2024年内蒙古呼和浩特市启秀中学中考数学二模试卷
展开A.B.C.﹣6D.6
2.(3分)下列图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
3.(3分)据国家统计局公布,2017年我国全年国内生产总值达827122亿元,827122亿用科学记数法可简洁表示为( )
A.0.827122×1014B.82.7122×1012
C.8.27122×1014D.8.27122×1013
4.(3分)下列运算正确的是( )
A.a﹣2b2•(a2b﹣2)﹣3=
B.(﹣a)3m÷am=(﹣1)ma2m
C.﹣3x2n﹣6xn=﹣3xn(x2+2)
D.﹣(a+1)=
5.(3分)已知圆锥的底面半径为5cm,侧面积为60πcm2,设圆锥的母线与高的夹角为θ,则sinθ的值为( )
A.B.C.D.
6.(3分)某次歌手大奖赛中,呼声最高的六名选手为a,b,c,d,e,f,他们顺利地进入决赛争夺前六名,甲预测比赛结果为abcdef,结果没有猜中任何一名选手的名次,乙预测比赛结果为fedcba,他猜中了两名选手的名次,丙预测比赛结果为daefbc,丁预测比赛结果为acefbd,丙和丁虽然没有猜中名次,但各猜对了两对相邻选手的名次顺序,那么实际的名次顺序是( )
A.cedafbB.ecfbadC.ceadfbD.daecfb
7.(3分)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置,连接C'B,则C'B的长为( )
A.B.C.D.1
8.(3分)如图,已知E,F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF与DE交于点M,O为BD的中点,则下列结论:①∠AME=90°,②∠BAF=∠EDB,③AM=MF,④ME+MF=MB.其中正确结论的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
9.(3分)抛物线y=﹣x2+bx+3的对称轴为直线x=﹣1,若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t=0(t为实数)在﹣2<x<3的范围内有实数根,则t的取值范围是( )
A.﹣12<t≤3B.﹣12<t<4C.﹣12<t≤4D.﹣12<t<3
10.(3分)若点P是直线y=﹣x+2上一动点,∠OMP=90°,则△OMP外接圆面积的最小值为( )
A.B.C.πD.2π
二、填空题(共6小题,每题3分,共18分)
11.(3分)分解因式:x3y﹣2x2y+xy= .
12.(3分)下面三个判断:①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等;②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等;③三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.其中正确的判断有 (填序号即可)
13.(3分)某超市销售一种计算机,每个售价48元,后来计算机雨进价降低了4%,但售价未变,从而使超市销售这种计算机的利润率提高了5%.则这种计算机原来每个进价是 .
14.(3分)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=2,OB=1,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED,分别以O、E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分的面积是 .
15.(3分)如图,先有一张矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8,点M,N分别在矩形的边AD,BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN于点Q,连接CM.下列结论:①CQ=CD;②四边形CMPN是菱形;③P,A重合时,MN=2;④△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5.其中正确的 .(把正确结论的序号都填上).
16.(3分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB的中点,点F是边AD上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则线段A′C的最小值是 .
三.解答题(共9小题,满分72分,每小题8分)
17.(8分)(1)计算:4sin60°﹣|3﹣|+()0+()﹣2.
(2)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x=﹣4.
18.(5分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m=0
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x1、x2,且+﹣x1x2=7,求m的值.
19.(9分)荆岗中学决定在本校学生中,开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动,为了了解学生对这四种活动的喜爱情况,学校随机调查了该校m名学生,看他们喜爱哪一种活动(每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种),现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)m= ,n= ;
(2)请补全图中的条形图;
(3)根据抽样调查的结果,请估算全校1800名学生中,大约有多少人喜爱踢足球;
(4)在抽查的m名学生中,喜爱打乒乓球的有10名同学(其中有4名女生,包括小红、小梅),现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练,且女生每组分两人,求小红、小梅能分在同一组的概率.
