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江苏省苏州实验中学科技城校2021-2022学年高一下学期期中测试数学试卷
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这是一份江苏省苏州实验中学科技城校2021-2022学年高一下学期期中测试数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝3，，则a＝（ ）
A．13B．37C．D．
2．（5分）如图所示，复数z1、z2在复平面中所对应的点分别为A、B，网格中的每个小正方形的边长为1，则|z1z2|＝（ ）
A．3B．C．D．
3．（5分）已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第40百分位数为（ ）
A．87B．87.5C．88D．89
4．（5分）2021年起．江苏省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从物理、历史两门学科中任选一科，然后从思想政治、地理、化学、生物4个等级考试科目中选取2个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的4个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择化学、生物”和“选择政治、地理”为（ ）
A．相互独立事件B．对立事件
C．互斥事件D．以上都不对
5．（5分）已知，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．3
6．（5分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为，则p＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）平面向量，满足，且，则3﹣在上的投影向量为（ ）
A．B．﹣3C．D．
8．（5分）气象学意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均气温不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据均为正整数）．
甲地：5个数据的中位数是28，总体平均数为25；
乙地：5个数据的中位数是24，众数为22；
丙地：5个数据中一个为32，总体平均数为26，方差为10.8．
则由此判断进入夏季的地区是（ ）
A．甲地，乙地B．甲地，丙地
C．乙地，丙地D．无地区进入夏季
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列说法不正确的有（ ）
A．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a≠b，则＞0恒成立
B．若向量与平行，则存在唯一的实数λ使＝
C．若事件A与事件独立，则事件A与事件B独立
D．复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），若z的实部为0，则z为纯虚数
（多选）10．（5分）2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章．百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生840人，高三年级有学生960人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行按比例分层随机抽样得到容量为n的样本．若在高一年级中抽取了40人，则下列结论定成立的是（ ）
A．样本容量n＝100
B．在抽样的过程中，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是不相等的
C．高二年级，高三年级应抽取的人数分别为32人，28人
D．如果高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，90分，80分，那么估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为84.8分
（多选）11．（5分）一个袋子中装有大小和质地相同的相同的3个白球和2个红球，从中随机抛取2个球，其中结论正确的是（ ）
A．一次抽取2个，取出的两个球中恰有一个红球的概率是
B．每次抽取1个，有放回抽取两次，取出的两个球中恰有一个红球的概率是
C．每次抽取1个，不放回抽取两次，取出的两个球中至少有一个红球的概率是
D．每次抽取1个，不放回抽取两次，“第一次取出白球”与“第二次取出红球”相互独立
（多选）12．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝λ（λ＞0），＝，AE与BD交于点O，则下列正确的有（ ）
A．若λ＝1，则3＝+
B．若＝+，则λ＝2
C．若λ＝2，则当与夹角为135°时，有||＝||
D．若λ＝3，则当∠ABD最大时，有||＝2||
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知事件A，B相互独立，且，，则P（A+B）＝ ．
14．（5分）习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某校在高一年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，根据图中的样本数据估计该校高一年级男生立定跳远项目的及格率为 ．
15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若，且2a＝b+c，则角C＝ ．
16．（5分）设a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足b2＝ac，延长BC至M，若BM＝6，﹣C）＝1，则△ACM的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知复数z0＝3+4i，
（1）若复数z满足zz0＝3z+z0，求z的虚部；
（2）若z∈C，|zz0|＝25，，求z．
18．（12分）2022春，新冠疫情袭来，学校采用线上教学．为调查高一、高二学生心理健康状况，某学校采用按比例分层抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试（满分：10分）．经初步统计，参加测试的高一学生成绩xi（i＝1，2，3，…，50）的平均分＝7.24，方差，高二学生的成绩yi（i＝1，2，3，…，40）的统计表如下：
（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差．
