2024贵州中考数学一轮知识点复习 第28讲 与圆有关的位置关系（课件）

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与圆有关的位置关系(黔西南州2023.18)
1. (2023黔西南州18题3分)已知⊙O1和⊙O2的半径分别为m、n，且m、n满足 ＋(n－2)2＝0，圆心距O1O2＝ ，则两圆的位置关系为________．
与切线性质有关的计算(黔西南州2考，黔东南州2考，贵阳3考)
2. (2015黔西南州6题4分)如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P＝50°，则∠AOB等于(　　)A. 150° B. 130° C. 155° D. 135°
3. (2021贵阳9题3分)如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是(　　)A. 144° B. 130° C. 129° D. 108°
4. (2021黔西南州23题12分)如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE.(1)求证：∠CAD＝∠CAB；
∵直线l切⊙O于点C，∴OC⊥l.∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAB，∴∠CAD＝∠CAB；(6分)
(1)证明：如解图，连接OC，
(2)若EC＝4，sin∠CAD＝ ，求⊙O的半径．
(2)如解图，连接BC，
5. (2022三州联考22题12分)如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B.(1)若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠OCB＝90°－∠ACO＝60°，∴∠BCP＝90°－∠OCB＝30°，∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，∠OBC＝60°，∴∠P＝∠OBC－∠BCP＝30°，∴∠P＝∠BCP，∴BP＝BC，∵OA＝OB＝BC，∴OA＝OB＝BP，∴PA＝3PB；(6分)
(2)小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝ (90°－∠P)成立．请你写出推理过程．
6. (2022贵阳23题10分)如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．(1)求证：OP∥BC；
(1)证明：∵点A关于OP的对称点是点C，∴∠AOP＝∠COP，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠AOC＝∠OBC＋∠OCB，∴2∠AOP＝2∠B，∴∠AOP＝∠B，∴OP∥BC；(4分)
(2)过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D，如果∠D＝90°，DP＝1.求⊙O的直径．
∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∵∠D＝90°，∴AD∥OC，∴∠A＋2∠AOP＝180°，由(1)知，∠AOP＝∠B，∴∠A＋2∠B＝180°①，∵OA＝OP，∴∠A＋∠OPA＋∠AOP＝2∠A＋∠B＝180°②，由①②得∠A＝∠B＝60°，∴△AOP，△COB都是等边三角形，∴∠POC＝60°，
(2)解：如解图，连接PC，
∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，∴OC＝PC，∠DCP＝∠DCO－∠PCO＝90°－60°＝30°，在Rt△PCD中，PC＝2PD＝2，∴⊙O的直径为2OC＝2PC＝4.(10分)
7. (2023贵阳23题10分)如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD.(1)求证：AD＝CD；
(2)解：∵AF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠FAB＝∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°.∵∠FAD＋∠BAD＝90°，∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠FAD＝∠ABD.又∵∠ABD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠FAD.
(2)若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．
在Rt△ADF中， ，∴BE＝5－ ×2＝ .∵∠BEC＝∠AED，且∠ECB＝∠EDA，∴△BEC∽△AED，∴ ，即BC＝ .
∵∠BDC与∠BAC都是 所对的圆周角，∴∠BDC＝∠BAC.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∴sin∠BAC＝ ，即sin∠BDC＝ .(10分)
8. (2022黔南州10题4分)如图，已知直线AD是⊙O的切线，点A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为(　　)A. 54° 　　　B. 36°C. 30° 　　　D. 27°
9. (2023遵义12题3分)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是(　　)A. B. C. D.
10. (2021遵义12题4分)如图，AB是⊙O的弦，等边三角形OCD的边CD与⊙O相切于点P，且CD∥AB，连接OA，OB，OP，AD.若∠COD＋∠AOB＝180°，AB＝6，则AD的长是(　　)A. B. C. D.
