福建省福州第二中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州第二中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数，则下列正确的是( )
A.B.C.为纯虚数D.的实部为1
2．已知向量，，在由小正方形（边长1）组成的网格中的位置如图所示，则( )
A.12B.4C.6D.3
3．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为( )
A.B.C.D.
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为( )
A.B.C.D.
5．下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法错误的是( )
A.这10年粮食年产量的极差为16
B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35
C.这10年粮食年产量的平均数为33.7
D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差
6．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B.在上单调递增
C.的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数
D.在上的零点有4个
7．如图，平行四边形中，，，，E为的中点，与交于F，则( )
A.在方向上的投影向量为B.以
C.D.
8．如图，三棱柱中，，，，，D为中点，E为上一点，，，M为侧面上一点，且平面，则点M的轨迹的长度为( )
A.2B.C.D.1
二、多项选择题
9．下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是( )
A.已知复数满足，则
B.复数的共轭复数的虚部为2
C.若是关于x的方程的一个根，则
D.若复数z满足，则的最大值为2
10．在三棱锥中，已知底面，，E，F分别是线段，上的动点，则下列说法正确的是( )
A.当时，一定为直角三角形
B.当时，一定为直角三角形
C.当平面时，一定为直角三角形
D.当平面时，一定为直角三角形
11．在棱长为1的正方体中，点P，E，F分别为，，的中点，则下列说法正确的是( )
A.与所成角为
B.点到平面的距离为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.二面角平面角的正切值为
三、填空题
12．已知，则______.
13．已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，则这个球的表面积为______.
四、解答题
14．如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为__________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为__________.
15．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的第75百分位数：
（2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？
（3）已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为的中点.
（1）设平面与直线相交于点F，求证：；
（2）若，，，求直线与平面所成角的大小.
17．平面凸四边形中，，，.
（1）若，求；
（2）若，求
18．如图，已知平面平面，是边长为2的等边三角形，四边形是正方形，且E，F分别为，的中点；
（1）求证：平面；
（2）点G在上移动，求证：；
（3）求三棱锥的体积.
19．定义非零向量的“相伴函数”为，
向量称为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）.
（1）设，写出函数的相伴向量：
（2）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，记向量的相伴函数，若且，求：①的取值范围；②的内切圆的半径的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：C
解析：以网格的小正方形相邻两边所在方向单位向量，为基底，如图.
则，，，所以，则，故选；C
3．答案：A
解析：设圆锥的母线长为，底面半径为r，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，所以该圆锥的表面积为.故选：A.
4．答案：B
解析：由及正弦定理，得，可得，
由余弦定理得，又，所以.又，，由，得.故选：B.
5．答案：B
解析：A选项，将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A正确；
B选项，，结合A选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即，故B不正确；
C选项，这10年粮食年产量的平均数，故C正确：
D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D正确.故选：B
6．答案：D
解析：由图可知，，又，所以，解得，
所以，又函数过点，所以，
即，又，所以，则，
所以，故A错误；
当，则，因为在上不单调，
所以在上不单调，故B错误；
将的图象向右平移个单位长度后得到为非奇非偶函数，故C错误：
令，即，即，，解得，，
所以在上的零点有，，，共4个，故D正确.故选：D.
7．答案：D
解析：平行四边形中，，，，
所以，则，所以，E为的中点，
与交于F，所以在方向上的投影为，
即在方向上的投影向量为，所以A错误；
因为，所以，则，
故，，，所以B不正确；
，所以C不正确，即，所以D正确.故选：D.
8．答案：B
解析：由题意知，，，在上取点，使得，，
则且，所以四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
所以平面.
在上取点，使得，，
有，所以，则，
又平面，平面，
所以平面，又，，平面，
所以平面平面，则点M的轨迹为线段.
在中，，，由余弦定理，
得，
即点M的轨迹长度为.故选：B
9．答案：BD
解析：对于A中，，所以A不正确；
对于B中，由复数，可得，可得的虚部为2，所以B正确；
对于C中，由若是关于x的方程的一个根，
可得方程的另一根为，则，所以C不正确；
对于D中，由复数z满足，可得在复平面内表示以为圆心，半径为1的圆，又由表示圆上的点到原点的距离，可其最大值为2，所以D正确.故选：BD.
