江苏省常熟市海虞高级中学2021-2022学年高一下学期线上期中考试数学试题

这是一份江苏省常熟市海虞高级中学2021-2022学年高一下学期线上期中考试数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设，则|z|＝（ ）
A．2B．C．D．1
2．（5分）已知向量＝（1，2），+＝（m，3），若⊥，则m＝（ ）
A．﹣3B．﹣1C．﹣2D．3
3．（5分）从A、B、C、D四名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则C被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为m，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）用与球心距离为的平面去截球，截面面积为π，则球的体积为（ ）
A．B．C．πD．
6．（5分）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3B．C．6D．
7．（5分）已知向量，满足||＝6，||＝5，•＝﹣6，则cs＜，+＞＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）在边长为2的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则取值范围是（ ）
A．[2，6]B．[0，6]C．[2，8]D．[0，4]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到的新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝2xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（ ）
A．新样本数据的样本极差是原样本数据极差的2倍
B．新样本数据的样本中位数是原样本数据中位数的2倍
C．新样本数据的样本标准差是原样本数据标准差的2倍
D．新样本数据的样本平均数是原样本数据平均数的2倍
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝2cs2x﹣2sin（2π+x）csx﹣1，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）在单调递增
C．函数f（x）在上的值域为[﹣2，1]
D．把函数y＝﹣2sin2x的图象向右平移个单位长度可得到函数y＝f（x）的图象
11．（5分）设，，是任意的非零平面向量，则下列结论中正确的有（ ）
A．||﹣||＜|+|
B．（•）﹣（•）＝0
C．（•）﹣（•）与垂直
D．（3+2）•（3﹣2）＝||2﹣4||2
（多选）12．（5分）在△ABC中，下列说法正确的是（ ）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．存在△ABC满足csA+csB≤0
C．若sinA＜csB，则△ABC为锐角三角形
D．若c＞，则sinC＞sin2A+sin2B
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量满足，且，，则向量与的夹角为 ．
14．（5分）如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图（图中虚线分别与x′轴，y′轴平行），则原图形△AOB的面积是 ．
15．（5分）某公司计划招聘一批新员工，现有1000名应届毕业生应聘，通过考试成绩择优录取，这1000人考试成绩的频率分布直方图如图所示，若该公司计划招聘160名新员工，则估计新员工的最低录取成绩为 ．
16．（5分）已知复数z满足|z+2+4i|＝3，则|z﹣1|的最大值是 ．
四、解答题：本题共7小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，且α为第一象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（12分）已知向量＝（sinα，csα﹣3sinα），＝（1，4）．
（1）若∥，求tanα的值；
（2）若|+|＝|﹣|，求cs2α的值．
19．（12分）已知函数f（x）＝sinxcsx+cs2x﹣．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知f（A）＝，2a＝b+c，且•＝9，求a的值．
20．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，csB＝，＝﹣16．
（1）求△ABC的面积；
（2）若a＝5，求sin2C．
22．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB与∠D互补，cs∠ACB＝，AB＝2AD．
（1）求AB的长；
（2）求sin∠ACD．
23．（12分）①在csC（acsB+bcsA）＝CsinC；②asin＝csinA；③（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，c＝2，而且_____．
（1）求∠C；
（2）求△ABC周长的范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设，则|z|＝（ ）
A．2B．C．D．1
【解答】解：∵＝＝﹣i，
∴|z|＝1．
故选：D．
2．（5分）已知向量＝（1，2），+＝（m，3），若⊥，则m＝（ ）
A．﹣3B．﹣1C．﹣2D．3
【解答】解：∵＝（1，2），+＝（m，3），
∴＝（m﹣1，1），
∵⊥，
∴1×（m﹣1）+1×2＝0，解得m＝﹣1．
故选：B．
3．（5分）从A、B、C、D四名候选人中任选两人参加党史知识竞赛，则C被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从A、B、C、D四名候选人中任选两人参加党史知识竞赛有＝6种选法，
则C被选中的概率为＝，
故选：B．
4．（5分）如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为m，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：在△ABC中，sinB＝sin[π﹣（α+β）]＝sin（α+β），
