数学八年级下册11.1 反比例函数优秀综合训练题

这是一份数学八年级下册11.1 反比例函数优秀综合训练题，文件包含苏科版数学八年级下册第11章《反比例函数》单元综合检测难点题型专训原卷版docx、苏科版数学八年级下册第11章《反比例函数》单元综合检测难点题型专训解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。

1．若点在双曲线上，则代数式的值为（ ）
A．－12B．－7C．－5D．5
【答案】C
【分析】把A点坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．
【解析】解：把代入得，
=3，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解题关键是把点的坐标代入解析式，然后整体代入求值．
2．如图，直线与双曲线交于A、两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解为（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，相当于把直线向下平移个单位，然后根据函数的对称性可得交点坐标与原直线的交点坐标关于原点对称，再找出直线在双曲线下方的自变量的取值范围即可．
【解析】解：解：由，得，，
所以，不等式的解集可由双曲线不动，直线向下平移个单位得到，
直线向下平移个单位的图象如图所示，交点的横坐标为，交点的横坐标为，
当或时，双曲线图象在直线图象上方，
所以，不等式的解是：或．
故选C
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据不等式与函数解析式得出不等式的解集与双曲线和向下平移个单位的直线的交点有关是解题的关键．
3．已知点A（x1，y1）在反比例函数y1＝的图象上，点B（x2，y2）在一次函数y2＝kx﹣k的图象上，当k＞0时，下列判断中正确的是（ ）
A．当x1＝x2＞2时，y1＞y2B．当x1＝x2＜2时，y1＞y2
C．当y1＝y2＞k时，x1＜x2D．当y1＝y2＜k时，x1＞x2
【答案】C
【分析】根据题意，首先列分式方程并求解，得到反比例函数和一次函数的两个交点；再根据x和y的不同取值范围，结合反比例函数和一次函数图像的性质分析，即可得到答案．
【解析】当y1= y2时，得
∴
∴，
经检验，，为原方程的解
当时，
当时，
∵y1随x1增大而减小，y2随x2增大而增大，
∴当x1＝x2＞2时，,
∵k＞0
∴，即选项A错误；
当-1＜x1＝x2＜0时，y1＜y2
∴选项B错误；
∴当y1＝y2＞k时，,
∴x1＜x2，即选项C正确；
∴当-k＜y1＝y2＜0时，,
∴x1＜x2，即选项D不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程、反比例函数和一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程、反比例函数和一次函数图像的性质，从而完成求解．
4．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，第四个顶点D在反比例函数的图像上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于F，作BH∥x轴，交CF于H，利用AAS得到三角形ADE与三角形BCH全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=BH=2，DE=CH=1，求出OE的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值即可．
【解析】解：过点D作DE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于F，作BH∥x轴，交CF于H，
∵A（1，0），B（4，2），C（2，3），
∴BH=4-2=2，CH=3-2=1，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵BH∥x轴，
∴∠ABH=∠BAF，
∵∠DAE+∠BAF+∠DAB=180°=∠CBH+∠ABH+∠DAB，
∴∠DAE=∠CBH，
在△ADE和△BCH中，
，
∴△ADE≌△BCH（AAS），
∴AE=BH=2，DE=CH=1，
∴OE=1，
∴点D坐标为（-1，1），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴k=-1×1=-1，
故选：A．
【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
5．关于反比例函数的图像——双曲线，下列说法不正确的是（ ）
A．过双曲线上任意一点M作y轴的垂线，垂足为点N，则的面积为6．
B．此双曲线分布在第二、四象限，y随x的增大而增大．
C．双曲线关于直线成轴对称
D．此双曲线上的点到原点的最短距离为
【答案】B
【分析】A．根据k的意义即可判断此选项正确；
B．根据反比例函数的图像和性质进行解答即可；
