这是一份人教B版高中数学选择性必修第二册第四章 《概率与统计单元测试》单元测试,文件包含人教B版高中数学选择性必修第二册第四章《概率与统计单元测试》原卷版docx、人教B版高中数学选择性必修第二册第四章《概率与统计单元测试》解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共25页, 欢迎下载使用。
第四章 概率与统计 单元测试一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列表中能称为随机变量X的分布列的是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】由离散型随机变量分布列的性质可知,概率非负且和为1,可得答案.【详解】对于A,由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故A错误;对于B,由−0.1<0,故B错误;对于C,由0.3+0.4+0.3=1,故C正确;对于D,由0.3+0.4+0.4=1.1≠1,故D错误.答案:C2.已知两个变量之间的线性回归方程为y∧=0.35x+a,若x=8,y=8.8,则a =( )A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【分析】由回归方程过点x,y可得答案.【详解】y∧=0.35x+a过点x,y,则y=0.35x+a⇒a=y−0.35x=8.8−2.8=6.故选:B3.甲、乙和另外5位同学站成两排拍照,前排3人,后排4人.若每个人都随机站队,且前后排不认为相邻,则在甲、乙站在同一排的条件下,两人不相邻的概率为( )A.514 B.49 C.59 D.56【答案】B【分析】根据题意,分别求得nA与nAB,再由条件概率的计算公式,代入计算,即可得到结果.【详解】记事件A=“甲与乙站在同一排”,事件B=“甲与乙不相邻”,则nA=A42A55+A32A55,nAB=A22A55+3A22A55.由条件概率公式,得PBA=nABnA=49.故选:B.4.袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个号码的和不是3的倍数,则获奖,若有5人参与摸球,则恰好3人获奖的概率是( )A.38243 B.40243 C.70243 D.80243【答案】D【分析】利用古典概型和对立事件概率公式可求得一个人摸球能够获奖的概率,由独立重复试验概率公式可求得结果.【详解】从袋子中一次性摸出两个球,共有C62=15种情况,其中两个号码的和为3的倍数的有1,2,1,5,2,4,3,6,4,5,共5种情况,∴一个人摸球,能够获奖的概率为1−515=23,∴5人参与摸球,恰好3人获奖的概率p=C53×233×132=80243.故选:D.5.根据分类变量x与y的观测数据,计算得到χ2=2.974.依据α=0.05的独立性检验,结论为( ).A.变量x与y不独立B.变量x与y不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05C.变量x与y独立D.变量x与y独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05【答案】C【分析】根据卡方独立性检验可得【详解】由表可知当α=0.05时,xα=3.841,因为χ2=2.974
0,即变量y与x正相关,A正确;对B,由图表数据可得,x=1+2+3+4+55=3,y=0.5+0.7+1.0+1.2+1.65=1,因为样本中心3,1满足回归直线,所以1=0.27×3+a,解得a=0.19,B错误;对C,x=5时,残差为1.6−0.27×5+0.19=0.06,C正确;对D,x=6时,该商场手机销量约为y=0.27×6+0.19=1.81千只,D正确;故选:B.7.2020年以来,为了抗击新冠肺炎疫情,教育部出台了“停课不停学”政策,全国各地纷纷采取措施,通过网络进行教学,为莘莘学子搭建学习的平台.在线教育近几年蓬勃发展,为学生家长带来了便利,节省了时间,提供了多样化选择,满足了不同需求,也有人预言未来的教育是互联网教育.与此同时,网课也存在以下一些现象,自觉性不强的孩子网课学习的效果大打折扣,授课教师教学管理的难度增大.基于以上现象,开学后某学校对本校课学习情况进行抽样调查,抽取25名女生,25名男生进行测试、问卷等,调查结果形成以下2×2列联表,通过数据分析,认为认真参加网课与学生性别之间( )参考数据:A.不能根据小概率的α=0.05的χ2独立性检验认为两者有关B.根据小概率的α=0.01的χ2独立性检验认为两者有关C.根据小概率的α=0.001的χ2独立性检验认为两者有关D.根据小概率的α=0.05的χ2独立性检验认为两者无关【答案】B【分析】根据给定的数表,求出χ2的观测值,再与临界值比对即得.【详解】由数表知,χ2=50×(5×10−15×20)220×30×25×25=253,而6.635<253<10.828,所以根据小概率的α=0.01的χ2独立性检验认为两者有关.故选:B8.为了远程性和安全性上与美国波音747竞争,欧洲空中客车公司设计并制造了A340,它是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机,取代只有两台发动机的A310,假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1−p,且各引擎是否有故障是独立的,已知A340飞机至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;A310飞机需要2个引擎全部正常运行,飞机才能成功飞行.若要使A340飞机比A310飞机更安全,则飞机引擎的故障率应控制的范围是( )A.23,1 B.13,1 C.0,23 D.0,13【答案】C【分析】利用独立重复事件概率公式,分别求两种飞机正常飞行的概率,再根据条件列出不等式,即可求解.