2024年吉林省长春市南关区多校联考中考数学一模试卷

这是一份2024年吉林省长春市南关区多校联考中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）长春市地铁6号线路总长约为29570m．数字29570用科学记数法表示是（ ）
A．29.57×103B．2.957×104
C．0.2957×105D．29.570×103
3．（3分）将“祝你考试成功”这六个字分别写在一个正方体的六个面上．若这个正方体的展开图如图所示，则在这个正方体中，与“你”字相对的字是（ ）
A．考B．试C．成D．功
4．（3分）若等式2a□a＝2a2一定成立，则□内的运算符号为（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
5．（3分）不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AE＝2，则AC的长是（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4（ ）
A．16．B．12C．8D．6
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，边BC交于点E，F，连接EF，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．3
二、填空题（每小题3分，共6小题，共计18分）
9．（3分）分解因式：4a2﹣4a+1＝ ．
10．（3分）甲、乙两人一起在体育场锻炼，体育场跑道每圈400米，甲跑了m圈 米．
11．（3分）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处 ．
12．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，B、C两点在扇形AEF的弧EF上，则图中阴影部分图形的面积之和为 ．
13．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式 ．
14．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，交BC于点E，且∠ADC＝60°BC，连接OE；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝，其中成立的有 ．
三、解答题（共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中．
16．（6分）元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，《飞驰人生2》表示为B，《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
17．（6分）某公司在准备元旦联欢会时购进了A、B两种花束，其中A花束的单价比B花束的单价少9元，用3120元购买的A花束与用4200元购买的B花束的数量相同
18．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，C为圆心，AC，，两弧交于点P，连接BP
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
19．（7分）图①、图②、图③均是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图．
（1）在图①中，找一格点C，连接AC；
（2）在图②中，在线段MN上找一点C，连接AC；
（3）在图③中，经过点A、B、M作圆，在优弧，连接AC，使∠BAC＝45°．
20．（7分）某校组织了一批学生随机对部分市民就是否吸烟以及吸烟和非吸烟人群对他人在公共场所吸烟的态度（分三类：A类表示主动制止；B类表示反感但不制止；C类表示无所谓）进行了问卷调查，根据调查结果分别绘制了如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次被调查的市民有多少人？
（2）估计该市700万名市民中吸烟人群对他人在公共场所吸烟态度为“主动制止”的人数．
（3）结合本次调查结果，谈谈你对本市市民对他人在公共场所吸烟所持态度的看法．
21．（8分）甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向B地行驶，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：
（1）求甲、乙两车的速度
（2）求乙车从B地返回的C地的过程中，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车行驶到距离B地的路程相等时，行驶时间x是多少？（请直接写出x的值）
22．（9分）【操作】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝4，BC＝3．将△BAD绕着点B顺时针旋转α度（0°＜α＜360°），点A、D的对应点分别为E、F．若点E落在BD上，如图① ．
【探究】当点E落在线段DF上时，CD与BE交于点G．其它条件不变，如图②．
（1）求证：△ADB≌△EDB；
（2）CG的长为 ．
【拓展】连接CF，在△BAD的旋转过程中，设△CEF的面积为S
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，CD为斜边AB的中线．点P从点A出发，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，CD与四边形PECF的一边交于点G，连结PC．设点P的运动时间为t秒．（1）（用含t的代数式表示）
（2）当四边形PECF是正方形时，求t的值．
（3）当CD将四边形PECF的面积分为1：3两部分时，求t的值．
（4）作点G关于直线PC的对称点G′，当点G′落在四边形PECF内部时，直接写出t的取值范围．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）顶点M的坐标为（2，﹣5），点P、点Q均在这个抛物线上，点Q的横坐标为2﹣m，将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）
（1）求b和c的值．
（2）当点P与点Q重合时，求点P的坐标．
（3）当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d，求d与m之间的函数关系式．