C．根据反比例函数图像和性质进行判断即可；
D．设反比例函数上任意一点的坐标为，该点到原点的距离为：
，根据，即可得出，即可判断此选项正确．
【解析】解：A．∵反比例函数，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，
∴此双曲线分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故B错误，符合题意；
C．∵，
∴此双曲线分布在第二、四象限，关于直线成轴对称，故C正确，不符合题意；
D．设反比例函数上任意一点的坐标为，则该点到原点的距离为：
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴双曲线上的点到原点的最短距离为，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数，当时，函数图像位于一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，当时，函数图像位于二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．
6．函数的图像可以由的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.根据所获信息判断，下列直线中与函数的图像没有公共点的是（ ）
A．经过点且平行于轴的直线
B．经过点且平行于轴的直线
C．经过点且平行于轴的直线
D．经过点且平行于轴的直线
【答案】D
【分析】分别计算对应的自变量的值或函数值即可判断．
【解析】解：A、当y=2时，，解得x=，故直线y=2与函数的图像有公共点；
B、当y=-3时， =-3，解得x=0，故直线y=-3与函数的图像有公共点；
C、当x=-1时，，故直线x=-1与函数的图像有公共点；
D、分式有意义的条件是x≠1，∴函数的图像与直线x=1没有公共点；
故选：D．
【点睛】此题考查了求函数值或求自变量的值，分式有意义的条件，正确计算是解题的关键．
7．直线与坐标轴交于、两点，与双曲线（）相交于、两点，若、恰好是线段的三等分点，则直线的存在情况是（ ）
A．不存在B．1条C．2条D．无数条
【答案】D
【分析】表示出直线与坐标轴的交点，由、恰好是线段的三等分点可得点D的坐标，点D在反比例函数（）上可得，即可得出直线存在无数条．
【解析】如图所示：
过点C、点D分别作CE⊥OB，DF⊥OB，CM⊥OA，DN⊥OA，
直线与坐标轴的交点坐标为：，，
∵、恰好是线段的三等分点，CE⊥OB，DF⊥OB，CM⊥OA，DN⊥OA，
∴OE=EF=FB，ON=MN=MA，
∴点D的坐标为：，
∵点D在双曲线（）上，
∴，
∴，
∴直线满足且 中符合条件的直线有无数条，
∴直线有无数条，
故选：D．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数综合题，由、恰好是线段的三等分点，得出点D的坐标，再根据点D在反比例函数上，推出b与k之间的关系式是解决本题的关键．
8．如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（ ）
A．10B．8C．9D．
【答案】A
【分析】设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C（t，t-a），D（t+a，t-a），再利用等腰直角三角形的性质可得OA=t，AD=a；由OA2-AD2=20可得t2-a2=10，最后根据反比例函数图像的性质即可解答．
【解析】解：设设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，
∴C（t，t-a），D（t+a，t-a）
∵等腰直角三角OAB和正方形ACDE
∴OA=t，AD=a
∵OA2-AD2=20
∴（t）2-（a）2=20，即t2-a2=10
∵点D在反比例函数的图像上，
∴k=（t+a）（t-a）=t2-a2=10．
故选A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题、正方形的性质、反比例函数的性质等知识点，求正确设出未知数、根据题意表示出所需的量和等式是解答本题的关键．
9．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与双曲线相交于点A，B，点A在第一象限，延长与已知双曲线交于点C，连接，若，直线与x轴所夹的锐角为，则的面积为（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】C
【分析】设直线与轴的交点为点，延长交轴于点，先求出，设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，从而可得，设直线的函数解析式为，再利用待定系数法可得直线的函数解析式为，从而可得，然后根据三角形的外角性质可得，利用反比例函数的性质可得，利用直角三角形的性质和勾股定理可得，最后根据直角三角形的面积公式即可得．
【解析】解：如图，设直线与轴的交点为点，延长交轴于点，
，
直线与轴所夹的锐角为，