（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分和方差．
（附：①2×2.72+6×1.72+11×0.72+9×0.32+7×1.32+5×2.32＝76.4；②2×2.52+6×1.52+11×0.52+9×0.52+7×1.52+5×2.52＝78）
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC+c＝b．
（1）求csA的值；
（2）求sinBsinC的最大值．
20．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P为△ABC内一点（不含边界）．
（1）若，∠BPC＝90°，求•；
（2）若，，求．
21．（12分）为迎接冬奥，科普冬奥知识．某学校组织冬奥知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为T1，T2，T3电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得3分，每答错一道题目扣1分；
②选手若答对第T题，则继续作答第Ti+1题；选手若答错第T题，则失去第Ti+1题的答题机会，从第Ti+2题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于5分，则选手挑战成功，否则挑战失败．
选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答错1道题的概率P1；
（2）选手甲闯关成功的概率P2；
22．（12分）众志成城、共同抗疫是我国从抗疫过程中得到的宝贵经验，近期，为了破解上海抗疫物资流动之困，江苏省在昆山市设立物资接驳中转站，中转站设有查验区、消杀区、缓冲区等区域．学校劳技课，某位同学设计了物资接驳中转站示意图（如图所示），其中ACED，ABGF，BCQP均为正方形．已知，AB＝2，AP，AQ是站内公路．
（1）若AB⊥AC，求EQ的长度；
（2）设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），求AQ长度的最大值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝3，，则a＝（ ）
A．13B．37C．D．
【解答】解：直接利用余弦定理：；
解得a＝．
故选：D．
2．（5分）如图所示，复数z1、z2在复平面中所对应的点分别为A、B，网格中的每个小正方形的边长为1，则|z1z2|＝（ ）
A．3B．C．D．
【解答】解：由题意，点A（﹣3，1），B（1，﹣1），
则z1＝﹣3+i，z2＝1﹣i，
故|z1z2|＝|z1|•|z2|＝×＝2．
故选：C．
3．（5分）已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第40百分位数为（ ）
A．87B．87.5C．88D．89
【解答】解：因为5×40%＝2，
所以这组数据的第40百分位数为＝87.5．
故选：B．
4．（5分）2021年起．江苏省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从物理、历史两门学科中任选一科，然后从思想政治、地理、化学、生物4个等级考试科目中选取2个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的4个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择化学、生物”和“选择政治、地理”为（ ）
A．相互独立事件B．对立事件
C．互斥事件D．以上都不对
【解答】解：由题意，该考生“选择化学、生物”和“选择政治、地理”不能同时发生，为互斥事件，
但除了这两种选择之外还有其它选择方案，即不为对立事件．
故选：C．
5．（5分）已知，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：因为3＝＝＝tan，
则tanα＝＝＝﹣．
故选：B．
6．（5分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为，则p＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，
系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，
若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为，
则（1﹣p）+（1﹣）p＝，
解得p＝．
故选：D．
7．（5分）平面向量，满足，且，则3﹣在上的投影向量为（ ）
A．B．﹣3C．D．
【解答】解：，且，
则＝﹣6﹣2＝﹣8，，
故3﹣在上的投影向量为＝．
故选：A．
8．（5分）气象学意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均气温不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据均为正整数）．
甲地：5个数据的中位数是28，总体平均数为25；
乙地：5个数据的中位数是24，众数为22；
丙地：5个数据中一个为32，总体平均数为26，方差为10.8．
则由此判断进入夏季的地区是（ ）
A．甲地，乙地B．甲地，丙地
C．乙地，丙地D．无地区进入夏季
【解答】解：由5个数据的中位数是28，总体平均数为25知，
5个数据从小到大排序后可以是16，25，28，28，28，故判断不出甲地进入夏季；
由5个数据的中位数是24，众数为22知，
5个数据从小到大排序后的前三个数为22，22，24，故可判断乙地进入夏季；
对于丙地，若有一个数据x≤21，则≥＞10.8，
与5个数据的方差为10.8相矛盾，故假设不成立，故可判断丙地进入夏季．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列说法不正确的有（ ）
A．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a≠b，则＞0恒成立
B．若向量与平行，则存在唯一的实数λ使＝
C．若事件A与事件独立，则事件A与事件B独立
D．复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），若z的实部为0，则z为纯虚数
【解答】解：对于A，由题意可得，在△ABC中，当sinA＞sinB时，a＞b，则＞0，
当sinA＜sinB时，a＜b，则＞0，故A正确，
对于B，当时，满足向量与平行，则不存在唯一的实数λ使＝，故B错误，
对于C，∵事件A与事件独立，
∴＝P（A）[1﹣P（B）]＝P（A）﹣P（A）P（B），
∵，
∴P（AB）＝P（A）P（B），故C正确，
对于D，复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），z的实部为0，且b≠0，则z为纯虚数，故D错误．