【详解】若A340飞机正常飞行,至少3个引擎正常运行,概率P1=C43p31−p+p4=p34−3p,若A310飞机正常飞行,2个引擎都正常运行,概率P2=p2,由题意可知,C43p31−p+p4=p34−3p>p2,解得:132,n>m,m,n∈N*,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了ξ个白球,Pξ=2=n−m⋅Am2An3D.由一组样本数据x1,y1、x2,y2、⋯、xn,yn得到回归直线方程y=bx+a,那么直线y=bx+a至少经过x1,y1、x2,y2、⋯、xn,yn中的一个点【答案】BC【分析】直接利用二项分布的期望与方差,互斥事件和对立事件的关系,排列组合,回归直线方程等相关知识对四个命题的真假判断.【详解】对于A:由X∼B100,p,且EX=20,可得100p=20⇒p=15,所以DX=100×15×1−15=16,则D12X+1=14DX=4,故A错误;对于B:因为事件A、B、C、D彼此互斥,所以PB∪C∪D=0.2+0.3+0.3=0.8,又PA=0.2,所以A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件,故B正确;对于C:依题意,ξ=2表示“一共取出了3个球,且前两次取出的都是白球,第三次取出的是黑球”.所以Pξ=2=mn×m−1n−1×n−mn−2=n−mAm2An3,故C正确;对于D:回归直线方程一定过样本中心点x,y,但是不一定经过样本数据中的点,故D错误.故选:BC.11.下列结论中,正确的是( )A.数据0,1,2,3的极差与中位数之积为3B.数据20,20,21,22,22,23,24的第80百分位数为23C.若随机变量ξ服从正态分布N1,σ2,Pξ≤3=0.7,则Pξ≤−1=0.3D.在回归分析中,用决定系数R2来比较两个模型拟合效果,R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越差【答案】BC【分析】A求极差和中位数即可判断;B由百分数求法求第80百分位数;C利用正态分布对称性求指定区间的概率;D根据决定系数R2实际意义判断.【详解】A:数据极差、中位数分别为3、32,则它们的积为92,错;B:由7×80%=5.6,则数据从小到大的第6位,23是第80百分位数,对;C:由正态分布的对称性,Pξ≤−1=1−Pξ≤3=0.3,对;D:由回归分析中决定系数R2实际意义知:R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好,错;故选:BC.12.(多选)对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后,得到如下列联表:已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为27,则下列说法不正确的是( ).A.列联表中c的值为30,b的值是35B.列联表中c的值为15,b的值为50C.根据小概率值α=0.05的独立性检验,认为成绩优秀与班级有关系D.不能根据小概率值α=0.05的独立性检验,认为成绩优秀与班级有关系【答案】ABD【分析】根据成绩优秀概率27求出b和c;根据K2的值判断是否有95%的把握认为成绩优秀与班级有关系.【详解】由题意,知成绩优秀的学生人数是105×27=30,成绩不优秀的学生人数是105−30=75,所以c=20,b=45,选项A,B错误;因为K2=105×10×30−20×45255×50×30×75≈6.1>3.841,所以根据小概率值α=0.05的独立性检验,认为成绩优秀与班级有关系,故C正确,D错误.故选:ABD.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知随机变量X服从正态分布N2,σ2,且P(22.5= .【答案】0.14/750【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.【详解】依题意,X∼N2,σ2,所以PX>2.5=0.5−P(26.635,所以有99%的把握认为复习方法与评定结果有关.(3)按分层抽样的方法从成绩在0,90和130,150内的学生中随机抽取6人,则成绩在0,90内的人数为636×6=1,设为X,成绩在130,150内的人数为3036×6=5,分别设为a,b,c,d,e,则从这6人中随机抽取2人,所有基本事件有:X,a,X,b,X,c,X,d,X,e,a,b,a,c,a,d,a,e,b,c,b,d,b,e,c,d,c,e,d,e,共15种,设事件M为“选出的2人中恰有一人的成绩在0,90内”,则事件M包含的基本事件有X,a,X,b,X,c,X,d,X,e,共5种,所以选出的2人中恰有一人的成绩在0,90内的概率PM=515=13.20.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)635;(2)52.【详解】(Ⅰ)由已知,有P(A)=C22C32+C32C32C84=635所以事件A发生的概率为635.(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4P(X=k)=C5kC34−kC84(k=1,2,3,4)所以随机变量X的分布列为 所以随机变量X的数学期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×114=52考点:古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.21.某地随着经济发展,居民收入逐年增长,下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款,如表1为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,t=x−2015,z=y−5得到表2:(1)求z关于t的线性回归方程:(2)通过(1)中的方程,求出y关于x的回归方程:(3)用所求回归方程预测到2021年年底,该地储蓄存款额可达多少?附:对于一组样本数据x1,y1、x2,y2、…、xn,yn,其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计值分别为b=i=1x(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2,a=y−bx【答案】(1)z=1.2t−1.4;(2)y=1.2x−2414.4;(3)10.8(千亿元).