黑龙江省大兴安岭实验中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理）试题（B班）

这是一份黑龙江省大兴安岭实验中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理）试题（B班），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1．（5分）已知复数z＝，则的虚部为（ ）
A．1B．2C．﹣2D．﹣1
2．（5分）已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+1＝0互相平行，则a等于（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．0
3．（5分）设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且，∥，则||等于（ ）
A．B．C．3D．4
4．（5分）2021年是中国共产党百年华诞．某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（ ）
A．14B．48C．72D．120
5．（5分）圣•索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为（）m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．20mB．30mC．mD．m
6．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成角为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取π＝3），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ）
A．55B．50C．45D．40
8．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，若函数f（x+1）为偶函数，函数f（x+2）为奇函数，则＝（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
9．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx•csωx+2cs2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为，则当时，函数f（x）的值域是（ ）
A．[﹣2，1]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣1，2]
10．（5分）已知直线l过抛物线y2＝8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C．若点F是AC的中点，则线段BC的长为（ ）
A．B．3C．D．6
11．（5分）已知A、B分别是椭圆C： +y2＝1的右顶点和上顶点，P为椭圆C上一点，若△PAB的面积是 ﹣1，则P点的个数为（ ）
A．0B．2C．3D．4
12．（5分）已知x＞1，y＞1，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．2x+1＜2yB．2x+2y＜8C．ln（x+y）＞2D．ln（x﹣y）＞0
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值为 ．
14．（5分）已知两点A（4，9）和B（6，3），则以AB为直径的圆的标准方程是 ．
15．（5分）（x+2）（1﹣2x）5的展开式中含x2的项的系数是 ．
16．（5分）双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，F1过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点（P在第二象限，Q在第一象限）＝3，•＝0，则双曲线C的离心率为 ．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）在数列{an}中，a1＝，an+1＝an+．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C；
（2）若b＝2，△ABC的面积为，求c．
19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PA＝PB，PC＝2．
（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）H为PA的中点，求二面角D﹣CH﹣B的余弦值．
20．（12分）已知椭圆C： ＝1（a＞b＞0）的离心率是 ，椭圆C过点（1， ）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知F1，F2是椭圆C的左、右焦点，过点F2的直线l（不过坐标原点）与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x2+x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明当a≥2时，关于x的不等式f（x）＜（﹣1）x2+ax﹣1恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知点P（2，0），若直线l与曲线C交于A，B两点，求||PA|﹣|PB||的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤4的解集；
（2）若∃x∈[1，2]，使得不等式f（x）＞x2成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1．（5分）已知复数z＝，则的虚部为（ ）
A．1B．2C．﹣2D．﹣1
【解答】解：z＝＝＝，
则，
故的虚部为﹣2，
故选：C．
2．（5分）已知直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+1＝0互相平行，则a等于（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．0
【解答】解：∵直线x+ay﹣1＝0和直线ax+4y+1＝0互相平行，
∴a2﹣4＝0，解得a＝±2，
经过检验a＝±2都满足条件，
∴a＝±2．
故选：C．
3．（5分）设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且，∥，则||等于（ ）
A．B．C．3D．4
【解答】解：因为＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且，∥，
所以，解得，
所以，
所以，
所以．
故选：B．
4．（5分）2021年是中国共产党百年华诞．某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（ ）
A．14B．48C．72D．120
【解答】解：根据题意，在2首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有2种安排方法，
在其他5首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有A53＝60种安排方法，
则有2×60＝120种不同的安排方法，
故选：D．
5．（5分）圣•索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为（）m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．20mB．30mC．mD．m
