2024年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团中考三模考试数学试题

这是一份2024年湖南省长沙市湖南师大附中教育集团中考三模考试数学试题，共17页。
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为（ ）
A．13.6×108B．1.36×108C．1.36×109D．13.6×109
3．（3分）下面几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a3）4＝a12
C．（﹣2a4）3＝﹣6a12D．a3÷a3＝a
5．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝52°，连结OB，OC，则∠BOC的度数为（ ）
A．26°B．70°C．104°D．128°
6．（3分）点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
7．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．1，1，2C．1，2，2D．1，5，7
8．（3分）唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，根据题意可列方程为（ ）
A．4y+6x＝50B．50+4x＝6y
C．4x+6y＝50D．50+6 y＝4 x
9．（3分）一次函数y＝﹣3x﹣2的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，烷烃中甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，按照此规律．设碳原子（C）的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ）
A．∁nH2n+2B．∁nH2nC．∁nH2n﹣2D．∁nHn+3
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）甲、乙两人各进行10次射击比赛，平均成绩均为9环，方差分别是：S甲2＝2，S乙2＝4，则射击成绩较稳定的是 （选填“甲”或“乙”）．
13．（3分）分解因式：m2﹣16＝ ．
14．（3分）如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝105°，则∠2的度数为 ．
15．（3分）已知扇形的圆心角度数为120°，半径是2，则该扇形的面积为 ．
16．（3分）在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色．
小雅说：“红色球在我手上”；
小培说：“红色球不在我手上”；
小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”．
三个同学只有一个说对了，则红色球在 的手上．
三.解答题（共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，与AB交于点D，与BC交于点E，连接AE．
（1）由作图可知：直线MN是线段AB的 ；
（2）AE BE（填“＞、＜、＝”）；
（3）当AC＝3，AB＝5时，求△ACE的周长．
20．（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 名学生；
②扇形统计图中圆心角α＝ 度；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
21．（8分）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身．某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进104m至B处，测得仰角为60°．（参考数据：≈1.7）
（1）求证：AB＝DB；
（2）若学生的身高忽略不计，求该塔CD的高度？（结果精确到1m）
22．（9分）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份A4纸的用纸量为1000张，到了4月份A4纸的用纸量降到了640张．
（1）求单位A4纸的用纸量月平均降低率；
（2）根据（1）的结果，估算5月份单位A4纸的用纸量．
23．（9分）如图，菱形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E使得DE＝OD，连接EO并延长交CB的延长线于点F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若BF＝5，OA＝12，求线段AE的长和菱形ABCD的面积．
24．（10分）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）．
（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为 ；
（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；
（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标．
25．（10分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB＝10，CD＝6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
（1）如图1，当DP＝4时，求tan∠P的值；
（2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，．
①求证：∠ACQ＝∠CPA；
②求y与x之间的函数关系式．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．
故选：A．
2．（3分）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为（ ）
A．13.6×108B．1.36×108C．1.36×109D．13.6×109
【解答】解：∵13.6亿＝1360000000，
∴13.6亿用科学记数法表示为1.36×109．
故选：C．
