安徽省安庆市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份安徽省安庆市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了下列各式运算结果为负数的是，下列各组数中，是勾股数的是，函数的自变量x的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共10小题，每小题分，满分40分）
1．下列各式运算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2， B．0.6，0.8，1C．，，D．9，40，41
3．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3B．x≥﹣3C．x＞﹣3且x≠0D．x≥﹣3且x≠0
4．过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（ ）
A．六B．七C．八D．九
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣b＝0的一个解是x＝﹣1，则方程的另一个解为（ ）
A．3B．2C．﹣3D．﹣2
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝6，BC＝8，MN经过AC中点O分别交AB、CD于点M、N，连接AN、CM，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形AMCN为平行四边形
B．当AM＝4.8时，四边形AMCN为矩形
C．当AM＝5时，四边形AMCN为菱形
D．四边形AMCN不可能为正方形
7．若关于x的方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．8或10
8．如图，在直线l上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形，已知这三个等腰直角三角形的直角边长从左到右依次为2，3，4，四个正方形的面积从左到右依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（ ）
A．13B．20C．25D．29
9．已知三个实数a，b，c满足a﹣6b+9c＝0，a+6b+9c＜0，则（ ）
A．b＜0，b2﹣ac≥0B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＞0，b2﹣ac≤0
10．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（ ）
A．4B．C．D．3
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．一个多边形的内角与外角的和是1440°，那么这个多边形是 边形．
12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝125°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝ °．
13．已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1，则这组数据的平均数为 ．
15．如图，正方形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在边AB，BC上，点P在对角线AC上，EF∥AC，PE+PF＝m，则（1）m的最小值为 ；（2）若m的值为10，则BE＝ 。
三．解答题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：+（﹣1）2024﹣（π﹣）0﹣+．
16．解方程：2x2﹣7x﹣4＝0（配方法解）．
四．解答题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，C均为格点（网格线的交点）．
（1）若以AC为对角线，请在网格中画出一个菱形ABCD（点B，D都在正方形网格的格点上）；
（2）你所画出的菱形ABCD的面积是 ．
18．观察下列各式：
＝1+…①
＝1+…②
＝1+…③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）发现规律＝ ；
（2）计算+++…+．
五．解答题（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠OBC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求四边形OBEC的面积．
20．安庆市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2022年的单价是100元，现在的单价为81元．
（1）求2022年到现在该品牌足球单价平均每年降低的百分率．
（2）购买期间发现该品牌足球在A，B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，B店全场9折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠．
六．解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可以随取随用的共享单车，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如图表：
根据以上表格信息，解答下列问题：
（1）这组数据的中位数是 ；众数是
（2）这部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？
（3）若该校某天有2000名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在4次及4次以上的学生有多少人？
22．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“如意数”．
（1）已知一个“如意数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；
（2）利用（1）中“如意数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
七．（本题满分14分）
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝15cm，BC＝12cm，点P从点B出发，沿线段BA，向点A以2cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿线段DC向点C以3cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接P、Q两点，则线段PQ长的取值范围是 ．
（2）当PQ＝15时，求t的值．
（3）在线段CD上有一点E，QE＝3，连接AC和PE，请问是否存在某一时刻使得AC平分PE，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/27 2:一．选择题（本大题共10小题，每小题分，满分40分）
1．下列各式运算结果为负数的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．＝故此选项不符合题意；
B．（-）2＝2，故此选项不合题意；
C．﹣＝﹣2，故此选项合题意；
D．＝2，故此选项不合题意．
故选：C．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2， B．0.6，0.8，1C．，，D．9，40，41
【解答】解：A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
