浙江省杭州市联谊学校2023-2024学年高二下学期5月期中考试试数学试题（Word版附解析）

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高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 36B. 48C. 96D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，结合等差数列性质计算即得.
【详解】等差数列中，由，得.
故选：B
2. 某校一次数学考试成绩服从正态分布，已知，则（ ）
A. 0.15B. 0.25C. 0.3D. 0.2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求解即得.
【详解】由服从正态分布，，
得.
故选：C
3. 已知随机变量的分布列如下，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据分布列的性质求出，再根据数学期望公式求解即可.
【详解】由分布列的性质知，所以，
所以.
故选：B
4. 已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程.
【详解】由可得：，即，
根据导数的定义可知：，
又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率，
所以过点处的切线方程为：，即，
故选：A.
5. 已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果.
【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：，
则，
故选：D.
6. 某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲､乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（ ）
A. 24B. 12C. 48D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】根据捆绑法和特殊元素优先法即可解.
【详解】先将甲乙捆绑看做一个元素，那么就变成共有4个不同元素参与站成一排，
由于丙不站在两端，特殊元素优先，先安排丙共有种排法；
然后其他三个不同元素全排，共有种排法；
接着再捆绑的甲乙两人内部全排共有种排法，
因此总共满足条件的不同排法有种，
故选：A.
7. 已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，可得，等价变形不等式，构造函数，按与分段讨论即可得解.
【详解】依题意，，，
显然，则有，于是，
令，求导得，
当，即时，，函数在上单调递增，，即；
当，即时，当时，，函数在上单调递减，
，，此时，不符合题意，
所以实数的取值范围为.
故选：C
8. 记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ）
A. 23B. 22C. 24D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】利用取整函数的定义及，直接计算即可.
【详解】由于，
而，
故.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对取整函数定义的理解.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对两个变量和进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A. 在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数越大，拟合效果越好
B. 若变量和具有线性相关关系，则回归直线方程至少经过样本点的其中一个点
C. 建立两个回归模型，模型1的线性相关系数，模型2的线性相关系数，则模型1的线性相关性更强
D. 残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，模型的拟合效果越好
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据决定系数的概念判断A，根据回归直线方程的性质判断B，根据相关系数的定义判断C，根据残差图的意义判断D.
【详解】对于A：在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数越大，即残差平方和越小，所以拟合效果越好，故A正确；
对于B：回归直线方程不一定过样本点，故B错误；
对于C：因为，，即，所以模型1的线性相关性更强，故C正确；
对于D：残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，说明预测值与实际值越接近，所以模型的拟合效果越好，故D正确.
故选：ACD
10. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用给变量赋值可得系数关系，即可判断AD，对于B就得用构造的二项式展开式，利用展开式通项公式可求得指定项系数再来判断，对于C就得用等式两边求导思想，再赋值就可得到结果．
【详解】令，代入得：，故选项A正确的；
由得：
，
所以，，
即，，由于，所以，故选项B是错误的；
由两边求导得：
，
再令，代入上式得：，故选项C是正确的；
再令，代入可得：
，
因为，所以，故选项D是错误的；
故选：AC.
11. 已知函数，其中，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B
C. ，使有两解，则
D. 有最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】A结合导数，判断的单调性，从而可以判断的大小；B不等式移项，构造函数，恒成立问题转化为最值问题，求新构造函数的最大值即可得解；C结合导数，求出的极值点，从而得到反例，推断C选项错误；D结合导数，求出最值即可.
【详解】对于A选项，，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，无法判断的大小关系，故A错误；
对于B选项，，记，则，所以在上单调递增，在上单调递减，故，故B正确；
对于C选项，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，因此当时，仅有一解，故C错误；
对于D选项，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故D正确，
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：该题的关键就是每个选项逐一分析转化化归，充分利用导数工具，解决单调性问题、最值问题、极值点问题，从而借助这些结论判断出选项正确与否，同时，有时举反例排除也是解决问题的关键.
非选择题部分
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足，且，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用两式相减就可得到数列的周期性，可得周期为3的数列，即可求出结果.
【详解】由可得：，两式相减得：
，由此可得：，
故答案为：1.
13. 已知盒子内有大小相同，质地均匀2个红球和3个白球，现从中取两个球，记随机变量为取出的红球的个数，则__________.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】由题意可得随机变量的所有可能取值为0,1,2，然后求出各自对应的概率，即可求出的分布列，从而求出数学期望.
【详解】由题意可得，随机变量的所有可能取值为0,1,2，
，
，
因此的分布列为：
,
故答案为：.
14. 已知函数满足，且，当时，，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，得出为奇函数，进而得出为偶函数.再根据，得出原函数，进而分析原函数的单调性和奇偶性，从而得出不等式的解.
