2024年内蒙古包头市九原区九年级中考数学三模试卷

这是一份2024年内蒙古包头市九原区九年级中考数学三模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列计算中，结果等于a2n的是（ ）
A．an+anB．（an）2C．（an）nD．an•a2
2．（3分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．2B．C．D．﹣3
3．（3分）如图，AB，CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG平分∠FEB，过点G作GH⊥EF，若∠FGH＝34°，则∠BEG的度数为（ ）
A．63°B．62°C．58°D．57°
4．（3分）如图是甲、乙两人手中的扑克牌，两人随机出一张牌，记甲、乙牌中的数分别为m，n，使得﹣2≤m﹣n≤2的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，正方形网格中，点A，O，B、E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点，则tan∠CDE＝（ ）
A．B．2C．D．
6．（3分）将四块相同的小长方形纸片和两块相同的大长方形纸片如图1、图2所示摆放，若小长方形的长和宽分别为y，x（x＜y），则y﹣x＝（ ）
A．m﹣nB．C．D．
7．（3分）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2且m≠﹣3B．m＜2且m≠﹣3
C．m＞﹣3且m≠﹣2D．m＞﹣3且m≠2
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为（0，3），连接AC，以AC为边，∠ACD为直角，在AC右侧作等腰直角三角形ACD，则点D的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（2，﹣）
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（m﹣1，n）、B（﹣m﹣1，n）、C（1，p），且p＜2，则该抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（3分）如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′．OE为半径，⊙O与CD相切，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：3x3﹣6x2+3x＝ ．
12．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是 ．
13．（3分）如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC＝75°，BC＝4cm，则弦AB的长为 cm．
14．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝4，则BF的长为 ．
15．（3分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点D为OB的三等分点（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边AB、AD上运动，且满足BE＝AF，连接EF，过点O作OG⊥EF交AB点G，则下列结论：
①连接FG，则△AFG的周长不变；②若BE＝1，则；③连接OF，则；④DF•FG＝OF2.其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共有7小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+；
（2）化简：．
18．（8分）某校在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x＜90为网络安全意识比较强，x＜80为网络安全意识一般）．收集整理的数据制成了如下统计图表：
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）已知该校九年级有500人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
（3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
19．（8分）三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①C→E，②C→A→D→E．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西30°方向米处，且位于C的北偏西53°方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．
（参考数据：，，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80）
（1）求A与C之间的距离（结果保留整数）；
（2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）
20．（11分）繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示；
（1）求出当0≤x≤60和x＞60时，y与x的函数关系；
（2）若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？
21．（12分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝10，CD是⊙O直径，且平分∠ACB，BC交⊙O于点E，BD是⊙O的切线．
（1）求BE的长；
（2）求⊙O直径CD和tan∠ACD的值．
22．（12分）已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点 E、F分别在矩形ABCD的边AB、AD上．
（1）如图1，当点G在CD上时，①求证：△AEF≌△DFG；②当AB＝8，AD＝6，E是AB的中点时，求EG的长；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE+DN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG、FG分别交CD于点M、N，求证：MG2＝MN•MD．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP，当，求点P的坐标；
（3）如图2，过点A作AN∥BC交抛物线于点N，连接BN，点M是x轴上点B左侧一动点，若△MBC与△ABN相似，求点M的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列计算中，结果等于a2n的是（ ）