故选：BD．
（多选）10．（5分）2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章．百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生840人，高三年级有学生960人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行按比例分层随机抽样得到容量为n的样本．若在高一年级中抽取了40人，则下列结论定成立的是（ ）
A．样本容量n＝100
B．在抽样的过程中，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是不相等的
C．高二年级，高三年级应抽取的人数分别为32人，28人
D．如果高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，90分，80分，那么估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为84.8分
【解答】解：对于A选项，由分层抽样的性质可得，，解得n＝100，故A选项正确，
对于B选项，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是相等的，故B选项错误，
对于C选项，该校共有学生1200+960+840＝3000，高二年级应抽取人，高三年级应抽取人，故C选项正确，
对于D选项，∵高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，80分，90分，
∴估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为，故D选项正确．
故选：AD．
（多选）11．（5分）一个袋子中装有大小和质地相同的相同的3个白球和2个红球，从中随机抛取2个球，其中结论正确的是（ ）
A．一次抽取2个，取出的两个球中恰有一个红球的概率是
B．每次抽取1个，有放回抽取两次，取出的两个球中恰有一个红球的概率是
C．每次抽取1个，不放回抽取两次，取出的两个球中至少有一个红球的概率是
D．每次抽取1个，不放回抽取两次，“第一次取出白球”与“第二次取出红球”相互独立
【解答】解：A，一次抽取2个，基本事件总数为＝10，取出的两个球中恰有一个红球包含的基本事件数为•＝6，∴所求的概率P＝＝，故A正确，
B，每次抽取1个，有放回抽取两次，基本事件总数为总数5×5＝25，取出的两个球中恰有一个红球包含的基本事件数为••＝12，∴P＝，故B正确，
C，每次抽取1个，不放回抽取两次，基本事件总数为5×4＝20，取出的两个球中至少有一个红球包含的基本事件数为20﹣•＝14，∴P＝＝，故C错误，
D，每次抽取1个，不放回抽取两次，第一次取出白球会影响第二次取出红球发生的概率，故第一次取出白球与第二次取出红球不相互独立，故D错误．
故选：AB．
（多选）12．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝λ（λ＞0），＝，AE与BD交于点O，则下列正确的有（ ）
A．若λ＝1，则3＝+
B．若＝+，则λ＝2
C．若λ＝2，则当与夹角为135°时，有||＝||
D．若λ＝3，则当∠ABD最大时，有||＝2||
【解答】解：设＝μ，
因为＝λ，所以＝，
所以＝+＝+μ＝+μ（﹣）＝（1﹣μ）+＝2（1﹣μ）+，
因为A，O，E三点共线，所以2（1﹣μ）+＝1，即1﹣2μ+＝0，
选项A，若λ＝1，则μ＝，
所以＝（1﹣μ）+＝+，即3＝+，故选项A正确；
选项B，若＝+，则，解得λ＝2，μ＝，即选项B正确；
以C为原点，CB，CA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设||＝m，||＝n，则A（0，m），B（n，0），E（n，0），
选项C，若λ＝2，则D（0，m），所以＝（n，﹣m），＝（﹣n，m），
当与夹角为135°时，所以cs135°＝＝＝﹣，
化简可得4m4﹣13m2n2+9n4＝0，解得2m＝3n或m＝n，
即||＝||或||＝||，故选项C错误；
选项D，若λ＝3，则D（0，m），sin∠BAC＝＝，
所以|AD|＝m，|BD|＝，
在△ABD中，由正弦定理知，＝，
所以sin∠ABD＝＝＝＝，
令t＝，则sin∠ABD＝＝≤＝，
当且仅当16t2＝，即t＝时，等号成立，此时sin∠ABD取得最大值，即∠ABD取得最大值，
所以＝，即||＝2||，故选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知事件A，B相互独立，且，，则P（A+B）＝ ．
【解答】解：∵事件A，B相互独立，且，，
则P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）
＝
＝．
故答案为：．
14．（5分）习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某校在高一年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，根据图中的样本数据估计该校高一年级男生立定跳远项目的及格率为 78.75% ．
【解答】解：由图可知成绩在[175，195）的频率为0.0075×20＝0.15，成绩在[195，215）的频率为0.0125×20＝0.25，
则成绩在[195，200）的频率为＝0.0625，
所以及格率为：1﹣（0.15+0.0625）＝0.7875＝78.75%．
故答案为：78.75%．
15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若，且2a＝b+c，则角C＝ ．
【解答】解：若＝，
则3sinCcsB＝5sinB﹣3sinBcsC，
所以3sin（C+B）＝5sinB＝3sinA，
由正弦定理可得5b＝3a，
不妨设b＝3x，则a＝5x，
因为2a＝b+c，
所以c＝7x，
由余弦定理得，csC＝＝＝﹣，
因为0＜C＜π，
所以C＝．
故答案为：．
16．（5分）设a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足b2＝ac，延长BC至M，若BM＝6，﹣C）＝1，则△ACM的面积的最大值为 ．
【解答】解：因为﹣C）＝1，可得cs（A﹣C）﹣csB＝，
所以cs（A﹣C）+cs（A+C）＝，
所以csAcsC＝，①
又因为b2＝ac，
由正弦定理得：sin2B＝sinAsinC，②
①﹣②得：sin2B＝csAcsC﹣sinAsinC，
化简得：4cs2B+4csB﹣3＝0，
解得：csB＝，
又0＜B＜π，
所以B＝，
①+②：
cs（A﹣C）＝1，
即A﹣C＝0，
即A＝C，
即三角形ABC为正三角形，
设边长为x，由已知有0＜x＜6，
则S△ACM＝＝≤＝（当且仅当x＝6﹣x即x＝3时取等号），
