2024年辽宁省丹东市振兴区丹东市第十九中学九年级中考三模数学试题

这是一份2024年辽宁省丹东市振兴区丹东市第十九中学九年级中考三模数学试题，共28页。
C．5.127×1010D．5.127×107
2．（3分）如图，这是由5个相同的小立方体组成的几何体，这个几何体的左视图为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．x4+x4＝2x8B．（﹣2x2）3＝﹣6x6
C．x6÷x3＝x3D．x2•x3＝x6
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．若ab＞0，则a＞0，b＞0
C．一个角的余角大于这个角
D．若a＞b，则﹣5a＜﹣5b
6．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2+x+1＝0B．x2+1＝2x
C．x2﹣mx﹣m2＝0D．2x2﹣mx﹣1＝0
7．（3分）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣2，1）
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与直线y＝﹣2x+3平行
D．y随x的增大而增大
8．（3分）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12
9．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
10．（3分）如图，EF是△ABC的中位线，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于BE的长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线BP交EF于点D．若AE＝2，DF＝1，则BC长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：2a2﹣2b2＝ ．
12．（3分）线段AB的两端点坐标分别为A（﹣3，5），B（2，﹣1），经过平移后，点A的对应点A'（0，3），则点B的对应点B′坐标为 ．
13．（3分）创“文明丹东”是我们每个人的愿望，某小区在摸彩球活动中，将质地大小完全相同，上面标有“文”“明”“丹”“东”的四个彩球放入同一个袋子，某居民在袋子中随机摸出一个彩球后不放回，再摸出一个，摸出的两个彩球能拼成“文明”的概率是 ．
14．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B为线段OA的中点，过B作CD∥x轴，交该反比例函数图象于点C，交y轴于点D，OD＝1，则BC＝ ．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，作射线BD⊥AC，垂足为D，点F是射线BD上一点．点E是AB边上一点，连接EF，以EF为边向上构造等边△GEF，GF的延长线与射线BC交于点H，连接EH．当DF＝BD，∠BFE＝15°时，△EFG的面积为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
16．（10分）计算：
（1）解方程：3x2﹣4x﹣1＝0；
（2）计算：．
17．（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1388元，那么最多可以购买B种跳绳多少根？
18．（9分）丹东市为了解各学校中学生在疫情期间体育锻炼的情况，对甲、乙两个学校各180名学生进行了体育测试，从中各随机抽取相同数量a名学生的成绩（百分制），并对成绩（单位：分）进行整理、描述和分析．给出了部分成绩信息．
甲校参与测试的学生成绩分布如表：
甲校参与测试的学生成绩在96≤x＜98这一组的数据是：
96，96.5，97，97.5，96.5，96.5，97.5，96，96.5，96.5
甲、乙两校参与测试的学生成绩的平均数、中位数、众数如表，根据以上信息，回答下列问题：
（1）求两个学校各自抽取的学生人数a；
（2）b＝ ；m＝ ；
（3）在此次随机抽样测试中，甲校的王同学和乙校的李同学成绩均为97分，则在各自学校参与测试同学中成绩的名次相比较更靠前的是 （填“王”或“李”）同学，请简要说出理由；
（4）在此次随机测试中，乙校96分以上的总人数比甲校96分以上（含96分）的总人数的2倍少100人，试估计乙校96分以上（含96分）的总人数．
19．（8分）【问题背景】某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
【建立模型】（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）求周销售利润w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围），并求出周销售利润w的最大值；
【方案决策】
（3）若每件商品产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每周的最大利润．
20．（8分）某住户在窗户上方安装了遮阳棚（如图1），其侧面如图2所示．遮阳棚的长度AB＝150cm，固定点A与窗户EF上沿的距离AE＝70cm，CD为可以伸缩的支架，固定点C与窗户上沿的距离CE＝20cm，点D在AB的三分之一处（AD＜BD），通过调整支架CD的长度，可以改变遮阳棚与墙壁的角度，某一时刻，太阳光线与水平地面的夹角为53°．
（1）如图2，当遮阳棚AB与墙壁AF垂直时，求遮阳棚落在墙（窗户）上影子AM的长度；
