长春市第二实验中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份长春市第二实验中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数（i为虚数单位）在复平面内的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．下列说法正确的是( )
A.三棱台有8个顶点
B.底面是矩形的四棱柱是长方体
C.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
D.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
3．设向量，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知向量与的夹角为，，为方向上的单位向量，则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5．已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是( )
A.B.复数的虚部为
C.若复数z为纯虚数，则D.若，为复数，则
6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为( )
A.等边三角形B.锐角三角形
C.等边三角形或直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
7．在中，E为上一点，，P为上任意一点，若，则的最小值是( )
A.4B.8C.12D.16
8．一个正方体的顶点都在球面上，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是( )
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
二、多项选择题
9．已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法错误的是( )
A.若，则a与b是异面直线
B.若与异面，b与c异面，则a与c异面
C.若a，b不同在平面内，则a与b异面
D.若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
10．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边）.现有满足，且的面积，则下列结论正确的是( )
A.的最短边长为4B.的三个内角满足
C.的外接圆半径为D.的中线的长为
11．点O为所在平面内一点，则( )
A.若，则点O为的重心
B.若，则点O为的内心
C.若，则点O为的垂心
D.在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
三、填空题
12．若复数，则实数m的值为______.
13．如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为______.
14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则______.
四、解答题
15．如图，在长方体中，点E、F分别为棱、的中点.
（1）求证：E、F、C、D四点共面；
（2）确定直线与直线交点的位置，不需要说明理由.
16．已知平面向量，是单位向量，且.
（1）求向量，的夹角；
（2）若，向量与向量共线，且，求向量.
17．如图，E，F分别是矩形的边和的中点.
（1）设，，试用，表示；
（2）若，，N是线段上的一动点，，求的最大值.
18．现代传媒大厦是某市最高的标志性建筑.某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度.如图1，龙城大道沿线的水平路面上有两点A，B，其中指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的C，D两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于之间，则认为百度地图测距是正确的.
（1）通过计算说明百度地图测距是否正确？
（2）如图2，现代传媒大厦的高为，小组在A处测得楼底N在西偏北方向上，且仰角，在B处测得楼底N在西偏北方向上，通过计算得，，.若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算出传媒大厦的高度（精确到）.
19．如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点，且；
（1）求的大小；
（2）求面积的最小值；
（3）某同学在探求过程中发现的长也有最小值，结合（2）他猜想“中边上的高为定值”，他的猜想对吗？请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：因为
,所以复数2在复平面内对应的点为,位于第一象限.
故选A
2．答案：D
解析：由三棱台的图形知三棱台有6个顶点，所以A错误；
因为四棱柱的底面是矩形时，则棱与底面矩形不一定垂直，所以B错误;
各个面都是三角形的几何体可如下图所示:
而该几何体不是三棱锥，所以C错误；
由圆台的性质可知，用平行于圆锥底面的平面截圆生，截面与底面之间的部分是圆台，所以D正确.
故选：D.
3．答案：B
解析：由得，即，得或，由可得，故是必要不充分条件.
4．答案：D
解析：在方向上的投影向量为.
故答案为：D.
5．答案：C
解析：因为，A正确；
复数的虚部为，B正确；
若，则，，C不正确；
设，，所以，
，D正确.故选C.
6．答案：D
解析：由及正弦定理，得，，
，所以或，故是等腰三角形或直角三角形.
7．答案：C
解析：因为，P为上任意一点，，由共线定理得，，，则，当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值是12.
8．答案：B
解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①.但无论如何都不能截得②.
9．答案：ABC
解析：对于A：若，，则a与b是异面直线或相交直线或，故A错误；
对于B：若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c可能是异面直线或，故B错误；
对于C：若a，b不同在平面内，则与是异面直线或相交直线或，故C错误；
对于D：根据异面直线的定义，若a，b不同在任何一个平面内，则a与b是异面直线，故D正确.故选ABC.
10．答案：AB
解析：因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，解得，则，，，A正确；
因为，所以，，故B正确；
因为，所以，由正弦定理得，，C错误；，所以，故，D错误.
故选AB.
11．答案：ABD
解析：对于A，由于，其中D为的中点，可知O为边上中线的三等分点（靠近线段），故O为的重心，故A正确；
对于B，向量，分别表示在边和上取单位向量和，它们的差是向量，当，即时，则点O在的平分线上，同理由，知点O在的平分线上，故O为的内心，选项B正确；
对于C，是以，为边的平行四边形的一条对角线的长，而是该平行四边形的另一条对角线的长，表示这个平行四边形是菱形，即，同理有，故O为的外心.选项C错误；
对于D，设M是的中点，，
即，所以，所以动点O在线段的中垂线上，故动点O的轨迹必通过的外心.选项D正确.
故选ABD.
12．答案：3
解析：由题意知解得.
13．答案：
解析：根据平面图形的直观图还原为平行四边形如图所示，所以，所以，所以，所以四边形的周长为，四边形的面积为，所以四边形周长与面积的数值之比为.
14．答案：
解析：过D作，交于G，则，由于，所以，.
设，则，，
设，则，则，，
由于，所以在中，
由余弦定理得，
所以，，
在中，由正弦定理得，
，所以.
，
在中，由正弦定理得，所以.所以.
15．答案：（1）证明见解析；
（2）直线与直线交点的位置在射线的延长线上，且距离点A的距离与长相等.
解析：（1）如图，连接线段、、，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
E、F、C、四点共面.
（2）直线与直线交点的位置在射线的延长线上，且距离点A的距离与长相等.
16．答案：（1）；
（2）或
解析：（1）因为，
所以，
所以，
所以.
又向量，的夹角的取值范围为，
所以向量，的夹角为.
（2）因为向量与向量共线，所以，
因为，所以，
所以，
解得，
所以或.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）取的中点O，连接，.
因为，
所以.
（2）以A为原点，，分别为x，y轴，建立直角坐标系，
则，，，，
由（1）知，设，，
，，，，
，
当时，最大值为.
18．答案：（1）百度地图测距是准确的；
（2）
解析：（1）设，等腰中，，
在中，，，，可得.
由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理得，
，，
，
百度地图测距是准确的.
（2）在中，由正弦定理可得，
设，，
在中，由余弦定理可得，
，
，
由，解得，所以，.
在中，，
故测算出传媒大厦高度约为.
19．答案：（1）；
（2）为定值，该同学猜想正确.
解析：记，，则.
（1），
，
，
正方形的边长为1，
，，
在中，，，由，
则，
，
.
，.
（2），.
，
，
.
，
当时，面积的最小值为.
（3）设中边上的高为h，由，得，.
又，
，
且，，
，
即为定值，该同学猜想正确.