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2024贵州中考数学一轮知识点复习 第8讲 分式方程及其应用（课件）
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这是一份2024贵州中考数学一轮知识点复习 第8讲 分式方程及其应用（课件），共34页。PPT课件主要包含了分式方程及其应用，考点精讲，整式方程，――→，x＝a，实际应用，一般步骤，常考类型及等量关系，分式方程及其实际应用，x－2等内容，欢迎下载使用。
解分式方程(黔西南州3考，黔东南州3考)
1. (2023黔东南州7题4分)分式方程 的根为( )A. －1或3 B. －1 C. 3 D. 1或－32. (2023黔西南州17题3分)关于x的两个方程x2－x－6＝0与 有一个解相同，则m＝____．
3. (2023黔西南州21(2)题6分)解方程： .
解：分式方程两边同乘(x－3)，化为整式方程得2－x－1＝x－3，(2分)移项得－x－x＝－3－2＋1，合并同类项得－2x＝－4，系数化为1得x＝2.检验，当x＝2时，x－3＝－1≠0，∴原分式方程的解是x＝2.(6分)
4. (2023黔东南州19题8分)解方程： .
解：去分母，得(x＋1)2－4＝x2－1，解整式方程得x＝1，(4分)检验，当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，(6分)∴原分式方程无解．(8分)
5. (2022三州联考21(2)题6分)解方程： .
解：去分母，得2x＋2－(x－3)＝6x，去括号，得2x＋2－x＋3＝6x，移项，得6x－2x＋x＝2＋3，合并同类项，得5x＝5，系数化为1，得x＝1.(4分)检验，当x＝1时，2x＋2≠0，∴x＝1是原分式方程的解．(6分)
6. (2023黔南州20(2)题5分)解方程： .
解：去分母，得x(x＋2)－8＝x－2，整理得x2＋x－6＝0，(1分)因式分解得(x＋3)(x－2)＝0，(2分)∴x1＝－3，x2＝2.(3分)经检验：x1＝－3是原方程的解，x2＝2是增根，(4分)∴原方程的解是x＝－3.(5分)
A. B. C. D.
7. (2021黔西南州7题4分)高铁为居民出行提供了便利．从铁路沿线相距360 km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h.已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x km/h，依题意，下面所列方程正确的是( )
分式方程的实际应用(黔西南州3考，黔东南州2022.8，贵阳2考)
8. (2022三州联考8题4分)施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是( )A. B. C. D.
9. (2023贵阳21题10分)“2023年张学友演唱会”于6月3日在我市观山湖奥体中心举办．小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心．已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．(1)求小张跑步的平均速度；
解：(1)设小张跑步的平均速度为x米/分，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据题意可列方程 ＝4，解方程得x＝210，经检验，x＝210是所列方程的解，且符合题意．∴小张跑步的平均速度为210米/分；(7分)
(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
10. (2022安顺14题4分)某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为_____________．
11. (2020黔南州24题10分)新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶的价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．(1)求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
解得x＝30，检验，当x＝30时，x(3x－50)≠0，∴x＝30是原分式方程的解，且符合实际意义．∴3x－50＝40，答：甲种品牌消毒剂每瓶的价格为30元，乙种品牌消毒剂每瓶的价格为40元；(4分)
(2)从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？
(2)设购买了甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买了乙种品牌的消毒剂(40－y)瓶，根据题意得，30y＋40(40－y)＝1400，解得y＝20，∴40－y＝20，答：购买了20瓶乙种品牌的消毒剂．(10分)
12. (2023毕节25题12分)某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学．在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．(1)求这种笔和这种本子的单价；
(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和这种本子，计划100元钱刚好用完，并且笔和本子都要买，请列出所有购买的方案．
由列表可知，满足条件的a，b有3组，即所有的购买方案有3种．第一种：买1支笔，15个本子；第二种：买4支笔，10个本子；第三种：买7支笔，5个本子．(12分)
【对接教材】人教：八上第十五章P149－P156； 北师：八下第五章P125－P130.
