陕西省汉中市2023-2024学年高三下学期教学质量第二次检测理科数学试卷(含答案)

这是一份陕西省汉中市2023-2024学年高三下学期教学质量第二次检测理科数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为( )
A.B.C.D.
2．已知全集，集合,l，则( )
A.B.C.D.
3．图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第n个三角形的面积为( )
A.B.C.D.
4．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为( )
A.B.2C.D.1
5．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是( )
A.B.C.D.
6．已知m,n为两条直线，,为两个平面，，，，则是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7．已知双曲线的左右焦点分别为，，曲线C上的点M满足，，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知，则( )
A.32B.48C.16D.
9．函数的图象如图所示，P，Q为图象上两点，对于向量，，为了得到的图象，需要将图象上所有点的坐标( )
A.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
B.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位
C.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位
D.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位
10．已知，直线为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为( )
A.B.C.D.
11．已知正项数列的前n项和为，且，数列的前n项积为且，下列说法错误的是( )
A.B.为递减数列
C.D.
12．已知函数，若函数有4个零点，则m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、填空题
13．已知向量,满足，且是单位向量，若，则________.
14．继淄博烧烤、哈尔滨冻梨后，最近天水麻辣烫又火了.据了解，天水麻辣烫店内菜品一般由竹签串起成捆摆放，人们按照自己的喜好选好后递给老板，进行调制，某麻辣烫店内有牛肉、羊肉、鸡肉、萝卜、木耳、菠菜、豆腐、香菇等菜品，一游客打算从以上8种菜品中选择一荤两素，其中萝卜，木耳只能选一种，菠菜，豆腐只能选一种，且羊肉必须与萝卜搭配，则他选择的种类共有种________.
15．已知三棱锥，，，点A到平面的距离是，则三棱锥的外接球表面积为________.
16．已知A，B是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过向直线作垂线，垂足为H，求的最大值为________.
三、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.）
①记的面积为S，且；②已知.
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
18．2024年03月04日《人民日报》发表文章《开展全民健身实现全民健康》，文中提到：体育锻炼要从小抓起.“让孩子们跑起来”“要长得壮壮的、练得棒棒的”“体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”…….习近平总书记的殷殷嘱托，牢牢印刻在广大教育工作者和孩子们的心中.某学校为了了解学生体育锻炼的情况，随机抽取了n名同学，统计了他们每周体育锻炼的时间，作出了频率分布直方图如图所示.其中体育锻炼时间在内的人数为50人.
(1)求n及a的值（a的取值保留三位小数）；
(2)试估计该校学生每周体育锻炼时间的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(3)以频率估计概率，在该校学生中任取4人，设X为这4人中每周体育锻炼时间在内的人数，求X的分布列及数学期望.
19．已知：如图，三角形为正三角形，和都垂直于平面，且.
(1)证明：平面平面；
(2)点F为上靠近E的三等分点，求二面角的正弦值.
20．已知函数.
(1)证明：时，恒成立；
(2)证明：（且）.
21．已知椭圆的离心率为，点F为椭圆C的左焦点，点B为椭圆C的上顶点，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点M为直线上一动点，,为椭圆C的左、右顶点，直线,分别交椭圆C于P,Q两点.试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标.若不是，请说明理由.
22．在直角坐标系中，曲线的方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.已知曲线与交于相异的A，B两点.
(1)求的极坐标方程及的直角坐标方程；
(2)设点，求的值.
23．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意，设，
因为，所以，
即，
所以，解得，
则，z的虚部为.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为，又,
所以，
故选：A.
3．答案：B
解析：记，，，的长度构成的数列为，
由题意知，，且，，，，都是直角三角形，
所以，且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，
由，所以.
所以第n个三角形的面积为.
故选：B.
4．答案：C
解析：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，则.
化目标函数为.
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，
则z有最小值为.
故选：C.
5．答案：C
解析：由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数，
对于A：定义域为R，
当时，，所以，不符合题意，故A错误；
对于B：定义域为R，
且，
所以为非奇非偶函数，不符合题意，故B错误；
对于D：定义域为R，
且，
所以为非奇非偶函数，不符合题意，故D错误；
对于C：定义域为R，，
所以为奇函数，
且当时，，所以，符合题意，故C正确；
故选：C
6．答案：A
解析：若，因为，所以，即由可以得到，
若，如图，在正方体中，取平面为平面，平面为平面，
取为直线m，为直线n，显然有，，，，但m与不垂直，即由得不到，
故选：A.
7．答案：A
解析：因为，，所以，
又，所以，，
所以，
则，即双曲线的离心率为.
故选：A.
8．答案：D
解析：因为，
两边同时求导可得：，
令，可得.
故选：D.
9．答案：D
解析：设的最小正周期为T，如图，易知，，所以，
又,，所以，得到，所以，即，
又由图象知，过点，所以,，即,，
又，所以，得到，
为了得到的图象，需要将图象上所有点的坐标横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，
故选：D.
