高中数学3.1.1 基本计数原理完整版课件ppt

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1.进一步理解分类加法计数原理和分布乘法计数原理的区别.（重点）2.会用正确两个基本计数原理解决实际计数问题.（难点）核心素养：数学抽象、逻辑推理
【情境一】随着人民生活水平的提高，车辆拥有量迅速增长，汽车牌照号仅用一个字母和数字已经不能满足需求。因此，某地对车牌号进行扩容：民用汽车号牌的编号由两部分组成:第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.其中序号的编码规则为:①由10个阿拉伯数字和除I,O之外的个24英文字母组成;②最多只能有2个英文字母.则采用5位序号编码的鲁牌照最多能发放的汽车号牌数多少万张？
【例1】 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个不重复且比2000大的四位偶数？
【解析】完成这件事情可以分为三类：第一类：个位数字为0且比2000大的四位偶数，可以分三步：第一步：任选千位的数字，只能在2,3,4,5中选择，有4种选法；第二步：选取百位上的数字，除0和千位上的数字外，还有4种选法；第三步：选取十位上的数字，有3种选法。由分步乘法计数原理可知，这类数的个数为：4×4×3=48
【解析】完成这件事情可以分为三类：第二类：个位数字为2且比2000大的四位偶数，可以分三步：第一步：任选千位的数字，只能在3,4,5中选择，有3种选法；第二步：选取百位上的数字，除2和千位上的数字外，还有4种选法；第三步：选取十位上的数字，有3种选法。由分步乘法计数原理可知，这类数的个数为：3×4×3=36
【解析】完成这件事情可以分为三类：第三类：个位数字为4且比2000大的四位偶数，计算方法同第二类。由分类加法计数原理可知，符合要求的数共有48+36+36=120（个）
数字问题的解题策略(1)对于组数问题，一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘，排数时要注意特殊位置、特殊元素优先的原则．(3)用0～9十个数字组成一些特定的数，是两个计数原理的典型应用，往往涉及奇数、偶数及数位的关系等．(4)解决数字问题常用的策略：可从数位入手，逐位探究可能的选取方法，再利用两个原理计算．
【练习1】 从0,2种选取一个数字，从1,3,5种选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 。
【解析】由于要求是奇数，那么对于此三位数可以分为两种情况：奇偶奇，偶奇奇。对于第一种情况，可以从个位开始分析（3种情况），之后十位（2种情况），最后个位（2种情况），共12种。对于第二种情况，个位（3种情况），十位（2种情况），百位（不能是0，只有1种情况），共6种。因此共有12+6=18（种）情况。
【练习2】 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数为________．
【解析】能被5整除的四位数的末位是0或5，因此分两类，第一类，末位为0时，其他三位从剩下的数中任意排3个即可，有5×4×3＝60(个)，第二类，末位为5时，首位不能排0，则首位只能从1，2，3，4选1个，第二位和第三位从剩下的任选2个即可，有4×4×3＝48(个)，根据分类计数原理得可以组成60＋48＝108个不同的能被5整除的四位数．
【例2】(1)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)A．30种　　　　　　　　B．35种C．42种 D．48种
【解析】选3门课程，要求A，B两类至少各选1门，可分为两种情况，一类是A类选修2门，B类选修1门，共有3×4＝12种选法；另一类是A类选修1门，B类选修2门，共有3×6＝18种选法．根据分类加法计数原理可得符合条件的选法共有12＋18＝30(种)．
【例2】(2)编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示五个盒子中．要求每个盒子只能放一个小球，且A不能放1，2号，B必须放在与A相邻的盒子中．则不同的放法有________种．
【解析】以小球A放的盒为分类标准，共分为三类：第一类，当小球A放在4号盒内时，不同的放法有3×2×1＝6(种)；第二类，当小球A放在3号盒内时，不同的放法有3×3×2×1＝18(种)；第三类，当小球A放在5号盒内时，不同的放法有3×2×1＝6(种)．综上所述，不同的放法有6＋18＋6＝30(种)．
选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
【练习1】有4位老师在同一年级的4个班级种各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种树是 。
【解析】方法一：设4个班级分别为A,B,C,D,老师分别为a，b，c，d，并设A监考B，则剩下的老师分别监考其他班级，共3种方法；同理，当A监考c、d时，也各有3种不同的方法。根据分类加法计数原理得，共有3+3+3=9（种）不同的方法。
【解析】方法二：让a先选，则有3种选法；如果选择的是B，再让b选，也有三种不同的选法；剩下的两个老师都只有一种选法。根据乘法分步计数原理，共有3×3×1×1=9（种）不同的方法
【练习2】从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导购、导游和保洁四项不同的工作，若甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案有 种 。
【解析】因为甲乙不能从事翻译工作，所以翻译工作从生下四人中选一人，有4种选法；后面三项工作的选法有5×4×3=60（种）根据分步乘法计数原理，共有4×60=240（种）不同选派方案。