基本思路：将分式方程化为整式方程
________________________
方程两边同乘以最简公分母
x＝a不是分式方程的解
x＝a是分式方程的解
口诀：一化二解三检验四写根
1.去分母时，不要漏乘常数项；2.移项时，符号要变化
增根：使分式方程最简公分母为___的根
分式方程的增根与无解并非同一个概念：1.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根2.分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解
列分式方程解应用题必须双检验：(1)检验是否是分式方程的解；(2)检验是否符合实际问题
分式方程的应用题主要涉及行程问题、工程问题、购买(盈利)问题等，涉及的等量关系分别为：1. 行程问题： ＝时间2. 工程问题： ＝工作时间，有时工作总量可以看作整体“1”，这时， ＝工作效率3. 购买(盈利)问题： ＝数量， ＝单价
例1 解方程： .解：1＝3(x－2)＋______，(去分母，方程两边同乘_____) 1＝3x－6＋_____，(去括号) 2x＝___，(移项、合并同类项) x＝____，(系数化为1，方程两边同除以___)
检验：______________，∴x＝___是原分式方程的解．
解分式方程时，需注意以下三点：1．最简公分母与分母互为相反数时注意符号；2．常数项或整式部分也要乘最简公分母；3．注意检验，检验解出的根是否会使最简公分母为零．
例2 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校园内掀起一阵传统文化学习的热潮．为满足同学们的学习热情，该校特选派两名学生代表小伟和小聪去采购相关书籍．
(1)①两人要去距离学校10_km的图书批发市场购买图书，因小伟有事耽搁，故②小聪骑自行车先走，过了20_min后，小伟乘汽车出发，结果两人同时到达．已知③汽车的平均速度是自行车平均速度的2倍，求小聪骑自行车的平均速度；
【分层分析】设自行车的平均速度为x km/h，由③可知，汽车的平均速度为____km/h，由①可知小聪的骑行时间为____h，小伟乘汽车所用的时间为____h，由②可列方程为___________；
解：(1)设自行车的平均速度为x km/h，则汽车的平均速度为2x km/h，根据题意得 ，解得x＝15.经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意．答：小聪骑自行车的平均速度为15 km/h；
(2)两人决定购买《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中④每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，⑤用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格；
【分层分析】设每套《水浒传》连环画的价格为a元，由④可知每套《三国演义》连环画的价格为_______元，由⑤可知4800元可购买《水浒传》连环画的套数为_____，3600元可购买《三国演义》连环画的套数为______，可列方程为______________；
(3)将书全都运回学校后，小伟和小聪开始给所买书籍都贴上标签，已知⑥小聪15_min贴完了这批图书的一半，接着⑦小伟也加入一起贴标签，两人合作6_min贴完了另一半图书，求小伟单独贴完这批图书需要多长时间？
【分层分析】设小伟单独贴完这批图书需要b min，由⑥可得小聪单独贴完这批图书的速度为____，由⑦可得小聪6 min贴了______的图书，小伟6 min贴了___的图书，可列方程为____________．
解分式方程(黔西南州3考，黔东南州3考)
1. (2023黔东南州7题4分)分式方程 的根为( )A. －1或3 B. －1 C. 3 D. 1或－32. (2023黔西南州17题3分)关于x的两个方程x2－x－6＝0与 有一个解相同，则m＝____．
3. (2023黔西南州21(2)题6分)解方程： .
解：分式方程两边同乘(x－3)，化为整式方程得2－x－1＝x－3，(2分)移项得－x－x＝－3－2＋1，合并同类项得－2x＝－4，系数化为1得x＝2.检验，当x＝2时，x－3＝－1≠0，∴原分式方程的解是x＝2.(6分)
4. (2023黔东南州19题8分)解方程： .
解：去分母，得(x＋1)2－4＝x2－1，解整式方程得x＝1，(4分)检验，当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0，(6分)∴原分式方程无解．(8分)
5. (2022三州联考21(2)题6分)解方程： .
解：去分母，得2x＋2－(x－3)＝6x，去括号，得2x＋2－x＋3＝6x，移项，得6x－2x＋x＝2＋3，合并同类项，得5x＝5，系数化为1，得x＝1.(4分)检验，当x＝1时，2x＋2≠0，∴x＝1是原分式方程的解．(6分)
6. (2023黔南州20(2)题5分)解方程： .
解：去分母，得x(x＋2)－8＝x－2，整理得x2＋x－6＝0，(1分)因式分解得(x＋3)(x－2)＝0，(2分)∴x1＝－3，x2＝2.(3分)经检验：x1＝－3是原方程的解，x2＝2是增根，(4分)∴原方程的解是x＝－3.(5分)
A. B. C. D.
7. (2021黔西南州7题4分)高铁为居民出行提供了便利．从铁路沿线相距360 km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h.已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x km/h，依题意，下面所列方程正确的是( )
分式方程的实际应用(黔西南州3考，黔东南州2022.8，贵阳2考)
8. (2022三州联考8题4分)施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是( )A. B. C. D.
