2024年辽宁省辽阳市灯塔市中考数学三模试卷

这是一份2024年辽宁省辽阳市灯塔市中考数学三模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）实数2023的相反数是（ ）
A．﹣2023B．2023C．D．
2．（3分）如图，2022北京冬奥会领奖台由三个高低不同的长方体组成，这个领奖台的左视图为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2
B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a5
D．（1﹣2a）（﹣1﹣2a）＝4a2﹣1
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表：
九年（1）班学生阅读时间的中位数和众数是（ ）
A．8，9B．8.5，9C．8.5，10D．8，10
6．（3分）将一个含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
7．（3分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．以下判断正确的是（ ）
A．甲的平均成绩大于乙的平均成绩
B．乙的平均成绩大于甲的平均成绩
C．甲的成绩比乙的成绩更稳定
D．乙的成绩比甲的成绩更稳定
8．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0
9．（3分）小明和小丽约定周末在学校门口集合，乘大巴车一起去本溪水洞游玩，但由于小明有事，在小丽出发半小时后小明才到达校门口，然后小明立即乘出租车追赶，已知出租车的速度是大巴车的1.5倍，追赶上大巴车后继续前行，结果比小丽提前15min到达本溪水洞，已知学校到本溪水洞的距离为90km，设大巴车的速度为x km/h，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣2和4，设顶点为D，则下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③8a+c＞0；④若抛物线经过（﹣3，m），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（a≠0）的两个根分别为﹣3，6；⑤当时，△ABD是等腰直角三角形，其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）国家邮政局公布了2023年一季度邮政行业运行情况．数据显示，一季度，我国邮政行业寄递业务量累计完成341.7亿件，同比增长8.5%．将数据341.7亿用科学记数法表示为 ．
12．（3分）分解因式：8ab﹣8a2b﹣2b＝ ．
13．（3分）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，分别以点B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，过点M、N作直线MN分别交AD、BD于点E、F．若AB＝2，BF＝3，则AE的长是 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心A的坐标为（5，0），▱OBCD的顶点O，C，D都在半圆上，顶点B在x轴上，且OB＝6，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E、F分别是AB、CD的中点，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，当点C′在直线EF上时，FC′的长为 ．
18．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2，AD＝2，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A′，连接AA′，AA′交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连接AQ，MQ，则AQ+MQ的最小值是 ．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中x＝3．
20．（12分）学校消防关系到全校师生的生命安全，某校为了加强学生的消防安全意识，某学校积极开展了“消防安全知识知多少”宣传活动，并分别在活动前后举办消防知识竞赛，活动结束后，在全校随机抽取了25名学生活动前后的竞赛成绩进行整理，信息如下：活动前被抽取学生消防知识竞赛在85≤x＜90组中的数据为：89，87，88，86，89，85，88，85．活动后被抽取学生消防知识竞赛成绩为：82，88，96，98，84，86，89，100，94，90，79，91，100，98，87，92，86，100，98，84，93，88，94，89，98．
活动后被抽取学生消防知识竞赛成绩频数分布表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若成绩不低于90分为优秀，请估计活动后该校2000名学生中有多少人成绩达到优秀等级？
（4）现从成绩较好的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机选取两名同学作为学校消防宣传员，试用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是甲和乙的概率．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．灯塔市公交公司购买一批A，B两种型号的新能源汽车，已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要55万元，购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要120万元．
（1）求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？
（2）若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且总费用不超过220万元，则最少能购买A型汽车多少辆？
22．（12分）如图1，一扇窗户打开一定角度，AB是长度不变的活动支架，其一端固定在窗户边OD上的点A处，另一端B在窗框OE上滑动，如图2，是某一位置从上往下看的平面图，测得此时∠AOB＝45°，OA长为10cm．