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知复数z0＝3+4i，
（1）若复数z满足zz0＝3z+z0，求z的虚部；
（2）若z∈C，|zz0|＝25，，求z．
【解答】解：（1）z0＝3+4i，
zz0＝3z+z0，
则z（z0﹣3）＝z0
故，其虚部为；
（2）设z＝a+bi（a，b∈R），
z0＝3+4i，
则，
|zz0|＝25，
则|z||z0|＝25，即|z|＝5，即a2+b2＝25①，
，
则（a﹣3）2+（b﹣4）2＝50②，
联立①②，解得或，
故z＝4﹣3i或﹣4+3i．
18．（12分）2022春，新冠疫情袭来，学校采用线上教学．为调查高一、高二学生心理健康状况，某学校采用按比例分层抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试（满分：10分）．经初步统计，参加测试的高一学生成绩xi（i＝1，2，3，…，50）的平均分＝7.24，方差，高二学生的成绩yi（i＝1，2，3，…，40）的统计表如下：
（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差．
（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分和方差．
（附：①2×2.72+6×1.72+11×0.72+9×0.32+7×1.32+5×2.32＝76.4；②2×2.52+6×1.52+11×0.52+9×0.52+7×1.52+5×2.52＝78）
【解答】解：（1）由表中数据，计算高二学生成绩的平均分为：
＝×（4×2+5×6+6×11+7×9+8×7+9×5）＝6.7，
所以方差为：
＝×[（4﹣6.7）2×2+（5﹣6.7）2×6+（6﹣6.7）2×11+（7﹣6.7）2×9+（8﹣6.7）2×7+（9﹣6.7）2×5]＝×76.4＝1.91．
（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分为：
＝×（7.24×50+6.7×40）＝7，
方差为：
＝×[1.9424+（7.24﹣7）2]+×[1.91+（6.7﹣7）2]＝+＝2．
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC+c＝b．
（1）求csA的值；
（2）求sinBsinC的最大值．
【解答】解：（1）因为acsC+c＝b，
所以由正弦定理可得sinAcsC+sinC＝sinB，
又sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC，
所以sinC＝csAsinC，
又sinC≠0，
所以csA＝．
（2）由（1）可得sinA＝＝，
由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccsA＝b2+c2﹣bc，①
由正弦定理得：＝＝，
所以sinB＝，sinC＝，
所以sinB•sinC＝，②
①代入②，sinB•sinC＝≤＝，
当且仅当b＝c时，sinBsinC取最大值．
20．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P为△ABC内一点（不含边界）．
（1）若，∠BPC＝90°，求•；
（2）若，，求．
【解答】解：（1）∵，∠BPC＝90°，BC＝1，
∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°，又AB＝，
∴＝（）•＝＝＝；
（1）建系如图：
则根据题意可得A（，0），B（0，0），C（0，1），设P（x，y），
∴，，，
∴，
解得或，
∴P（，）或P（，），
∵AC直线方程为，
当P为（，）时，P在AC直线上，不满足题意，
故P为（，），
∴＝．
21．（12分）为迎接冬奥，科普冬奥知识．某学校组织冬奥知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为T1，T2，T3电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得3分，每答错一道题目扣1分；
②选手若答对第T题，则继续作答第Ti+1题；选手若答错第T题，则失去第Ti+1题的答题机会，从第Ti+2题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于5分，则选手挑战成功，否则挑战失败．
选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答错1道题的概率P1；
（2）选手甲闯关成功的概率P2；
【解答】解：设Ai为选手答对Ti题，其中i＝1，2，3，
（1）设挑战结束后，选手甲共答错1道题为事件A，则A＝A1A2∪∪A3，
由概率的加法公式和事件独立性的定义得：P1＝P（A）＝P（A1A2∪A1∪A3）
＝P（A1A2）+P（）+＝××（1﹣）+×（1﹣）+×＝；
（2）设选手甲挑战成功为事件B，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，
∴B＝A1A2A3∪A1A2，由概率的加法公式和事件独立性的定义得：
P2＝P（B）＝P（A1A2A3∪A1A2）＝P（A1A2A3）+．
22．（12分）众志成城、共同抗疫是我国从抗疫过程中得到的宝贵经验，近期，为了破解上海抗疫物资流动之困，江苏省在昆山市设立物资接驳中转站，中转站设有查验区、消杀区、缓冲区等区域．学校劳技课，某位同学设计了物资接驳中转站示意图（如图所示），其中ACED，ABGF，BCQP均为正方形．已知，AB＝2，AP，AQ是站内公路．
（1）若AB⊥AC，求EQ的长度；
（2）设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），求AQ长度的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，在△ABC中，，AB＝2，，所以，cs∠ACB＝＝，
因为∠ACB+∠ECQ＝π，所以cs∠ECQ＝cs（π﹣∠ACB）＝﹣cs∠ACB＝．
在△ECQ中，，，
由余弦定理得EQ2＝CE2+CQ2﹣2CE×CQ×cs∠ACB＝8+12﹣2×2×2×（）＝36，
所以EQ的长度为＝6；
（2）在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•csθ，整理得，
设∠ACB＝α，在△ACQ中，由余弦定理得，
结合CQ2＝，整理得…①，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
可得CQ•sinα＝AB•sinθ＝2sinθ，代入①可得＝20+16sin（θ﹣），
因为0＜θ＜π，所以，当时，即时，AQ2的最大值为20+16＝36，
因此，AQ长度的最大值为＝6．成绩y
4
5
6
7