9. (2023贵阳21题10分)“2023年张学友演唱会”于6月3日在我市观山湖奥体中心举办．小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心．已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．(1)求小张跑步的平均速度；
解：(1)设小张跑步的平均速度为x米/分，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据题意可列方程 ＝4，解方程得x＝210，经检验，x＝210是所列方程的解，且符合题意．∴小张跑步的平均速度为210米/分；(7分)
(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
10. (2022安顺14题4分)某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为_____________．
11. (2020黔南州24题10分)新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶的价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同．(1)求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
解得x＝30，检验，当x＝30时，x(3x－50)≠0，∴x＝30是原分式方程的解，且符合实际意义．∴3x－50＝40，答：甲种品牌消毒剂每瓶的价格为30元，乙种品牌消毒剂每瓶的价格为40元；(4分)
(2)从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？
(2)设购买了甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买了乙种品牌的消毒剂(40－y)瓶，根据题意得，30y＋40(40－y)＝1400，解得y＝20，∴40－y＝20，答：购买了20瓶乙种品牌的消毒剂．(10分)
12. (2023毕节25题12分)某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学．在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．(1)求这种笔和这种本子的单价；
(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和这种本子，计划100元钱刚好用完，并且笔和本子都要买，请列出所有购买的方案．
由列表可知，满足条件的a，b有3组，即所有的购买方案有3种．第一种：买1支笔，15个本子；第二种：买4支笔，10个本子；第三种：买7支笔，5个本子．(12分)
【对接教材】人教：八上第十五章P149－P156； 北师：八下第五章P125－P130.
基本思路：将分式方程化为整式方程
________________________
方程两边同乘以最简公分母
x＝a不是分式方程的解
x＝a是分式方程的解
口诀：一化二解三检验四写根
1.去分母时，不要漏乘常数项；2.移项时，符号要变化
增根：使分式方程最简公分母为___的根
分式方程的增根与无解并非同一个概念：1.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根2.分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解
列分式方程解应用题必须双检验：(1)检验是否是分式方程的解；(2)检验是否符合实际问题
分式方程的应用题主要涉及行程问题、工程问题、购买(盈利)问题等，涉及的等量关系分别为：1. 行程问题： ＝时间2. 工程问题： ＝工作时间，有时工作总量可以看作整体“1”，这时， ＝工作效率3. 购买(盈利)问题： ＝数量， ＝单价
例1 解方程： .解：1＝3(x－2)＋______，(去分母，方程两边同乘_____) 1＝3x－6＋_____，(去括号) 2x＝___，(移项、合并同类项) x＝____，(系数化为1，方程两边同除以___)
检验：______________，∴x＝___是原分式方程的解．
解分式方程时，需注意以下三点：1．最简公分母与分母互为相反数时注意符号；2．常数项或整式部分也要乘最简公分母；3．注意检验，检验解出的根是否会使最简公分母为零．
例2 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校园内掀起一阵传统文化学习的热潮．为满足同学们的学习热情，该校特选派两名学生代表小伟和小聪去采购相关书籍．
(1)①两人要去距离学校10_km的图书批发市场购买图书，因小伟有事耽搁，故②小聪骑自行车先走，过了20_min后，小伟乘汽车出发，结果两人同时到达．已知③汽车的平均速度是自行车平均速度的2倍，求小聪骑自行车的平均速度；
【分层分析】设自行车的平均速度为x km/h，由③可知，汽车的平均速度为____km/h，由①可知小聪的骑行时间为____h，小伟乘汽车所用的时间为____h，由②可列方程为___________；
解：(1)设自行车的平均速度为x km/h，则汽车的平均速度为2x km/h，根据题意得 ，解得x＝15.经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意．答：小聪骑自行车的平均速度为15 km/h；
(2)两人决定购买《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中④每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，⑤用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格；
【分层分析】设每套《水浒传》连环画的价格为a元，由④可知每套《三国演义》连环画的价格为_______元，由⑤可知4800元可购买《水浒传》连环画的套数为_____，3600元可购买《三国演义》连环画的套数为______，可列方程为______________；
(3)将书全都运回学校后，小伟和小聪开始给所买书籍都贴上标签，已知⑥小聪15_min贴完了这批图书的一半，接着⑦小伟也加入一起贴标签，两人合作6_min贴完了另一半图书，求小伟单独贴完这批图书需要多长时间？
【分层分析】设小伟单独贴完这批图书需要b min，由⑥可得小聪单独贴完这批图书的速度为____，由⑦可得小聪6 min贴了______的图书，小伟6 min贴了___的图书，可列方程为____________．
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