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2024浙江省北斗星联盟高三下学期5月适应性联考数学试卷含解析
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1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，，若与垂直，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 6
4. 已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件
5. 在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（ ）
A. 11B. 13C. 15D. 17
6 若，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，；点P沿线段AB（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是，当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）．
A. B. C. D.
8. 设双曲线：（，）的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于对称
C. 在上单调递减D. 当时，
10. 已知，，是一个随机试验中的三个事件，且，，下列说法正确的是（ ）
A. 若与互斥，则与不相互独立
B. 若与相互独立，则与不互斥
C. 若，且，则与相互独立
D 若，则，，两两独立
11. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则（ ）
A. 当时，则的最小值为
B. 过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直
C. 若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
D. 当，时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为______.
13. 已知圆：和圆：，过圆上一动点作圆的切线，交圆于，两点，当（点为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为______.（写出一条即可）
14. 已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在直角坐标平面内有线段，已知点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，……，点是线段（，）上靠近的三等分点，设点的横坐标为.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式.
16. 在四棱锥中，，，，，、分别为直线，上的动点.
（1）若异面直线与所成的角为，判断与是否具有垂直关系并说明理由；
（2）若，，求直线与平面所成角的最大值.
17. 将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回取球.
（1）若每次取一个球，求：
（ⅰ）前两次均取到红球的概率；
（ⅱ）第2次取到红球的概率；
（2）若从中取出两个球，已知其中一个球红球，求：
（ⅰ）另一个也为红球的概率；
（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.
18. 在平面直角坐标系中，已知点，，，动点，满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值.
19. 莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，），例如：，对应，，，，，，.现对任意，定义莫比乌斯函数.
（1）求，；
（2）已知，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为，，…，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值（用（）表示）.
1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，，若与垂直，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 6
4. 已知数列满足，则“为等比数列”是“（，）”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件
5. 在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（ ）
A. 11B. 13C. 15D. 17
6 若，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，；点P沿线段AB（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是，当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为（ ）．
A. B. C. D.
8. 设双曲线：（，）的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于对称
C. 在上单调递减D. 当时，
10. 已知，，是一个随机试验中的三个事件，且，，下列说法正确的是（ ）
A. 若与互斥，则与不相互独立
B. 若与相互独立，则与不互斥
C. 若，且，则与相互独立
D 若，则，，两两独立
11. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则（ ）
A. 当时，则的最小值为
B. 过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直
C. 若与所成的角为，则点的轨迹为双曲线
D. 当，时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为______.
13. 已知圆：和圆：，过圆上一动点作圆的切线，交圆于，两点，当（点为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为______.（写出一条即可）
14. 已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在直角坐标平面内有线段，已知点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，……，点是线段（，）上靠近的三等分点，设点的横坐标为.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式.
16. 在四棱锥中，，，，，、分别为直线，上的动点.
（1）若异面直线与所成的角为，判断与是否具有垂直关系并说明理由；
（2）若，，求直线与平面所成角的最大值.
17. 将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回取球.
（1）若每次取一个球，求：
（ⅰ）前两次均取到红球的概率；
（ⅱ）第2次取到红球的概率；
（2）若从中取出两个球，已知其中一个球红球，求：
（ⅰ）另一个也为红球的概率；
（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.
18. 在平面直角坐标系中，已知点，，，动点，满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知过点的直线与曲线交于两点，，连接，.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（ⅱ）直线，与直线分别交于，两点，求的最小值.
19. 莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，，），例如：，对应，，，，，，.现对任意，定义莫比乌斯函数.
（1）求，；
（2）已知，记（为的质因数个数，为质数，，）的所有因数从小到大依次为，，…，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值（用（）表示）.
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