浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期6月期末调研测试数学试题

这是一份浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期6月期末调研测试数学试题，共9页。

注意事项：
1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．
2．本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径是（ ）
A．B．C．D．
4．设，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（ ）
A．众数<中位数<平均数B．众数<平均数<中位数
C．中位数<平均数<众数D．中位数<众数<平均数
6．在正方体中，是的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（ ）
A．0B．C．D．
7．湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D共线）处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为（ ）
A．284mB．286mC．288mD．290m
8．已知是锐角三角形，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．为了丰富同学们的课外活动，某学校为同学们举办了四种不同的科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（ ）
A．A与D是互斥事件B．B与E是对立事件
C．D．
10．若复数z，w均不为0，则下列结论正确的是*
A．B．
C．D．
11．如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（ ）
A．当平面平面时，平面
B．当A，C重合于点时，平面
C．当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为
D．当A，C重合于点时，四棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知事件和事件相互独立，且，，则__________．
13．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是__________．
14．已知四面体中，棱BC，AD所在直线所成的角为，且，，，则四面体体积的最大值是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”．
（1）求和的值；
（2）求两次摸到的不都是红球的概率．
16．（本题满分15分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求；
（2）若的面积为，边上的高为1，求的周长．
17．（本题满分15分）某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按，，…，依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中x的值；
（2）估计参与这次测试学生的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；
（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．
18．（本题满分17分）
如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）求四棱台的体积和球的表面积．
19．（本题满分17分）
已知函数，．
（1）写出函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；
（3）已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围．
湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷
高一数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，
（1）第一次摸到红球的可能结果有8种，即，
所以．
第二次摸到红球的可能结果也有8种，即，
所以．
（2）事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即，
则两次摸到都是红球的概率，
故两次摸到的不都是红球的概率．
16．解：（1）因为，
由正弦定理，得，
即，即．
因为在中，，所以．
又因为，所以．
（2）因为的面积为，所以，得．
由，即，所以．
由余弦定理，得，即，化简得，所以，即，
所以的周长为．
17．解：（1）由题意得，所以；
（2）参与测试学生的成绩平均值：
．
第60百分位数为；
（3）设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为，，，，，，且三组的频率之比为4：6：5，则这三组的平均数，
所以第三组、第四组和第五组所有参与测试的学生的测试成绩的方差
18．解：（1）证明：设与、与BD分别交点E，F，连接EF，因为底面为菱形，所以．
在等腰梯形中，因为E，F为底边中点，
所以，又EF与BD相交，平面．
（2）由（1）可知平面平面，又平面平面，
过点作于，则平面，再作于，
则由三垂线定理得，则是二面角的平面角．
因为平面，故是侧棱与底面所成角，所以．
在，，，
在，，
在，．
因此二面角的正切值为．
（3）由题意可知三棱台为正三棱台，设，是和的中心，M，N分别是和BC的中点，故为内切球的球心的直径。不妨设和的边长分别是x，y，球的半径为，则，
所以球的表面积为．
在中，，
由为内切球可知，解得，
在直角梯形中，，解得，
因此，，因此四棱台的体积．
方法2：将四棱台还原为四棱锥，
由题意可知三棱台为正三棱台，所以三棱锥为正三棱锥，因此三棱台和三棱锥的内切球为同一个球，设，是和的中心。
由（2）易知在，所以三棱锥为正四面体，所以，
因此平面是四棱锥的中截面，则，，
故四棱台的体积．
球的表面积为．
19．解：（1）
则的单调递增区间是，
单调递减区间是，．
（2）函数在单调递减，在单调递增，
故在的最小值为，
同理，在的最小值为，且在的渐近线为，
故结合图象可得，函数有两个零点时需满足解得：．
或解得：．
综上所述：或．
（3）由题意得：，则．
且，则，
因为，，所以，故．
所以．
又，故单调递增，
所以单调递增，故．
因此的取值范围为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
A
C
A
B
C
B
题号
9
10
11
答案
ABC
BCD
AC