，
，
设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，
将点代入得：，
解得，
设直线的函数解析式为，
将点代入得：，
解得，
则直线的函数解析式为，
，
，
，
，
，
在中，，
则的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
10．如图，矩形的顶点坐标分别为，动点F在边上（不与重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点C关于直线的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是；④若，则．其中正确的命题个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①若，则计算，故命题①正确；②如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题②正确；③因为点不经过点，所以，即可得出的范围；④求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度；利用算式，求出，故命题④正确．
【解析】解：
命题①正确．理由如下：
，
，，，
，．
，故①正确；
命题②正确．理由如下：
，
，，，
，．
如答图，过点作轴于点，则，；
在线段上取一点，使得，连接．
在中，由勾股定理得：，
．
在中，由勾股定理得：．
，
又，
直线为线段的垂直平分线，即点与点关于直线对称，故②正确；
命题③正确．理由如下：
由题意，点与点不重合，所以，
，故③正确；
命题④正确．理由如下：
设，则，．
设直线的解析式为，则有，解得，
．
令，得，
；
令，得，
．
如答图，过点作轴于点，则，．
在中，，，由勾股定理得：；
在中，，，由勾股定理得：．
，解得，
，故命题④正确．
综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，
故选：D．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．
二、填空题
11．若y＝（4﹣2a）是反比例函数，则a的值是________．
【答案】-2
【分析】根据反比例函数的定义直接解答即可．
【解析】解：∵若y＝（4﹣2a）是反比例函数，
∴a2-5=-1，
解得，a2=4，
∴a=±2，
∵4﹣2a≠0，
∴a≠2，
∴a=-2，
故答案为-2．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，直接开平方法解方程，解题的关键是掌握y=k（k≠0）是反比例函数．
12．如图，已知直线分别与轴，轴交于两点，且△的面积为12，反比例函数的图象恰好经过的中点，则反比例函数的表达式为_________．
【答案】
【分析】先求出于A，B两点坐标，设AB的中点为C，求出C点的坐标即可．
【解析】解：当x=0时，y＝4，即AO=4，
∵△ABO的面积为12，
∴×4×OB=12，
∴OB=6，
如下图，过点C作CD⊥AO，垂足为D，
∵AB的中点为C，
∴DO=2，CD=3，即C点的坐标为（3，2），
设反比例函数解析式为，把C点的坐标代入得，
，
解得，k=6，
反比例函数解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数求解析式和三角形中位线的判定与性质，解题关键是熟练运用一次函数和反比例函数的相关知识，利用中位线求出点的坐标．
13．已知点分别在反比例函数的图象上，若点与点关于轴对称，则的值为______．
【答案】1
【分析】根据题意，设出点C和点D的坐标，再根据点C与点D关于x轴对称，即可求得p的值
【解析】解：∵点分别在反比例函数的图象上，
∴设点C的坐标为，点D的坐标为，
∵点与点关于轴对称，
∴
∴p=1
故答案为：1
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
14．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k值为_____．
【答案】-6．
【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），根据点B、E在反比例函数y＝的图象上，利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得k＝6t＝2（t﹣2），即可求出k＝﹣6．
【解析】解：∵正方形ADEF的面积为4，
∴正方形ADEF的边长为2，
∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．
设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），
∵点B、E在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝6t＝2（t﹣2），
解得t＝﹣1，k＝﹣6．
故答案为﹣6．
