初中数学6 应用一元二次方程测试题

这是一份初中数学6 应用一元二次方程测试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某超市1月份的营业额是0.2亿元，第一季度的营业额共1亿元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为( )
A. 0.2(1+x)2=1B. 0.2+0.2×2x=1
C. 0.2+0.2×3x=1D. 0.2×[1+(1+x)+(1+x)2]=1
2.如图，要把长为5m，宽为3m的矩形花坛四周扩展相同的宽度x m，得到面积为48m2的新矩形花坛，则根据题意可列方程为( )
A. 5x⋅3x=48B. (5+x)(3+x)=48
C. (5+2x)(3+x)=48D. (5+2x)(3+2x)=48
3.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A. 0.5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm
4.国产动画电影《舒克贝塔⋅五角飞碟》于2024年元旦档上映.电影的点映及预售总票房突破400万元，若以后每天票房按相同的增长率增长，两天后累计票房收入达4000万元.设票房收入的日均增长率为x，则可列方程为( )
A. 400+400x+400x2=4000
B. 400(1+x)2=4000
C. 400+400(1+x)+400(1+x)2=4000
D. 400+400(1+x)2=4000
5.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多6尺.门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少?设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为( )
A. (x+6)2+x2=102B. (x−6)2+x2=102
C. (x+6)2−x2=102D. 62+x2=102
6.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售价为21万元，5月份售价为18万元.设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是( )
A. 18(1+2x)=21B. 18(1+x)2=21C. 21(1−2x)=18D. 21(1−x)2=18
7.某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为( )
A. 2500[1+(1+x)+(1+x)2]=9100B. 9100(1−x)2=2500
C. 2500(1+x)2=9100D. 9100(1+x)2=2500
8.手工兴趣小组的同学们将自己制作的书签向本组的其他成员各赠送1个，全组共互赠了30个，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是( )
A. x(x+1)=30B. 2x(x+1)=30
C. x(x−1)=30D. x(x−1)=30×2
9.某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为( )
A. 2500[1+(1+x)+(1+x)2]=9100B. 9100(1−x)2=2500
C. 2500(1+x)2=9100D. 9100(1+x)2=2500
10.随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年年底的价格是两年前的14，则这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降( )
A. 75%B. 50%C. 37.5%D. 25%
11.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( )
A. 144(1−x)2=100B. 100(1−x)2=144
C. 144(1+x)2=100D. 100(1+x)2=144
12.某药品经过两次降价，且第二次降低的百分率是第一次降低的百分率的2倍，药品价格由每盒72元调至56元，若设第一次降低的百分率为x，则根据题意，可得方程为( )
A. 72(1−x)2=56B. 72(1−x)=56
C. 72(1−2x)=56D. 72(1−x)(1−2x)=56
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 ．
14.某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个．为实现平均每月10000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定为 元．
15.4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4月11日当天的营业额是21万元，4月13日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ．
16.某品牌手机经过连续两次降价，每台售价由原来的1800元降到了1100元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程为________________．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P，Q分别是从A，B同时出发，设时间为x秒．
(1)经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？
(2)经过几秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的112？
18.(本小题8分)
暑假期间，某商场购进一批价格为40元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为60元时，每周可售出150件，售价每上涨10元，销售量将减少5件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的2倍.该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为5600元，每件文化衫应定价多少元？
19.(本小题8分)
如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90∘，AB=13m，BC=12m，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，求这块空地铺满草坪的面积．
20.(本小题8分)
今年年初一美丽的白鹅潭江面进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时(a>0)，乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．
21.(本小题8分)
将两个大小相同的正方形如图①摆放，重叠部分形成一个小正方形，按照此规律摆下去，得到下面一组图形：
(1)请填写下表：
(2)第100个图形中，有________个正方形；若第n个图形中小正方形的个数是大正方形的2倍，则n=________；
(3)是否存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方？如果存在，求出图形的编号；如果不存在，请说明理由．
22.(本小题8分)
来商店经市场调查发现：某种商品的周销售量y(件)与售价x(元/件)的关系为y=−2x+200，其售价与周销售利润w(元)的三组对应值如表：
注：周销售利润=周销售量×(售价−进价)
(1)求该商品的进价；
(2)求当该商品的售价是多少元/件时，周销售利润为1600元？
(3)周销售利润能达到1800元吗？如果能，请计算出此时的售价；如果不能，请说明理由。
23.(本小题8分)
某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4:3，如果要使冰场的面积是原空地面积的23，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的左、中、右通道的宽度是多少m？
24.(本小题8分)
我们知道，计算n(n≥3且n为整数)边形的对角线条数的公式为12n(n−3).如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程12n(n−3)=20.整理，得n2−3n−40=0，解得n1=8，n2=-5.∵n≥3且n为整数，∴n=8，即该多边形是八边形．
(1)若一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是多少？
(2) A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线．”A同学的说法正确吗？为什么？
25.(本小题8分)
有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大38，求这个两位数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
【解答】
解：由题意得，
二月份的营业额为0.2(1+x)万元，
三月份的营业额为0.2(1+x)2万元，
则由题意列方程应为0.2+0.2(1+x)+0.2(1+x)2=1，
即0.2×[1+(1+x)+(1+x)2]=1，
故选D.