由正弦定理＝，可得：AB＝＝．
故选：C．
5．（5分）用与球心距离为的平面去截球，截面面积为π，则球的体积为（ ）
A．B．C．πD．
【解答】解：设截面半径r，球的半径R，
由题意得，截面面积S＝πr2＝π，解得r＝1，
R＝＝2，
∴球的体积V＝πR3＝．
故选：A．
6．（5分）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．3B．C．6D．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，由底面半径为r＝，侧面展开图为一个半圆，
所以2πr＝πl，
所以该圆锥的母线长为l＝2r＝2．
故选：B．
7．（5分）已知向量，满足||＝6，||＝5，•＝﹣6，则cs＜，+＞＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵，∴，
，
因此，．
故选：C．
8．（5分）在边长为2的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则取值范围是（ ）
A．[2，6]B．[0，6]C．[2，8]D．[0，4]
【解答】解：建立如图的平面直角坐标系，
根据题意可得M（2，1），C（2，2），
设E（x，0），x∈[0，2]，
∴，，
∴＝（x﹣2）2+2，x∈[0，2]，
又函数y＝（x﹣2）2+2在[0，2]上单调递减，
∴y的最小值为2，y的最大值为6，
∴取值范围是[2，6]．
故答案为：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到的新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝2xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（ ）
A．新样本数据的样本极差是原样本数据极差的2倍
B．新样本数据的样本中位数是原样本数据中位数的2倍
C．新样本数据的样本标准差是原样本数据标准差的2倍
D．新样本数据的样本平均数是原样本数据平均数的2倍
【解答】解：A选项，第一组数据的极差为xmax﹣xmin，
新样本数据的极差是（2xmax+c）﹣（2xmin+c）＝2（xmax﹣xmin），
故新样本数据的样本极差是原样本数据极差的2倍，A正确；
B选项，第一组数据的中位数为x，新样本数据的中位数为2x+c，故B错误；
C选项，第一组数据的标准差为s，新样本数据的标准差为＝2s，故C正确；
D选项，第一组数据的平均数为，新样本数据的平均数为2+c，故D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝2cs2x﹣2sin（2π+x）csx﹣1，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）在单调递增
C．函数f（x）在上的值域为[﹣2，1]
D．把函数y＝﹣2sin2x的图象向右平移个单位长度可得到函数y＝f（x）的图象
【解答】解：f（x）＝2cs2x﹣2sin（2π+x）csx﹣1＝cs2x﹣sin2x＝2cs（2x+），
A：由于f（）＝2csπ＝﹣2，可得f（x）的图象不关于点（，0）对称，错误；
B：π+2kπ≤2x+≤2kπ+2π，k∈Z，可得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
当k＝0时，可得函数的一个单调递增区间为[，]，错误；
C：由x∈，可得2x+∈[，]，可得cs（2x+）∈[﹣1，]，
所以可得f（x）＝2cs（2x+）∈[﹣2，1]，正确；
D：把函数y＝﹣2sin2x的图象向右平移个单位长度可得到函数y＝﹣2sin（2x﹣）＝2cs[+（2x﹣）]＝2cs（2x+）＝f（x），正确．
故选：CD．
11．（5分）设，，是任意的非零平面向量，则下列结论中正确的有（ ）
A．||﹣||＜|+|
B．（•）﹣（•）＝0
C．（•）﹣（•）与垂直
D．（3+2）•（3﹣2）＝||2﹣4||2
【解答】解：对A，∵||﹣||≤|+|，当且仅当，反向共线时取得等号，∴A错误；
对B，∵（•）表示与共线的向量，（•）表示与共线的向量，
∴（•）与（•）不一定相等，∴B错误；
对C，∵[（•）﹣（•）]•＝，
∴（•）﹣（•）与垂直，∴C正确；
对D，∵（3+2）•（3﹣2）＝9||2﹣4||2，∴D错误．
故选：C．
（多选）12．（5分）在△ABC中，下列说法正确的是（ ）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．存在△ABC满足csA+csB≤0
C．若sinA＜csB，则△ABC为锐角三角形
D．若c＞，则sinC＞sin2A+sin2B
【解答】解：对于A选项，若A＞B，则a＞b，则2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB，故A选项正确；
对于B选项，由A+B＜π，则A＜π﹣B，且A，π﹣B∈（0，π），y＝csx在（0，π）上递减，于是csA＞﹣csB，即csA+csB＞0，故B选项错误；
对于C选项，由sinA＜csB，得cs（﹣A）＜csB，y＝csx在（0，π）上递减，
此时：若0＜A＜，则﹣A＞B，则A+B＜，于是C＞；若A＞，则cs（A﹣）＜csB，则A﹣＞B，于是A＞+B，故C选项错误；
对于D选项，由C＞，则A+B＜，则0＜A＜﹣B＜，y＝sinx在（0，）递增，于是sinA＜sin（﹣B），即0＜sinA＜csB，同理0＜sinB＜csA，
此时，sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB＞sinA•sinA+sinB•sinB＝sin2A+sin2B，所以D选项正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量满足，且，，则向量与的夹角为 ．
【解答】解：设向量与的夹角为θ，
向量满足，且，，
可得22+2×1×csθ＝5，
可得csθ＝，
所以θ＝．
故答案为：．
14．（5分）如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图（图中虚线分别与x′轴，y′轴平行），则原图形△AOB的面积是 40 ．
【解答】解：根据题意，原图形如图：