【点睛】本题考查反比例函数中k的几何意义，注意，此题函数图像在第二象限，则k＜0．
15．如图，已知等腰三角形的底边落在轴上，延长到点，使得，延长交轴于点，连接，点落在反比例函数的图像上．若的面积等于，则_______．
\
【答案】
【分析】连接，根据已知条件可得，进而可得，再证明，则可得，根据反比例函数的几何意义，即可求得；
【解析】连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在第一象限，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的几何意义，掌握以上知识点是解题的关键．
16．将反比例函数y＝－作如下变换：令＝代入y＝－中，所得的函数值记为， 又将＝＋1代入函数中，所得函数值为，再将＝＋1代入函数…，如此循环，＝_______
【答案】2
【分析】算出每一个x值和y值，找到其中的规律即可解答．
【解析】将代入中，得：，
∴，
将代入中，得：，
∴，
将代入中，得：，
∴，
将代入中，得：，
……
所以可知y的值每三个为一个循环，
∵2021÷3=673……2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求反比例函数值，求出每一个反比例函数值再找出其规律，再归纳总结是解答本题的关键．
17．如图，四边形是平行四边形，对角线在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限内的点C分别在双曲线和的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：
①阴影部分的面积为；
②若B点坐标为，A点坐标为，则；
③当时，；
④若是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
其中正确的结论是_______（填写正确结论的序号）．
【答案】②④
【分析】作轴于点，轴于点，①由，，得到；②由平行四边形的性质求得点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求得系数的值．③当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，所以不能判断，则不能确定；④若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，所以，即，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称．
【解析】解：作轴于，轴于，如图，
①，，
，
而，，
，故①错误；
②四边形是平行四边形，点坐标为，点坐标为，的坐标为．
．
又点位于上，
．故②正确；
③当，
四边形是矩形，
不能确定与相等，
而，
不能判断，
不能判断，
不能确定，故③错误；
④若是菱形，则，
而，
，
，
，
，
两双曲线既关于轴对称，也关于轴对称，故④正确．
故答案是：②④．
【点睛】本题属于反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质和菱形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点A，C的坐标分别为（2，0），（0，2），D是x轴正半轴上的一点（点D在点A的右边），以BD为边向外作正方形BDEF（E，F两点在第一象限），连接FC交AB的延长线于点G．若反比例函数的图象经过点E，G两点，则k的值为 ______________．
【答案】5
【分析】过F作FN垂直于x轴,交CB延长线于点M,利用AAS得到三角形ABD与三角形BMF全等, 利用全等三角形对应边相等得到AD=FM,进而表示出F坐标, 根据B为CM中点,得出G的CF中点,表示出G坐标,进而得出E坐标, 把G与E代入反比例解析式求出a的值,确定出E坐标,代入反比例解析式求出k的值即可.
【解析】详解: 过F作FN⊥x轴,交CB的延长线于点M,过E作EH⊥x轴,交x轴于点H,
∵∠FBM+∠MBD=90°,∠MBD+∠ABD=90°,
∴∠FBM=∠ABD,
∵四边形BDEF为正方形,
∴BF=BD,
在△ABD和△BMF中,
∠BAD=∠BMF,∠ABD=∠MFB,BD=BF,
∴△ABD≌△BMF(AAS),
设AD=FM=a,则有F(4,2+a),C(0,2),
由三角形中位线可得G为CF的中点,
∴G(2,2+12a),同理得到△DHE≌△BAD,
∴EH=AD=a,OH=OA+AD+DH=4+a,
∴E(4+a,a),∴2(2+12a)=a(4+a),即a2+3a-4=0,解得:a=1或a=-4(舍去),
∴E(5,1),
把F代入反比例解析式得:k=5.
故答案为:5.
【点睛】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:正方形的性质,全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,解一元二次方程,以及反比例函数的性质,熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键.