20.(7分)图1是安装在倾斜屋顶上的热水器,图2是热水器的侧面示意图.已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22°,真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=39°,真空管AB的长度为2.5米,安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米.(参考数据:sin39°≈0.629,cs39°≈0.777,tan39°≈0.810,sin22°≈0.375,cs22°≈0.927,tan22°≈0.404)
(1)求水平横管BC到水平线AD的距离(结果精确到0.1米);
(2)求水平横管BC的长度(结果精确到0.1米).
21.(7分)已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,对角线AC、BD交于点O,过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E,联结OE,OC=OE.
(1)求证:OE=AC;
(2)如果DB平分∠ADC,求证:四边形ABCD是菱形.
22.(8分)如图,一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A(2,m),B(n,﹣2)两点.过点B作BC⊥x轴,垂足为C,且S△ABC=5.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据所给条件,请直接写出不等式k1x+b>的解集;
(3)若P(p,y1),Q(﹣2,y2)是函数y=图象上的两点,且y1≥y2,求实数p的取值范围.
23.(9分)2013年我国多地出现雾霾天气,某企业抓住商机准备生产空气净化设备,该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产,方案一:生产甲产品,每件产品成本为a元(a为常数,且40<a<100),每件产品销售价为120元,每年最多可生产125万件;方案二:生产乙产品,每件产品成本价为80元,每件产品销售价为180元,每年可生产120万件,另外,年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税,在不考虑其它因素的情况下:
(1)分别写出该企业两个投资方案的年利润y1(万元)、y2(万元)与相应生产件数x(万件)(x为正整数)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围;
(2)分别求出这两个投资方案的最大年利润;
(3)如果你是企业决策者,为了获得最大收益,你会选择哪个投资方案?
24.(8分)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.
(1)求证:∠FBC=∠FCB;
(2)已知FA•FD=12,若AB是△ABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长.
25.(11分)如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在边OA上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
(1)求OE的长及经过O,D,C三点抛物线的解析式;
(2)一动点P从点C出发,沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动,当点P到达点B时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,DP=DQ;
(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,每题3分,共30分)
1.(3分)﹣(﹣6)的相反数是( )
A.B.C.﹣6D.6
【解答】解:﹣(﹣6)=6,
故﹣(﹣6)的相反数是﹣6.
故选:C.
2.(3分)下列图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
【解答】解:A、不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;
B、是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项错误;
C、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项正确;
D、不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项错误;
故选:C.
3.(3分)据国家统计局公布,2017年我国全年国内生产总值达827122亿元,827122亿用科学记数法可简洁表示为( )
A.0.827122×1014B.82.7122×1012
C.8.27122×1014D.8.27122×1013
【解答】解:827122亿用科学记数法可表示为:8.27122×1013,
故选:D.
4.(3分)下列运算正确的是( )
A.a﹣2b2•(a2b﹣2)﹣3=
B.(﹣a)3m÷am=(﹣1)ma2m
C.﹣3x2n﹣6xn=﹣3xn(x2+2)
D.﹣(a+1)=
【解答】解:A、a﹣2b2•(a2b﹣2)﹣3
=a﹣2b2•(a﹣6b6)
=a﹣8b8
=,故A不符合题意;
B、(﹣a)3m÷am=(﹣1)ma2m,故B符合题意;
C、﹣3x2n﹣6xn=﹣3xn(xn+2),故C不符合题意;
D、
=
=,故D不符合题意;
故选:B.
5.(3分)已知圆锥的底面半径为5cm,侧面积为60πcm2,设圆锥的母线与高的夹角为θ,则sinθ的值为( )
A.B.C.D.
【解答】解:设圆锥的母线长为R,由题意得60π=π×5×R,
解得R=12.
∴sinθ=,
故选:C.