A．an+anB．（an）2C．（an）nD．an•a2
【解答】解：A、an+an＝2an，故A不符合题意；
B、（an）2＝a2n，故B符合题意；
C、（an）n＝，故C不符合题意；
D、an•a2＝an+2，故D不符合题意；
故选：B．
2．（3分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．2B．C．D．﹣3
【解答】解：由数轴可知1＜a＜2，
∴﹣2＜﹣a＜﹣1，
∵1＜2＜4，
∴，
∴，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选：B．
3．（3分）如图，AB，CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG平分∠FEB，过点G作GH⊥EF，若∠FGH＝34°，则∠BEG的度数为（ ）
A．63°B．62°C．58°D．57°
【解答】解：∵GH⊥EF，∠FGH＝34°，
∴∠EFG＝180°﹣90°﹣34°＝56°，
∵AB∥CD，
∴∠FEB+∠EFG＝180°，
∴∠FEB＝124°，
∵EG平分∠FEB，
∴．
故选：B．
4．（3分）如图是甲、乙两人手中的扑克牌，两人随机出一张牌，记甲、乙牌中的数分别为m，n，使得﹣2≤m﹣n≤2的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：树状图如下：
所有可能的结果有12种，甲获胜的情况有5种，
∴甲获胜的概率都是，
故选：B．
5．（3分）如图，正方形网格中，点A，O，B、E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点，则tan∠CDE＝（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：∵∠BAE＝∠CDE，
∴tan∠BAE＝tan∠CDE，
∵tan∠BAE＝＝＝，
∴∠tan∠CDE＝．
故选：A．
6．（3分）将四块相同的小长方形纸片和两块相同的大长方形纸片如图1、图2所示摆放，若小长方形的长和宽分别为y，x（x＜y），则y﹣x＝（ ）
A．m﹣nB．C．D．
【解答】解：∵有两块相同的大长方形纸片，
∴两块大长方形的长是一样的，设大长方形的长为h，
∵小长方形的宽为x，
∴在图1中，大长方形的长h＝m+2x，
∵小长方形的长为y，
∴在图2中，大长方形的长h＝n+2y，
∴m+2x＝n+2y，
移项可得：m﹣n＝2y﹣2x，
提公因式可得：m﹣n＝2（y﹣x），
两边同时除以2可得：，
∴，
故选：B．
7．（3分）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2且m≠﹣3B．m＜2且m≠﹣3
C．m＞﹣3且m≠﹣2D．m＞﹣3且m≠2
【解答】解：去分母得：2x﹣3（x﹣1）＝﹣m，
解得：x＝m+3，
∵关于x的分式方程的解为正数，且x≠1，
∴m+3＞0且m+3≠1，
解得：m＞﹣3且m≠﹣2，
故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点C坐标为（0，3），连接AC，以AC为边，∠ACD为直角，在AC右侧作等腰直角三角形ACD，则点D的坐标为（ ）
A．（3，﹣1）B．（2，﹣1）C．（3，﹣2）D．（2，﹣）
【解答】解：对于y＝x+4，当y＝0时，x＝﹣4，则点A（﹣4，0），
又∵点C的坐标为（0，3），
∴OA＝4，OC＝3，
过点D作DE⊥y轴于点E，如图所示：
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
又∵∠ACD为直角，
∴∠DCE+∠ACO＝90°，
∴∠CDE＝∠ACO，
在△CDE和△ACO中，
，
∴△CDE≌△ACO（AAS），
∴DE＝OC＝3，CE＝OA＝4，
∴OE＝CE﹣OC＝1，
∴点D的坐标为（3，﹣1）．
故选：A．
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（m﹣1，n）、B（﹣m﹣1，n）、C（1，p），且p＜2，则该抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（m﹣1，n）、B（﹣m﹣1，n），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点C（1，p），且p＜2，
∴a+b+2＜2，
∴a+b＜0，
∴a+2a＜0，
∴a＜0，
∴b＝2a＜0，
∴该抛物线的对称轴在y轴左侧，开口向下，
又∵x＝0时y＝3，
∴该抛物线的顶点坐标在第二象限，
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′．OE为半径，⊙O与CD相切，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵点A关于BD的对称点为A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
∴OE∥A′C，
∴AA′⊥CA′；
设⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长FO交AB于点G，如图所示，
∴OF⊥CD，OF＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，AB∥CD，AC＝BD，，
∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB，
∴∠GAO＝∠GBO，
在△DOF和△BOG中，
，
∴△DOF≌△BOG（ASA），
∴OG＝OF，
∴OG＝OE，
∵AA′⊥BD，
∴∠EAO＝∠GAO，
∵∠EAB+∠GBO＝90°，
∴∠EAO+∠GAO+∠GBO＝90°，
∴3∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝30°，
∵AA′⊥CA′，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：3x3﹣6x2+3x＝ 3x（x﹣1）2 ．
【解答】解：3x3﹣6x2+3x
＝3x（x2﹣2x+1）
＝3x（x﹣1）2；
故答案为：3x（x﹣1）2．
12．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2的值是 8 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的两个实数根分别是x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣6，
∴x1+x2﹣x1x2
＝2﹣（﹣6）
＝8，
故答案为：8．