【解答】解：在直角三角形ABM中，AM＝．
在△ACM中，∠CAM＝30°+15°＝45°，∠AMC＝180°﹣15°﹣60°＝105°，
故∠ACM＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
由正弦定理，＝，
故CM＝•AM＝×．
在直角三角形CDM中，CD＝CMsin60°＝×＝×＝30（m）．
故选：D．
6．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成角为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接AC交BD于点O，
因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，
所以BD⊥AC，BD⊥PA，因此BD⊥平面PAC；
故BO⊥平面PAC；
连接OP，则∠BPO即是直线PB与平面PAC所成角，
又因PA＝AB＝2，所以PB＝2，BO＝．
所以sin∠BPO＝＝，所以∠BPO＝．
故选：A．
7．（5分）中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取π＝3），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ）
A．55B．50C．45D．40
【解答】解：如图，
设AC＝8，BC＝15，可得AB＝17，
设其内切圆的半径为r，则由等面积法，可得×8×15＝（8+15+17）×r，
解得r＝3，则其内切圆的直径为6步；
现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是P＝＝＝⇒n＝45．
故选：C．
8．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，若函数f（x+1）为偶函数，函数f（x+2）为奇函数，则＝（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），即函数关于x＝1对称，
∵f（x+2）为奇函数，∴f（﹣x+2）＝﹣f（x+2），即函数关于（2，0）对称，
当x＝0时，f（2）＝﹣f（2），得f（2）＝0，
即f[（﹣（x﹣1）+2）]＝﹣f（x+1），∴f（﹣x+3）＝﹣f（x+1），
∴f（﹣x+3）＝﹣f（x+1）＝﹣f（﹣x+1），∴f（x+3）＝﹣f（x+1），
∴f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
∴f（x）是周期为4的周期函数，
令x＝1，得f（3）＝﹣f（1），f（0）＝﹣f（2）＝0，f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，
∴＝504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝0+0+0+0＝0，
故选：A．
9．（5分）已知函数f（x）＝2sinωx•csωx+2cs2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为，则当时，函数f（x）的值域是（ ）
A．[﹣2，1]B．[﹣2，2]C．[﹣1，1]D．[﹣1，2]
【解答】解：∵f（x）＝2sinωx•csωx+2cs2ωx﹣1＝sin2ωx+cs2ωx＝2sin（2ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，
∴＝，解得ω＝2．
∴f（x）＝2sin（4x+）．
当时，4x+∈[，]，
f（x）＝2sin（4x+）∈[﹣1，2]，
故选：D．
10．（5分）已知直线l过抛物线y2＝8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C．若点F是AC的中点，则线段BC的长为（ ）
A．B．3C．D．6
【解答】解：如图，A在准线上的射影为E，B在准线上的射影为H，
由抛物线y2＝8x，得焦点F（2，0），
∵点F是AC的中点，∴AE＝2p＝8，则AF＝8，
∴A点横坐标为6，代入抛物线方程，可得A（6，4），
∴，则AF所在直线方程为y＝．
联立，得3x2﹣20x+12＝0．
∴6xB＝4，得，则BF＝BH＝．
故BC＝CF﹣BF＝AF﹣BF＝8﹣＝．
故选：C．
11．（5分）已知A、B分别是椭圆C： +y2＝1的右顶点和上顶点，P为椭圆C上一点，若△PAB的面积是 ﹣1，则P点的个数为（ ）
A．0B．2C．3D．4
【解答】解：由椭圆的方程及题意可得：A（2，0），B（0，1），所以|AB|＝＝，
可得直线AB的方程为：+y＝1，即x+2y﹣2＝0，
设与直线AB平行的直线为：x+2y+t＝0，
则两条直线的距离d＝，
所以S△PAB＝|AB|•d＝•＝|t+2|，
由题意可得|t+2|＝﹣1，
可得t＝2或﹣2，
所以直线x+2y+2﹣4＝0或x+2y﹣2＝0与椭圆联立，
由判别式可得有3个P点，
故选：C．
12．（5分）已知x＞1，y＞1，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．2x+1＜2yB．2x+2y＜8C．ln（x+y）＞2D．ln（x﹣y）＞0
【解答】解：＝＝+＞，
令f（x）＝，x＞1，
则f′（x）＝＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴x＞y+1，
∴x﹣y＞1，
∴ln（x﹣y）＞ln1＝0，故D正确；
令x＝4，y＝2满足x﹣y＞1，但是2x+1＜2y不成立，故A错误；
令x＝4，y＝2满足x﹣y＞1，但是2x+2y＜8不成立，故B错误；
令x＝4，y＝2满足x﹣y＞1，但是ln（x+y）＞2不成立，故C错误．
故选：D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.
13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值为 7 ．
【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示；
目标函数z＝3x﹣y可化为y＝3x﹣z，
平移直线y＝3x，
可知当直线经过点C时，
直线l的截距最小，z取最大值．
由，解得点C（2，﹣1）；
所以z＝3x﹣y的最大值为7．
故答案为：7．
14．（5分）已知两点A（4，9）和B（6，3），则以AB为直径的圆的标准方程是 （x﹣5）2+（y﹣6）2＝10 ．
【解答】解：两点A（4，9）和B（6，3），由于该圆是以AB为直径，
所以圆心坐标为（5，6），半径为r＝，
故圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣6）2＝10．
故答案为：（x﹣5）2+（y﹣6）2＝10．
15．（5分）（x+2）（1﹣2x）5的展开式中含x2的项的系数是 70 ．
【解答】解：（x+2）（1﹣2x）5的展开式中含x2的项为x+2×＝70x2，
所以含x2的项的系数为70，
故答案为：70．
16．（5分）双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，F1过的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点（P在第二象限，Q在第一象限）＝3，•＝0，则双曲线C的离心率为 6 ．
【解答】解：如图，
由•＝0，可得F1Q⊥F2Q，
则Q在以F1F2为圆心，以c为半径的圆x2+y2＝c2上，
联立，解Q（a，b），
设P（m，n），则＝（m+c，n），＝（a﹣m，b﹣n），
又＝3，∴（m+c，n）＝3（a﹣m，b﹣n），
解得m＝（3a﹣c），n＝，代入y＝﹣x，
得＝﹣•（3a﹣c），即c＝6a，
∴双曲线C的离心率为e＝＝6．