D、92+402＝412，是勾股数，符合题意．
故选：D．
3．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3B．x≥﹣3C．x＞﹣3且x≠0D．x≥﹣3且x≠0
【解答】解：由题意得：
x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
故选：D．
4．过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（ ）
A．六B．七C．八D．九
【解答】解：设多边形的边数是n，
由题意得：n﹣3＝4，
∴n＝7．
∴这个多边形的边数是七．
故选：B．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣b＝0的一个解是x＝﹣1，则方程的另一个解为（ ）
A．3B．2C．﹣3D．﹣2
【解答】解：设方程的另一个解为t，
根据题意得﹣1+t＝2，
解得t＝3．
故选：A．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，且AC＝6，BC＝8，MN经过AC中点O分别交AB、CD于点M、N，连接AN、CM，则下列结论错误的是（ ）
A．四边形AMCN为平行四边形
B．当AM＝4.8时，四边形AMCN为矩形
C．当AM＝5时，四边形AMCN为菱形
D．四边形AMCN不可能为正方形
【解答】解：∵AC⊥BC，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CAM＝∠ACN，
在△AOM与△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴AM＝CN，
又AM∥CN，
∴四边形AMCN为平行四边形，
故选项A结论正确，不符合题意；
假设当AM＝4.8时，四边形AMCN为矩形，那么∠AMC＝90°，
∴S△ABC＝AB•CM＝AC，
∴CM＝＝＝4.8，
∴AC＝＝≠6，
∴假设不成立，即当AM＝4.8时，四边形AMCN不是矩形，
故选项B结论错误，符合题意；
∵AM＝5，AB＝10，
∴M为斜边AB的中点，
∴CM＝AM＝AB，
∴▱AMCN为菱形，
故选项C结论正确，不符合题意；
当MN⊥BC时，▱AMCN为菱形，此时M为斜边AB的中点，
∵O为AC中点，
∴OM＝BC＝4≠3＝OA，
∴菱形AMCN的对角线不相等，
∴四边形AMCN不可能为正方形，
故选项D结论正确，不符合题意；
故选：B．
7．若关于x的方程x2﹣6x+8＝0的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两边长，则△ABC的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．8或10
【解答】解：方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，
因为2+2＝4，
所以三角形三边为4、4、2，
所以△ABC的周长为10．
故选：B．
8．如图，在直线l上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形，已知这三个等腰直角三角形的直角边长从左到右依次为2，3，4，四个正方形的面积从左到右依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（ ）
A．13B．20C．25D．29
【解答】解：观察发现，
∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，
即S1+S2＝4，
同理S3+S4＝16．
则S1+S2+S3+S4＝4+16＝20．
故选：B．
9．已知三个实数a，b，c满足a﹣6b+9c＝0，a+6b+9c＜0，则（ ）
A．b＜0，b2﹣ac≥0B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＞0，b2﹣ac≤0
【解答】解：∵a﹣6b+9c＝0，
∴a+9c＝6b，b＝，
∵a+6b+9c＜0，
∴12b＜0．
∴b＜0．
∵b＝，
∴b2﹣ac＝（）2﹣ac＝﹣ac＝＝≥0．
故选：A．
10．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（ ）
A．4B．C．D．3
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，△AEF为正三角形，
∴∠1+∠EAC＝∠BAD＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝∠D＝60°，
又∵AB＝CB＝AD＝CD，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴S△ABE＝S△ACF，
∴S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝AB＝3，AH＝AB＝3，
∴S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝×6×＝9，
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，
∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又∵S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大，
∴S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝9﹣＝．
故选：C．
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
11．一个多边形的内角与外角的和是1440°，那么这个多边形是 八 边形．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2）•180°+360°＝1440°，
解得：n＝8，
∴这个多边形是八边形．
故答案为：八．
12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝125°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝ 235 °．
【解答】解：如图，
∵AD∥BC，∠C＝125°，
∴∠D＝180°﹣125°＝55°，
∴∠3+∠4＝125°，
∵∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝2×180°﹣125°＝235°．
故答案为：235．
13．已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1，则这组数据的平均数为 4 ．
【解答】解：∵这一组数据1，3，x，5，6的平均数是x﹣1，
∴1+3+x+5+6＝5（x﹣1），
解得x＝5，
∴这组数据的平均数为x﹣1＝4，
故答案为：4．
15．如图，正方形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在边AB，BC上，点P在对角线AC上，EF∥AC，PE+PF＝m，则（1）m的最小值为 8 ；（2）若m的值为10，则BE＝ 2或7 。
（1）【解答】解：作点E关于AC的对称点E′，连接EE′，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴点E′在AD上，
∵点P在对角线AC上，
∴PE＝PE′，
∴当点E，P，E′在一条直线上时，PE+PF＝m取得最小值．
∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠BAC＝45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BE＝BF．
∴点E，P，E′在一条直线上，PE+PF＝m取得最小值，这时，四边形ABFE′为矩形，
∴PE+PF＝m＝E′F＝AB＝8，
∴若BE＝2，则m的最小值为8，
（2）若m的最小值为10，设BE＝x，则AE＝AE′＝8﹣x，
∴，
∴x＝2或7，
∴BE＝2或7．
三．解答题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：+（﹣1）2024﹣（π﹣）0﹣+．
【解答】解：原式＝4+1﹣1﹣2+5
＝7；
16．解方程：2x2﹣7x﹣4＝0（配方法解）．
【解答】解：由原方程，得
x2﹣x＝2，
x2﹣x+＝，
（x﹣）2＝，
解得x1＝4，x1＝．
四．解答题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，C均为格点（网格线的交点）．
（1）若以AC为对角线，请在网格中画出一个菱形ABCD（点B，D都在正方形网格的格点上）；
（2）你所画出的菱形ABCD的面积是 ．
【解答】解：如图：
（1）菱形ABCD即为所求；
（2）×2×2＝10，
故答案为：10．
18．观察下列各式：
＝1+…①
＝1+…②
＝1+…③
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）发现规律＝ 1+ ；
（2）计算+++…+．
【解答】解：（1）根据规律可知，
＝1+（n为正整数），
故答案为：1+；
（2）由规律可得，
原式＝1++1++1++…+1+
＝2023+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝2023+（1﹣）
＝2023，
五．解答题（本题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB，且∠BOC+2∠OBC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB＝60°，AB＝2，求四边形OBEC的面积．
【解答】（1）证明：∵∠BOC+2∠DBC＝180°，∠BOC+∠DBC+∠ACB＝180°，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∠AOB＝60°，AB＝2，
∴△OAB是边长为2的等边三角形，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝4，，
∵BE∥AC，
∴S四边形OBEC＝S△ABC＝AB•BC＝×2×＝2；
∴四边形OBEC的面积为；
20．安庆市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2022年的单价是100元，现在的单价为81元．
（1）求2022年到现在该品牌足球单价平均每年降低的百分率．
（2）购买期间发现该品牌足球在A，B两个体育用品店有不同的促销方案，A店买十送一，B店全场9折，通过计算说明到哪个店购买足球更优惠．
【解答】解：（1）设2022年到现在该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，
依题意得：100（1﹣x）2＝81，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：2022年到现在年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%．
（2）100×＝≈90.91（个），90+1＝91（个），
在A店购买所需费用为81×91＝7371（元），
在B店购买所需费用为81×100×0.9＝7290（元）．
∵7371＞7290，
∴去B店购买足球更优惠．
六．解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分）
21．共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可以随取随用的共享单车，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如图表：
根据以上表格信息，解答下列问题：
（1）这组数据的中位数是 3 ；众数是 2
（2）这部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？
（3）若该校某天有2000名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在4次及4次以上的学生有多少人？
【解答】解：（1）调查的总人数为5+7+12+14+9+3＝50人，
将调查的50人共享单车的使用次数从小到大排列，第25个和第26个数都是3，所以中位数为＝3，
使用次数最多的是2次，共出现14人，因此众数是3，
故答案为：3，3；
（2）（次），
答：这部分出行学生平均每人使用共享单车约2.6次；
（3）2000×＝520（人），
答：估计这天使用共享单车次数在4次及4次以上的学生有520人．
22．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“如意数”．
（1）已知一个“如意数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 b2﹣4ac＝0 ；
（2）利用（1）中“如意数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
【解答】解：（1）∵k＝100a+10b+c是如意数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
故答案为：b2﹣4ac＝0；
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
七．（本题满分14分）
23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝15cm，BC＝12cm，点P从点B出发，沿线段BA，向点A以2cm/s的速度匀速运动，点Q从点D出发，沿线段DC向点C以3cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接P、Q两点，则线段PQ长的取值范围是 ．
（2）当PQ＝15时，求t的值．
（3）在线段CD上有一点E，QE＝3，连接AC和PE，请问是否存在某一时刻使得AC平分PE，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是直角梯形，
P、Q两点在运动过程中，当点P在点B处，点Q在点D处时，PQ的长即BD的长最大，
当PQ⊥CD时，即四边形CBPQ是矩形时，PQ的长最小，此时，PQ＝BC＝12cm，
过点A作AE⊥CD于E，如图1所示：
则四边形ABCE是矩形，
∴CE＝AB＝15cm，AE＝BC＝12cm，
∴ED＝＝9（cm），
∴CD＝CE+ED＝15cm+9cm＝24cm，
∴BD＝＝12（cm），
∴线段PQ长的取值范围是：12≤PQ≤12，
故答案为：12≤PQ≤12；
（2）∵两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，
∴t≤5，
过点P作PF⊥CD于F，如图2所示：
则四边形CBPF是矩形，
∴PF＝BC＝12cm，
FQ＝＝9（cm），
∴24﹣3t﹣2t＝9或3t+2t＝24+9，
解得：t＝3或t＝；
（3）存在某一时刻使得AC平分PE；
当AC平分PE时，四边形CPAE是平行四边形，即AP＝CE，如图3所示：
∵QE＝3，
∴15﹣2t＝24﹣3t﹣3或15﹣2t＝24﹣3t+3，
解得：t＝6或t＝9（不合题意舍去），
∴当t＝6s时，AC平分PE．