3．（3分）下面几何体中，主视图是矩形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．圆锥体的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；
B．球的主视图是圆，因此选项B不符合题意；
C．圆台的主视图是等腰梯形，因此选项C不符合题意；
D．圆柱的主视图是矩形，因此选项D符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（a3）4＝a12
C．（﹣2a4）3＝﹣6a12D．a3÷a3＝a
【解答】解：a3•a4＝a7，故选项A不合题意；
（a3）4＝a12，正确，故选项B符合题意；
（﹣2a4）3＝﹣8a12，故选项C不合题意；
a3÷a3＝1，故选项D不合题意．
故选：B．
5．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝52°，连结OB，OC，则∠BOC的度数为（ ）
A．26°B．70°C．104°D．128°
【解答】解：∵∠BAC＝∠BOC，∠BAC＝52°，
∴∠BOC＝2×52°＝104°．
故选：C．
6．（3分）点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
【解答】解：点（﹣2，3）关于原点的对称点的坐标为（2，﹣3）．
故选：D．
7．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．1，1，2C．1，2，2D．1，5，7
【解答】解：A.1+2＝3，不能构成三角形，不合题意；
B.1+1＝2，不能构成三角形，不合题意；
C..1+2＞2，能构成三角形，符合题意；
D.1+5＜7，不能构成三角形，不合题意．
故选：C．
8．（3分）唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要小圈舍x间，大圈舍y间，根据题意可列方程为（ ）
A．4y+6x＝50B．50+4x＝6y
C．4x+6y＝50D．50+6 y＝4 x
【解答】解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间，
根据题意可列方程为：4x+6y＝50，
故选：C．
9．（3分）一次函数y＝﹣3x﹣2的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵k＝﹣3＜0，b＝﹣2＜0，
∴一次函数的图象过第二，三，四象限，
故选：B．
10．（3分）如图，烷烃中甲烷的化学式是CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，按照此规律．设碳原子（C）的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ）
A．∁nH2n+2B．∁nH2nC．∁nH2n﹣2D．∁nHn+3
【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1＝4＝2×1+2，a2＝6＝2×2+2，a3＝8＝2×3+2，…，
∴an＝2n+2．
∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为∁nH2n+2．
故选：A．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是 x≥5 ．
【解答】解：∵式子有意义，
∴x﹣5≥0，
∴x≥5．
故答案为：x≥5．
12．（3分）甲、乙两人各进行10次射击比赛，平均成绩均为9环，方差分别是：S甲2＝2，S乙2＝4，则射击成绩较稳定的是 甲 （选填“甲”或“乙”）．
【解答】解：因为甲的方差最小，所以射击成绩较稳定的是甲；
故答案为：甲
13．（3分）分解因式：m2﹣16＝ （m+4）（m﹣4） ．
【解答】解：原式＝（m+4）（m﹣4），
故答案为：（m+4）（m﹣4）
14．（3分）如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝105°，则∠2的度数为 75° ．
【解答】解：∵CD∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∵∠3＝∠1＝105°，
∴∠2＝75°．
故答案为：75°．
15．（3分）已知扇形的圆心角度数为120°，半径是2，则该扇形的面积为 ．
【解答】解：扇形的面积为，
故答案为：．
16．（3分）在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色．
小雅说：“红色球在我手上”；
小培说：“红色球不在我手上”；
小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”．
三个同学只有一个说对了，则红色球在 小培 的手上．
【解答】解：假设小雅说的是真话，则红桃A在小雅手上，所以小培说的是真话，不合题意，
假设小培说的是真话，小雅说的是假话，则小粹说的是真话，不合题意，
假设小粹说的是真话，则小雅说的是假话，则小培说的就是假话了，符合题意，
所以红桃A在小培手上．
故答案为：小培．
三.解答题（共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：
＝
＝
＝﹣3．
18．（6分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣（b2﹣3ab），其中a＝﹣1，b＝2．
【解答】解：（a﹣b）2﹣（b2﹣3ab）
＝a2﹣2ab+b2﹣b2+3ab
＝a2+ab，
当a＝﹣1，b＝2时，
原式＝（﹣1）2+（﹣1）×2
＝1﹣2
＝﹣1．
19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，与AB交于点D，与BC交于点E，连接AE．
（1）由作图可知：直线MN是线段AB的 垂直平分线 ；
（2）AE ＝ BE（填“＞、＜、＝”）；
（3）当AC＝3，AB＝5时，求△ACE的周长．
【解答】解：（1）由作图可知：直线MN是线段AB的垂直平分线；
故答案为垂直平分线
（2）∵MN垂直平分AB，
∴AE＝BE；
故答案为＝；
（3）解：由（2）可知：△ACE 的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，
在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
∴△ACE 的周长＝AC+BC＝3+4＝7．