2.【答案】D
【解析】解：依题意，拓展后的长为：(5+2x)m，宽为(3+2x)m，
∵矩形花坛四周扩展相同的宽度xm，得到面积为48m2的新矩形花坛，
∴(5+2x)(3+2x)=48，
故选：D．
拓展后的长为(5+2x)m，宽为(3+2x)m，根据矩形面积公式列方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是会求拓展后的长和宽．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平移的性质和一元二次方程的应用，解决此题的关键点是：1.由平移和正方形的性质可得等腰直角三角形；2.利用重叠部分面积为1cm2列一元二次方程．
【解答】
解：设AC交A′B′于点H，
∵∠CAD=45°，∠AA′H=90°，
∴△A′HA是等腰直角三角形．
设AA′=xcm，则A′H=xcm，A′D=(2−x)cm，
∴x(2−x)=1，
得x1=x2=1，
即AA′=1cm．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：设票房收入的日均增长率为x，根据题意得：
400+400(1+x)+400(1+x)2=4000，
故选：C．
设增长率记作x，分别求得三天的收入，根据三天累计票房收入达4000万元，列方程即可求解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到等量关系是关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设门的宽为x尺，则门的高为(x+6)尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：设门的宽为x尺，则门的高为(x+6)尺，
依题意得：(x+6)2+x2=102．
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴21(1−x)2=18．
故选：D．
首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为21(1−x)万元，5月份的售价为21(1−x)(1−x)=21(1−x)2万元，据此根据5月份售价为18万元可列出方程，进而可得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，
根据题意可列的方程为2500[1+(1+x)+(1+x)2]=9100，
故选：A．
设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，根据第四季度的总营业额要达到9100万元，列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
8.【答案】C
【解析】解：设全组有x名同学，
则每名同学所赠的书签为：(x−1)件，
那么x名同学共赠：x(x−1)件，
所以，x(x−1)=30．
故选：C．
先求每名同学赠的书签，再求x名同学赠的书签，而已知全组共互赠了30个，故根据等量关系可得到方程．
本题考查一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9.【答案】A
【解析】解：设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，
根据题意可列的方程为2500[1+(1+x)+(1+x)2]=9100，
故选：A．
设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，根据第四季度的总营业额要达到9100万元，列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
10.【答案】B
【解析】解：设这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降x，
根据题意可得：(1−x)2=14，
解得：x1=0.5=50%，x2=1.5(不合题意舍去)，
即：这种电子产品的价格在这两年中平均每年下降50%．
故选：B．
直接利用下降率求法(1−x)2=今年年底的价格，进而得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
11.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程;得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．
2013年的产量=2011年的产量×(1+年平均增长率)2，把相关数值代入即可．
【解答】
解：设该果园水果产量的年平均增长率为x，则2012年的产量为100(1+x)吨，
2013年的产量为100(1+x) (1+x) =100(1+x)2吨，
根据题意，得100(1+x)2=144，
故答案为100(1+x)2=144．
12.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
72(1−x)(1−2x)=56，
故选：D．
根据第二次降低的百分率是第一次降低的百分率的2倍，药品价格由每盒72元调至56元，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
13.【答案】200(1−x)2=162
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格×(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是200(1−x)，第二次降价后的价格是200(1−x)2，据此即可列方程求解．
【解答】
解：根据题意得：200(1−x)2=162．