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，已知tan∠ABO＝，OB＝4，OD＝2．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E，使△CDE与△COB的面积相等，求点E的坐标．
【答案】（1）；（2）（－6，0）或（2，0）
【分析】（1）根据解直角三角形求得点A、点B以及点C的坐标，利用A、B两点的坐标求得一次函数解析式，利用点C的坐标求得反比例函数解析式；
（2）根据△CDE与△COB的面积相等，求得DE的长，即可得出点E的坐标．
【解析】解：（1）∵OB=4，OD=2
∴DB=2+4=6
∵CD⊥x轴， tan∠ABO＝
∴OA=2，CD=3
∴A（0，2），B（4，0），C（－2，3）
设直线AB解析式为y=kx+b，则

解得
∴直线AB解析式为
设反比例函数解析式为，
得m=－2×3=－6
∴反比例函数解析式为
（2）∵△CDE与△COB的面积相等
∴
∴DE=OB=4
∴点E的坐标为（－6，0）或（2，0）
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握根据待定系数法求两个函数解析式的方法．解答此类试题时注意：求一次函数解析式需要图象上两个点的坐标，而求反比例函数解析式需要图象上一个点的坐标即可．
20．在平面直角坐标系中，设一次函数（m，n为常数，且，）与反比例函数的图象交于点．
(1)若；
①求m，n的值；
②当时，求的取值范围；
(2)当点在反比例函数图象上，求的值．
【答案】(1)①， ②
(2)20
【分析】（1）①根据题意得到m与n的关系式，再结合，求出m、n的值即可；②分类讨论解不等式即可；
（2）根据题意得到mn的值，再结合，利用完全平方公式即可求得的值．
【解析】（1）解： ①（m，n为常数，且，）与反比例函数的图象交于点，
，
，
，
解得，
，；
②、由①可知，
当时，，
当时，，
解得，
；
当时，，
解得，
无解；
综上所述：当时，求的取值范围为；
（2）点在反比例函数图象上，
，
由（1）可知，
，
的值为20．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，反比例函数性质，完全平方公式．熟练掌握完全平方公式的变形以及反比例函数的性质是解决本题的关键．
21．某品牌的饮水机的运作程序：开机后，20℃的水经过热交换器吸收热能，以每分钟上升6℃的速度加热到80℃，再进入开水器，以每分钟上升10℃的速度从80℃加热到100℃，停止加热，水温下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至20℃，开机后进入此程序的整个过程中，水温y（℃）与开机后用时x（min）之间的函数图象如图所示，求在这个过程中：
（1）水温第一次达到80℃的时间；
（2）经过热交换器过程中，y关于x的函数表达式与水温下降过程中，y关于x的函数表达式；
（3）水温不低于20℃且不超过50℃的时间段．
【答案】（1）10min；（2）y1=6x+20 （0≤x≤10） ；；（3）0≤x≤5或 24≤x≤60．
【分析】（1）根据每分钟上升6℃直接列式计算；
（2）求出一次函数图象过点（0，20）和（10，80），反比例函数解析式过点（12，100），用待定系数法分别求出y关于x的函数表达式即可；
（3）分别将y=50代入一次函数和反比例函数解析式，求出相应的x的值，即可得出结果.
【解析】解：（1）由题意得：(80－20)÷6=10(min)，
∴水温第一次达到80℃的时间是10min；
（2）设热交换器过程中，y关于x的函数表达式为：y1=kx+b（k≠0），
∵函数图像过点（0，20）和（10，80），
∴，解得：，
∴热交换器过程中，y1关于x的函数表达式为：y1=6x+20（0≤x≤10）；
(100-80)÷10=2min，2+10=12，
∴反比例函数图像过点（12，100）
设水温下降过程中，y2关于x的函数表达式为：，
将点（12，100）代入可得：k=12×100=1200，
∴，
当y2=20时，x=60，
∴水温下降过程中，y关于x的函数表达式为： ；
（3）将y=50代入y1=6x+20可得：x=5，
将y=50代入可得：x=24，
∴当0≤x≤5或 24≤x≤60时水温不低于20℃且不超过50℃.
