初中数学浙教版七年级下册第四章 因式分解4.3 用乘法公式分解因式优质课件ppt

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1．掌握平方差公式的推导过程及运用其进行因式分解，学会用平方差公式进行计算和解决实际问题；2．掌握完全平方公式的推导过程及运用其进行因式分解，学会用完全平方公式进行计算和解决实际问题；3．综合运用提公因式法、公式法进行因式分解；
多项式与多项式的乘法规则：
（x ＋ 2)( x＋6）
=x2＋6x＋2x＋12=x2＋8x＋12.
(a+b)(m+n)
将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
长方形面积=(a+b)(a−b) 有空缺的正方形面积=a2−b2
结论：(a+b)(a−b)=a2−b2
知识点一 平方差公式
①（x ＋ 2)( x－2）；②（m ＋ 3)( m－3）； ③（2t＋ 1)(2t－1）； ④（5a ＋ b)(5a－b）.
算一算：看谁算得又快又准.
②（m＋ 3)( m－3）=m2 －9
③（2t＋1)( 2t－1)=4t2－1
④（5a＋b)(5a－b)= 25a2 －b2
①（x ＋2)( x－ 2）=x2－4
想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？
总结：两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
(a+b)(a−b)=a2−b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
(a–b) (a+b) =a2−b2
(b+a)(−b+a )=a2−b2
公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式
例1 利用平方差公式计算：(1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (x－2y)(x+2y)；(3) (－m+n)(－m－n)
解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2；（2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2；（3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
(1)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2； (2)原式=(x2－4)(x2＋4) ＝x4－16.
例2：利用平方差公式计算：
1、先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－ (4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
知识点二 用平方差公式进行计算
想一想：（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=48997×7=49 15×15=225 70×70=4900
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
例3 计算:(1) 103×97; (2) 118×122.
解: 103×97=(100+3)(100－3)= 1002－32=10000 – 9=9991；
解: 118×122=(120－2)(120＋2)= 1202－22=14400－4=14396.
1、计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25.
2、王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
知识点三 完全平方公式
一块边长为a米的正方形稻田，因需要将其边长增加b米.形成四块稻田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示稻田的总面积, 并进行比较.你发现了什么？
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
（3） （p－1)2=(p－1)(p－1)= .
（4） （m－2)2=(m－2)(m－2)= .
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
(a＋b)2= .
(a－b)2= .
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
例4 运用完全平方公式计算：
解: (2x－3)2=
(1)(2x－3)2；
( a－ b )2 =a2 － 2ab + b2
(a + b)2= a2 + 2 ab + b2
解：( y+ )2 =
1、运用乘法公式计算:(1) (x+2y－3)(x－2y+3) ;
解: 原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)] = x2－(2y－3)2 = x2－(4y2－12y+9) = x2－4y2+12y－9.
(2) (a+b+c)2.
解：原式= [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
2、如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.
思考：怎样简便计算1022,992？
解：原式= (100+2)2
=10000+400+4
解：原式= (100 –1)2
=10000 -200+1
完全平方公式的实际运用
知识点四 用完全平方公式进行计算
例5 运用乘法公式计算:(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
(2) (a+b+c)2.
解：原式= [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
1、化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2) =(x2－4y2)2 =x4－8x2y2＋16y4.
（1）(a+3b)(a- 3b)；
解：原式=(2a+3)(2a－3) =(2a)2－32 =4a2－9；
解：原式=a2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
1.利用平方差公式计算：
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)；
解：原式=(-2x2 )2－y2 =4x4－y2.
（4）(－5+6x)(－6x－5).
解：原式=(－5+6x)(－5－6x) =(－5)2－(6x)2 =25－36x2.
2.计算:(1) 20162 －2017×2015;
解:20162－2017×2015=20162－(2016＋1)(2016－1)=20162－(20162－1)=20162－20162＋1=1；
(2) (y+2) (y－2) – (y－1) (y+5) .
解：(y+2)(y－2)－ (y－1)(y+5)= y2－22－(y2+4y－5)= y2－4－y2－4y+5= －4y + 1.
3.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______．
解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)=(28－1)÷(2－1)=28－1．
(1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2；
(2) (4x－3y)2 ； =16x2－24xy+9y2；
(3) (2m－1)2 ； =4m2－4m+1；
(4)(－2m－1)2 . =4m2+4m+1.
4.运用完全平方公式计算:
5、已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2的值．
解：因为a＋b＝7，所以(a+b)2＝49.所以a2＋b2＝(a+b)2-2ab=49-2×10＝29.(a－b)2＝a2＋b2-2ab＝29-2×10＝9.
6.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2.7.已知x2+y2=8,x+y=4,求x－y.
解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37；
a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43.
解：∵x+y=4, ∴(x+y)2=16,即x2+y2+2xy=16①;
由①－②得2xy=8，②－得x2+y2－2xy=0.即(x－y)2=0，故x－y=0
8.有这样一道题，计算：2（x+y）(x－y)+[(x+y)2－ xy]+ [(x－y)2 +xy]的值，其中x=2006，y=2007；某同学把“y=2007”错抄成“y=2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由.
解：原式=2x2－2y2+[x2+y2 +2xy－xy]+[x2+y2 －2xy+xy]=2x2－2y2+x2+y2 +xy+x2+y2 －xy=2x2－2y2+2x2+2y2=4x2.答案与y无关.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式.
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.