（1）求此时固定点A到窗框OE的距离；（结果保留根号）
（2）若测得∠ABO＝37°，求此时OB的长度．（结果精确到0.1cm，参考数据，，，，）
五、解答题（满分12分）
23．（12分）服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）设服装厂所获利润为w（元），若10≤x≤50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于点D，连接CD，BD与AC交于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，CE＝6，求BC的长．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转，得到Rt△AB′C′，直线CC′交直线BB′于点D，取AB′的中点E，连接DE．
（1）如图①，当点B′落在AC的延长线上时，请直接写出线段DE和线段AB的数量关系和位置关系；
（2）当△ABC旋转到如图②所示的位置时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若AB＝4，在△ABC绕点A旋转一周的过程中，当∠ABB′＝60°时，请直接写出线段DC′的长．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，点E是线段AC的中点，连接AD，以AE和AD为一组邻边作▱ADGE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在直线AC上方的抛物线上时，求▱ADGE面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）当点G落在坐标轴上时，请直接写出点D的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）实数2023的相反数是（ ）
A．﹣2023B．2023C．D．
【解答】解：实数2023的相反数是﹣2023，
故选：A．
2．（3分）如图，2022北京冬奥会领奖台由三个高低不同的长方体组成，这个领奖台的左视图为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从左边看是一列三个矩形，上面两个矩形的公共边是实线，下面两个矩形的公共边是虚线．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a+3a＝5a2
B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a5
D．（1﹣2a）（﹣1﹣2a）＝4a2﹣1
【解答】解：A.2a+3a＝5a，故不符合题意；
B．a2•a3＝a2+3＝a5，故不符合题意；
C．（a2）3＝a6，故不符合题意；
D．（1﹣2a）（﹣1﹣2a）＝﹣（1﹣2a）（1+2a）＝﹣（1﹣4a2）＝4a2﹣1，故符合题意；
故选：D．
4．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．（3分）某学校开展“书香校园，立体阅读”活动，为了了解学生阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的阅读时间（单位：h）统计如下表：
九年（1）班学生阅读时间的中位数和众数是（ ）
A．8，9B．8.5，9C．8.5，10D．8，10
【解答】解：这组数据中位数为20、21个数据的平均数，而这2个数据分别为8、9，
所以这组数据的中位数为＝8.5，
这组数据中9出现10次，次数最多，
所以这组数据的众数为9，
故选：B．
6．（3分）将一个含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图方式放置，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
【解答】解：如图所示，
∵EF∥BD，
∴∠1＝∠3＝25°，
∵∠A+∠3+∠AMB＝180°，
∴∠AMB＝180°﹣∠A﹣∠3＝180°﹣30°﹣25°＝125°，
∴∠2＝∠AMB＝125°
故选：B．
7．（3分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．以下判断正确的是（ ）
A．甲的平均成绩大于乙的平均成绩
B．乙的平均成绩大于甲的平均成绩
C．甲的成绩比乙的成绩更稳定
D．乙的成绩比甲的成绩更稳定
【解答】解：甲的平均成绩＝（6+10+8+9+8+7+8+10+7+7）＝8，
乙的平均成绩＝（7+10+7+7+9+8+9+9+7+7）＝8，
从离散程度看出乙的成绩比较稳定，
故A，B，C错误．
故选：D．
8．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k，b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0
【解答】解：由图可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，
则k＞0，b＜0．
故答案为B．
9．（3分）小明和小丽约定周末在学校门口集合，乘大巴车一起去本溪水洞游玩，但由于小明有事，在小丽出发半小时后小明才到达校门口，然后小明立即乘出租车追赶，已知出租车的速度是大巴车的1.5倍，追赶上大巴车后继续前行，结果比小丽提前15min到达本溪水洞，已知学校到本溪水洞的距离为90km，设大巴车的速度为x km/h，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意得：
＝++．
故选：C．
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣2和4，设顶点为D，则下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③8a+c＞0；④若抛物线经过（﹣3，m），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（a≠0）的两个根分别为﹣3，6；⑤当时，△ABD是等腰直角三角形，其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴相交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣2，4，