【详解】因为，所以为奇函数，故为偶函数.
当时，，令，故当时，，且为偶函数.
由，故，即.
而，所以.
由上知在上递减，上递增.
因此，即.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处的切线与直线垂直.
（1）求；
（2）求的极值.
【答案】（1）1 （2）极大值1，极小值
【解析】
【分析】（1）先根据导数的几何意义求得切线斜率为，然后根据两直线垂直列方程求解即可.
（2）利用导数研究函数的单调区间，然后根据极值概念求解即可.
【小问1详解】
由可得，
则.因为切线与直线垂直，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）知，
令得，或，
当时，，
所以的递增区间为；
当时，，所以的递减区间为.
因此当时，取得极大值1；当时，取得极小值.
16. 为贯彻落实《健康中国行动（2023-2030年）》､《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，其中男生与女生人数之比为，并对他们进行了“是否喜欢体育运动”的问卷调查，得到如下统计结果：
（1）请根据要求完成列联表，并根据独立性检验，判断是否有把握认为“是否喜欢体育运动”与性别有关；
（2）为了了解学生不喜欢体育运动的原因，从上述不喜欢体育运动的同学中随机选3位同学进行咨询，所选的3人中已知至少有两位是男生的条件下，求另外一位是女生的概率.
参考公式：.
【答案】（1）列联表见解析，可以认为“是否喜欢体育运动”与性别无关
（2）
【解析】
【分析】（1）完善二联表，即可计算卡方，与临界值比较即可求解，
（2）利用超几何分布的概率公式，结合条件概率的计算公式即可求解.
【小问1详解】
根据题意完成如下列联表，
假设：“是否喜欢体育运动”与性别无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
即可以认为“是否喜欢体育运动”与性别无关.
【小问2详解】
记事件：“所选3人中至少有两位是男生”，“所选3人中有女生”
则
所以.
17. 已知数列的前项和为，且，数列为等比数列，且.
（1）求数列通项公式；
（2）若数列满足，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，求得，再由即可求得等比数列的首项与公比；
（2）把（1）中求得的通项公式带入（2）中，得到，利用裂项相消法求和得到；，根据等比数列求和公式即可得到，再进行比大小即可.
【小问1详解】
∵数列的前项和为，且，
∴当时，，当时，，故，
又数列为等比数列，设公比为，
则，所以，
所以.
【小问2详解】
，
∴，
故，
而，故，
由于当时，，故，
所以.
18. 有一款闯关游戏，其规则如下：一颗棋子位于数轴原点处，若掷出的骰子大于或者等于3，则棋子向右移动一个单位（从0移动到1），若掷出的骰子小于或者等于2，则棋子向右移动两个单位（从0移动到2），若棋子移动到99处，则“闯关失败”，若棋子移动到100处，则“闯关成功”，无论“闯关失败”或者“闯关成功”都将停止游戏，记棋子在坐标处的概率为.
（1）求；
（2）求证：为等比数列（其中），并求出；
（3）若有5人同时参加此游戏，记随机变量为“闯关成功”的人数，求（结果保留两位有效数字）.
【答案】（1）
（2）
（3）1.25
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，
（2）根据全概率公式可得，即可根据递推关系求证是首项为，公比为的等比数列，进而利用等比数列以及累加法即可求解，
（3）根据二项分布的期望公式即可求解.
【小问1详解】
由题意，向右移动一步的概率为，向右移动两步的概率为，
由此得.
【小问2详解】
由题意，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，故，
所以累加可得，
所以.
【小问3详解】
由（2）可知，，所以，
而随机变量服从的二项分布，所以.
19. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若关于的方程有两根（其中），
①求的取值范围；
②当时，求的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间为的单调递减区间为
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）对求导，并判断导函数的正负，即可得到的单调性；
（2）①可转化为，令，有，再借助的单调性，得到，令，借助的单调性，得到的大致图象，即可求得的取值范围；②借助的单调性，有，解不等式即可.
【小问1详解】
当时，，所以，
由解得，由解得，
故的单调递增区间为的单调递减区间为.
【小问2详解】
①由，即，即，
令，上式为，因为，
所以在上单调递增，故等价于，
即在上有两根，
令，则，
由解得，由解得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以有极大值，且当时，，
其图象如图所示：

所以的取值范围为.
②由①得在上有两根，所以，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，所以，
可得，所以，所以.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.1
2
3
0
1
2
性别
体育运动
合计
喜欢
不喜欢
男生
50
女生
15
合计
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
体育运动
合计
喜欢
不喜欢
男生
50
10
60
女生
25
15
40
合计
75
25
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