，
①②可得，即
又在方向上的投影向量为单位向量，
则，即，解得，
则，代入②中可得，解得.
故选：B
6. 记“的不同正因数的个数”，“的展开式中项的系数”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以的约数有个，即，
又展开式的项可以看作从个盒子中取出一个元素相乘，每个盒子中均有，，，
要得到，需从个盒子中取出，个盒子中取出，个盒子中取出，
所以，所以，即.
故选：B
7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】因为双曲线，则其渐近线方程为，
且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，
则直线方程，联立直线方程，解得，
所以，过点作轴的垂线，交轴于点，
因为，则，
则，且，
即，化简可得，则.
故选：C
8. 对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函”，为“的可移倒数点”.设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，
由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，
①当时，，方程可化为，解得，
这与不符，因此在内没有实数根；
②当时，，方程可化为，
该方程又可化为．
设，则，
因为当时，，所以在内单调递增，
又因为，所以当时，，
因此，当时，方程在内恰有一个实数根；
当时，方程在内没有实数根．
③当时，没有意义，所以不是的实数根．
④当时，，方程可化为，
化为，于是此方程在内恰有两个实数根，
则有，解得，
因此当时，方程在内恰有两个实数根，
当时，方程在内至多有一个实数根，
综上，的取值范围为．故选：A.
二、选择题
9. 过抛物线的焦点的直线与相交于A，B两点，为坐标原点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A：因为直线经过点，可得，即，所以，故A正确；
对于B：设由，所以，
所以所以
所以所以与不垂直，故B不正确；
，故C正确；
对于D：，故D正确.故选：ACD.
10. 已知是函数有四个零点，记的导函数为，则（ ）
A.
B.
C. 在上的最小值为
D. 存在，使得是奇函数
【答案】BCD
【解析】由题意可得
，
所以即为系数的相反数，即，故A错误；
即为常数项，即，故B正确；
因为，所以，
则在上单调递增，又，则在恒成立，
所以在单调递减，所以，故C正确；
因为，
则，
所以，所以的对称中心为，所以关于对称，
即为奇函数，则，
所以存在，使得为奇函数，故D正确．故选：BCD．
11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，以为原点，OB，OD，OO1所在直线分别为轴、轴、轴，建立如何所示空间直角坐标系.若该正方体内一动点，满足，则（ ）

A. 点的轨迹长为
B. 的最小值为
C.
D. 三棱锥体积的最小值为
【答案】BC
【解析】对于A：由可知，点在以为球心，1为半径的球上，
又由可知，点在平面上，所以点为球面与平面的交线，
如图（2）所示，在矩形中，以为圆心，1为半径半圆，
所以点的轨迹长为，故A错误；
对于B：由投影法可得，当点在上投影最小时，向量积最小，此时点位于半圆弧中点，投影长为，
所以，故B正确；
对于C：因为平面，平面，
所以，故C正确；
对于D：因为平面，
所以点到平面平面的距离为，则，
由图（2）可知当点位于半圆弧中点时，的面积最小为，
所以，故D错误；故选：BC.

三、填空题
12. 函数的值域是________________.
【答案】
【解析】因为，
所以是以为周期的周期函数，
当时，
由，则，所以，则；
当时，
由，则，所以，则；
综上可得的值域为.
故答案为：
13. 已知，则________________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
故答案为：.
14. 已知函数.
①当时，，记前项积为，若恒成立，整数的最小值是______________;
②对所有n都有成立，则的最小值是_____________.
【答案】 3
【解析】，，，故，
设，，则，
故在上单调递减，
则，故当时，，
则
，
所以，
综上，，若恒成立，整数的最小值为3，
，
化简得，即，
令，
当时，，
所以在上单调递减，
又，
所以，故，
解得，所以的最小值为.
故答案为：3，
四、解答题
15. 如图，已知正方体的棱长为，，分别是和的中点.
（1）求证：；
（2）求直线和之间的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：在正方体中，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
所以，故；
（2）解：因为，，所以，
所以，由题意知，，，不共线，故，
故知点到直线的距离即为两条平行线和之间的距离，
又，
则，，，
设点到直线的距离为，则，
即直线和之间的距离为；
（3）解：因为，，
设平面的法向量为，则，取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）若，求的面积;
（2）若，求使得恒成立时，实数的最小值.
解：（1）因为，即，所以，
即，则，所以，
所以，且，由正弦定理可得，则，
所以，则.
（2）因为，由余弦定理可得，
又，则，即，
所以，化简可得，
因为，所以，所以，
即，所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，故即可，所以的最小值为.
17. 2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.如下表是统计的2014年-2023年全国新能源汽车保有量(百万辆)数据：
并计算得:.
（1）根据表中数据，求相关年份与全国新能源汽车保有量的样本相关系数(精确到0.01)；
（2）现苏同学购买第1辆汽车时随机在新能源汽车和非新能源汽车中选择.如果第1辆购买新能源汽车，那么第2辆仍选择购买新能源汽车的概率为0.6；如果第1辆购买非新能源汽车，那么第2辆购买新能源汽车的概率为0.8，计算苏同学第2辆购买新能源汽车的概率；
（3）某汽车网站为调查新能源汽车车主用车体验，决定从12名候选车主中选3名车主进行访谈，已知有4名候选车主是新能源汽车车主，假设每名候选人都有相同的机会被选到，求被选到新能源汽车车主的分布列及数学期望.
附:相关系数：.
解：（1）由，
则
.
（2）设“第1辆购买新能源汽车”，“第1辆购买非新能源汽车”，
“第2辆购买新能源汽车”，
，
由全概率公式得，，
所以苏同学第2辆购买新能源汽车的概率为.
（3）设被选到新能源汽车车主人数为，则可能取值为，
，
，
则被选到新能源汽车车主的分布列为，
所以.
18. 已知圆，直线，直线和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线的垂线，垂足为C，D.
（1）求实数b的取值范围;
（2）若，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数的值;
（3）若直线AD和直线BC交于点，问是否存在实数，使得点在一条平行于轴的直线上?若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由.
解：（1）圆的半径为2，因为直线和圆交于A，B两点，
所以圆心到直线的距离，
解得，
则实数b的取值范围为；
（2）设，则，
由得，
所以，，
则，
因为四边形为直角梯形，
所以四边形的面积
，
令，
，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时四边形ABDC的面积最大，
且最大值为；

（3），则，且直线、的斜率存在，
由（2），，，
直线，直线，
联立得，
若为常数，则，其中为常数，
可得，解得，
所以当时点在一条平行于轴的直线上.

19. 已知函数.
（1）时，求的零点个数;
（2）若恒成立，求实数的最大值;
（3）求证:.
（1）解：当时，，则，
所以，令，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
当时，，所以在上为增函数，
当时，，所以在上为减函数，
又，，
且时，，则存在，，使得，
所以有两个零点.
（2）解：令由，得，
令所以，
令，可得，
所以在上为增函数，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
所以恒成立，所以实数的最大值是实数；
（3）证明：因为
，
由（2）可得，所以，
所以，
所以，
又，
所以.年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
保有量
0.12
0.50
1.09
1.60
2.61
3.81
4.92
7.84
13.10
20.41
0
1
2
3