∴﹣＝＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0；故②正确；
∵x＝4时，y＝16a+4b+c＝0，
∴16a﹣8a+c＝0，即8a+c＝0，故③错误；
∵函数的对称轴为直线x＝1，
∴（﹣3，m）关于对称轴的对称点为（5，m），
∵抛物线经过（﹣3，m），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0（a≠0）的两个根分别为﹣3，5；故④错误；
要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
∵当x＝1时，y＝a+b+c，
∴|a+b+c|＝3，
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＝﹣3，
∵8a+c＝0，
∴c＝﹣8a，
∴b＝﹣2a，
∴a﹣2a﹣8a＝3，
∴a＝，故⑤正确；
故选：B．
二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）国家邮政局公布了2023年一季度邮政行业运行情况．数据显示，一季度，我国邮政行业寄递业务量累计完成341.7亿件，同比增长8.5%．将数据341.7亿用科学记数法表示为 3.417×1010 ．
【解答】解：341.7亿＝341.7×108＝3.417×1010．
故答案为：3.417×1010．
12．（3分）分解因式：8ab﹣8a2b﹣2b＝ ﹣2b（2a﹣1）2 ．
【解答】解：原式＝﹣2b（﹣4a+4a2+1）
＝﹣2b（2a﹣1）2．
故答案为：﹣2b（2a﹣1）2．
13．（3分）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【解答】解：如图所示：连接OA，
∵正六边形内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，
∴S△ABC＝S△OBC，
∴S阴＝S扇形OBC，
则飞镖落在阴影部分的概率是；
故答案为：．
14．（3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＜且m≠0 ．
【解答】解：由题意得：Δ＞0，
∴（﹣4）2﹣4m×3＞0，
整理得：m＜．
又∵m≠0，
∴实数m的取值范围是m＜且m≠0．
故答案为：m＜且m≠0．．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，分别以点B、D为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，过点M、N作直线MN分别交AD、BD于点E、F．若AB＝2，BF＝3，则AE的长是 ．
【解答】解：由作图知，直线MN是线段BD的垂直平分线，
∴BD＝2BF＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴AD＝＝＝4，
连接BE，
设AE＝x，则DE＝BE＝4﹣x，
∵AE2+AB2＝BE2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
则AE的长是．
故答案为：．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心A的坐标为（5，0），▱OBCD的顶点O，C，D都在半圆上，顶点B在x轴上，且OB＝6，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点C，则k的值为 32 ．
【解答】解：作AM⊥CD于M，CE⊥x轴于E，连接AC，
∴CM＝DM，
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴CD∥OB，CD＝OB＝6，
∴MA⊥x轴，CM＝3，
∵半圆的圆心A的坐标为（5，0），
∴OA＝5，
∴OC＝OA＝5，
∴AM＝＝＝4，
∵MA⊥x轴，CE⊥x轴，CD∥x轴，
∴四边形MAEC是矩形，
∴AE＝CM＝3，CE＝AM＝4，
∴OE＝5+3＝8，
∴C（8，4），
∵反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点C，
∴k＝8×4＝32．
故答案为：32．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E、F分别是AB、CD的中点，将△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，当点C′在直线EF上时，FC′的长为 4﹣6或4+6 ．
【解答】解：∵AB＝4，BC＝6，
∴AC＝＝＝2，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝CF＝2，EF＝BC＝6，
当点C'在点F右侧时，∵EC'＝＝＝4，
∴FC'＝4﹣6，
当点C'在点F左侧时，∵EC'＝＝＝4，
∴FC'＝4+6，
故答案为：4﹣6或4+6．
18．（3分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2，AD＝2，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A′，连接AA′，AA′交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连接AQ，MQ，则AQ+MQ的最小值是 4 ．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM，MT．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，
∴RT＝＝＝5，
∵A，A′关于DP对称，
∴AA′⊥DP，
∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，
∴RM＝AD＝，
∵MT≥RT﹣RM，
∴MT≥4，
∴MT的最小值为4，
∵QA+QM＝QT+QM≥MT，
∴QA+QM≥4
∴QA+QM的最小值为4．
故答案为：4．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝3时，原式＝＝﹣5．