（2）如图3，调整CD的长度，遮阳棚AB可以绕点A转动，当遮阳棚影子在墙上最长时，影子的最低点恰好在窗户下沿的点F处．求窗户EF的高度和此时支架CD的长度．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，，
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点D，AC⊥CD于点C，交⊙O于点E，连接AD、BD、ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若CE＝3，CD＝4，求AB的长．
22．（12分）【问题初探】
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E在线段BC上，BD⊥AE，垂足为点D，连接CD，∠ADC＝60°，求证：；
丽丽和东东两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①如图2，丽丽从条件出发，发现∠DAC＝∠ABD，利用条件AB＝AC，结合“边角边”定理在AD边上截取AF＝BD，构造了一对全等三角形，将求证的问题转化为CD与DF的数量关系．
②如图3，东东受到丽丽的启发，也利用“边角边”定理，在BD的延长线上取点F，使BF＝AD，连接AF，得到了△ADC≌△BFA，发现∠AFD＝60°，利用边角之间的关系证明了问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程，也可以用不同于上面两位同学的方法进行解答．
【迁移应用】
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在线段BC上，过点B作BD⊥AB，交AE的延长线于点D，线段AD绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，当点F恰好在CB的延长线时，求证：．
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，请直接写出△BDE的面积．
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．
初步感知
（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当t＝1时，S＝ ；
②S关于t的函数解析式为 ．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．
延伸探究
（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．
①t1+t2＝ ；
②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）辽宁地处松辽平原，在北纬38度到43度的黄金农业纬度带上，是全国13个粮食主产省之一．去年的粮食总产量达到51270000000斤，创历史新高．将数据51270000000用科学记数法表示为（ ）
A．5.127×1011B．0.5127×1011
C．5.127×1010D．5.127×107
【解答】解：51270000000＝5.127×1010，
故选：C．
2．（3分）如图，这是由5个相同的小立方体组成的几何体，这个几何体的左视图为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：
故选：A．
3．（3分）下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
4．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．x4+x4＝2x8B．（﹣2x2）3＝﹣6x6
C．x6÷x3＝x3D．x2•x3＝x6
【解答】解：A．x4+x4＝2x4，故此选项不合题意；
B．（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项不合题意；
C．x6÷x3＝x3，故此选项符合题意；
D．x2•x3＝x5，故此选项不合题意．
故选：C．
5．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．若ab＞0，则a＞0，b＞0
C．一个角的余角大于这个角
D．若a＞b，则﹣5a＜﹣5b
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、若ab＞0，则a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、一个角的余角不一定大于这个角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、若a＞b，则﹣5a＜﹣5b，命题正确，符合题意；
故选：D．
6．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2+x+1＝0B．x2+1＝2x
C．x2﹣mx﹣m2＝0D．2x2﹣mx﹣1＝0
【解答】解：A．∵Δ＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，∴则方程没有实数根，故A选项不符合题意；
B．x2+1＝2x化为一般式为x2﹣2x+1＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，则方程有两个相等的实数根，故A选项不符合题意；
C．∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）＝5m2≥0，则方程有两个实数根，故C选项不符合题意；
D．∵Δ＝（﹣m）2﹣4×2×（﹣1）＝m2+8＞0，则方程有两个不相等的实数根，故D选项符合题意．