6.(3分)某次歌手大奖赛中,呼声最高的六名选手为a,b,c,d,e,f,他们顺利地进入决赛争夺前六名,甲预测比赛结果为abcdef,结果没有猜中任何一名选手的名次,乙预测比赛结果为fedcba,他猜中了两名选手的名次,丙预测比赛结果为daefbc,丁预测比赛结果为acefbd,丙和丁虽然没有猜中名次,但各猜对了两对相邻选手的名次顺序,那么实际的名次顺序是( )
A.cedafbB.ecfbadC.ceadfbD.daecfb
【解答】解:∵丙预测比赛结果为daefbc,丁预测比赛结果为acefbd,丙和丁没有猜中名次,
∴可排除B和D,
∵丙预测比赛结果为daefbc,丁预测比赛结果为acefbd,丙和丁虽然没有猜中名次,但各猜对了两对相邻选手的名次顺序,
∴正确的顺序有fb组合且fb不是第四名和第五名,e不是第三名,
∵甲预测比赛结果为abcdef,结果没有猜中任何一名选手的名次,
∴d不是第四名,排除C.
故选:A.
7.(3分)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置,连接C'B,则C'B的长为( )
A.B.C.D.1
【解答】解:如图,连接BB′,延长BC′交AB′于点M;
由题意得:∠BAB′=60°,BA=B′A,
∴△ABB′为等边三角形,
∴∠ABB′=60°,AB=B′B;
在△ABC′与△B′BC′中,
,
∴△ABC′≌△B′BC′(SSS),
∴∠MBB′=∠MBA=30°,
∴BM⊥AB′,且AM=B′M;
由题意得:AB2=4,
∴AB′=AB=2,AM=1,
∴C′M=AB′=1;
由勾股定理得:BM===,
∴C′B=﹣1,
故选:C.
8.(3分)如图,已知E,F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF与DE交于点M,O为BD的中点,则下列结论:①∠AME=90°,②∠BAF=∠EDB,③AM=MF,④ME+MF=MB.其中正确结论的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【解答】解:在正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,
∵E、F分别为边AB,BC的中点,
∴AE=BF=BC,
在△ABF和△DAE中,,
∴△ABF≌△DAE(SAS),
∴∠BAF=∠ADE,
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°,
∴∠AME=180°﹣∠AMD=180°﹣90°=90°,
故①正确;
∵DE是△ABD的中线,
∴∠ADE≠∠EDB,
∴∠BAF≠∠EDB,
故②错误;
设正方形ABCD的边长为2a,则BF=a,
在Rt△ABF中,AF==a,
∵∠BAF=∠MAE,∠ABC=∠AME=90°,
∴△AME∽△ABF,
∴=,即=,
解得:AM=a,
∴MF=AF﹣AM=a﹣a=a,
∴AM=MF,
故③正确;
如图,过点M作MN⊥AB于N,
则==,
即==,
解得MN=a,AN=a,
∴NB=AB﹣AN=2a﹣a=a,
根据勾股定理,BM==a,
∵ME+MF=a+a=a,MB=a=a,
∴ME+MF=MB.
综上所述,正确的结论有①③④共3个.
故选:B.
9.(3分)抛物线y=﹣x2+bx+3的对称轴为直线x=﹣1,若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t=0(t为实数)在﹣2<x<3的范围内有实数根,则t的取值范围是( )
A.﹣12<t≤3B.﹣12<t<4C.﹣12<t≤4D.﹣12<t<3
【解答】解:∵抛物线y=﹣x2+bx+3的对称轴为直线x=﹣1,
∴b=﹣2,
∴y=﹣x2﹣2x+3,
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t=0的实数根可以看作y=﹣x2﹣2x+3与函数y=t的图象有交点,
∵方程在﹣2<x<3的范围内有实数根,
当x=﹣2时,y=3;
当x=3时,y=﹣12;
函数y=﹣x2﹣2x+3在x=﹣1时有最大值4;
∴﹣12<t≤4.