（4）矩形ABCD的顶点分别为A（2m﹣1，2）、B（1﹣m，2）、C（1﹣m，﹣3），直接写出m的取值范围．
2024年吉林省长春市南关区多校联考中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣2024的绝对值是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．
2．（3分）长春市地铁6号线路总长约为29570m．数字29570用科学记数法表示是（ ）
A．29.57×103B．2.957×104
C．0.2957×105D．29.570×103
【分析】运用科学记数法的定义进行求解．
【解答】解：由题意得，29570＝2.957×104，
故选：B．
【点评】此题考查了运用科学记数法表示较小数字的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
3．（3分）将“祝你考试成功”这六个字分别写在一个正方体的六个面上．若这个正方体的展开图如图所示，则在这个正方体中，与“你”字相对的字是（ ）
A．考B．试C．成D．功
【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
【解答】解：在这个正方体中，与“你”字相对的字是“试”，
故选：B．
【点评】此题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体展开图的特点，从它的相对面入手是解题的关键．
4．（3分）若等式2a□a＝2a2一定成立，则□内的运算符号为（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
【分析】根据等式2a□a＝2a2，可以确定□内的运算符号，从而可以解答本题．
【解答】解；∵2a•a＝2a4，
故等式2a□a＝2a4一定成立，则□内的运算符号为×，
故选：C．
【点评】本题考查单项式乘单项式，解题的关键是明确单项式乘单项式的方法．
5．（3分）不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用不等式的基本性质，移项后再除以2，不等号的方向不变．
【解答】解：移项，得2x≤2，
系数化为8，得x≤1，
不等式的解集在数轴上表示如下：
．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AE＝2，则AC的长是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式求出CE，即可得出结果．
【解答】解：∵DE∥BC，AD＝2BD，
∴＝2，
∴CE＝AE＝1，
∴AC＝AE+CE＝8；
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出CE是解决问题的关键关键．
7．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4（ ）
A．16．B．12C．8D．6
【分析】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．
【解答】解：如图所示：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，
∵△BCD的面积为7，
∴△BCF的面积为：8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正六边形的性质，得出△BCD与△BCF高的比是解题关键．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，边BC交于点E，F，连接EF，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】首先设A（a，0），表示出D（a，），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝1，转化为S△ACF＝2，列出等式即可求得．
【解答】解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴，
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，），
∴点F（2a，），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF＝7，
∴，
解得：k＝6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共6小题，共计18分）
9．（3分）分解因式：4a2﹣4a+1＝ （2a﹣1）2 ．
【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．
【解答】解：4a2﹣5a+1＝（2a﹣8）2．
故答案为：（2a﹣2）2．
【点评】本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．
10．（3分）甲、乙两人一起在体育场锻炼，体育场跑道每圈400米，甲跑了m圈 （400m+400n） 米．
【分析】根据题意列出代数式即可．
【解答】解：甲、乙两人一起在体育场锻炼，甲跑了m圈．甲两人共跑了（400m+400n）米；
故答案为：（400m+400n）
【点评】此题考查列代数式问题，关键是根据路程＝时间×速度解答．
11．（3分）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处 18m ．
【分析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为，
所以旗杆折断之前高度为13m+3m＝18m．
故答案为18m．
【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．
12．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，B、C两点在扇形AEF的弧EF上，则图中阴影部分图形的面积之和为 ．
【分析】先求出∠BAC的度数，进而可得出∠EAB+∠CAF的度数之和，再根据扇形面积的计算公式即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC．
又∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