故选：D．
7．（3分）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣2，1）
B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与直线y＝﹣2x+3平行
D．y随x的增大而增大
【解答】解：A、当x＝﹣2，y＝﹣2x+1＝﹣2×（﹣2）+1＝5，则点（﹣2，1）不在函数y＝﹣2x+1图象上，故本选项错误；
B、由于k＝﹣2＜0，则函数y＝﹣2x+1的图象必过第二、四象限，b＝1＞0，图象与y轴的交点在x的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误；
C、由于直线y＝﹣2x+1与直线y＝﹣2x+3的倾斜角相等且与y轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确；
D、由于k＝﹣2＜0，则y随x增大而减小，故本选项错误；
故选：C．
8．（3分）《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12
【解答】解：依题意得：240x﹣150x＝150×12．
故选：D．
9．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
【解答】解：∵，
∴3＝2（x﹣4）﹣a，
解得：x＝，
∵分式方程有增根，
∴x﹣4＝0，
∴x＝4，
把x＝4代入x＝中得：4＝，
解得：a＝﹣3，
故选：D．
10．（3分）如图，EF是△ABC的中位线，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于BE的长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线BP交EF于点D．若AE＝2，DF＝1，则BC长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，AE＝BE＝2，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴ED＝EB＝2，
∴EF＝ED+DF＝2+1＝3，
∴BC＝2EF＝6．
故选：A．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：2a2﹣2b2＝ 2（a+b）（a﹣b） ．
【解答】解：2a2﹣2b2＝2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b）．
故答案为：2（a+b）（a﹣b）．
12．（3分）线段AB的两端点坐标分别为A（﹣3，5），B（2，﹣1），经过平移后，点A的对应点A'（0，3），则点B的对应点B′坐标为 （5，﹣3） ．
【解答】解：由题意可知：点B′的横坐标为：2+[0﹣（﹣3）]＝5；
点B′的纵坐标为﹣1﹣（5﹣3）＝﹣3；
∴点B的对应点B′的坐标为（5，﹣3）．
故答案填：（5，﹣3）．
13．（3分）创“文明丹东”是我们每个人的愿望，某小区在摸彩球活动中，将质地大小完全相同，上面标有“文”“明”“丹”“东”的四个彩球放入同一个袋子，某居民在袋子中随机摸出一个彩球后不放回，再摸出一个，摸出的两个彩球能拼成“文明”的概率是 ．
【解答】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中摸出的两个彩球能拼成“文明”的结果有：（文，明），（明，文），共2种，
∴摸出的两个彩球能拼成“文明”的概率是＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，点B为线段OA的中点，过B作CD∥x轴，交该反比例函数图象于点C，交y轴于点D，OD＝1，则BC＝ 3 ．
【解答】解：由题意可知C、B、D的纵坐标为1，
∵点B为OA的中点，
∴A的纵坐标为2，
把y＝2代入得2＝，解得x＝2，
∴A（2，2），
∴B（1，1），
把y＝1代入得1＝，解得x＝4，
∴C（4，1），
∴BC＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
15．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，作射线BD⊥AC，垂足为D，点F是射线BD上一点．点E是AB边上一点，连接EF，以EF为边向上构造等边△GEF，GF的延长线与射线BC交于点H，连接EH．当DF＝BD，∠BFE＝15°时，△EFG的面积为 或 ．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AB＝6，射线AD⊥AC于D，
∴AB＝BC＝AC＝6，AD＝CD＝AC＝3，∠ABD＝∠CBD＝30°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝＝，
∴DF＝BD＝，
∵点F是射线BD上一点，
∴有以下两种情况：
①当点F在线段BD上时，过点F作FM⊥BC于M，连接CF，过点E作EP⊥GF于P，如图1所示：

∴BF＝BD﹣DF＝，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF＝，
∴BF＝CF＝，
∴∠FBC＝∠FCB＝∠ABD＝30°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°，
在Rt△BFM中，∠FBM＝30°，则FM＝BF＝，∠BFM＝60°，
∵△EFG为等边三角形，
∴EF＝GF＝GE，∠EFG＝60°，
∵∠BFE＝15°，
∴∠MFH＝180°﹣∠EFG﹣∠BFE﹣∠BFM＝180°﹣60°﹣15°﹣60°＝45°，