故选:C.
10.(3分)若点P是直线y=﹣x+2上一动点,∠OMP=90°,则△OMP外接圆面积的最小值为( )
A.B.C.πD.2π
【解答】解:如图,PM切圆O于点M,
∴OM⊥PM,
∴∠OMP=90°,
∵点P是直线y=﹣x+2上一动点,
∴设P(m,﹣m+2),
∴OP2=m2+(﹣m+2)2=2(m﹣1)2+2,
当m=1时,OP2最小是2,
∴OP=,
要使△OMP外接圆面积最小,OP最小,
∴△OMP外接圆面积的最小值为(OP)2π=(×)2π=.
故选:B.
二、填空题(共6小题,每题3分,共18分)
11.(3分)分解因式:x3y﹣2x2y+xy= xy(x﹣1)2 .
【解答】解:原式=xy(x2﹣2x+1)=xy(x﹣1)2.
故答案为:xy(x﹣1)2
12.(3分)下面三个判断:①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等;②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等;③三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.其中正确的判断有 ①②③ (填序号即可)
【解答】解:①如图,等腰三角形ABC和等腰三角形A'B'C'中,∠A=∠A',BD平分∠ABC,B'D'平分∠A'B'C',
∴∠ABD=∠A'B'D',
∵BD=B'D',
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS),
故①符合题意;
②在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',AD⊥BC,A'D'⊥B'C',且AD=A'D',
∵∠ADB=∠A'D'B',
∴Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL),Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL),
∴BD=B'D',CD=C'D',
∴BC=B'C',
∴△ABC≌△A'B'C(SSS),
故②符合题意;
③三角形的重心定理:三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍,
故③符合题意;
故答案为:①②③.
13.(3分)某超市销售一种计算机,每个售价48元,后来计算机雨进价降低了4%,但售价未变,从而使超市销售这种计算机的利润率提高了5%.则这种计算机原来每个进价是 40元 .
【解答】解:设这种计算器原来每个进价为x元,
根据题意得:=,
48﹣x+0.05x=50﹣x,
解得:x=40,
经检验,x=40是原方程的根,且符合题意,
答:这种计算器原来每个的进价是40元.
故答案为:40元.
14.(3分)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=2,OB=1,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED,分别以O、E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分的面积是 .
【解答】解:作DH⊥AE于H,
∵∠AOB=90°,OA=2,OB=1,
∴AB==,
由旋转,得△EOF≌△BOA,
∴∠OAB=∠EFO,
∵∠FEO+∠EFO=∠FEO+∠HED=90°,
∴∠EFO=∠HED,∴∠HED=∠OAB,
∵∠DHE=∠AOB=90°,DE=AB,
∴△DHE≌△BOA(AAS),
∴DH=OB=1,
阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积
=×3×1+×1×2+﹣
=,
故答案为:.
15.(3分)如图,先有一张矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8,点M,N分别在矩形的边AD,BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN于点Q,连接CM.下列结论:①CQ=CD;②四边形CMPN是菱形;③P,A重合时,MN=2;④△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5.其中正确的 ②③④ .(把正确结论的序号都填上).
【解答】解:如图1,
∵PM∥CN,
∴∠PMN=∠MNC,
∵∠MNC=∠PNM,
∴∠PMN=∠PNM,
∴PM=PN,
∵NC=NP,
∴PM=CN,
∵MP∥CN,
∴四边形CNPM是平行四边形,
∵CN=NP,
∴四边形CNPM是菱形,故②正确;
∴CP⊥MN,∠BCP=∠MCP,
∴∠MQC=∠D=90°,
∵CM=CM,
若CQ=CD,则Rt△CMQ≌Rt△CMD(HL),
∴∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°,这个不一定成立,故①错误;
点P与点A重合时,如图2所示:
设BN=x,则AN=NC=8﹣x,
在Rt△ABN中,AB2+BN2=AN2,
即42+x2=(8﹣x)2,
解得x=3,
∴CN=8﹣3=5,AC===4,
∴CQ=AC=2,
∴QN==,
∴MN=2QN=2.故③正确;
当MN过点D时,如图3所示:
此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小,则S最小为S=S菱形CMPN=×4×4=4,
当P点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大为S=×5×4=5,
∴4≤S≤5,故④正确.