△AOB的底边AB的长为5，高为16，
其面积S＝5×16＝40．
故答案为：40．
15．（5分）某公司计划招聘一批新员工，现有1000名应届毕业生应聘，通过考试成绩择优录取，这1000人考试成绩的频率分布直方图如图所示，若该公司计划招聘160名新员工，则估计新员工的最低录取成绩为 88 ．
【解答】解：这1000人考试，该公司计划招聘160名新员工，即取16%分位数，
因为0.01×10＝0.1＜0.16，（0.01+0.03）×10＝0.4＞0.16，故录取成绩在[80，90）内，
90﹣×10＝88，
故答案为：88．
16．（5分）已知复数z满足|z+2+4i|＝3，则|z﹣1|的最大值是 8 ．
【解答】解：设z＝x+yi，（x，y∈R），
∵|z+2+4i|＝3，
∴，即（x+2）2+（y+4）2＝9，
∴在复平面内点z表示的是以（﹣2，﹣4）为圆心，r＝3为半径的圆，
|z﹣1|表示的是点z与（1，0）之间的距离，
则圆心与（1，0）之间的距离d＝，
∴|z﹣1|的最大值是d+r＝5+3＝8．
故答案为：8．
四、解答题：本题共7小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，且α为第一象限角．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）因为，且α为第一象限角，
所以sinα＝＝，sin2α＝2sinαcsα＝，cs2α＝2cs2α﹣1＝﹣，
所以＝﹣sin2α＝﹣；
（2）由（1）可得tan2α＝＝﹣，
可得＝＝﹣．
18．（12分）已知向量＝（sinα，csα﹣3sinα），＝（1，4）．
（1）若∥，求tanα的值；
（2）若|+|＝|﹣|，求cs2α的值．
【解答】解：（1）∵向量＝（sinα，csα﹣3sinα），＝（1，4），∥，
∴4sinα﹣（csα﹣3sinα）＝0，∴7sinα＝csα，
∵csα≠0，∴tanα＝＝．
（2）∵|+|＝|﹣|，∴（）2＝（）2，∴＝，
∴＝0，
∴sinα+4（csα﹣3sinα）＝0，∴11sinα＝4csα，
∵sin2α+cs2α＝sin2α+sin2α＝1，∴sin2α＝，
∴cs2α＝1﹣2sin2α＝1﹣＝．
19．（12分）已知函数f（x）＝sinxcsx+cs2x﹣．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知f（A）＝，2a＝b+c，且•＝9，求a的值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sinxcsx+cs2x﹣
＝sin2x+cs2x
＝sin（2x+），
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z；
解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；
（2）△ABC中，f（A）＝，所以sin（2A+）＝，
由0＜A＜π，得＜2A+＜2π+，
所以2A+＝，解得A＝；
又•＝9，所以cbcsA＝cb•cs＝9，解得bc＝18；
又2a＝b+c，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccsA＝（b+c）2﹣3bc＝4a2﹣3×18，
解得a＝3．
20．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2）依题意，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，csB＝，＝﹣16．
（1）求△ABC的面积；
（2）若a＝5，求sin2C．
【解答】解：（1）∵csB＝，∴sinB＝，
又＝﹣16，∴，
∴ac＝16，∴ac＝20，
∴△ABC的面积为＝＝6；
（2）∵a＝5，又由（1）知ac＝20，
∴c＝4，又csB＝，
∴b＝＝＝3，
∴b2+c2＝a2，∴A＝90°，
∴sinC＝＝，csC＝，
∴sin2C＝2sinCcsC＝2××＝．
22．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ACB与∠D互补，cs∠ACB＝，AB＝2AD．
（1）求AB的长；
（2）求sin∠ACD．
【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cs∠ACB，
∴AB2＝（2）2+（2）2﹣2×2×2×＝8，
∴AB＝2；
（2），∠ACB与∠D互补，cs∠ACB＝，∴csD＝﹣，
∴sinD＝＝，
∵AB＝2AD，∴AD＝1，
在△ADC中，由正弦定理可得＝，
∴sin∠ACD＝＝．
23．（12分）①在csC（acsB+bcsA）＝CsinC；②asin＝csinA；③（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，c＝2，而且_____．
（1）求∠C；
（2）求△ABC周长的范围．
【解答】解：（1）选①：由正弦定理得csC（sinAcsB+sinBcsA）＝sinCsinC，即：csCsin（A+B）＝sinCsinC，
因为sinC≠0，
∴tanC＝，
因为C∈（0，π），
∴C＝．
选②：asin＝csinA，
由正弦定理得sinAsin＝sinCsinA，
因为sinA≠0，
∴cs＝sinC＝2sincs，
∵C∈（0，π），∴cs≠0，
∴sin＝，
因为C∈（0，π），
∴C＝．
选③：因为（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，
所以（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，
所以csC＝＝，
因为0＜C＜π，
所以C＝；
（2）由（1）可知：C＝，c＝2，
在△ABC中，由余弦定理得a2+b2﹣2abcsC＝4，即a2+b2﹣ab＝4，
所以（a+b）2﹣4＝3ab≤，
所以a+b≤4，当且仅当a＝b时等号成立，
所以a+b+c≤6，即△ABC周长的最大值为6．
又因为a+b＞c，
所以△ABC周长的取值范围为（4，6]．旧设备
9.3
9.8
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备
9.3
9.8
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5