8
9
频数
2
6
11
9
7
5
成绩y
4
5
6
7
8
9
频数
2
6
11
9
7
5
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝3，，则a＝（ ）
A．13B．37C．D．
2．（5分）如图所示，复数z1、z2在复平面中所对应的点分别为A、B，网格中的每个小正方形的边长为1，则|z1z2|＝（ ）
A．3B．C．D．
3．（5分）已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第40百分位数为（ ）
A．87B．87.5C．88D．89
4．（5分）2021年起．江苏省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从物理、历史两门学科中任选一科，然后从思想政治、地理、化学、生物4个等级考试科目中选取2个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的4个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择化学、生物”和“选择政治、地理”为（ ）
A．相互独立事件B．对立事件
C．互斥事件D．以上都不对
5．（5分）已知，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．3
6．（5分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为，则p＝（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）平面向量，满足，且，则3﹣在上的投影向量为（ ）
A．B．﹣3C．D．
8．（5分）气象学意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均气温不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据均为正整数）．
甲地：5个数据的中位数是28，总体平均数为25；
乙地：5个数据的中位数是24，众数为22；
丙地：5个数据中一个为32，总体平均数为26，方差为10.8．
则由此判断进入夏季的地区是（ ）
A．甲地，乙地B．甲地，丙地
C．乙地，丙地D．无地区进入夏季
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列说法不正确的有（ ）
A．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a≠b，则＞0恒成立
B．若向量与平行，则存在唯一的实数λ使＝
C．若事件A与事件独立，则事件A与事件B独立
D．复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），若z的实部为0，则z为纯虚数
（多选）10．（5分）2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章．百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生840人，高三年级有学生960人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行按比例分层随机抽样得到容量为n的样本．若在高一年级中抽取了40人，则下列结论定成立的是（ ）
A．样本容量n＝100
B．在抽样的过程中，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是不相等的
C．高二年级，高三年级应抽取的人数分别为32人，28人
D．如果高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，90分，80分，那么估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为84.8分
（多选）11．（5分）一个袋子中装有大小和质地相同的相同的3个白球和2个红球，从中随机抛取2个球，其中结论正确的是（ ）
A．一次抽取2个，取出的两个球中恰有一个红球的概率是
B．每次抽取1个，有放回抽取两次，取出的两个球中恰有一个红球的概率是
C．每次抽取1个，不放回抽取两次，取出的两个球中至少有一个红球的概率是
D．每次抽取1个，不放回抽取两次，“第一次取出白球”与“第二次取出红球”相互独立
（多选）12．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝λ（λ＞0），＝，AE与BD交于点O，则下列正确的有（ ）
A．若λ＝1，则3＝+
B．若＝+，则λ＝2
C．若λ＝2，则当与夹角为135°时，有||＝||
D．若λ＝3，则当∠ABD最大时，有||＝2||
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知事件A，B相互独立，且，，则P（A+B）＝ ．
14．（5分）习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某校在高一年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，根据图中的样本数据估计该校高一年级男生立定跳远项目的及格率为 ．
15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若，且2a＝b+c，则角C＝ ．
16．（5分）设a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足b2＝ac，延长BC至M，若BM＝6，﹣C）＝1，则△ACM的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知复数z0＝3+4i，
（1）若复数z满足zz0＝3z+z0，求z的虚部；
（2）若z∈C，|zz0|＝25，，求z．
18．（12分）2022春，新冠疫情袭来，学校采用线上教学．为调查高一、高二学生心理健康状况，某学校采用按比例分层抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试（满分：10分）．经初步统计，参加测试的高一学生成绩xi（i＝1，2，3，…，50）的平均分＝7.24，方差，高二学生的成绩yi（i＝1，2，3，…，40）的统计表如下：
（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差．
（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分和方差．
（附：①2×2.72+6×1.72+11×0.72+9×0.32+7×1.32+5×2.32＝76.4；②2×2.52+6×1.52+11×0.52+9×0.52+7×1.52+5×2.52＝78）