故答案为:②③④.
16.(3分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB的中点,点F是边AD上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则线段A′C的最小值是 2﹣2 .
【解答】解:如图,以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接CE,当点A′在线段CE上时,A'C的长取最小值,
由折叠可知,A′E=AE=BE=AB=2,
在Rt△BCE中,由勾股定理可得,CE===2,
∴A′C的最小值=CE﹣A'E=2﹣2,
故答案为:2﹣2.
三.解答题(共9小题,满分72分,每小题8分)
17.(8分)(1)计算:4sin60°﹣|3﹣|+()0+()﹣2.
(2)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x=﹣4.
【解答】解:(1)原式=
=
=13.
(2)原式=
=
=,
当x=﹣4时,
原式=.
18.(5分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m=0
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x1、x2,且+﹣x1x2=7,求m的值.
【解答】(1)证明:∵x2﹣(m﹣3)x﹣m=0,
∴Δ=[﹣(m﹣3)]2﹣4×1×(﹣m)=m2﹣2m+9=(m﹣1)2+8>0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)∵x2﹣(m﹣3)x﹣m=0,方程的两实根为x1、x2,且+﹣x1x2=7,
∴,
∴(m﹣3)2﹣3×(﹣m)=7,
解得,m1=1,m2=2,
即m的值是1或2.
19.(9分)荆岗中学决定在本校学生中,开展足球、篮球、羽毛球、乒乓球四种活动,为了了解学生对这四种活动的喜爱情况,学校随机调查了该校m名学生,看他们喜爱哪一种活动(每名学生必选一种且只能从这四种活动中选择一种),现将调查的结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)m= 100 ,n= 15 ;
(2)请补全图中的条形图;
(3)根据抽样调查的结果,请估算全校1800名学生中,大约有多少人喜爱踢足球;
(4)在抽查的m名学生中,喜爱打乒乓球的有10名同学(其中有4名女生,包括小红、小梅),现将喜爱打乒乓球的同学平均分成两组进行训练,且女生每组分两人,求小红、小梅能分在同一组的概率.
【解答】解:(1)由题意可得,
m=10÷10%=100,n%=15÷100=15%,
故答案为:100,15;
(2)喜爱篮球的有:100×35%=35(人),
补全的条形统计图,如图所示;
(3)由题意可得,
全校1800名学生中,喜爱踢足球的有:1800×=720(人),
答:全校1800名学生中,大约有720人喜爱踢足球;
(4)设四名女生分别为:A(小红)、B(小梅)、C、D,
则出现的所有可能性是:
(A,B)、(A,C)、(A,D)、
(B,A)、(B,C)、(B,D)、
(C,A)、(C,B)、(C,D)、
(D,A)、(D,B)、(D,C),
∴小红、小梅能分在同一组的概率是:.
20.(7分)图1是安装在倾斜屋顶上的热水器,图2是热水器的侧面示意图.已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22°,真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=39°,真空管AB的长度为2.5米,安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米.(参考数据:sin39°≈0.629,cs39°≈0.777,tan39°≈0.810,sin22°≈0.375,cs22°≈0.927,tan22°≈0.404)
(1)求水平横管BC到水平线AD的距离(结果精确到0.1米);
(2)求水平横管BC的长度(结果精确到0.1米).
【解答】解:(1)过B作BF⊥AD于F,
∴∠AFB=90°,
在Rt△ABF中,,
∵AB=2.5米,∠BAF=39°,
∴BF=AB⋅sin39°≈2.5×0.629=1.5725≈1.6米.