10．答案：D
解析：由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2，
所以圆心M到直线l的距离为，所以直线l与相离，
所以当，分别为圆的切线，且最小时，
最大，又，则最大，
所以最大，此时最小，
此时.
故选：D.
11．答案：B
解析：当时，，解得（负舍），
当时，，即，且，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，
又，所以，故A正确；
当时，有，
取时，此式也满足，
故数列的通项公式为,故D正确；
因为数列的前n项积为且，
所以，
当时，，
当时，，
显然不适用，故数列的通项公式为，
显然，所以数列不是递减数列，故B错误，
由当时，，得，故C正确，
故选：B.
12．答案：D
解析：作出的图象，如图所示
令，可得，
由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，
若，则，可得，
设切点坐标为,，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
若，则，可得，
设切点坐标为，，切线斜率为，
则切线方程为，
代入点，可得，解得，
此时切线斜率为；
结合图象可知的取值范围为.
故选：D.
13．答案：3
解析：因为是单位向量，
所以，，
又因为，
所以，即，解得，
所以.
故答案为：3.
14．答案：19
解析：1.若荤菜中没有羊肉，则荤菜为牛肉或鸡肉，
（1）若素菜选香菇，可选择的种类共有种；
（2）若素菜没有选香菇，可选择的种类共有种；
此时可选择的种类共有种；
若荤菜为羊肉，则素菜只能从菠菜、豆腐、香菇选一种，可选择的种类共有3种；
综上所述：他选择的种类共有种.
故答案为：19.
15．答案：
解析：记E为的中点，连接,，
由题意知，且，
所以外接圆的直径为，且，即半径，
过A作平面，因为平面，则，
又点A到平面的距离是，即，而，
所以，同理，
又，所以C,H是同一个点，所以平面，
设三棱锥的外接球的半径为R，
则，
则三棱锥的外接球表面积为.
故答案为：
16．答案：
解析：依题意，设，，
以为直径的圆过原点，则，解得，
易知直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为，
联立，化简整理可得，
所以，解得，
故直线恒过定点，
因为，，则O，P，H，M四点共圆，
即点H在以为直径的圆（除原点外）上运动，
此时该圆直径为，
故的最大值为该圆的直径，即.
故答案为：.
17．答案：(1)；
(2).
解析：（1）选条件①，由，得，整理得，而，
所以.
选条件②，由及正弦定理，得，
而，则，整理得，而，
所以.
（2）由（1）知，由正弦定理得，
因此
由为锐角三角形，得，解得，因此，
则，于是，，
所以周长的取值范围是.
18．答案：(1)，；
(2)6.8小时；
(3)分布列见详解，
解析：（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为：，
因为体育锻炼时间在内的人数为50人，可得，
又因为，解得；
（2）估计该校学生每周体育锻炼时间的平均值为（小时）.
（3）因为每周体育锻炼时间在内的频率为，
由题意可知：，则有：
，，
，
，，
所以X的分布列为
X的期望为.
19．答案：(1)证明见详解；
(2)
解析：（1）取的中点O，连接，
以O为坐标原点，，分别为x，y轴，过O作平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，，可得，
因为，可知，
所以平面平面.
（2）由题意可知，可得，
由（1）可知：，
设平面的法向量，则，
令，则，，可得，
可得，
设二面角为，
可知，则，
所以二面角的正弦值为.
20．答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析
解析：（1）当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则是函数的极大值点，也就是最大值点，
故，即恒成立；
（2）由（1）知，，
将不等式中x替换为，得，即，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
令，则，
所以，故不等式成立.
21．答案：(1)；
(2)直线是过定点,定点为
解析：（1）由题意可知：，，
则，解得，
所以椭圆C的标准方程.
（2）由题意可知：，，且直线，均与椭圆C相交，
设，，，
可知直线，
联立方程，消去x可得，
则，可得，，
可知点，
可知直线，
联立方程，消去x可得，
则，可得，，
可知点，
若直线过定点，由对称性可知：该定点在x轴上，设为，
则，，
因为，则，
整理得，
结合m的任意性可知：，解得，
所以直线是过定点.
22．答案：(1)；
(2)
解析：（1）曲线的方程为(t为参数)，
则，即，
所以的极坐标方程；
而，则，
由，得，
所以的直角坐标方程为；
（2）依题意，将曲线化为标准的参数方程（m为参数），
将其代入可得，，易得，
设A，B对应的参数为，，则，，
故，，
故.
23．答案：(1)；
(2)
解析：（1）当时，，
当时，令，解得；
当时，，不成立，此时无解；
当时，令，解得；
综上，当时，求不等式的解集为；
（2）因为，
当且仅当时，等号成立；
又因为恒成立，所以恒成立，
又因为，所以，
解得或.
所以的取值范围为.
X
0
1
2
3
4
P