【点睛】本题考查了反比例函数的应用和一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
22．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1＝（x＞0），与y2＝﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（a、b为任意实数）
（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，当a≥3时，CD边与函数y1＝（x＞0）的图象有交点，请说明理由．
【答案】（1）3；（2）见解析．
【分析】（1）点A、B的坐标分别为（a，）、（b，﹣），AB∥x轴，则，即可求解；
（2）设点A（a，），则点C（a﹣2，），点D（a﹣2，），点F（a﹣2，），验证2﹣FC≥0，即可求解
【解析】解：（1）A、B的横坐标分别为a、b，
则点A、B的坐标分别为（a，）、（b，﹣），
AB∥x轴，则，
则a＝﹣b，AB＝a﹣b＝2a，
S△OAB＝×2a×＝3；
（2）如图所示：
∵a≥3，AC＝2，则直线CD在y轴右侧且平行于y轴，CD与函数图象有交点，设交点为F，
设点A（a，），则点C（a﹣2，），点D（a﹣2，），点F（a﹣2，）
则2﹣FC＝2﹣+＝，
∵a≥3，∴a﹣3≥0，a﹣2＞0，
故2﹣FC≥0，FC≤2，
即点F在线段CD上，
即当a≥3时，CD边与函数y1＝（x＞0）的图象有交点．
【点睛】本题考查的是反比例函数和正方形的性质，该类问题最重要的就是，确定关键点如点D、F的坐标，进而求解．
23．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与一次函数y＝x的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．
（1）当点A的横坐标为4时．
①求k的值；
②根据反比例函数的图象，直接写出当﹣4＜x＜2（x≠0）时，y的取值范围；
（2）点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，且△ACB的面积为10，求k的值．
【答案】（1）①k＝12；②y的取值范围是y＜﹣3或y＞6；（2）k＝6.
【分析】（1）①先求得点A的坐标，再把点A的坐标代入y＝（k＞0）即可求得k值；②求得当x＝﹣4和 x＝2时y的值，结合图像，再利用反比例函数的性质即可求得y的取值范围；（2）设点A为（a，），根据勾股定理求得OA＝，根据函数的对称性及直角三角形斜边的性质可得OA＝OB＝OC＝，根据三角形的面积公式求得a＝，即可得点A为（2，），代入即可求得k值.
【解析】（1）①将x＝4代入y＝x得，y＝3，
∴点A（4，3），
∵反比例函数y＝（k＞0）的图象与一次函数y＝x的图象交于A点，
∴3＝，∴k＝12；
②∵x＝﹣4时，y＝＝﹣3，x＝2时，y＝6，
∴由反比例函数的性质可知，当﹣4＜x＜2（x≠0）时，
y的取值范围是y＜﹣3或y＞6；
（2）设点A为（a，），
则OA＝＝，
∵点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，且△ACB的面积为10，
∴OA＝OB＝OC＝，
∴S△ACB＝ ==＝10，
解得，a＝，
∴点A为（2，），
∴＝，
解得，k＝6.
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解决问题的关键．
24．已知反比例函数图象经过一、三象限．
（1）判断点在第几象限
（2）若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系
（3）设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是．求x为何值时，．
【答案】（1）第二象限；（2）a＞c＞b；（3）
【分析】（1）由反比例函数图象经过一三象限确定的取值范围，从而判断点所在象限；
（2）根据反比例函数的增减性及点的坐标特征进行分析判断；
（3）利用反比例函数的增减性确定函数最值时的值，从而列方程求解．
【解析】解：（1）反比例函数图象经过一、三象限，
，，
点在第二象限；
（2）反比例函数图象经过一、三象限，
在每一象限内随的增大而减小，
又点，在反比例函数上，
可得，
解得：a＞c＞b，
，，的大小关系为：a＞c＞b；
（3），
反比例函数位于第二、四象限，
在每一象限内随的增大而增大，
又，当时，函数的最大值是；当时，函数的最小值是，
当时，；当时，，
，
解得：（不合题意，舍去）或，
将时，代入中，
，
，，
若，
，
解得：，
经检验是原方程的解，
当时，．
【点睛】本题考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数的性质利用数形结合思想解题是关键．
25．如图,在直角坐标平面内,函数(x>0,m是常数)的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a>1.过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB.
(1)若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
(2)求证：DC∥AB；
(3)当AD=BC时，求直线AB的函数解析式.
【答案】（1）(3, )；（2）见解析；（3）y=−2x+6或y=−x+5.