答:水平横管BC到水平线AD的距离约为1.6米;
(2)∵∠FBC=∠BCD=∠D=90°,
∴四边形BCDF为矩形,
∴BC=DF,CD=BF=1.6米,
∵CE=0.6米,
∴DE=CD﹣CE=1.6﹣0.6=1(米),
在Rt△ADE中,,
∵∠DAE=22°,
∴(米),
又∵在Rt△ABF中,,
∵AB=2.5米,∠BAF=39°,
∴AF=AB⋅cs39°≈2.5×0.777=1.9425≈1.94(米).
∴DF=AD﹣AF=2.48﹣1.94=0.54≈0.5(米).
∴BC=DF=0.5米,
答:水平横管BC的长度约为0.5米.
21.(7分)已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,对角线AC、BD交于点O,过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E,联结OE,OC=OE.
(1)求证:OE=AC;
(2)如果DB平分∠ADC,求证:四边形ABCD是菱形.
【解答】证明:(1)∵AB∥DC,CE⊥CD,
∴CE⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∴∠OCE+∠OAE=90°,
∵OC=OE,
∴∠OCE=∠OEC,
∵∠OEC+∠OEA=90°,
∴∠OAE=∠OEA,
∴OA=OE,
∴OA=OC=OE,
∴OE=AC;
(2)∵AB∥DC,
∴∠OAB=∠OCD,
在△AOB和△COD中,
,
∴△AOB≌△COD(ASA),
∴AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB,
∴∠CBD=∠CDB,
∴BC=DC,
∴平行四边形ABCD是菱形.
22.(8分)如图,一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A(2,m),B(n,﹣2)两点.过点B作BC⊥x轴,垂足为C,且S△ABC=5.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据所给条件,请直接写出不等式k1x+b>的解集;
(3)若P(p,y1),Q(﹣2,y2)是函数y=图象上的两点,且y1≥y2,求实数p的取值范围.
【解答】解:(1)把A(2,m),B(n,﹣2)代入y=得:k2=2m=﹣2n,
即m=﹣n,
则A(2,﹣n),
过A作AE⊥x轴于E,过B作BF⊥y轴于F,延长AE、BF交于D,
∵A(2,﹣n),B(n,﹣2),
∴BD=2﹣n,AD=﹣n+2,BC=|﹣2|=2,
∵S△ABC=•BC•BD
∴×2×(2﹣n)=5,解得:n=﹣3,
即A(2,3),B(﹣3,﹣2),
把A(2,3)代入y=得:k2=6,
即反比例函数的解析式是y=;
把A(2,3),B(﹣3,﹣2)代入y=k1x+b得:,
解得:k1=1,b=1,
即一次函数的解析式是y=x+1;
(2)∵A(2,3),B(﹣3,﹣2),
∴不等式k1x+b>的解集是﹣3<x<0或x>2;
(3)分为两种情况:当点P在第三象限时,要使y1≥y2,实数p的取值范围是p≤﹣2,
当点P在第一象限时,要使y1≥y2,实数p的取值范围是p>0,
即P的取值范围是p≤﹣2或p>0.
23.(9分)2013年我国多地出现雾霾天气,某企业抓住商机准备生产空气净化设备,该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产,方案一:生产甲产品,每件产品成本为a元(a为常数,且40<a<100),每件产品销售价为120元,每年最多可生产125万件;方案二:生产乙产品,每件产品成本价为80元,每件产品销售价为180元,每年可生产120万件,另外,年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税,在不考虑其它因素的情况下:
(1)分别写出该企业两个投资方案的年利润y1(万元)、y2(万元)与相应生产件数x(万件)(x为正整数)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围;
(2)分别求出这两个投资方案的最大年利润;
(3)如果你是企业决策者,为了获得最大收益,你会选择哪个投资方案?