∴△FMH为等腰直角三角形，
∴FM＝MH＝，∠MFH＝45°，
由勾股定理得：FH＝，
∴∠CFH＝∠BFC﹣∠BFM﹣∠MFH＝120°﹣60°﹣45°＝15°，
∴∠BFE＝∠CFH＝15°，
在△BFE和△CFH中，
，
∴△BFE≌△CFH（ASA），
∴EF＝FH＝，
∴EF＝GF＝GE＝，
∴PF＝GF＝，
由勾股定理得：EP＝，
∴S△EFG＝GF•EP＝＝；
②当点F在BD的延长线上时，延长GF交BC的延长线于K，连接CF，在CB上取一点T，使CT＝CK，如图2所示：
∴BF＝BD+DF＝，则BF2＝48，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF＝，
∴BC2+CF2＝＝48，
∴BF2+CF2＝BF2，
∴△BFC为直角三角形，即∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝60°，
∵△△GEF为等边三角形，
∴EF＝GF＝GE，∠EFG＝60°，
∴∠CFK＝180°﹣∠EFG﹣∠BFE﹣∠BFC＝180°﹣60°﹣15°﹣60°＝45°，
∴△CFK为等腰直角三角形，即CF＝CK＝，
由勾股定理得：FK＝＝，
在△FCT和△FCK中，
，
∴△FCT≌△FCK（SAS），
∴FT＝FK＝，∠CFT＝∠CFK＝45°，
∴∠BFT＝∠BFC﹣∠CFT＝60°﹣45°＝15°，
∴∠BFT＝∠BFE＝15°，
在△BFT和△BFE中，
，
∴△BFT≌△BFE（ASA），
∴FT＝EF＝，
∴EF＝GF＝GE＝，
∴FQ＝GF＝，
由勾股定理得：EQ＝＝，
∴S△EFG＝GF•EP＝＝．
综上所述：△EFG的面积为或．
故答案为：或．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
16．（10分）计算：
（1）解方程：3x2﹣4x﹣1＝0；
（2）计算：．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）原式＝1+2﹣3+4﹣3×
＝1+2﹣3+4﹣
＝2+．
17．（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．
（1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1388元，那么最多可以购买B种跳绳多少根？
【解答】解：（1）设A种跳绳的单价是x元，B种跳绳的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：A种跳绳的单价是25元，B种跳绳的单价是30元；
（2）设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳（48﹣a）根，
根据题意得：30a+25（48﹣a）≤1388，
解得：a≤37.6，
∵a为正整数，
∴a得最大值为37，
答：最多可以购买B种跳绳37根．
18．（9分）丹东市为了解各学校中学生在疫情期间体育锻炼的情况，对甲、乙两个学校各180名学生进行了体育测试，从中各随机抽取相同数量a名学生的成绩（百分制），并对成绩（单位：分）进行整理、描述和分析．给出了部分成绩信息．
甲校参与测试的学生成绩分布如表：
甲校参与测试的学生成绩在96≤x＜98这一组的数据是：
96，96.5，97，97.5，96.5，96.5，97.5，96，96.5，96.5
甲、乙两校参与测试的学生成绩的平均数、中位数、众数如表，根据以上信息，回答下列问题：
（1）求两个学校各自抽取的学生人数a；
（2）b＝ 0.05 ；m＝ 97.25 ；
（3）在此次随机抽样测试中，甲校的王同学和乙校的李同学成绩均为97分，则在各自学校参与测试同学中成绩的名次相比较更靠前的是 王 （填“王”或“李”）同学，请简要说出理由；
（4）在此次随机测试中，乙校96分以上的总人数比甲校96分以上（含96分）的总人数的2倍少100人，试估计乙校96分以上（含96分）的总人数．
【解答】解：（1）根据题意可知，5b＝，解得b＝0.05；
把甲校所抽取的40名学生的成绩从小到大排序后，处在中间位置的两个数是第20个和21个数，是97和97.5，因此中位数是97.25，即m＝97.25，
故答案为：0.05；97.25；
（2）甲校的中位数是97.25，乙校的中位数是97.5，而97分与甲校的中位数更接近，因此王同学在甲校的排名在前，
故答案为：王，理由：97分与甲校的中位数更接近，因此王同学在甲校的排名在前；
（3）样本中，96分以上的学生人数所占的百分比为＝，
所以甲校96分以上的学生人数为180×＝226（人），
因此乙校96分以上的学生人数为226×2﹣100＝352（人），
答：乙校96分以上（含96分）的总人数为352人．
19．（8分）【问题背景】某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表：
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
【建立模型】（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）求周销售利润w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围），并求出周销售利润w的最大值；
【方案决策】
（3）若每件商品产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每周的最大利润．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得
，
解得
