巧用圆的基本性质解圆的五种关系课件

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第11招 巧用圆的基本性质解圆的五种关系九年级数学（上）极速提分法 如图，在⊙O中，AB＝AC，∠ACB＝60°.(1)求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC；(2)若D是AB的中点，求证：四边形OADB是菱形．︵︵︵解题秘方：利用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系证明即可．证明：(1)∵ AB＝AC ，∴AB＝AC.又∵∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.︵︵︵︵︵关系1 弦、弧之间的关系1.如图，在⊙O中，弦AD＝BC，求证： AB＝CD. ︵︵证明：因为AD＝BC，所以AD＝BC，所以AD＋AC＝BC＋AC，即AB＝CD.︵︵︵︵︵︵︵︵【点方法】在同圆或等圆中，等弦对等弧，等弧对等弦(劣弧等劣弧，优弧等优弧)．2.如图，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA.求证：∠COB＝∠COA.关系2 圆周角、圆心角之间的关系证明：在⊙O中，∠CAB，∠COB分别是CB所对的圆周角和圆心角，∴∠COB＝2∠CAB.同理可得∠COA＝2∠CBA.又∵∠CAB＝∠CBA，∴∠COB＝∠COA.︵3. 【2023·聊城】如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P.已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD的度数是(　　)A．30°B．25°C．20°D．10°C关系3 弧、圆周角之间的关系︵【点拨】如图，连接BC.∵∠AOC＝80°，∴∠ABC＝40°.∵∠P＝30°，∴∠BCD＝10°.∴BD的度数为20°.︵4.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上， ∠BAC＝50°，求∠ADC的度数． 解：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°.又∵∠ADC，∠ABC都是AC所对的圆周角，∴∠ADC＝∠ABC＝40°.︵【点拨】在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等．5.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.(1)求证：AD＝AN；证明：∵∠ADC与∠ABC都是AC所对的圆周角，∴∠ADC＝∠ABC.∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠CEB＝∠AMC＝90°.∴∠ABC＋∠C＝∠CNM＋∠C.∴∠ABC＝∠CNM.又∠CNM＝∠AND.∴∠ABC＝∠AND.∴∠ADC＝∠AND.∴AD＝AN.︵6.如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，连接DE.试判断BD，DE，EC之间的数量关系，并说明理由．关系4 弦、圆心角之间的关系解：BD＝DE＝EC.理由如下：如图，连接OD，OE.∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°.∵OB＝OD＝OE＝OC，∴△BOD与△COE都是等边三角形．∴∠BOD＝∠COE＝60°.∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.∴∠BOD＝∠DOE＝∠COE. ∴BD＝DE＝EC.【点方法】本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD，OE，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．7.如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD.关系5 弦、弧、圆心角之间的关系︵证明：如图，连接AC，BD.∵C，D是AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD，∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠BOD.又∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.︵︵︵︵【点方法】本题解题的关键是证∠AEC＝∠ACE，从而证得AE＝AC，同理证得BF＝BD.从而证得AE＝BF＝CD.