20．（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 400 名学生；
②扇形统计图中圆心角α＝ 54 度；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【解答】（1）①调查人数：＝400（名），
故答案为：400；
②A组的人数：400×15%＝60（名），
C组的人数：400﹣100﹣140﹣40﹣60＝60（名），
扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，
故答案为：54，
（2），
答：参加D组（阅读）的学生人数为980人；
（3）树状图如下：
∵共有12中等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的有两种，
∴P（恰好抽中甲、乙两人）＝．
21．（8分）长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身．某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进104m至B处，测得仰角为60°．（参考数据：≈1.7）
（1）求证：AB＝DB；
（2）若学生的身高忽略不计，求该塔CD的高度？（结果精确到1m）
【解答】（1）证明：由题意可知，∠A＝30°，∠DBC＝60°，CD⊥AC，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，
∴∠ADB＝∠A＝30°，
∴AB＝DB；
（2）解：由题意可知，AB＝104m，
由（1）可知，AB＝DB＝104m，
在Rt△BCD中，sin∠DBC＝＝sin60°＝，
∴CD＝BD＝×104＝52≈88（m），
即该塔CD的高度约为88m．
22．（9分）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，单位2月份A4纸的用纸量为1000张，到了4月份A4纸的用纸量降到了640张．
（1）求单位A4纸的用纸量月平均降低率；
（2）根据（1）的结果，估算5月份单位A4纸的用纸量．
【解答】解：（1）设该单位A4纸的用纸量月平均降低率为x，
根据题意得：1000（1﹣x）2＝640，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）．
答：该单位A4纸的用纸量月平均降低率为20%；
（2）根据题意得：640×（1﹣20%）＝512（张）．
答：预计5月份该单位A4纸的用纸量为512张．
23．（9分）如图，菱形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E使得DE＝OD，连接EO并延长交CB的延长线于点F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若BF＝5，OA＝12，求线段AE的长和菱形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠E＝∠F，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（AAS）；
（2）解：由（1）得△DOE≌△BOF，
∴BF＝DE＝5，
∴DE＝OD＝5．
∵四边形ABCD是菱形，OA＝12，
∴AC⊥BD，BD＝2OD＝10，AC＝2OA＝24．
∴∠AOD＝90°，
在Rt△AOD中，由勾股定理得AD＝＝13，
∴AE＝AD+DE＝13+5＝18．
S菱形ABCD＝AC•BD＝×24×10＝120．
综上所述，线段AE的长为18，菱形ABCD的面积为120．
24．（10分）定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）．
（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为 （﹣1，﹣1） ；
（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；
（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标．
【解答】解：（1）联立，
解得，
∴一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），
∴n﹣1＝2，
∴n＝3，
∴“不动点”为（2，2），
∴2＝2m+3，
解得m＝﹣；
（3）∵直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，
∴直线y＝kx﹣3与直线y＝x平行，
∴k＝1，
∴y＝x﹣3，
∴A（3，0），B（0，﹣3），
设P（t，0），
∴AP＝|3﹣t|，
∴S△ABP＝×|t﹣3|×3，
S△ABO＝×3×3，
∵S△ABP＝3S△ABO，
∴|t﹣3|＝9，
∴t＝12或t＝﹣6，
∴P（﹣6，0）或P（12，0）．
25．（10分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB＝10，CD＝6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．
（1）如图1，当DP＝4时，求tan∠P的值；
（2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，．
①求证：∠ACQ＝∠CPA；
②求y与x之间的函数关系式．
【解答】（1）解：连接OD，如图，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，
∴DE＝EC＝CD＝3，
∵AB＝10，
∴OA＝OB＝OD＝5，
∴OE＝＝4，
∴AE＝OA+OE＝9，
∵DP＝4，
∴PE＝DP+DE＝7．
∵PE⊥AE，
∴tan∠P＝；
（2）①证明：连接BQ，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AQB＝90°，
∴∠QAB+∠B＝90°，
∵PE⊥AE，
∴∠QAB+∠P＝90°，
∴∠P＝∠B，
∵∠B＝∠ACQ，
∴∠ACQ＝∠CPA．
②解：∵CE⊥AB，
∴AC＝3．
∵四边形AQDC为圆的内接四边形，
∴∠PDQ＝∠QAC，
∵∠ACQ＝∠CPA，
∴△PDQ∽△CAQ，
∴＝，
∴，
∵△PDQ与△DCQ是等高的三角形，
∴，
∴，
∵，
∴y＝＝．
∴y与x之间的函数关系式为y＝．