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC+c＝b．
（1）求csA的值；
（2）求sinBsinC的最大值．
20．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P为△ABC内一点（不含边界）．
（1）若，∠BPC＝90°，求•；
（2）若，，求．
21．（12分）为迎接冬奥，科普冬奥知识．某学校组织冬奥知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为T1，T2，T3电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得3分，每答错一道题目扣1分；
②选手若答对第T题，则继续作答第Ti+1题；选手若答错第T题，则失去第Ti+1题的答题机会，从第Ti+2题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于5分，则选手挑战成功，否则挑战失败．
选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答错1道题的概率P1；
（2）选手甲闯关成功的概率P2；
22．（12分）众志成城、共同抗疫是我国从抗疫过程中得到的宝贵经验，近期，为了破解上海抗疫物资流动之困，江苏省在昆山市设立物资接驳中转站，中转站设有查验区、消杀区、缓冲区等区域．学校劳技课，某位同学设计了物资接驳中转站示意图（如图所示），其中ACED，ABGF，BCQP均为正方形．已知，AB＝2，AP，AQ是站内公路．
（1）若AB⊥AC，求EQ的长度；
（2）设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），求AQ长度的最大值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝3，，则a＝（ ）
A．13B．37C．D．
【解答】解：直接利用余弦定理：；
解得a＝．
故选：D．
2．（5分）如图所示，复数z1、z2在复平面中所对应的点分别为A、B，网格中的每个小正方形的边长为1，则|z1z2|＝（ ）
A．3B．C．D．
【解答】解：由题意，点A（﹣3，1），B（1，﹣1），
则z1＝﹣3+i，z2＝1﹣i，
故|z1z2|＝|z1|•|z2|＝×＝2．
故选：C．
3．（5分）已知一组数据为85，87，88，90，92，则这组数据的第40百分位数为（ ）
A．87B．87.5C．88D．89
【解答】解：因为5×40%＝2，
所以这组数据的第40百分位数为＝87.5．
故选：B．
4．（5分）2021年起．江苏省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从物理、历史两门学科中任选一科，然后从思想政治、地理、化学、生物4个等级考试科目中选取2个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的4个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择化学、生物”和“选择政治、地理”为（ ）
A．相互独立事件B．对立事件
C．互斥事件D．以上都不对
【解答】解：由题意，该考生“选择化学、生物”和“选择政治、地理”不能同时发生，为互斥事件，
但除了这两种选择之外还有其它选择方案，即不为对立事件．
故选：C．
5．（5分）已知，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：因为3＝＝＝tan，
则tanα＝＝＝﹣．
故选：B．
6．（5分）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为，则p＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，
系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p，
若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为，
则（1﹣p）+（1﹣）p＝，
解得p＝．
故选：D．
7．（5分）平面向量，满足，且，则3﹣在上的投影向量为（ ）
A．B．﹣3C．D．
【解答】解：，且，
则＝﹣6﹣2＝﹣8，，
故3﹣在上的投影向量为＝．
故选：A．
8．（5分）气象学意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均气温不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据均为正整数）．
甲地：5个数据的中位数是28，总体平均数为25；
乙地：5个数据的中位数是24，众数为22；
丙地：5个数据中一个为32，总体平均数为26，方差为10.8．
则由此判断进入夏季的地区是（ ）
A．甲地，乙地B．甲地，丙地
C．乙地，丙地D．无地区进入夏季
【解答】解：由5个数据的中位数是28，总体平均数为25知，
5个数据从小到大排序后可以是16，25，28，28，28，故判断不出甲地进入夏季；
由5个数据的中位数是24，众数为22知，
5个数据从小到大排序后的前三个数为22，22，24，故可判断乙地进入夏季；
对于丙地，若有一个数据x≤21，则≥＞10.8，
与5个数据的方差为10.8相矛盾，故假设不成立，故可判断丙地进入夏季．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）下列说法不正确的有（ ）
A．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a≠b，则＞0恒成立
B．若向量与平行，则存在唯一的实数λ使＝
C．若事件A与事件独立，则事件A与事件B独立
D．复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），若z的实部为0，则z为纯虚数
【解答】解：对于A，由题意可得，在△ABC中，当sinA＞sinB时，a＞b，则＞0，
当sinA＜sinB时，a＜b，则＞0，故A正确，
对于B，当时，满足向量与平行，则不存在唯一的实数λ使＝，故B错误，
对于C，∵事件A与事件独立，
∴＝P（A）[1﹣P（B）]＝P（A）﹣P（A）P（B），
∵，
∴P（AB）＝P（A）P（B），故C正确，
对于D，复数z＝a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），z的实部为0，且b≠0，则z为纯虚数，故D错误．
故选：BD．