【例3】(1)将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
【解析】第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成．第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法．于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种)．综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种)．
【解析】依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色．第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成．第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法．于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3×2＝120(种)．
【解析】第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12种不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180种不同的涂法．②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80种不同的涂法．由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260种不同的涂法．
涂色问题的解答策略(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算．(2)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．(3)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算．
【练习1】如图所示，有五种不同颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．
【解析】按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于D区域可重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步计数原理，不同的涂色方法共有5×4×3×3＝180(种)．
【解析】按S→A→B→C→D的顺序进行染色，按A、C是否同色进行分类：第一类：A,C同色，则有5×4×3×1×3=180（种）不同的方法；第二类：A,C异色，则有5×4×3×2×2=240（种）不同的方法。根据加法分类计数原理知，共有180+240=420（种）不同的方法。
【练习1】如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　）A．48B．18C．24D．36
【解析】正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有（个）；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，所以正方体中“正交线面对”共有（个）.故选：D
【练习2】据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当."算筹计数法有纵､横两种形式，如图为纵式计数形式，一竖表示1个单位，一横表示5个单位，例如三竖一横表示8.现从上图中选择三个数构成等比数列，则能构成等比数列的组合中所有数的纵式计数形式中共有横数为（    ）A．1B．2C．3D．4
【解析】正整数1~9中能构成等比数列的三个数一共有四组，分别是1，2，4；2，4，8；1，3，9；4，6，9.其中只有6，8，9的纵式计数形式中各有1横，所以共有4横故选：D
【练习3】如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种.
【解析】观察图形知，2区与4区不相邻，3区与5区不相邻，且不相邻的区域可用同1种颜色涂色，因此计算涂色方法可用3色和4色，使用3种颜色，则2区与4区同色，3区与5区必同色，涂2区与4区有4种方法，涂3区与5区有3种方法，涂1区有2种方法，则涂色方法有（种）；使用4种颜色，选取同色的方案有2种，涂同色的两块有4种方法，涂另外3块依次有3，2，1种方法，则涂色方法有（种），所以不同的涂色方法共有（种）.故答案为：72
【练习4】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为 .
【解析】先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为，，，，，，，，共9种，故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法种数为种，故答案为：45.
【练习4】某省的体育彩票中，把有顺序的7个数字组成一个号码，称为一注．7个数字中的每个数字都选自0，1，2，…，9这10个数字，并且数字可以重复．不同号码的彩票一共有多少注？
【解析】由题意，有顺序的7个数字每位均有0，1，2，…，9这10个数字的10种选择，数字可以重复则不同号码的彩票一共有注.
1.知识清单（1）两个计数原理的区别与练习（2）两个计数原理的应用2.方法归纳：分类讨论，正难则反；3.常见误区：分类标准不明确，会出现重复或遗漏现象。
3.1.1 基本计数原理（第２课时）（分层练习）