与切线判定有关的证明与计算(黔西南州4考，黔东南州4考)
11. (2021黔东南州23题12分)如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP, 交⊙O于点B.(1)求证：PB是⊙O的切线；
(1)证明：如解图，连接OB，BC，设AB与OP的交点为D，
(2)若AB＝6，cs∠PAB＝ ，求PO的长．
∵AC＝BC，AD＝CD，OB＝OC，∴∠A＝∠B＝∠1＝∠2，∵∠ACO＝∠DCO＋∠2，∴∠ACO＝∠DCO＋∠1＝∠BCD，又∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠ACO＝90°.∵OC是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(6分)
12. (2023黔西南州22题12分)如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC＝BC，AD＝CD.(1)求证：AC是⊙O的切线；
解：(1)如解图，连接OC，
(2)若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．
如解图，作顶点C到AB边上的高，交AB于点E，
13. (2022黔西南州22题12分)如图，已知AB为⊙O的直径，D是 的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F.(1)求证：直线DE与⊙O相切；
(1)证明：如解图，连接OD，
(2)已知DG⊥AB且DE＝4，⊙O的半径为5，求tanF的值．
14. (2023黔东南州22题12分)如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2＝PE·PO.(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半径．
15. (2023黔西南州25题12分)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC.(1)求证：CD是⊙O的切线；
(1)证明：如解图①，连接OD，DB，
(2)小明在研究的过程中发现 是一个确定的值，回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
证明：如解图②，连接OP，
16. (2023毕节26题14分)如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点，∠C＝90°，连接AF.(1)求证：直线CD是⊙O切线；
(1)证明：如解图，连接OF，
(2)若BD＝2，OB＝4，求tan∠AFC的值．
∵AC∥OF，OA＝4，∴ ，即 ，解得CF＝ ，∴tan∠AFC＝ .(14分)
17. (2022安顺25题12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∵OD是⊙O的半径，∴DH与⊙O相切；(4分)
(1)解：DH与⊙O相切．
理由如下，如解图①，连接OD，
(2)求证：点H为CE的中点；
∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠B＋∠AED＝180°，∵∠DEC＋∠AED＝180°，∴∠DEC＝∠B，∵∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴点H为CE的中点；(8分)
(2)证明：如解图②，连接DE，
(3)若BC＝10，csC＝ ，求AE的长．
(3)解：如解图③，连接AD，
【对接教材】人教：九上第二十四章P92－P104； 北师：九下第三章P89－P96.
点与圆的位置关系点在圆外⇔d______r，如右图中点A点在圆上⇔d________r，如右图中点B点在圆内⇔d________r，如右图中点C
（设圆的半径为r，平面内,任一点到圆心的距离为d）
确定圆条件：不在同一条直线上的三点确定一个圆
直线与圆的位置关系(设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d)
圆与圆的位置关系(设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2(r1＜r2)，⊙O1与⊙O2的圆心距为d)
数量关系：圆心到切线的距离等于半径位置关系：切线________于过切点的半径
若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可．可简述为：有切点，连半径，证垂直若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径．可简述为：无切点，作垂直，证半径
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义)经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线圆心到已知直线的距离________半径长，则这条直线是圆的切线
定义：经过圆外一点作圆的一条切线，这一点和切点之间的线段长度定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，如图，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，那么PA＝PB，且∠APO＝∠BPO
三角形内切圆(如右图)
1.圆心的名称：内心(即三角形三个内角的________的交点)2．性质：三角形的内心到三角形_____________________________3．角度关系：∠BOC＝90°＋ ∠A
如图，△ABC为直角三角形，则外接圆半径R＝ ；内切圆半径
例1　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，O为AB上一点，以OA为半径作⊙O，交AC于点D，交AB于点E，且E为OB的中点，试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
突破设问1　切线的判定
类型一　切点不确定，作垂直，证半径
解：BC与⊙O相切，理由如下：如解图，过点O作OH⊥BC于点H.
∵AE⊥BD，∴∠E＝90°，∵∠AOE＝∠BAE，∴∠ABE＝∠OAE.又∵BC为⊙O的切线，∴∠BCO＝90°＝∠E，∵∠BOC＝∠AOE，∴∠OBC＝∠OAE＝∠ABE，又∵OB＝OB，∴△OBC≌△OBF，∴OF＝OC，即OF是⊙O的半径，又∵OF⊥AB，∴AB为⊙O的切线．
例2　如图，⊙O与Rt△ABC的直角边BC相切于点C，连接BO交⊙O于点D，过点A作AE⊥BO交BO的延长线于点E，且∠AOE＝∠BAE.求证：AB为⊙O的切线．
证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F，
方法1　已知角平分线，连半径构造平行，证垂直例3　如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，求证：ED是⊙O的切线．
类型二　切点确定，连半径，证垂直
∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．
证明：如解图，连接OD.