又∵∠EAF＝120°，
∴∠EAB+∠CAF＝120°﹣60°＝60°．
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB＝2，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质及菱形的性质，熟知等边三角形的判定与性质、菱形的性质及扇形面积的计算公式是解题的关键．
13．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
则a6﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b3＝（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是解决问题的关键．
14．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，交BC于点E，且∠ADC＝60°BC，连接OE；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝，其中成立的有 ①③④ ．
【分析】由▱ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB＝BC，证得①∠CAD＝30°；继而证得AC⊥AB，得②S▱ABCD＝AB•AC；可得OE是三角形的中位线，证得S四边形OECD＝3S△BOE＝S△AOD．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝AB＝BE，
∵AB＝BC，
∴AE＝BC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵OD＝OB＞AB，故②错误，
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD＝CD•AC，故③正确，
∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE，
∴BE＝CE，
∵OB＝OD，
∴OE∥CD，OE＝，
∴△OBE∽△DBC，
∴S△DBC＝4S△OBE，
∵BE＝EC，S△AOD＝S△BOC，
∴S边形OECD＝3S△OBE＝S△AOD，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△BCD的中位线是关键．
三、解答题（共78分）
15．（6分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法即可将题目中的式子化简，然后将m的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝，
当m＝﹣3时＝4﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则．
16．（6分）元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，《飞驰人生2》表示为B，《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
【分析】先把所有情况列出来，再把满足条件的情况除以总情况数，即可作答．
【解答】解：依题意，列树状图如下：
共有9种情况，满足小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的情况有3种，
则小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率＝．
【点评】本题考查了列树状图或列表法进行求概率，解题的关键是掌握概率公式．
17．（6分）某公司在准备元旦联欢会时购进了A、B两种花束，其中A花束的单价比B花束的单价少9元，用3120元购买的A花束与用4200元购买的B花束的数量相同
【分析】设A花束的单价为x元，则B花束的单价为（x+9）元，根据用3120元购买的A花束与用4200元购买的B花束的数量相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设A花束的单价为x元，则B花束的单价为（x+9）元，
由题意得：＝，
解得：x＝26，
经检验，x＝26是原方程的解，
答：A花束的单价为26元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．（7分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，C为圆心，AC，，两弧交于点P，连接BP
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
【分析】（1）由平行四边形的性质得出OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD，证出OB＝CP，BP＝OC，则可得出结论；
（2）由正方形的判定可得出结论．
【解答】解：（1）四边形BPCO为平行四边形．
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝ACBD，
∵以点B，C为圆心，，BD长为半径画弧，
∴OB＝CP，BP＝OC，
∴四边形BPCO为平行四边形；
（2）当AC⊥BD，AC＝BD时．
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∵AC＝BD，OB＝，OC＝，
∴OB＝OC，
∵四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为正方形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19．（7分）图①、图②、图③均是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、M、N均在格点上，分别在给定的网格中按要求作图．
（1）在图①中，找一格点C，连接AC；
（2）在图②中，在线段MN上找一点C，连接AC；
（3）在图③中，经过点A、B、M作圆，在优弧，连接AC，使∠BAC＝45°．
【分析】（1）结合格点图的特点，以AB为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形ABC，即可求解；