（多选）10．（5分）2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章．百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗．某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生840人，高三年级有学生960人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级进行按比例分层随机抽样得到容量为n的样本．若在高一年级中抽取了40人，则下列结论定成立的是（ ）
A．样本容量n＝100
B．在抽样的过程中，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是不相等的
C．高二年级，高三年级应抽取的人数分别为32人，28人
D．如果高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，90分，80分，那么估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为84.8分
【解答】解：对于A选项，由分层抽样的性质可得，，解得n＝100，故A选项正确，
对于B选项，女生甲被抽中的概率与男生乙被抽中的概率是相等的，故B选项错误，
对于C选项，该校共有学生1200+960+840＝3000，高二年级应抽取人，高三年级应抽取人，故C选项正确，
对于D选项，∵高一，高二，高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分，80分，90分，
∴估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为，故D选项正确．
故选：AD．
（多选）11．（5分）一个袋子中装有大小和质地相同的相同的3个白球和2个红球，从中随机抛取2个球，其中结论正确的是（ ）
A．一次抽取2个，取出的两个球中恰有一个红球的概率是
B．每次抽取1个，有放回抽取两次，取出的两个球中恰有一个红球的概率是
C．每次抽取1个，不放回抽取两次，取出的两个球中至少有一个红球的概率是
D．每次抽取1个，不放回抽取两次，“第一次取出白球”与“第二次取出红球”相互独立
【解答】解：A，一次抽取2个，基本事件总数为＝10，取出的两个球中恰有一个红球包含的基本事件数为•＝6，∴所求的概率P＝＝，故A正确，
B，每次抽取1个，有放回抽取两次，基本事件总数为总数5×5＝25，取出的两个球中恰有一个红球包含的基本事件数为••＝12，∴P＝，故B正确，
C，每次抽取1个，不放回抽取两次，基本事件总数为5×4＝20，取出的两个球中至少有一个红球包含的基本事件数为20﹣•＝14，∴P＝＝，故C错误，
D，每次抽取1个，不放回抽取两次，第一次取出白球会影响第二次取出红球发生的概率，故第一次取出白球与第二次取出红球不相互独立，故D错误．
故选：AB．
（多选）12．（5分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝λ（λ＞0），＝，AE与BD交于点O，则下列正确的有（ ）
A．若λ＝1，则3＝+
B．若＝+，则λ＝2
C．若λ＝2，则当与夹角为135°时，有||＝||
D．若λ＝3，则当∠ABD最大时，有||＝2||
【解答】解：设＝μ，
因为＝λ，所以＝，
所以＝+＝+μ＝+μ（﹣）＝（1﹣μ）+＝2（1﹣μ）+，
因为A，O，E三点共线，所以2（1﹣μ）+＝1，即1﹣2μ+＝0，
选项A，若λ＝1，则μ＝，
所以＝（1﹣μ）+＝+，即3＝+，故选项A正确；
选项B，若＝+，则，解得λ＝2，μ＝，即选项B正确；
以C为原点，CB，CA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设||＝m，||＝n，则A（0，m），B（n，0），E（n，0），
选项C，若λ＝2，则D（0，m），所以＝（n，﹣m），＝（﹣n，m），
当与夹角为135°时，所以cs135°＝＝＝﹣，
化简可得4m4﹣13m2n2+9n4＝0，解得2m＝3n或m＝n，
即||＝||或||＝||，故选项C错误；
选项D，若λ＝3，则D（0，m），sin∠BAC＝＝，
所以|AD|＝m，|BD|＝，
在△ABD中，由正弦定理知，＝，
所以sin∠ABD＝＝＝＝，
令t＝，则sin∠ABD＝＝≤＝，
当且仅当16t2＝，即t＝时，等号成立，此时sin∠ABD取得最大值，即∠ABD取得最大值，
所以＝，即||＝2||，故选项D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知事件A，B相互独立，且，，则P（A+B）＝ ．
【解答】解：∵事件A，B相互独立，且，，
则P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）
＝
＝．
故答案为：．
14．（5分）习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某校在高一年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，根据图中的样本数据估计该校高一年级男生立定跳远项目的及格率为 78.75% ．
【解答】解：由图可知成绩在[175，195）的频率为0.0075×20＝0.15，成绩在[195，215）的频率为0.0125×20＝0.25，
则成绩在[195，200）的频率为＝0.0625，
所以及格率为：1﹣（0.15+0.0625）＝0.7875＝78.75%．
故答案为：78.75%．
15．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若，且2a＝b+c，则角C＝ ．
【解答】解：若＝，
则3sinCcsB＝5sinB﹣3sinBcsC，
所以3sin（C+B）＝5sinB＝3sinA，
由正弦定理可得5b＝3a，
不妨设b＝3x，则a＝5x，
因为2a＝b+c，
所以c＝7x，
由余弦定理得，csC＝＝＝﹣，
因为0＜C＜π，
所以C＝．
故答案为：．
16．（5分）设a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足b2＝ac，延长BC至M，若BM＝6，﹣C）＝1，则△ACM的面积的最大值为 ．
【解答】解：因为﹣C）＝1，可得cs（A﹣C）﹣csB＝，
所以cs（A﹣C）+cs（A+C）＝，
所以csAcsC＝，①
又因为b2＝ac，
由正弦定理得：sin2B＝sinAsinC，②
①﹣②得：sin2B＝csAcsC﹣sinAsinC，
化简得：4cs2B+4csB﹣3＝0，
解得：csB＝，
又0＜B＜π，
所以B＝，
①+②：
cs（A﹣C）＝1，
即A﹣C＝0，
即A＝C，
即三角形ABC为正三角形，
设边长为x，由已知有0＜x＜6，
则S△ACM＝＝≤＝（当且仅当x＝6﹣x即x＝3时取等号），
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知复数z0＝3+4i，
（1）若复数z满足zz0＝3z+z0，求z的虚部；
（2）若z∈C，|zz0|＝25，，求z．