“角平分线”＋两半径组成的等腰三角形，利用角平分线性质及等边对等角得到的等角证得平行．
方法2　已知中点，构造中位线，证垂直例4　如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，延长AD至点C，使AD＝DC，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E.求证：直线DE是⊙O的切线．
∵AD＝DC，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴直线DE是⊙O的切线．
证明：如解图，连接OD，
若已知中点，则连接已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证得平行．
方法3　等角转换证垂直例5　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙C经过点A，交BC于点D，点E是CD上一点，连接AE并延长交⊙C于点F，连接BF，且BF＝BE.求证：BF是⊙C的切线．
∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF，∵∠BEF ＝∠AEC，∴∠BFE＝∠AEC，∵∠ACB＝90°，∴∠AEC＋∠EAC＝90°，∵CA＝CF，∴∠EAC＝∠CFE，∴∠BFE＋∠CFE＝90°，即∠BFC＝90°，∵CF是⊙C的半径，∴BF是⊙C的切线．
证明：如解图，连接CF，
例6　如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，D为 的中点，连接AD交BC于点E，延长BC到点F，且EF＝AF.求证：AF为⊙O的切线．
证明：如解图，连接OD交BC于点G.
方法4　三角形全等证垂直例7　如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点E，EC、AB的延长线交于点P.求证：EC是⊙O的切线．
证明：如解图，连接OC，
方法1　利用勾股定理例8　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
突破设问2　求线段长或线段比值
∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE.∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，
解：如解图，连接OD、DC，
在Rt△ADC中，DC＝ ，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2＋62，在Rt△ABC中，BC2＝(x＋8)2－102，∴x2＋62＝(x＋8)2－102，解得x＝ ，∴BC＝ .
方法2　利用三角函数例9　如图，OA，OC都是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝ ，求⊙O的直径长．
解：如解图，延长AO交⊙O于点D，连接CD，
方法3　利用三角形相似例10　如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，过点B作BD⊥CD于点D，延长DB交⊙O于点E，连接CE.若BD＝2，BE＝4，求BC的长．
解：如解图，连接OC，
例11　如图，AB是⊙O的直径，PB⊥AB，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M.若 ，求 的值．
解：如解图，连接OC、AC.
∵ ，∴设OD＝x，则PD＝9x，∴OP＝10x，∴OC＝ x，∴CD＝3x，AB＝2 x，∴BC＝6x.∴AC＝ ＝2x.∵∠ACM＋∠ACO＝∠OCD＋∠ACO＝90°，∴∠ACM＝∠OCD，∴∠ACM＝∠CPO，∴AC∥OP，∴△ACM∽△OPM，∴ ，∴ .
运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线有连接圆心、切点和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直构造直角三角形解决问题；观察题干，若题干中含30°、45°、60°或“等腰直角三角形”、“等边三角形”等，则常用锐角三角函数或者勾股定理；若不含，则常用相似三角形．
例12　如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线CD，交BA的延长线于点D，E是OB的中点，过点E作EF⊥BD，交DC的延长线于点F.求证：∠F＝2∠B.
突破设问3　与角度有关的问题
∵CD是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°.∵EF⊥AB，∴∠FED＝90°，∴∠F＋∠COB＝180°.∵∠COB＋∠COD＝180°，∴∠F＝∠COD.∵∠COD＝2∠B，∴∠F＝2∠B.
证明：如解图，连接OC.
例13　如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E.求证：DE⊥AC.
突破设问4　证明线段数量、位置关系
证明：∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.∵DE是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴DE⊥OD.∴DE⊥AC.
例14　如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AB＝AC，连接BC、CO，过点A作AD⊥CO于点D，延长AD，交⊙O于点F，连接BF.求证：AD＝BF.
证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠F＝90°.∴∠FAB＋∠FBA＝90°，∵AC是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°，∴∠FAB＋∠CAF＝90°.∴∠FBA＝∠CAF，∵AB＝AC，∠F＝∠CDA＝90°，∴△CAD≌△ABF，∴AD＝BF.
例15　如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，CE平分∠ACB交⊙O于点E，连接BE.当∠D＝30°时，求证：AB＝2BD.
∵CD为⊙O的切线，∴∠OCD＝90°.∵∠D＝30°，∴∠COD＝60°.∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝30°，△OCB为等边三角形，∴∠BCD＝30°，∴BC＝BD＝OB.∵AB为⊙O的直径，∴AB＝2OB.∴AB＝2BD.