（2）结合格点图的特点，以AB为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形ABD，则AD与MN交于点C，即可求解；
（3）结合网格图的特点，以AB为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形ABD，则AD与圆交于点C，即可求解．
【解答】解：（1）如图1所示，以AB为直角边，即为所求；
（2）如图2所示，以AB为直角边，则AD与MN交于点C；
（3）如图8所示，以AB为直角边，则AD与圆交于点C．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出符合题意的等腰直角三角形．
20．（7分）某校组织了一批学生随机对部分市民就是否吸烟以及吸烟和非吸烟人群对他人在公共场所吸烟的态度（分三类：A类表示主动制止；B类表示反感但不制止；C类表示无所谓）进行了问卷调查，根据调查结果分别绘制了如下两幅统计图．
请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次被调查的市民有多少人？
（2）估计该市700万名市民中吸烟人群对他人在公共场所吸烟态度为“主动制止”的人数．
（3）结合本次调查结果，谈谈你对本市市民对他人在公共场所吸烟所持态度的看法．
【分析】（1）利用不吸烟的人数除以对应的百分比即可；
（2）利用总数乘对应的比例即可求解．
（3）根据统计图数据解答即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）（80+50+20）÷75%＝200（人），
答：这次被调查的市民有200人；
（2）700×＝308（万人），
答：估计该市700万名市民中吸烟人群对他人在公共场所吸烟态度为“主动制止”的人数大约为308万人；
（3）由统计图可知，大部分人对他人在公共场所吸烟持反感但不制止或无所谓的态度，为了大家更健康的生活．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向B地行驶，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：
（1）求甲、乙两车的速度
（2）求乙车从B地返回的C地的过程中，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车行驶到距离B地的路程相等时，行驶时间x是多少？（请直接写出x的值）
【分析】（1）由已知图象求出甲、乙的速度．
（2）根据图象上的点先求出乙车从B地返回到C地的函数解析式，
（3）求出甲车从A地到B地的函数解析式和甲车从B地到C地的函数解析式，结合（2）列方程组即可解得答案．
【解答】解：（1）由已知图象得：甲的速度为：（600+300）÷7.5＝120（千米/小时），
乙的速度为（300+300）÷（2﹣0.5）＝80（千米/小时）；
（2）设乙车从B地返回到C地的函数解析式是y＝kx+b（k≠7），
∵乙的速度为80千米/小时，
∴乙到B地的时间是300÷80＝（小时），
∵到达B地并在B地停留半小时后，按原路原速返回到C地，
∴返回是在+＝（小时）出发的，
∴图象经过（，0），300）两点．
∴，
解得：，
∴y＝80x﹣340，
答：乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式为y＝80x﹣340（；
（3）∵甲车的速度是120千米/小时，
∴甲车从A地到B地的函数解析式是y＝﹣120x+600（6≤x≤5），
甲车从B地到C地的函数解析式是y＝120（x﹣5），
由和，
解得x＝4.7 或x＝7.5，
答：当甲、乙两车行驶到距B地的路程相等时．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象结合数量关系，列出相关函数关系式是解题的关键．
22．（9分）【操作】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝4，BC＝3．将△BAD绕着点B顺时针旋转α度（0°＜α＜360°），点A、D的对应点分别为E、F．若点E落在BD上，如图① 1 ．
【探究】当点E落在线段DF上时，CD与BE交于点G．其它条件不变，如图②．
（1）求证：△ADB≌△EDB；
（2）CG的长为 ．
【拓展】连接CF，在△BAD的旋转过程中，设△CEF的面积为S
【分析】【操作】由勾股定理得出BD＝＝5，由旋转的性质得出BE＝BA＝4，即可得出答案；
【探究】（1）由HL证明Rt△ADB≌Rt△EDB即可；
（2）由矩形的性质和折叠的性质得出∠CDB＝∠EBD，证出DG＝BG，设CG＝x，则DG＝BG＝4﹣x，在Rt△BCG中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
【拓展】由题意得出点C到EF的距离最小时，△CEF的面积最小；点C到EF的距离最大时，△CEF的面积最大；当点E在BC的延长线上时，点C到EF的距离最小，此时CE⊥EF，CE＝BE﹣BC＝1，由三角形面积公式得出△CEF的面积S最小＝EF×CE＝；当点E在CB的延长线上时，点C到EF的距离最大，此时CE⊥EF，CE＝BE+BC＝7，由三角形面积公式得出△CEF的面积S最大＝EF×CE＝；即可得出答案．
【解答】【操作】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，
∴BD＝＝＝5，
由旋转的性质得：BE＝BA＝3，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣4＝3；
故答案为：1；
【探究】（1）证明：由旋转的性质得：△BEF≌△BAD，
∴∠BEF＝∠A＝90°，BE＝BA，
∴∠BED＝180°﹣∠BEF＝90°＝∠A，
在Rt△ADB和Rt△EDB中，，
∴Rt△ADB≌Rt△EDB（HL）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝4，
∴∠ABD＝∠CDB，
由折叠的性质得：∠ABD＝∠EBD，
∴∠CDB＝∠EBD，
∴DG＝BG，
设CG＝x，则DG＝BG＝6﹣x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：x2+37＝（4﹣x）2，
解得：x＝，即CG＝；
故答案为：；
【拓展】解：∵△CEF的边长EF＝AD＝3，
∴点C到EF的距离最小时，△CEF的面积最小，△CEF的面积最大；
当点E在BC的延长线上时，点C到EF的距离最小
此时CE⊥EF，CE＝BE﹣BC＝4﹣3＝2，
