2024年湖南师大附中高一暑假数学测试卷及参考答案

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一．选择题（共8小题*5分=40分）
1．已知集合A={x|1＜2x−1＜2}，B={x|y=−x2+3x−2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|1≤x≤2}B．{x|1≤x＜32}C．{x|32＜x≤2}D．{x|1＜x＜32}
2．若“∃x∈[1，2]，使2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，22]B．[22，92]C．（﹣∞，3]D．[92，+∞）
3．已知a＞0，b＞0，2a+b＝ab，则2aa−1+bb−2的最小值为（ ）
A．4B．6C．42D．3+22
4．已知实数a，b，c，d满足（a﹣b+1）2+（d﹣lnc）2＝0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知f(x)=ln|1x+1−a|+b是奇函数，则a+eb＝（ ）
A．1B．32C．2D．52
6．已知集合A={−12，−13，12，13，2，3}，若a，b，c∈A且互不相等，则使得指数函数y＝ax，对数函数y＝lgbx，幂函数y＝xc中至少有两个函数在（0，+∞）上单调递增的有序数对（a，b，c）的个数是（ ）
A．16B．24C．32D．48
7．函数f(x)=x2−1，x≤1lnx，x＞1，若方程f(x)=mx−34恰有三个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．(0，14e)B．(0，34)C．(34，14e)D．(0，14e]
8．定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中错误的是（ ）
A．对于任意集合A，都有A∈P（A）
B．若n（A）﹣n（B）＝1，则n（p（A））＝2×n（P（B））
C．若A∩B≠∅，则P（A）∩P（B）＝∅
D．若A⊆B，则P（A）⊆P（B）
二．多选题（共3小题，每题6分，选对部分选项得部分分，选错不得分）
（多选）9．已知函数f（x）＝sinx•|csx|，则（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）的最小正周期为π
C．f（x）的最小值为−12
D．f（x）在[0，π2]上单调递增
（多选）10．有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（ ）
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差
（多选）11．已知f（x）是定义在R上周期为4的函数，且f（2+x）+f（2﹣x）＝0，当x∈[0，2]时，f（x）＝x（2﹣x），对于闭区间I，用MI表示y＝f（x）在I上的最大值．若正数k满足M[0，k]＝2M[k，2k]，则k的值可以是（ ）
A．2+22B．2−22C．10+24D．10−24
三．填空题（共3小题，每小题5分）
12．函数f(x)=1−xlgx的定义域为 ．
13．设函数f（x）=−ax+1，x＜a，(x−2)2，x≥a．若f（x）存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
14．如图点O是边长为1的等边三角形ABC的边BC中线AD上一点，且|AO|＝2|OD|，过O的直线交边AB于M，交边AC于N，记∠AOM＝θ，
（1）则θ的取值范围为 （2）1|OM|2+1|ON|2的最小值为 ．
第II卷（77分）
四．解答题（共5小题，15+15+13+16+18）
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），对任意实数x，不等式2x≤ax2+bx+c≤12(x+1)2恒成立．
（1）求a+b+c的值；
（2）若该二次函数有两个不同零点x1、x2．
①求a的取值范围；
②证明：x1x2为定值．
16．已知定义域为R的函数f(x)=−2x+a2x+1是奇函数．
（1）求a值；
（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
17．重庆、武汉、南京并称为主大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首．某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O（如图）．为吸引游客，准备在门前两条夹角为π6（即∠AOB）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰激凌”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长|AB|＝23且点A，B落在小路上，记弓形花园的顶点为M，∠MAB＝∠MBA=π6，设∠OBA＝θ．
（1）将OA，OB用含有θ的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA，OB长度），才使得喷泉M与山庄O距离即|OM|值最大？
18．已知正实数a、b满足1a+1b=1．
（1）求a+b的最小值；
（2）求4aa−1+9bb−1的最小值；
（3）求2a2+b2﹣4a﹣2b的最小值．
19．设集合A⊆N*．定义：和集合B＝{x+y|x，y∈A，x≠y}，积集合C＝{x•y|x，y∈B，x≠y}，分别用|A|，|B|，|C|表示集合A，B，C中元素的个数．
（1）若A＝{1，2，3，4}，求集合C；
（2）若|A|＝5，求|B|的所有可能的值组成的集合；
（3）若|A|＝4，求证：|C|≥9．
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