【解答】解:(1)由题意得:
y1=(120﹣a)x(1≤x≤125,x为正整数),
y2=100x﹣0.5x2(1≤x≤120,x为正整数);
(2)①∵40<a<100,∴120﹣a>0,
即y1随x的增大而增大,
∴当x=125时,y1最大值=(120﹣a)×125=15000﹣125a(万元)
②y2=﹣0.5(x﹣100)2+5000,
∵a=﹣0.5<0,
∴x=100时,y2最大值=5000(万元);
(3)∵由15000﹣125a>5000,
∴a<80,
∴当40<a<80时,选择方案一;
由15000﹣125a=5000,得a=80,
∴当a=80时,选择方案一或方案二均可;
由15000﹣125a<5000,得a>80,
∴当80<a<100时,选择方案二.
24.(8分)如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.
(1)求证:∠FBC=∠FCB;
(2)已知FA•FD=12,若AB是△ABC外接圆的直径,FA=2,求CD的长.
【解答】(1)证明:∵四边形AFBC内接于圆,
∴∠FBC+∠FAC=180°,
∵∠CAD+∠FAC=180°,
∴∠FBC=∠CAD,
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,
∴∠EAD=∠CAD,
∵∠EAD=∠FAB,
∴∠FAB=∠CAD,
又∵∠FAB=∠FCB,
∴∠FBC=∠FCB;
(2)解:由(1)得:∠FBC=∠FCB,
又∵∠FCB=∠FAB,
∴∠FAB=∠FBC,
∵∠BFA=∠BFD,
∴△AFB∽△BFD,
∴,
∴BF2=FA•FD=12,
∴BF=2,
∵FA=2,
∴FD=6,AD=4,
∵AB为圆的直径,
∴∠BFA=∠BCA=90°,
∴tan∠FBA===,
∴∠FBA=30°,
又∵∠FDB=∠FBA=30°,
∴CD=AD•cs30°=4×=2.
25.(11分)如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在边OA上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
(1)求OE的长及经过O,D,C三点抛物线的解析式;
(2)一动点P从点C出发,沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动,当点P到达点B时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,DP=DQ;
(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)∵CE=CB=5,CO=AB=4,
∴在Rt△COE中,OE===3,
设AD=m,则DE=BD=4﹣m,
∵OE=3,
∴AE=5﹣3=2,
在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD2+AE2=DE2,即m2+22=(4﹣m)2,解得m=,
∴D(﹣,﹣5),
∵C(﹣4,0),O(0,0),
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax(x+4),
∴﹣5=﹣a(﹣+4),解得a=,
∴抛物线解析式为y=x(x+4)=x2+x;
(2)∵CP=2t,
∴BP=5﹣2t,
∵BD=,DE==,
∴BD=DE,
在Rt△DBP和Rt△DEQ中,
,
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL),
∴BP=EQ,
∴5﹣2t=t,
∴t=;
(3)∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2,
∴设N(﹣2,n),
又由题意可知C(﹣4,0),E(0,﹣3),
设M(m,y),
①当EN为对角线,即四边形ECNM是平行四边形时,
则线段EN的中点横坐标为=﹣1,线段CM中点横坐标为,
∵EN,CM互相平分,
∴=﹣1,解得m=2,
又M点在抛物线上,
∴y=×22+×2=16,
∴M(2,16);
②当EM为对角线,即四边形ECMN是平行四边形时,
则线段EM的中点横坐标为,线段CN中点横坐标为=﹣3,
∵EM,CN互相平分,
∴=﹣3,解得m=﹣6,
又∵M点在抛物线上,
∴y=×(﹣6)2+×(﹣6)=16,
∴M(﹣6,16);
③当CE为对角线,即四边形EMCN是平行四边形时,
则M为抛物线的顶点,即M(﹣2,﹣).
综上可知,存在满足条件的点M,其坐标为(2,16)或(﹣6,16)或(﹣2,﹣).
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