△CEF的面积S最小＝EF×CE＝；
当点E在CB的延长线上时，点C到EF的距离最大
此时CE⊥EF，CE＝BE+BC＝4+3＝3，
△CEF的面积S最大＝EF×CE＝；
∴S的取值范围为≤s≤．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质和矩形的性质是解题的关键．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，CD为斜边AB的中线．点P从点A出发，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，CD与四边形PECF的一边交于点G，连结PC．设点P的运动时间为t秒．（1）（用含t的代数式表示）
（2）当四边形PECF是正方形时，求t的值．
（3）当CD将四边形PECF的面积分为1：3两部分时，求t的值．
（4）作点G关于直线PC的对称点G′，当点G′落在四边形PECF内部时，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）先证明四边形PECF是矩形，利用勾股定理求得AB的长，由题意得AP＝5t，利用正弦函数的定义即可求得CF＝PE＝4t；
（2）根据正方形的性质得到CE＝CF，据此列式计算即可求解；
（3）分两种情况讨论，当和时，画出图形，分别列式计算即可求解；
（4）分别求得点G′在四边形PECF各边上时t的值，即可得解．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，PE⊥AC，
∴四边形PECF是矩形，
∵∠ACB＝90°，AC＝6，
∴，
由题意得AP＝3t，，
∴CF＝PE＝4t；
（2）由（1）得，
∴CE＝6﹣2t，
当四边形PECF是正方形时，则CE＝CF，
解得；
（3）分两种情况讨论，
当时，如图，
∵CD为斜边AB的中线，
∴DC＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴tan∠DCB＝tan∠DBC，
∴，
∴FG＝4t，
∴，即CE＝2FG，
∴3﹣3t＝2×3t，
解得；
当时，如图，
同理得，由，即CF＝2EG，
∴，解得；
综上，t的值为秒；
（4）∵点G与点G′关于直线PC对称，
∴GG′⊥AP，
当点G′落在AC边上时，如图，
此时CG＝CG′，PG＝PG′，
∵PF∥AC，
∴∠CPG＝∠PCG′，
∴∠CPG＝∠PCG，
∴PG＝CG，
∴四边形CG′PG是菱形，
由（3）得CF＝4t，FG＝2t，
∴PG′＝CG′＝CG＝5t，
∴PG′＝AP，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EG′＝3t，
∴6t+3t+5t＝2，
解得；
当点G′落在PE边上时，如图，
此时四边形PECF是正方形，；
∴；
当点G′与点D重合时，此时，
则t＝1；
当点G′落在BC边上时，如图，
同理，四边形CG′PG是菱形，
，
依题意得，
解得；
∴；
综上，当点G′落在四边形PECF内部时或．
【点评】本题考查矩形的判定与性质、菱形的判定和性质、解直角三角形，解答的关键是熟练掌握相关知识的性质及其应用，学会利用参数建立方程，学会用分类讨论和数形结合思想解决问题．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）顶点M的坐标为（2，﹣5），点P、点Q均在这个抛物线上，点Q的横坐标为2﹣m，将此抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）
（1）求b和c的值．
（2）当点P与点Q重合时，求点P的坐标．
（3）当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d，求d与m之间的函数关系式．
（4）矩形ABCD的顶点分别为A（2m﹣1，2）、B（1﹣m，2）、C（1﹣m，﹣3），直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣5＝x2﹣4x﹣1，即可求解；
（2）根据点P与点Q重合，可求出m＝1，即可求解；
（3）根据二次函数图象的性质可得图象G的最低点的纵坐标为﹣5，然后分两种情况：当点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧时；当点P在对称轴的右侧，点Q在对称轴的左侧时，即可求解；
（4）分三种情况讨论，结合题意，画出图形，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c顶点M的坐标为（2，﹣7），
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣5＝x2﹣4x﹣3，
∴b＝﹣4，c＝﹣1；
（2）∵点P与点Q重合，
∴m＝8﹣m，
解得：m＝1，
当x＝1时，y＝62﹣4×3﹣1＝﹣4，
∴点P的坐标为（6，﹣4）；
（3）∵抛物线的解析式为y＝（x﹣2）3﹣5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，且开口向上，
∵顶点M在图象G上，
∴图象G的最低点的纵坐标为﹣8，
当点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧时，即m≤0，
∵2﹣m＞8﹣m﹣2，
∴图象G最高点的纵坐标等于点P的纵坐标，即m2﹣8m﹣1，
∴d＝m2﹣7m﹣1﹣（﹣5）＝m8﹣4m+4；
当点P在对称轴的右侧，点Q在对称轴的左侧时，即m≥2，
∵m﹣2＜2﹣（6﹣m），
∴图象G最高点的纵坐标等于点Q的纵坐标，即（2﹣m）2﹣2（2﹣m）﹣1，
∴d＝（3﹣m）2﹣4（2﹣m）﹣1﹣（﹣5）＝m4；
综上所述，d与m之间的函数关系式为d＝；
（4）∵2﹣m＞1﹣m，
∴点Q位于点BC的右侧，
∵图象G在矩形ABCD内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
∴矩形ABCD位于直线x＝4的左侧，
若点P在点Q的左侧，
当点A在点B的左侧时，
根据题意得：，
解得：﹣1；
当点A在点B的右侧时，如图，
根据题意得：，无解；
若点P在点Q的右侧，
根据题意得：，
解得：7＜m≤；
综上所述，m的取值范围为﹣3．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
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