10．答案：ACD
解析：由于底面，底面，所以，由于，，，平面，所以平面，由于平面，所以.
A选项，当时，由于，，平面，
所以平面，由于平面，
所以，所以是直角三角形，A选项正确.
B选项，当时，若，
则由于，，平面，所以平面，
由于平面，所以，
则由于，，，平面，
所以平面，由于平面，所以，
这与矛盾，所以与不垂直，
当E与B点重合时，如下图所示，
由于，所以与平面不垂直，则与不垂直，
同时，与不垂直，则与平面不垂直，则与不垂直.
所以不一定是直角三角形，B选项错误.
C选项，当平面时，由于平面，
平面平面，所以，
所以平面，由于平面，
所以；所以是直角三角形，C选项正确.
D选项，当平面时，由于平面，
所以，由于，，，平面，
所以平面，由于平面，所以，
所以是直角三角形，D选项正确.故选：ACD
11．答案：CD
解析：对于A，连接，，交于点O，则，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，因为E，F分别为，的中点，所以E，F分别为，，的中点，，所以，所以与所成角为，所以A错误，
对于B，因为等体积法可得点C到面的距离为，所以点到平面的距离为，所以B错误；
对于C，因为直线与面的所成角的正弦值为，且而面，所以直线A，B与平面所成角正弦值为所以C正确，
对于，对于，连接，交于点O，连接，，
四边形为正方形，，O为，中点，
，，二面角的平面角为，
平面，平面，，
又，，，
，
即二面角的正切值为，D正确；故选：.
12．答案：7
解析：由：，可得，所以，
所以.
13．答案：
解析：因为正六棱柱的所有顶点都在球面上，所以外接球的球心为上下两个底面中心连线的中点，因为正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，所以此正六棱柱外接球的半径为，
所以球的表面积为，故答案为：.
14．答案：；
解析：以B为原点，BC所在直线为x轴，过B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，
则，
，
，
，，
，
不妨设，，且，
，.
，
当时，取得最小值.
15．答案：（1）84
（2）5个
（3）23
解析：（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，
所以.成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第75百分位数，由，解得，所以第75百分位数为84.
（2）由频率分布直方图知，样本成绩为，，的三组答卷的市民有
个样本成绩在的市民人数为，
所以用分层抽样的方法应在答卷成绩为的中抽取市民人数为个
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：平面与直线相交于点F，平面平面，
四边形是菱形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，
.
（2）连接，取中点H，连接、，
菱形中，，，是等边三角形，
是中点，，
平面，平面，，
、平面，，平面.
是直线与平面的所成角，
是中点，，.
平面，平面，，
为中点，，中，，
等边中，高，
中，，
可得，即直线与平面的所成角等于.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）连接，由（1）知，在中易知，.
在Rt中，由，得，易知，.
.在中由余弦定理得：
，.
（2）.连接，在中，由，，.得，
，，，，
，
在中，由知：.
18．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）证明：取的中点H.连接，，，
，F分别为，的中点
且，
又由ABCD为矩形
且.
即四边形EBHF为平行四边形，
即，
又平面，平面，
平面；
（2）证明：是边长为2的等边三角形.
.
又四边形EBHF为平行四边形，
，
又由面矩形ABCD所在平面，
面PBC，
又面PBC，
，
又由，
平面PCD，
由（1）得，
平面PCD，
由平面PCD，
.
（3）过P点作，易得即为棱锥的高，且，
，
，F分别为，的中点；
三棱锥的高是棱锥的高的一半，
棱锥的底面面积是棱锥的底面面积的四分之一，.
19．答案：（1）
（2）①；②
解析：（1），所以函数的相伴向量.
（2）①由题知，由，得，
又，所以，即，所以，又，由正弦定理，得，，即，因为，
所以，即，所以，即的取值范围为；
②由余弦定理得，即，
因为，所以，
所以，
由①知，所以，所以内切圆半径r的取值范围为.