【解答】解：（1）z0＝3+4i，
zz0＝3z+z0，
则z（z0﹣3）＝z0
故，其虚部为；
（2）设z＝a+bi（a，b∈R），
z0＝3+4i，
则，
|zz0|＝25，
则|z||z0|＝25，即|z|＝5，即a2+b2＝25①，
，
则（a﹣3）2+（b﹣4）2＝50②，
联立①②，解得或，
故z＝4﹣3i或﹣4+3i．
18．（12分）2022春，新冠疫情袭来，学校采用线上教学．为调查高一、高二学生心理健康状况，某学校采用按比例分层抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试（满分：10分）．经初步统计，参加测试的高一学生成绩xi（i＝1，2，3，…，50）的平均分＝7.24，方差，高二学生的成绩yi（i＝1，2，3，…，40）的统计表如下：
（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分和方差．
（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分和方差．
（附：①2×2.72+6×1.72+11×0.72+9×0.32+7×1.32+5×2.32＝76.4；②2×2.52+6×1.52+11×0.52+9×0.52+7×1.52+5×2.52＝78）
【解答】解：（1）由表中数据，计算高二学生成绩的平均分为：
＝×（4×2+5×6+6×11+7×9+8×7+9×5）＝6.7，
所以方差为：
＝×[（4﹣6.7）2×2+（5﹣6.7）2×6+（6﹣6.7）2×11+（7﹣6.7）2×9+（8﹣6.7）2×7+（9﹣6.7）2×5]＝×76.4＝1.91．
（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分为：
＝×（7.24×50+6.7×40）＝7，
方差为：
＝×[1.9424+（7.24﹣7）2]+×[1.91+（6.7﹣7）2]＝+＝2．
19．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC+c＝b．
（1）求csA的值；
（2）求sinBsinC的最大值．
【解答】解：（1）因为acsC+c＝b，
所以由正弦定理可得sinAcsC+sinC＝sinB，
又sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC，
所以sinC＝csAsinC，
又sinC≠0，
所以csA＝．
（2）由（1）可得sinA＝＝，
由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccsA＝b2+c2﹣bc，①
由正弦定理得：＝＝，
所以sinB＝，sinC＝，
所以sinB•sinC＝，②
①代入②，sinB•sinC＝≤＝，
当且仅当b＝c时，sinBsinC取最大值．
20．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P为△ABC内一点（不含边界）．
（1）若，∠BPC＝90°，求•；
（2）若，，求．
【解答】解：（1）∵，∠BPC＝90°，BC＝1，
∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°，又AB＝，
∴＝（）•＝＝＝；
（1）建系如图：
则根据题意可得A（，0），B（0，0），C（0，1），设P（x，y），
∴，，，
∴，
解得或，
∴P（，）或P（，），
∵AC直线方程为，
当P为（，）时，P在AC直线上，不满足题意，
故P为（，），
∴＝．
21．（12分）为迎接冬奥，科普冬奥知识．某学校组织冬奥知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为T1，T2，T3电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得3分，每答错一道题目扣1分；
②选手若答对第T题，则继续作答第Ti+1题；选手若答错第T题，则失去第Ti+1题的答题机会，从第Ti+2题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于5分，则选手挑战成功，否则挑战失败．
选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答错1道题的概率P1；
（2）选手甲闯关成功的概率P2；
【解答】解：设Ai为选手答对Ti题，其中i＝1，2，3，
（1）设挑战结束后，选手甲共答错1道题为事件A，则A＝A1A2∪∪A3，
由概率的加法公式和事件独立性的定义得：P1＝P（A）＝P（A1A2∪A1∪A3）
＝P（A1A2）+P（）+＝××（1﹣）+×（1﹣）+×＝；
（2）设选手甲挑战成功为事件B，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，
∴B＝A1A2A3∪A1A2，由概率的加法公式和事件独立性的定义得：
P2＝P（B）＝P（A1A2A3∪A1A2）＝P（A1A2A3）+．
22．（12分）众志成城、共同抗疫是我国从抗疫过程中得到的宝贵经验，近期，为了破解上海抗疫物资流动之困，江苏省在昆山市设立物资接驳中转站，中转站设有查验区、消杀区、缓冲区等区域．学校劳技课，某位同学设计了物资接驳中转站示意图（如图所示），其中ACED，ABGF，BCQP均为正方形．已知，AB＝2，AP，AQ是站内公路．
（1）若AB⊥AC，求EQ的长度；
（2）设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），求AQ长度的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，在△ABC中，，AB＝2，，所以，cs∠ACB＝＝，
因为∠ACB+∠ECQ＝π，所以cs∠ECQ＝cs（π﹣∠ACB）＝﹣cs∠ACB＝．
在△ECQ中，，，
由余弦定理得EQ2＝CE2+CQ2﹣2CE×CQ×cs∠ACB＝8+12﹣2×2×2×（）＝36，
所以EQ的长度为＝6；
（2）在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•csθ，整理得，
设∠ACB＝α，在△ACQ中，由余弦定理得，
结合CQ2＝，整理得…①，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
可得CQ•sinα＝AB•sinθ＝2sinθ，代入①可得＝20+16sin（θ﹣），
因为0＜θ＜π，所以，当时，即时，AQ2的最大值为20+16＝36，
因此，AQ长度的最大值为＝6．成绩y
4
5
6
7
8
9
频数
2
6
11
9
7
5
成绩y
4
5
6
7
8
9
频数
2
6
11
9
7
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