【分析】（1）由函数（x>0，m是常数）的图象经过A（1，4），可求m=4，由已知条件可得B点的坐标为（a，），又由△ABD的面积为4，即a（4-）=4，得a=3，所以点B的坐标为（3，）；
（2）依题意可证， ，，所以DC∥AB；
（3）由于DC∥AB，当AD=BC时，有两种情况：①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，点B的坐标是（2，2），设直线AB的函数解析式为y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，可求点B的坐标是（4，1），设直线AB的函数解析式y=kx+b，用待定系数法可以求出解析式（把点A，B的坐标代入），是y=-x+5．
【解析】(1)∵函数 (x>0,m是常数)图象经过A(1,4)，
∴m=4.
∴y= ，
设BD,AC交于点E,据题意,可得B点的坐标为(a, ),D点的坐标为(0, ),E点的坐标为(1, )，
∵a>1，
∴DB=a,AE=4−.
由△ABD的面积为4,即a(4−)=4，得a=3，
∴点B的坐标为(3, )；
(2)证明：据题意,点C的坐标为(1,0)，DE=1，
∵a>1，
易得EC=，BE=a−1，
∴.
∴且∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠ABE=∠CDE，
∴DC∥AB；
(3)∵DC∥AB，
∴当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时,四边形ADCB是平行四边形,由(2)得，
=a−1，
∴a−1=1，得a=2.
∴点B的坐标是(2,2).
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得 ，
解得.
故直线AB的函数解析式是y=−2x+6.
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD=AC，
∴a=4，
∴点B的坐标是(4,1).
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得 ，
解得 ，
故直线AB的函数解析式是y=−x+5.
综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=−2x+6或y=−x+5.
【点睛】此题考查反比例函数综合题，待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于把已知点代入解析式.
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，且满足．
（1）求，的值及反比例函数的解析式；
（2）若，求点的坐标，判断四边形的形状并说明理由；
（3）若点是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标．
【答案】（1），，；（2），矩形，理由见解析；（3），
【分析】（1）根据一次函数表达式可求出，的值，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）首先根据题意求出AB和CD的长度，进而得出四边形是平行四边形，然后求出∠BCD的度数，即可判断四边形的形状；
（3）分两种情况和讨论，根据题意作出辅助线构造出全等三角形，根据全等三角形的性质表示出点M的坐标，代入表达式求解即可．
【解析】（1）把和分别代入得：，；
把代入得：．
所求反比例函数解析式为．
（2），
设的解析式为，
又：，在轴的正半轴上，
的坐标为，
将代入得：．
∴解析式为，
∴，
以点、、、构成的四边形是矩形，理由如下：
，，，
又
四边形是平行四边形
如图所示，过点作轴于点，则
故和都等腰直角三角形，
，
是矩形．
（3）①当时，
作轴，过A点作轴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴在和中，
，
∴．
又∵，
∴，
∴设，
将代入，
得：，
解得：，
，
②当时，
如图所示，过M点作轴，作，
同理，可证得，
∴，
∴设，
将代入，
得：，
解得：，（舍去）
，
综上所述：的坐标为或．
【点睛】此题考查了反比例函数和几何图形结合问题，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．
27．反比例函数的图象经过点，点是一次函数图象上的一个动点，如图所示，设点的横坐标为，且满足，过点分别作轴，轴，垂足分别为，，与反比例函数分别交于，两点，连结，，．
（1）求的值并结合图象求出的取值范围；
（2）在点运动过程中，若，求点的坐标；
（3）将沿着直线翻折，点的对应点为点，得到四边形，问：四边形能否为菱形？若能，求出点坐标；若不能，说明理由．
【答案】（1），；（2） 或；（3）能，
【分析】（1）先把（1，3）代入求出k的值，再由两函数有交点求出m的值，根据函数图象即可得出结论；
（2）设，则，，可得，再设，则，进而求出，，将代入可得知，将代入可得知，进而求出a、b的值即可得出结论.
（3）当OC＝OD时，四边形O′COD为菱形，由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA＝OB，由此时P横纵坐标相等且在直线y＝−x＋6上即可得出结论．
【解析】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴把代入，解得，
∴令，
解得：，
由图像可知表示一次函数图像在反比例函数图像上方的取值范围，
∴；
（2）如图，连接OP，
设，则，
∵点D在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
在上，
∴，∴①，
在上，∴②，
解①②得，，
，，
点的坐标是或.