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200．
（2）进价为50﹣（1000÷100）＝40（元/件），
所以w＝（﹣2x+200）（x﹣40）
＝﹣2（x﹣70）2+1800
所以当x＝70元时，周销售利润最大，最大利润为1800元．
（3）由（2）可得﹣2＜0，当x＝70时，周销售利润最大，最大利润为1800元．
∵每件商品产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），
∴当60＜a≤70时，x＝a取得最大值，最大值为﹣2（a﹣70）2+1800
当a＞70时，x＝70元时，周销售利润最大，最大利润为1800元．
综上所述，最大利润为
20．（8分）某住户在窗户上方安装了遮阳棚（如图1），其侧面如图2所示．遮阳棚的长度AB＝150cm，固定点A与窗户EF上沿的距离AE＝70cm，CD为可以伸缩的支架，固定点C与窗户上沿的距离CE＝20cm，点D在AB的三分之一处（AD＜BD），通过调整支架CD的长度，可以改变遮阳棚与墙壁的角度，某一时刻，太阳光线与水平地面的夹角为53°．
（1）如图2，当遮阳棚AB与墙壁AF垂直时，求遮阳棚落在墙（窗户）上影子AM的长度；
（2）如图3，调整CD的长度，遮阳棚AB可以绕点A转动，当遮阳棚影子在墙上最长时，影子的最低点恰好在窗户下沿的点F处．求窗户EF的高度和此时支架CD的长度．（结果精确到1cm）
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，，
【解答】解：（1）根据题意得，∠BAM＝90°，∠ABM＝53°，AB＝150cm，
在Rt△ABM中，，
∴AM＝AB•tan53°≈150×＝200（cm），
答：遮阳棚落在墙（窗户）上影子AM的长度约为200cm．
（2）根据题意得，∠ABF＝90°﹣∠AFB﹣90°﹣53°＝47°，
∴∠BAF＝90°﹣47°＝53°，
在Rt△ABF中，，
AF＝，
EF＝AF﹣AE＝250﹣70＝180cm，
过点D作DH⊥AC于点H，
∴AD＝，
在Rt△ADH，
，
∴DH＝AD•sin∠DAH＝50×0.8＝40cm，
∴AH＝AD•cs∠DAH＝50×0.6＝30（cm），
∴CH＝AE﹣AH﹣CE＝70﹣30﹣20＝20（cm）．
在Rt△CDH中，根据勾股定理得：
∴．
答：窗户EF的高度为180cm，支架CD的长约为45cm．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点D，AC⊥CD于点C，交⊙O于点E，连接AD、BD、ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若CE＝3，CD＝4，求AB的长．
【解答】解：（1）证明：连接OD、OE．
∵CD切⊙O于点D，
∴OD⊥CD．
∵AC⊥CD，
∴OD∥AC．
∴∠EAO＝∠DOB，∠AEO＝∠EOD．
又∵∠EAO＝∠AEO，
∴∠EOD＝∠DOB．
∴BD＝ED．
（2）∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°
又∵CE＝3，CD＝4，
∴ED＝5．
∵BD＝ED，
∴BD＝5．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∴∠ACD＝∠ADB．
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∠CED＝∠B，
∴△CDE∽△DAB．
∴．
∴．
∴AB＝．
22．（12分）【问题初探】
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E在线段BC上，BD⊥AE，垂足为点D，连接CD，∠ADC＝60°，求证：；
丽丽和东东两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
①如图2，丽丽从条件出发，发现∠DAC＝∠ABD，利用条件AB＝AC，结合“边角边”定理在AD边上截取AF＝BD，构造了一对全等三角形，将求证的问题转化为CD与DF的数量关系．
②如图3，东东受到丽丽的启发，也利用“边角边”定理，在BD的延长线上取点F，使BF＝AD，连接AF，得到了△ADC≌△BFA，发现∠AFD＝60°，利用边角之间的关系证明了问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程，也可以用不同于上面两位同学的方法进行解答．
【迁移应用】
（2）如图4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在线段BC上，过点B作BD⊥AB，交AE的延长线于点D，线段AD绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，当点F恰好在CB的延长线时，求证：．
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，请直接写出△BDE的面积．
【解答】（1）选丽丽、证明：由题意知，∠DAC+∠ABD＝90°＝∠ABD+∠BAD，
∴∠DAC＝∠ABD，
又∵∠AFC＝90°＝∠BDA，AC＝AB，
∴△AFC≌△BDA（AAS），
∴AF＝BD，
∵∠ADC＝60°，
∴，即，
∴，
∴；
选东东、证明：如图3，延长BD到F，使BF＝AD，连接AF，
由题意知，∠DAC+∠ABD＝90°＝∠ABD+∠BAD，
∴∠DAC＝∠ABD，
又∵AD＝BF，AC＝AB，
∴△DAC≌△FBA（SAS），
∴∠AFD＝∠ADC＝60°，AF＝CD，
∴，即，
∴，
∴；
（2）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