20．（12分）学校消防关系到全校师生的生命安全，某校为了加强学生的消防安全意识，某学校积极开展了“消防安全知识知多少”宣传活动，并分别在活动前后举办消防知识竞赛，活动结束后，在全校随机抽取了25名学生活动前后的竞赛成绩进行整理，信息如下：活动前被抽取学生消防知识竞赛在85≤x＜90组中的数据为：89，87，88，86，89，85，88，85．活动后被抽取学生消防知识竞赛成绩为：82，88，96，98，84，86，89，100，94，90，79，91，100，98，87，92，86，100，98，84，93，88，94，89，98．
活动后被抽取学生消防知识竞赛成绩频数分布表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 3 ，b＝ 6 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若成绩不低于90分为优秀，请估计活动后该校2000名学生中有多少人成绩达到优秀等级？
（4）现从成绩较好的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机选取两名同学作为学校消防宣传员，试用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是甲和乙的概率．
【解答】解：（1）由题意可知，a＝3，b＝6，
故答案为：3，6；
（2）补全直方图如下：
（3）2000×＝1120（名），
答：估计活动后该校2000名学生中约有1120人达到优秀等级；
（4）列表如下：
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中恰好是甲和乙的结果有2种：（甲，乙）、（乙，甲）．
所以所选两人恰好是甲和乙的概率是P（甲和乙）＝．
四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．灯塔市公交公司购买一批A，B两种型号的新能源汽车，已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要55万元，购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要120万元．
（1）求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？
（2）若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且总费用不超过220万元，则最少能购买A型汽车多少辆？
【解答】解：（1）设购买每辆A型汽车需要x万元，每辆B型汽车需要y万元．
依题意有：，
解得：．
答：购买每辆A型汽车需要10万元，每辆B型汽车需要25万元；
（2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车（15﹣m）辆．
依题意有：10m+25（15﹣m）≤220，
10m+375﹣25m≤220，
解得：m≥，
∵m取正整数，
∴m最小取11．
答：最少能购买A型汽车11辆．
22．（12分）如图1，一扇窗户打开一定角度，AB是长度不变的活动支架，其一端固定在窗户边OD上的点A处，另一端B在窗框OE上滑动，如图2，是某一位置从上往下看的平面图，测得此时∠AOB＝45°，OA长为10cm．
（1）求此时固定点A到窗框OE的距离；（结果保留根号）
（2）若测得∠ABO＝37°，求此时OB的长度．（结果精确到0.1cm，参考数据，，，，）
【解答】解：（1）过点A作AF⊥OE，垂足为F．
在Rt△AOF中，
∵sin∠AOF＝．
∴AF＝OA•sin∠AOF
＝10•sin45°
＝10×
＝ （cm）．
答：点A到窗框OE的距离是 cm．
（2）在Rt△AOF中，
∵∠AOF＝45°，
∴∠OAF＝45°．
∴OF＝FA＝（ cm）．
在Rt△ABF中，
∵tan∠ABF＝，
∴BF＝＝ （cm）．
∴OB＝OF+BF＝+＝ （cm）．
答：OB的长度为16.5 cm．
五、解答题（满分12分）
23．（12分）服装厂批发某种服装，每件成本为65元，规定不低于10件可以批发，其批发价y（元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间所满足的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）设服装厂所获利润为w（元），若10≤x≤50（x为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）当10≤x≤50时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，得，
∴当10≤x≤50时，y与x的函数关系式为y＝﹣0.5x+105，
当x＞50时，y＝80，
即y与x的函数关系式为：y＝；
（2）由题意可得，
w＝（﹣0.5x+105﹣65）x＝﹣0.5x2+40x＝﹣0.5（x﹣40）2+800，
∴当x＝40时，w取得最大值，此时w＝800，
答：批发该种服装40件时，服装厂获得利润最大，最大利润是800元．
六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD∥BC交BO的延长线于点D，连接CD，BD与AC交于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，CE＝6，求BC的长．
【解答】（1）证明：如图，
，
连接AO并延长交BC于点H，连接OC，
在△AOB与△AOC中，
AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAH＝∠CAH，
∵AB＝AC，
∴AH⊥BC，
∴∠AHB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠HAD＝∠AHB＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：由（1）知AH⊥BC，BH＝HC，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE∽△CBE，
∴，
∴．
又∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠OBC，∠DAO＝∠BHO，