13．（3分）如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC＝75°，BC＝4cm，则弦AB的长为 4 cm．
【解答】解：连接OB．
∵AB垂直平分半径OD，
∴OE＝OD＝OB，
∴∠OBE＝30°，
又∵∠ABC＝75°，
∴∠OBC＝45°，
又∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC＝45°．
则△OBC是等腰直角三角形．
∴OB＝•BC＝4cm．
∴∠OBA＝30°，
∴EB＝OB×cs30°＝2，
∴AB＝2EB＝4，
故答案为：4．
14．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝4，则BF的长为 4 ．
【解答】解：由尺规作图知BE＝BC＝4，BF平分∠CBE，
∴∠CBF＝∠EBF＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠CBF，
∴∠F＝∠EBF＝30°，
∴BE＝FE，
过点E作EH⊥BF于H，则BH＝FH，
∵∠EBF＝30°，
∴EH＝，
∴BH＝EH＝2，
∴BF＝2BH＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点D为OB的三等分点（DB＜OD），若△ADC的面积为5，则k的值为 ．
【解答】解：设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，
点D为OB的三等分点（DB＜OD），
∴BD＝b，OD＝b，
∵S梯形OBAC＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴（a+2a）×b＝a×b+5+×2a×b，
∴ab＝，
把A（a，b）代入双曲线y＝，
∴k＝ab＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边AB、AD上运动，且满足BE＝AF，连接EF，过点O作OG⊥EF交AB点G，则下列结论：
①连接FG，则△AFG的周长不变；②若BE＝1，则；③连接OF，则；④DF•FG＝OF2.其中正确的结论是 ①②④ .（填写所有正确结论的序号）
【解答】解：点O是正方形的中心，连接BD，则BD经过点O，连接OA，FG，OF，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴∠EBO＝∠FAO，BO＝AO，又BE＝AF，
∴△EBO≌△FAO（SAS），
∴∠BOE＝∠AOF，OE＝OF，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOB＝∠BOE+∠EOA＝∠AOF+∠EOA＝∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∵OG⊥EF，
∴OG是线段EF的垂直平分线，
∴GE＝GF，
∵△AFG的周长为AF+AG+FG＝BE+AG+EG＝AB＝4，
∴①△AFG的周长不变，故①正确；
∵BE＝1，
∴BE＝AF＝1，
设FG＝a，则EG＝a，AG＝4−1−a＝3−a，
在Rt△AFG中，由勾股定理得12+（3−a）2＝a2，
解得a＝，即FG＝，故②正确；
∵△EOF是等腰直角三角形，OG⊥EF，
∴∠EOG＝∠EOF＝45°＝∠FDO，
∵∠DFO＝∠AOF+∠FAO＝∠AOF+45°，∠GEO＝∠BOE+∠EBO＝∠BOE+45°，
又∠BOE＝∠AOF，
∴∠DFO＝∠GEO，
∴△DFO∽△OEG，
∴＝，
∵OE＝OF，GE＝GF，
∴DF•FG＝OF2，故④正确；
∵△DFO∽△OEG，
∴∠DOF＝∠BGO，又∠FDO＝∠OGB＝45°，
∴△DOF∽△BGO，
∴＝，
∵DO≠DF，
∴≠，故③错误；
综上，①②④正确，
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共有7小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+；
（2）化简：．
【解答】解：（1）﹣12024﹣|﹣sin45°|+（3.14﹣π）0+
＝﹣1﹣+1+﹣3
＝﹣1﹣+1+﹣3
＝﹣3；
（2）
＝
＝
＝．
18．（8分）某校在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：90≤x≤100为网络安全意识非常强，80≤x＜90为网络安全意识比较强，x＜80为网络安全意识一般）．收集整理的数据制成了如下统计图表：
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空：a＝ 83 ，b＝ 85 ，c＝ 70 ；
（2）已知该校九年级有500人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
（3）现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
【解答】解：（1）a＝（1×70+6×80+2×90+1×100）÷10＝83．
将乙组学生竞赛成绩按从小到大的顺序排列，排在第5和第6位的成绩分别为8（0分）和9（0分），
∴b＝（80+90）÷2＝85．
由图2可知，乙组的众数为70，
∴c＝70．
故答案为：83；85；70．
（2）500×＝200（人）．
∴估计九年级网络安全意识非常强的人数一共约为200人．
（3）由图1和图2可知，甲组满分人数为1人，记为A，乙组满分人数为2人，分别记为B，C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有：AB，AC，BA，CA，共4种，
∴抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为＝．
19．（8分）三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①C→E，②C→A→D→E．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西30°方向米处，且位于C的北偏西53°方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．
（参考数据：，，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80）
（1）求A与C之间的距离（结果保留整数）；
（2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）
【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥CB，交CB的延长线于点H，
则∠AHB＝90°，
由题意可知，，∠ABH＝90°﹣30°＝60°，∠ACH＝90°﹣53°＝37°，
∴（米），
∴（米），
即A与C之间的距离为500米；