14.【答案】50
【解析】略
15.【答案】21(1+x)2=80．
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，并属于变化率问题.变化率问题一直是中考的热点，应重点掌握．
设营业额的平均每天的增长率为x，4月11日的营业额为21万元，则4月12日的营业额为21(1+x)，4月13日营业额为21(1+x)(1+x)，即21(1+x)2=80
【解答】
解：若营业额的平均每天的增长率为x，
则由题意得，21(1+x)2=80．
故答案为：21(1+x)2=80．
16.【答案】1800(1−x)2=1100
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程的运用，要注意题意指明的是降价，应该是1−x而不是1+x.本题可先列出第一次降价的售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价的售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．
【解答】
解：依题意得：第一次降价的售价为：1800(1−x)，则第二次降价后的售价为：1800(1−x)(1−x)=1800(1−x)2，
∴1800(1−x)2=1100，
故答案为1800(1−x)2=1100．
17.【答案】解：(1)PB=(6−x)厘米，BQ=2x厘米．
根据题意，得12×6−x×2x=8，
整理，得x2−6x+8=0，
解得x1=2，x2=4．
故经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米．
(2)PB=(6−x)厘米，BQ=2x厘米，
根据题意，得12×6−x×2x=112×6×12，
整理，得x2−6x+6=0，
解得x1=3− 3，x2=3+ 3．
故经过3− 3秒或3+ 3秒时，△PBQ的面积等于矩形面积的112．
【解析】此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是三角形、矩形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
(1)根据AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，得出PB=(6−x)厘米，BQ=2x厘米，再根据三角形的面积公式列方程求解即可；
(2)根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列出方程，然后求解即可．
18.【答案】解：设每件文化衫的定价为x元，则每周的销售量为(150−5× x−6010 )件，
依题意，得：x−40150−5× x−6010=5600，
解得：x1=80，x2=320．
因为售价不能超过进价的2倍，
所以x≤80，
所以x=320不合题意，舍去，
所以x=80．
答：每件文化衫应定价为80元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件文化衫的定价为x元，则每周的销售量为(150−5× x−6010 )件，根据每周销售利润=每件的利润×每周销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论．
19.【答案】 24m2
【解析】【分析】连接 AC ，根据勾股定理求出 AC= AD2+CD2= 32+42=5m ，根据勾股定理的逆定理证明 ▵ABC 为直角三角形，分别求出 ▵ABC 和 ▵ACD 的面积，即可求出结果．
【详解】解：连接 AC ，如图所示：
∵ AD=4m ， CD=3m ， ∠ADC=90∘ ，
∴ AC= AD2+CD2= 32+42=5m ，
∵ AB=13m ， BC=12m ，
∴ BC2+AC2=122+52=169=132=AB2 ，
∴ ▵ABC 为直角三角形，
∴ S▵ABC=12×AC×BC=12×5×12=30m2 ，
S▵ACD=12×AD×CD=12×4×3=6m2 ，
∴这块空地铺满草坪的面积为： 30−6=24m2 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理和逆定理，准确计算．
20.【答案】解：(1)设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时，
根据题意得：2010x+2x=1，
解得：x=4，
经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意，
∴10x=10×4=40(千米/小时)．
答：甲开车的平均速度是40千米/小时，甲步行的平均速度是4千米/小时;
(2)由题意可知，乙骑车的平均速度为(4+8a)千米/小时.时间为(12+a)小时，
根据题意得：(4+8a)(12+a)=8，
解得：a1=12，a2=−32(不符合题意，舍去)．
答：a的值为12．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
(1)设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时，利用时间=路程÷速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入10x中，即可求出甲开车的平均速度；
(2)利用路程=速度×时间，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
21.【答案】解：(1)3，4;4，7．
(2) 399，4
(3)不存在．
由(1)可知第n个图形中小正方形的个数为(3n−2)个，大正方形的个数为(n+1)个．
3n−2=(n+1)2，
整理得：n2−n+3=0，
Δ=1−12=−11