∴△AOD∽△HOB，
∴，
∴设OA＝4k，则OH＝3k，OB＝4k，
∴．
∵∠AHB＝90°，
∴BH2+AH2＝AB2，
∵AC＝AE+CE，
∴AC＝4+6＝10，
∵AB＝AC，
∴AB＝10
∵AH＝OA+OH＝7k，
∴（k）2+（7k）2＝102，
∴k＝，
∴BC＝2BH＝2k＝5．
七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转，得到Rt△AB′C′，直线CC′交直线BB′于点D，取AB′的中点E，连接DE．
（1）如图①，当点B′落在AC的延长线上时，请直接写出线段DE和线段AB的数量关系和位置关系；
（2）当△ABC旋转到如图②所示的位置时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）若AB＝4，在△ABC绕点A旋转一周的过程中，当∠ABB′＝60°时，请直接写出线段DC′的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转，得到Rt△AB′C′，
∴AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAC＝∠CAB'＝45°，
∴∠AB'B＝67.5°，∠ACC'＝67.5°，
∴∠ACC'＝∠DCB'＝∠AB'B＝67.5°，
∴DC＝DB'，∠B'BC＝∠DCB＝22.5°，
∴BD＝CD，
∴BD＝DB'，
又∵点E是AB'的中点，
∴DE＝AB，DE∥AB；
（2）结论仍然成立，理由如下：
作BF∥B′C′，交C′C的延长线于点F，则∠BFD＝∠B′C′D，
∵BF∥B'C'，
∴∠BFD＝∠B′C′D，∠FBD＝∠C′B′D，
∵∠ACB＝∠AC′B′＝90°，
∴∠BCF+∠ACC′＝∠DC′B′+∠AC′C＝90°，
∵AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C，
∴∠BCF＝∠DC′B′＝∠BFD，
∴BF＝BC，
又∵BC＝B′C′，
∴BF＝B′C′，
∴△BFD≌△B′C′D（ASA），
∴BD＝B′D，
又∵AE＝B′E，
∴DE＝AB，DE∥AB；
（3）如图，当点B'在AB的下方时，过点B'作B'H⊥C'D于H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，
∴AC＝BC＝2，
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转，得到Rt△AB′C′，
∴AB＝AB'，AC＝AC'，BC＝B'C'，∠BAB'＝∠CAC'，
∵∠ABB′＝60°，
∴∠BAB'＝60°＝∠AB'B＝∠CAC'，
∴∠AC'C＝60°，
∴∠B'C'D＝30°，
∵B'H⊥C'D，
∴B'H＝B'C'＝，C'H＝B'H＝，∠C'B'H＝60°＝∠AB'B，
∴∠DB'H＝∠AB'C'＝45°，
∴DH＝B'H＝，
∴C'D＝+，
如图，当点B'在AB的上方时，过点B'作B'H⊥直线C'D于H，
同理可求：C'D＝，
综上所述：C'D的长为或．
八、解答题（满分14分）
26．（14分）如图，抛物线与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，点E是线段AC的中点，连接AD，以AE和AD为一组邻边作▱ADGE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在直线AC上方的抛物线上时，求▱ADGE面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）当点G落在坐标轴上时，请直接写出点D的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
∴C（0，2），
∵E为线段AC的中点，
∴E（2，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，
∵A（4，0），C（0，2），
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2．
如图，连接DE，过点D作DM⊥OA于点M，交AC于点N，
设D（m，﹣m2+m+2），则点N（m，﹣m+2），
∴DN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，
∴S△ADE＝DN•（xA﹣xE）＝×（﹣m2+2m）×2＝﹣m2+2m，
∴S▱ADGE＝2S△ADE＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4（0＜m＜4），
∵﹣1＜0，
∴当m＝2时，S▱ADGE有最大值4，此时D（2，3）．
（3）当G在y轴上的时候，如图，
过点E作EF⊥AO交OA于点F，过点D作DH⊥CO交CO于点H，
∵AE∥DG，
∴∠GDH＝∠EAF，
∴∠HGD＝∠FEA，
∴△HGD≌△FEA（AAS），
∴DH＝AF＝2，即点D的横坐标为2，
将x＝2代入抛物线解析式得，
解得y＝3，
∴点D坐标为（2，3），
当G在x轴上的时候，如图，
∵AE∥DG，AE＝DG，
∴∠GDA＝∠AEG，
∴∠DGA＝∠EAG，
∴△GDA≌△GEA（SAS），
∵E（2，1），即点D到x轴的距离为1，
将y＝﹣1代入抛物线解析式，
解得x1＝，x2＝，
∴点D的坐标为（，﹣1）或（，﹣1）．
综上，点D的坐标为（2，3）或（，﹣1）或（，﹣1）．阅读时间（h）
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人数（人）
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成绩x（分）
频数（人）
75≤x＜80
1
80≤x＜85
a
85≤x＜90
7
90≤x＜95
b
95≤x≤100
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甲
（甲，乙）
（甲，丙）
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乙
（乙，甲）
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（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）