（2）设CH与DE的交点为M，由题意可知，∠ADM＝∠DMH＝∠AHM＝90°，
∴四边形ADMH是矩形，
∴DM＝AH＝300米，CH＝ACcs∠ACH＝500×0.8＝400（米），
米，
由题意可知，∠MCE＝45°，∠CME＝180°﹣∠DMH＝90°，
∴△CME是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
∴路线①的步行的时间为（分钟）
路线②的步行的时间为（分钟）
∵19.1＜19.8，
∴走线路①用时更短．
20．（11分）繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示；
（1）求出当0≤x≤60和x＞60时，y与x的函数关系；
（2）若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？
【解答】解：（1）当0≤x≤60时，设y＝k1x，根据题意得60k1＝2640，
解得k1＝44；
∴y＝44x；
当x＞60时，设y＝k2x+b，
根据题意得，
，
解得，
∴y＝38x+360，
∴综上，y与x的函数关系为y＝；
（2）设购进甲种道具a件，则购进乙种道具（120﹣a）件，
∵甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，
∴，
解得75≤a≤85，
∵a＞60，
∴w＝38a+360+40（120﹣a）＝38a+360+4800﹣40a＝﹣2a+5160，
∵﹣2＜0，
∴当a＝85时，w最小，最小值为4990，
120﹣85＝35（件），
答：购进甲种道具为85件，购进乙种道具35件，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少．
21．（12分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝10，CD是⊙O直径，且平分∠ACB，BC交⊙O于点E，BD是⊙O的切线．
（1）求BE的长；
（2）求⊙O直径CD和tan∠ACD的值．
【解答】解：（1）连接DE，AD，
∵CD是直径，
∴∠DAC＝∠DEC＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴DA＝DE，
∵CD＝CD，
∴Rt△DEC≌Rt△DAC（HL），
∴CE＝AC＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝10﹣8＝2；
（2）∵BD是⊙O的切线，
∴∠BDC＝90°，
∵∠BDE+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝∠DCE，
∵∠BED＝∠DEC＝90°，
∴△BDE∽△DCE，
∴，
∴DE2＝BE•EC＝2×8＝16，
∴DE＝AD＝4，
∴CD2＝DE2+EC2＝42+82，
∴⊙O的直CD＝4，
∴tan∠ACD＝＝＝．
22．（12分）已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点 E、F分别在矩形ABCD的边AB、AD上．
（1）如图1，当点G在CD上时，①求证：△AEF≌△DFG；②当AB＝8，AD＝6，E是AB的中点时，求EG的长；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE+DN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG、FG分别交CD于点M、N，求证：MG2＝MN•MD．
【解答】（1）①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠AFE+∠DFG＝90°，
∴∠DFG＝∠AEF，
在△AEF和△DFG中，

∴△AEF≌△DFG（AAS）；
②∵AB＝8，E 是AB的中点，
∴AE＝4，
∵△AEF≌△DFG，
∴FD＝AE＝4
∵AD＝6，
∴AF＝2
在Rt△AEF中，，
∵在Rt△EFG中，EF＝FG，
∴．
（2）证明：如图2，延长GF交BA延长线于点K，
∴∠AFH＝∠DFN，
由（1）知，∠EAF＝∠D＝90°，
∴∠HAF＝∠D＝90°，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF，
∴△AHF≌△DNF（ASA），
∴AH＝DN，FH＝FN，
∵∠EFN＝90°，
∴EH＝EN，
∵EH＝AE+AH＝AE+DN，
∴EN＝AE+DN；
（3）证明：如图3，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，
∴∠P＝90°，
同（1）的方法得△AEF≌△DFG（AAS），
∴AF＝PG，PF＝AE，
∵AE＝AD，
∴PF＝AD，
∴AF＝PD，
∴PG＝PD，
∵∠P＝90°，
∴∠PDG＝45°，
∴∠MDG＝45°，
在Rt△EFG中，EF＝FG，
∴∠FGE＝45°，
∴∠FGE＝∠GDM，
∵∠GMN＝∠DMG，
∴△MGN∽△MDG，
∴，
∴MG2＝MN•MD．
23．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP，当，求点P的坐标；
（3）如图2，过点A作AN∥BC交抛物线于点N，连接BN，点M是x轴上点B左侧一动点，若△MBC与△ABN相似，求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴，
∴，
∴y＝﹣2+x+4；
（2）如图1，
∵，
∴，
作PD∥y轴，交BC于D，
∴，
∵OC＝4，
∴PD＝2，
∵B（4，0），C （0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（m，﹣m2+m+4），则D（m，﹣m+4），
∴PD＝（﹣+m+4）﹣（﹣x+4）＝﹣+2m＝2，
∴m1＝m2＝2，
当m＝2时，y＝﹣＝4，
∴P（2，4）；
（3）过点A作AN∥BC交抛物线于点N，连接BN，点M是x轴上点B左侧一动点，如图2，
由（2）知直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设直线AN解析式为y＝﹣x+b，将A（﹣2，0）代入得：
0＝2+b，
解得：b＝﹣2，
y＝﹣x﹣2，
联立得：，
解得：或，
∴点N坐标为（6，﹣8）；
∴BC＝＝4，AB＝6，BN＝＝2，AN＝＝8，
∵AN∥BC，
∴∠1＝∠2，
当△MBC∽△BAN时，＝，即＝，
解得MB＝3，
∴OM＝1，
∴M（1，0）；
当△M′BC∽△NAB时，＝，即＝，
解得：M′B＝，
∴OM′＝﹣，
∴M（﹣，0）；
综上，点M的坐标为（1，0）或（﹣，0）；．平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c
平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c