如图4，作FG⊥DB的延长线于G，
由旋转的性质可知，DF＝AD，∠ADF＝90°，
∵∠GDF+∠ADB＝90°＝∠BAD+∠ADB，
∴∠GDF＝∠BAD，
又∵DF＝AD，∠DGF＝90°＝∠ABD，
∴△DGF≌△ABD（AAS），
∴FG＝BD，
∵∠G＝90°＝∠ABG，
∴FG∥AB，
∴∠GFB＝∠ABC＝45°，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知△DGF≌△ABD（AAS），
∴DG＝AB＝4，
∵，
∴，
∵∠ABD+∠BAC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠C＝∠DBE，∠CAE＝∠BDE，
∴△CAE∽△BDE，
∴，
解得S△CAE＝4S△BDE，
由题意知，，，
∵S△ABE+S△BDE①，S△ABE+S△CAE②，
∴②﹣①得，S△CAE﹣S△BDE＝4，即4S△BDE﹣S△BDE＝4，
解得，，
∴△BDE的面积为．
23．（12分）综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t s，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．
初步感知
（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当t＝1时，S＝ 3 ；
②S关于t的函数解析式为 S＝t2+2（0＜t≤2） ．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．
延伸探究
（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．
①t1+t2＝ 4 ；
②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积．
【解答】解：（1）①当t＝1时，CP＝1，
又∵∠C＝90°，CD＝，
∴S＝DP2＝CP2+CD2＝12+（）2＝3．
故答案为：3；
②当点P由点C运动到点B时，CP＝t，
∵∠C＝90°，CD＝，
∴S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+（）2＝t2+2．
故答案为：S＝t2+2（0＜t≤2）；
（2）由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2＝BD2＝6，当点P运动到点A处时，PD2＝AD2＝18，
抛物线的顶点坐标为（4，2），
∴BC＝＝＝2，AD＝＝3，
∴M（2，6），
设S＝a（t﹣4）2+2，将M（2，6）代入，得4a+2＝6，
解得：a＝1，
∴S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18，
∴AC＝AD+CD＝3+＝4，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝6，
∴抛物线的解析式为S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8）；
（3）①方法一：由（1）（2）可得S＝，图象如图所示：
∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，
∴2＜S＜6，
∴点P1与P2关于直线t＝2对称，点P2与P3关于直线t＝4对称，
∴（t1+t2）＝2，（t2+t3）＝4，
∴t1+t2＝4，t2+t3＝8．
故答案为：4；
方法二：如图，则∠AHD＝90°＝∠C，
∵∠DAH＝∠BAC，
∴△ADH∽△ABC，
∴＝＝，即＝＝，
∴DH＝，AH＝4，
∴BH＝2，DH＝CD，
∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，
∴DP1＝DP2＝DP3，
∴CP1＝t1，P2H＝4﹣t2，
在Rt△CDP1和Rt△HDP2中，
，
∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2（HL），
∴CP1＝HP2，
∴t1＝4﹣t2，
∴t1+t2＝4．
故答案为：4；
②方法一：由①知：t1+t2＝4，t2+t3＝8，
∴t3﹣t1＝4，
∵t3＝4t1，
∴t1＝，
∴S＝（）2+2＝．
方法二：∵DP3＝DP1，DH＝DC，∠DHP3＝∠C＝90°，
∴Rt△DHP3≌Rt△DCP1（HL），
∴P3H＝CP1，
∵P3H＝t3﹣4，
∴t3﹣4＝t1，
∵t3＝4t1，
∴t1＝，
∴S＝（）2+2＝．成绩（分）
90≤x＜92
92≤x＜94
94≤x＜96
96≤x＜98
98≤x≤100
甲
频数
2
3
7
10
18
校
频率
b
0.075
3.5b
5b
9b
学校
平均数
中位数
众数
甲校
96.35
m
99
乙校
95.85
97.5
99
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600
文
明
丹
东
文
（文，明）
（文，丹）
（文，东）
明
（明，文）
（明，丹）
（明，东）
丹
（丹，文）
（丹，明）
（丹，东）
东
（东，文）
（东，明）
（东，丹）
成绩（分）
90≤x＜92
92≤x＜94
94≤x＜96
96≤x＜98
98≤x≤100
甲
频数
2
3
7
10
18
校
频率
b
0.075
3.5b
5b
9b
学校
平均数
中位数
众数
甲校
96.35
m
99
乙校
95.85
97.5
99
售价x（元/件）
50
60
80
周销售量y（件）
100
80
40
周销售利润w（元）
1000
1600
1600