故答案为：6．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分）
17．（12分）在数列{an}中，a1＝，an+1＝an+．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）∵an+1＝an+，
∴an+1﹣an＝，
∴数列{an}是以为首项，为公差的等比数列，
∴an＝+（n﹣1）＝n．
（2）由（1）an＝n，
则：bn＝＝＝4（﹣），
Tn＝4（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），
＝4（1﹣）
＝．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C；
（2）若b＝2，△ABC的面积为，求c．
【解答】解：（1）由正弦定理可得，
因为sinB≠0，
所以，
所以，
因为C∈（0，π），
所以．
（2）由（1）得，
因为，
所以ab＝8，
因为b＝2，
所以a＝4，
由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcsC＝16+4﹣8＝12，
所以．
19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PA＝PB，PC＝2．
（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）H为PA的中点，求二面角D﹣CH﹣B的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接OC、AC，
因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，
OC⊥AB，因为PA＝PB，所以OP⊥AB，
所以∠POC为二面角P﹣AB﹣C的平面角，
因为PA⊥PB，AB＝2，OP＝OA＝OB＝1，OC＝2•sin60°＝，
又因为PC＝2，所以PC2＝OP2+OC2，于是∠POC＝90°，
所以平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC、OB、OP两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（，0，0），D（，﹣2，0），P（0，0，1），H（0，﹣，），
＝（﹣，﹣，），＝（0，﹣2，0），＝（﹣，1，0），
设平面HCD和平面HCB的法向量分别为＝（x，y，z），＝（u，v，w），
，令z＝2，＝（1，0，2），
，令v＝，＝（1，，3），
设二面角D﹣CH﹣B的大小为θ，
|csθ|＝＝＝，
因为θ为钝角，所以二面角D﹣CH﹣B的余弦值为﹣．
20．（12分）已知椭圆C： ＝1（a＞b＞0）的离心率是 ，椭圆C过点（1， ）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知F1，F2是椭圆C的左、右焦点，过点F2的直线l（不过坐标原点）与椭圆C交于A，B两点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由条件知，解得，
因此椭圆C的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
设直线l的方程为x＝my+1，
代入椭圆C的方程消去x，得(3m2+4)y2+6my﹣9＝0，
由韦达定理得，，
＝(my1+2)(my2+2)+y1y2
＝(1+m2)y1y2+2m(y1+y2)+4＝
＝，
∵3m2+4≥4，∴0＜，则﹣3＜﹣3+，
∴∈（﹣3，]．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x2+x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明当a≥2时，关于x的不等式f（x）＜（﹣1）x2+ax﹣1恒成立．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣2x+1＝ （x＞0），
由f'（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0，
又x＞0，所以x＞1．
所以f（x）的单调减区间为（1，+∞），函数f（x）的增区间是（0，1）．
（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣[（﹣1）x2+ax﹣1]＝lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，
所以g′（x）＝﹣ax+（1﹣a）＝，
因为a≥2，
所以g′（x）＝﹣，
令g'（x）＝0，得x＝，
所以当x＝（0，），g'（x）＞0；
当x∈（，+∞）时，g'（x）＜0．
因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在x∈（，+∞）是减函数．
故函数g（x）的最大值为g（）＝ln（）﹣a×（）2+（1﹣a）×（）+1＝﹣lna．
令h（a）＝（）﹣lna，因为h（2）＝﹣ln2＜0，
又因为h（a）在a∈（0，+∞）是减函数．
所以当a≥2时，h（a）＜0，
即对于任意正数x总有g（x）＜0．
所以关于x的不等式f（x）＜（﹣1）x2+ax﹣1恒成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）已知点P（2，0），若直线l与曲线C交于A，B两点，求||PA|﹣|PB||的值．
【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），
则，，相减可得，即曲线C的普通方程为，
直线l的极坐标方程为，则，
∵x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，
∴直角l的直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0．
（2）直线l过点P（2，0），直线l的参数方程为 （t为参数），
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
由 代入，得，
则，t1t2＝﹣1，
故．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤4的解集；
（2）若∃x∈[1，2]，使得不等式f（x）＞x2成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x+2|+2|x﹣1|，
当x≤﹣2时，f（x）＝﹣x﹣2﹣2x+2≤4，解得x≥﹣，
又x≤﹣2，
所以不等式无解；
当﹣2＜x≤1时，f（x）＝x+2﹣2x+2≤4，解得x≥0，
又﹣2＜x≤1，
所以此时不等式的解集为{x|0≤x≤1}；
当x＞1时，f（x）＝x+2+2x﹣2≤4，解得x≤，
又x＞1时，
所以此时不等式的解集为{x|1＜x≤}；
综上所述，不等式的解集为[0，]．
（2）当1≤x≤2时，|x+a|+2|x﹣1|＞x2可化为|x+a|＞x2﹣2x+2，
所以x+a＞x2﹣2x+2或x+a＜﹣x2+2x﹣2，
即存在x∈[1，2]，使得a＞x2﹣3x+2或a＜﹣x2+x﹣2，
若a＞x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，
因为x∈[1，2]，
所以x2﹣3x+2≥﹣，
所以a＞﹣，
若a＜﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣）2﹣，
因为x∈[1，2]，
所以﹣x2+x﹣2≤﹣2，
所以a＜﹣2，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣，+∞）．