【分析】(1)由已知表格中的数据求得t,z,得到b与a,则线性回归方程可求;(2)将t=x−2015,z=y−5代入z=1.2t−1.4,即可得到y关于x的回归方程;(3)代入x=2021求得y值即可.【详解】(1)t=151+2+3+4+5=3,z=150+1+2+3+5=2.2,i=15tizi=1×0+2×1+3×2+4×3+5×5=45,i=15ti2=12+22+32+42+52=55,b=45−5×3×2.255−5×9=1.2,a=z−bt=2.2−3×1.2=−1.4,∴z=1.2t−1.4.(2)将t=x−2015,z=y−5代入z=1.2t−1.4,得y−5=1.2x−2015−1.4,即y=1.2x−2414.4.所以y关于x的回归方程为y=1.2x−2414.4.(3)当x=2021时,y=1.2×2021−2414.4=10.8,所以预测到2021年年底,该地储蓄存款额可达10.8(千亿元).22.近期,广西军训冲上了热搜,军训项目包括无人机模拟轰炸、战场救护、实弹打靶、坦克步兵同步行军等.十万学生十万兵,无惧挑战、无惧前行,青春正当时.为了深入了解学生的军训效果,某高校对参加军训的2000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试,现随机抽取100名军训学生,对其测试成绩(满分:100分)进行统计,得到样本频率分布直方图,如图.(1)根据频率分布直方图,求出a的值并估计这100名学生测试成绩的平均数(单位:分).(2)现该高校为了激励学生,举行了一场军训比赛,共有三个比赛项目,依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”,规则如下:三个环节均参与,三个项目通过各奖励300元、200元、100元,不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为45,23,34,假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).(3)若该高校军训学生的综合成绩X近似服从正态分布N(μ,121),其中μ近似为样本平均数,规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”,据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数(结果取整数).参考数据:若X~Nμ,σ2,则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【答案】(1)a=0.015,平均数为76分(2)分布列见解析,期望为13453(3)46【分析】(1)根据频率和为1求a的值,并结合平均数公式运算求解;(2)由题意可知随机变量ξ的所有可能取值为0,100,200,300,400,500,600,进而求分布列和期望;(3)根据正态分布的性质和题中数据分析求解.【详解】(1)依题意,得10×(0.005+0.010+2a+0.025+0.030)=1,解得a=0.015.由频率分布直方图,知成绩的平均数为(45×0.005+55×0.010+65×0.015+75×0.025+85×0.030+95×0.015)×10=76.所以估计这100名学生测试成绩的平均数为76分.(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,100,200,300,400,500,600.P(ξ=0)=1−45×1−23×1−34=160,P(ξ=100)=1−45×1−23×34=120,P(ξ=200)=1−45×23×1−34=130,P(ξ=300)=45×1−23×1−34+1−45×23×34=16,P(ξ=400)=45×1−23×34=15,P(ξ=500)=45×23×1−34=215,P(ξ=600)=45×23×34=25.所以ξ的分布列为所以E(ξ)=0×160+100×120+200×130+300×16+400×15+500×215+600×25=13453.(3)由(1)可知X~N76,112.因为P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,所以P(X≥98)=P(X≥μ+2σ)=1−P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)2=0.02275,所以2000×0.02275=45.5≈46,所以该高校军训学生中“优秀标兵”的人数约为46.X-101P0.30.40.4X123P0.40.7−0.1X−101P0.30.40.3X123P0.30.40.4α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.89710.828时间x12345销售量y(千只)0.50.71.01.21.6认真上网课不认真上网课合计男生52025女生151025合计203050α0.050.010.001xα3.8416.63510.828优秀不优秀总计甲班10b10+b乙班c3030+c总计10+c30+b40+b+c2000元以下不低于2000元合计男16040200女14060200合计300100400PK2≥k00.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828成绩/分学校0,9090,110110,130130,150A校6p50qB校s26t22一般良好总计A校B校总计PK2≥k00.100.0100.001k02.7066.63510.828一般良好总计A校2080100B校4060100总计60140200X1234P1143737114年份x20162017201820192020储蓄存款y(千亿元)567810时间代号t12345z01235ξ0100200300400500600P160120130161521525