湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题

这是一份湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了已知X～N，若P等内容，欢迎下载使用。
1．已知X～N（3，σ2），P（X＜2）＝，则P（X＜4）＝（ ）
A．B．C．D．
2．对四组数据进行统计，获得以下散点图，则其相关系数值最大的是（ ）
A．r1B．r2C．r3D．r4
3．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量ξ表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为+的是（ ）
A．P（ξ≤1）B．P（ξ＝1）C．P（ξ＞1）D．P（ξ＞2）
4．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随机各取一球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．若P（B|A）＝，，P（B）＝，则P（A|B）＝（ ）
A．B．C．D．
6．某一离散型随机变量ξ的概率分布如下表，且Eξ＝1.5，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣0.1B．0C．0.1D．0.2
7．某离散型随机变量X的分布列如下，若E（X）＝，P（X≥1）＝，则D（X）＝（ ）
A．B．C．D．
8．当0＜x＜1时，下列不等式正确的是（ ）
A．（）2＜＜
B．＜（）2＜
C．（）2＜＜
D．＜（）2＜
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且a2＝0，S7＝a4+12，则（ ）
A．d＝1
B．an＝n﹣2
C．a4+a10＝﹣10
D．当n＝1或2时，Sn取得最小值
（多选）10．关于随机事件A，B，C，下列说法正确的是（ ）
A．若P（B|A）＝P（B|），则A，B独立
B．若P（AB）＝P（A）P（B），则
C．若P（A+B）＝P（A）+P（B），则P（AB）＝P（A）P（B）
D．若事件B和C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A）
（多选）11．已知数列{an}，a1＝1，anan+1＝2n，n∈N*，则下列说法正确的是（ ）
A．a3＝2
B．数列{a2n﹣1}是等比数列
C．a2n﹣1+a2n＝2n﹣1
D．a2n﹣a2n﹣1＝2n﹣1
（多选）12．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝axm（x＞0），其中m≠0，1，则（ ）
A．存在过点（0，0）与函数f（x）、g（x）图象均相切的直线
B．当m＝2，a＝时，不存在与函数f（x）、g（x）图象均相切的直线
C．当m＝，a＝时，存在两条与函数f（x）、g（x）图象均相切的直线
D．最多存在三条与函数f（x）、g（x）图象均相切的直线
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．在散点图中，若所有的样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则相关系数|r|＝ ．
14．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为 ．
15．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列{}为等差数列，则a5＝ ．
16．已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．已知数列{an}满足a1＝4，且an+1＝2an+2n+1（n∈N*）．设bn＝．（10分）
（1）求证：数列{bn}为等差数列；
（2）设数列cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn．
18．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃～22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x（℃）与绿豆新品种发芽数y（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃～14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：（12分）
（1）由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数．
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
19．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣1，．（12分）
（1）求等比数列{an}的通项公式；
（2）求++…+的值．
20．深圳中学足球社团是一个受学生欢迎的社团．（12分）
（1）现社团招新，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．某同学进行“点球测试”，依据平时的训练数据，获得其单次点球踢进的概率为，该同学每次点球是否踢进相互独立．他在测试中所踢的点球次数记为X，求X的分布列及数学期望；
（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1．
（i）证明：数列为等比数列：
（ii）判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．
21．已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球，现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分．（12分）
（1）若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；
（2）若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．
22．已知函数f（x）＝lnx+a﹣1，a∈R．（12分）
（1）若f（x）≤x，求a的取值范围；
（2）当a∈（0，1]时，证明：．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：DAACC 6-10:BDC
二．多选题（共4小题）
9：ABD．10：ABD．11：ABD．12：BC．
三．填空题（共4小题）
13：1． 14：． 15： 16：（﹣∞，﹣2）．
四．解答题（共6小题）
17．证明：（1）数列{an}满足a1＝4，且an+1＝2an+2n+1（n∈N*），
整理得：（常数），
故数列{bn}是以2为首项，1为公差的等差数列；
解：（2）由（1）得：bn＝2+（n﹣1）＝n+1．
所以；
所以．
故．
18．解：（1）由题意可知：，
则，
又＝176，
所以相关系数．
所以y与x的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）由（1）知，，，．
所以，
所以．
所以y与x的回归直线为y＝2.5x﹣3.5．
当x＝19时，y＝2.5×19﹣3.5＝44．即在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44．
19解：（1）由已知可知q≠1．
因为a1＝﹣1，，所以，
即，解得，
则有：；
（2）由（1）知，则，
所以，且，
所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，
所以＝＝﹣．
20解：（1）由题意，X可能取1，2，3，
则P（X＝1）＝0.6，P（X＝2）＝0.4×0.6＝0.24，
P（X＝3）＝0.4×0.4＝0.16，
X的分布列为：
即E（X）＝1×0.6+2×0.24+3×0.16＝1.56；
（2）证明：（i）第n次触球者是甲的概率记为Pn，则当n≥2时，第n﹣1次触球者是甲的概率为Pn﹣1，第n﹣1次触球者不是甲的概率为1﹣Pn﹣1，
则，
从而，又，
∴是以为首项，公比为的等比数列；
（ii），
，
P19＞P20，故第19次触球者是甲的概率大．
21解：（1）连续取3个球有＝6×5×4＝120种方法，从中连续取3个球，红、白、黑各取一个有•••＝48种方法，
恰好取到3种颜色球的概率为P＝＝．
（2）由题意可得，随机变量ξ所有可能取值为4，5，6，7，8；
当ξ＝4时，取出两个红球和一个白球，则P（ξ＝4）＝＝，
当ξ＝5时，取出两个红球和一个黑球或两个白球和一个红球，则P（ξ＝5）＝＝，
当ξ＝6时，取出一个红球和一个白球和一个黑球，则P（ξ＝6）＝＝，
当ξ＝7时，取出一个红球和两个黑球或两个白球和一个黑球，则P（ξ＝7）＝＝，
当ξ＝8时，取出两个黑球和一个白球，则P（ξ＝8）＝＝，
所以随机变量ξ的分布列为：
数学期望为E（ξ）＝4×+5×+6×+7×+8×＝6．
22解：（1）记g（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣x+a﹣1．
则g（x）≤0恒成立，即g（x）max≤0，
∵，当x∈（0，1），g'（x）＞0；当x∈（1，+∞），g'（x）＜0；
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）max＝g（1）≤0，解得a≤2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
（2）证明：记，
∵在（0，+∞）上单调递增．
令，
则，所以φ（x）即h'（x）在（0，+∞）上单调递增．
由a∈（0，1]，知，∴，即，
∴当x∈（0，x0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
∴，
由（*）式，可得，
代入（**）式，得，
由（1）知，当a＝2时有lnx≤x﹣1，
故﹣lnx0≥1﹣x0．∴，
由，∴h（x0）≥0，
故h（x）≥0，即，原不等式得证．
ξ
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
X
﹣1
0
1
2
P
a
b
c
X
1
2
3
P
0.6
0.24
0.16
ξ
4
5
6
7
8
P