（3）四边形能为菱形，
∵当时，四边形为菱形，
∴由对称性得到，即，
∴此时横纵坐标相等且在直线上，即，
解得：，即.
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，在解答此题时要注意利用数形结合求解．
28．探究函数的图象与性质
（1）函数的自变量的取值范围是 ；
（2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是 ；
（3）对于函数，求当时，的取值范围．
请将下面求解此问题的过程补充完整：
解：∵，
∴ ．
∵，
∴的取值范围为 ．
【拓展应用】
（4）若函数，当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）C；（3）6，；（4）．
【分析】（1）根据分母不为0即可得出结果；
（2）根据自变量的取值范围和特殊值法排除错误选项即可；
（3）根据完全平方公式进行等价变形，再根据非负数的性质进行判断即可；
（4）模仿（3）中的解题过程即可．
【解析】解：（1）∵自变量x在分母的位置，
∴函数的自变量的取值范围是．
故答案为：．
（2）∵函数的自变量的取值范围是，
∴排除A选项．
当x>0时，，所以，所以排除B，D选项．
故选：C．
（3）∵，
∴．
∵，
∴的取值范围为．
故答案为：6；．
（4）．
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数图象，反比例函数和一次函数知识的迁移，正确理解题意是解题关键，
29．如图1，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为．
（1）若点的坐标为．
①点坐标为______，点坐标为______，直线的函数表达式为______；
②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标；
（2）连接、．
①当时，求的长度；
②如图2，试证明的面积是个定值．
【答案】（1）①(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；②D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；（2）①；②见详解
【分析】（1）①把x＝2代入中，求得C点的纵坐标，进而得C点坐标，把y＝4代入中，求得B点的横坐标，进而得B点坐标，再用待定系数法求得BC的解析式；
②设D（m，0），E（0，n），显然BC为平行四边形的对角线时不存在，则BC必为平行四边形的边，分别两种情况BE∥CD或BD∥CE，求出结果便可；
（2）①设M（m，），则B（，），C（m，），由OB＝OC列出方程求得m2，由两点距离公式求得OB；②延长MC与x轴交于点A，设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），根据梯形面积公式和三角形的面积公式计算便可得答案．
【解析】解：（1）①∵点M的坐标为（2，4），BM∥x轴，CM∥y轴，
∴xC＝2，yB＝4，
把y＝4代入中，得x＝1，
∴B(1，4)，
把x＝2代入中，得y＝2，
∴C（2，2），
把B、C的坐标都代入y＝kx＋b中，得，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝−2x＋6．
故答案为：(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；
②设D（m，0），E（0，n），
当四边形BEDC为平行四边形时，
∵B(1，4)，C（2，2），BE∥CD，BE＝CD，
∴1−0＝2−m，4−n＝2−0，
∴m＝1，n＝2，
∴D(1，0)，E(0，2)，
当四边形BDEC为平行四边形时，
∵B(1，4)，C（2，2），BD∥CE，BD＝CE，
∴1−m＝2−0，4−0＝2−n，
∴m＝−1，n＝−2，
∴D（−1，0），E（0，2），
综上所述：D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；
（2）①设M（m，），则B（，），C（m，），
∵OB＝OC，
∴OB2＝OC2，
∴()2＋()2＝m2＋()2，解得，m2＝8，
∴OB＝；
②延长MC与x轴交于点A，
设M（m，），则B（，），C（m，），A（m，0），
∴BM＝，MA＝，AC＝，CM＝，OA＝m，
∴S△OBC＝S梯形OAMB−S△BCM−S△OAC
＝(＋m)• −ו−m•＝3，
∴△BOC的面积是个定值．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与性质，一次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，关键在于分情况讨论，数形结合正确根据点的坐标特点表示线段长度．