初中数学北师大版九年级上册3 相似多边形随堂练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 相似多边形随堂练习题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四组图形中，相似图形为( )
A. B.
C. D.
2.在数学史上，有很多著名的几何图形用来验证数学知识的产生过程.下图是由一连串公共顶点为O的直角三角形拼接而成，若∠AOB=∠BOC=∠COD=⋯=∠LOM=30∘，则图中直角三角形之间存在的变换关系是( )
A. 图形的平移B. 图形的旋转C. 图形的全等D. 图形的相似
3.如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.下列图形一定相似的是( )
A. 两个等腰梯形B. 有一个角相等的两个等腰三角形
C. 有一个内角相等的两个菱形D. 对应边成比例的两个平行四边形
5.下列說法中，錯誤的是( )
A. 全等圖形一定是相似圖形B. 兩個等邊三角形一定相似
C. 兩個等腰直角三角形一定相似D. 兩個直角三角形相似
6.下列圖形一定是相似圖形的是( )
A. 任意兩個菱形B. 任意兩個長方形
C. 任意兩個等腰三角形D. 任意兩個圓形
7.下列四組圖形中，不屬於相似圖形的是( )
A. B. C. D.
8.下列四組圖形中，一定相似的是( )．
A. 平行四邊形與平行四邊形B. 矩形與矩形
C. 菱形與菱形D. 圓形與圓形
9.下列說法正確的是( )
A. 所有等腰三角形都相似B. 所有等邊三角形都相似
C. 所有菱形都相似D. 所有矩形都相似
10.甲说：“将三角形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化前后的两个三角形相似.”
乙说：“将菱形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图2所示的图形，变化前后的两个菱形相似.”
对于两人的观点，下列说法正确的是( )
A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对
11.下列命题中，正确的是( )
A. 相似三角形的角平分线的比等于相似比
B. 所有的菱形都相似
C. 一般来说，一条线段的黄金分割点有两个
D. 如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线一定平行于三角形的第三边
12.剪纸是我国传统的民间艺术，在创作时，将纸片进行一系列操作，剪出图样后再展开，即可得到一由湖光倒影的美景.这体现了数学中的( )
A. 图形的轴对称B. 图形的平移C. 图形的旋转D. 图形的相似
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，BD为四边形ABCD的对角线，E是AB的中点，DA⊥AB，CB⊥AB，AB=BC=2AD，连接CE交BD于点F.若DF=3，则AB的长为________．
14.如图，相似的正方形共有______个，相似的三角形共有______个.
15.秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花.”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为______．
16.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为边BC的中点，连接AE，DE，点F，G分别在AE和DE上，且FG/​/AD，点E关于FG的对称点为E′，AD分别交E′F和E′G于H，I，若AH+DI=HI，则四边形FEGE′的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
将下列各图形的变换与变换的名称用线连起来：
18.(本小题8分)
如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形ABCD，现将其扩大成矩形AEFD，且使得矩形AEFD∽矩形BCFE，求BE的长．
19.(本小题8分)
如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′、B′、C′、D′分别是OA、OB、OC、OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
20.(本小题8分)
如图，已知∠1′=∠1，∠2′=∠2，∠3′=∠3，∠4′=∠4，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
21.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD和矩形AˈBˈCˈDˈ中，AB=16，AD=10，AˈDˈ=6，矩形AˈBˈCˈDˈ的面积为57.6，那么这两个矩形相似吗？
22.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC.若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1︰2，求AD的长．
23.(本小题8分)
如图(1)，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图(2)，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
(1) A4纸较长边与较短边的比为 ；
(2) A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
24.(本小题8分)
某矩形场地长20 m，宽16 m．
(1)如图①，在场地中央建有一矩形草坪，沿草坪四周外围有x m宽的小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？
(2)如果矩形场地中矩形草坪的变化如图②所示，它们相似吗？
(3)如果变化如图③所示，它们能相似吗？若能相似，求x，y满足的关系式；
(4)如果变化如图④所示，矩形ABCD与矩形ADEF能否相似？若能相似，求x的值(其中a>b)．
25.(本小题8分)
如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，F、E、M、N分别是AO、BO、CO、DO的中点，连接FE、EM、MN、NF，得到□FEMN.求证：□ABCD∽□FEMN．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；
C.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
故选：B．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
2.【答案】D
【解析】解：∵∠AOB=∠BOC=∠COD=⋯=∠LOM=30°，∠B=∠OCD=∠ODE=⋯=∠MLO=90°，
∴图中的直角三角形都相似，
故选：D．
直接根据相似三角形的判定作答即可．
本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练运用两个角相等证明三角形相似．
3.【答案】C
【解析】【分析】
根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．
各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形是相似多边形．
【解答】
解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；
锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；
正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件．
故选C．
4.【答案】C
【解析】略
5.【答案】D
【解析】解：A、全等图形一定是相似图形，正确，不合题意；
B、两个等边三角形一定相似，正确，不合题意；
C、两个等腰直角三角形一定相似，正确，不合题意；
D、两个直角三角形不一定相似，原说法错误，故此选项符合题意．
故选：D．
直接利用相似图形的定义得出答案．
此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的定义是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、两个长方形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；
D、任意两个圆形，是相似图形，故符合题意．
故选：D．
根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是相似图形有关知识，掌握相似图形的概念是解题关键．
利用相似图形进行解答即可．
【解答】
解：A.属于相似图形，不符合题意
B.属于相似图形，不符合题意
C.属于相似图形，不符合题意
D.不属于相似图形，符合题意
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了相似图形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
【解答】
A.平行四边形与平行四边形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似图形的定义，故选项A不符合题意;
B.矩形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似图形的定义，故选项B不符合题意;
C.菱形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似图形的定义，故选项C不符合题意;
D.圆形与圆形一定相似，故选项D符合题意．
故选D．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是相似图形有关知识，根据形状相同的图形称为相似图形，对于相似多边形的对应边成比例，对应角相等，分别判断得出答案．
【解答】
解：等腰三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所有等腰三角形不一定相似，错误，不符合题意
B.所有的等边三角形都相似，正确符合题意
C.菱形对应角不一定相等，则所有菱形不一定相似，错误，不符合题意
D.矩形对应边不一定成比例，则所有矩形不一定相似，错误，不符合题意
10.【答案】A
【解析】解：∵三角形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个三角形相似，
∵菱形四条边均相等，边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个菱形相似．
故选：A．
利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．
本题考查了相似图形的判定，解题关键是正确掌握相似图形的判定方法．
11.【答案】C
【解析】解：A、相似三角形对应边上的角平分线的比等于相似比，原说法错误，不符合题意；
B、菱形不一定都相似，原说法错误，不符合题意；
C、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，原说法正确，符合题意；
D、如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线不一定平行于三角形的第三边，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
根据相似三角形的性质求解即可．
此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
12.【答案】A
【解析】解：根据图形可知，将这个图形上下对折，两边的部分能够完全重合，因此这体现了数学中图形的轴对称，
故选：A．
根据轴对称，平移，旋转，相似的特征来判断即可．轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同；旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换；相似可以改变图形的大小，但不改变形状．
本题考查图形的对称、平移、旋转、相似等知识，掌握四者的特征是解题的关键．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
13.【答案】2 5
【解析】【分析】
本题考查三角形的中位线、相似三角形和勾股定理求线段长度，取BD的中点G，连接EG，可得EG=12AD=14BC，EG//AD//BC，根据相似比可得GF=14BF，求得FG=12，BF=2，CF=4，BC=2 5．
【解答】
解：取BD的中点G，连接EG，
∵E是AB的中点，
∴EG//AD，EG=12AD，
∵BC=2AD，
∴BC=4EG，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴∠DAB=∠EBC=90°，
∴AD//CB//GE，
∴FGFB=EGBC=14，
∴BF=4FG，
∴BG=BF+FG=5FG，
∵G是BD中点，
∴DG=BG=5FG，
∵DF=3，
∴DF=DG+GF=6FG=3，
∴GF=0.5，BF=2，
∵∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠CBD=∠ADB，
∵AB=BC，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠ABD=∠BCE，
∴∠BCE+∠CBF=∠ABD+∠CBF=90°，
∴∠CFB=90°，即BF⊥CE，
∵E是AB的中点，
∴BE=12AB=12BC，
∴CE= BE2+BC2= 5BE，
∵BEⅹBC=CE⨉BF，
∴2BE2=2 5BE，
∴BE= 5，
∴AB=2 5．
14.【答案】5 16
【解析】解：如图，相似的正方形共有5个，相似的三角形共有16个，
故答案为：5，16．
根据相似图形的定义判断即可．
本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．
15.【答案】6
【解析】解：由两个枫叶图案相似，
可得x12=510，
解得x=6，
即x的值为6．
故答案为：6．
根据两个枫叶图案的形状相同，可知两个图形相似，再根据相似多边形的对应边的比等于相似比可得结果．
此题考查的是相似多边形的性质，即两个多边形相似，其对应边、对角线的比等于相似比．
16.【答案】272
【解析】解：连接EE′，
∵点E关于FG的对称点为E′，
∴EF垂直平分EE′，
∴FE′=FE，GE′=GE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=∠BAD=∠CDA=90°，
∵点E为边BC的中点，
∴BE=CE，
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴∠BAE=∠CDE，AE=DE，
∴∠BAD−∠BAE=∠CDA−∠CDE，
∴∠EAD=∠EDA，
∵FG/​/AD，
∴∠EFG=∠EAD，∠EGF=∠EDA，
∴FE=GE，
∴FE′=FE=GE′=GE，
∴四边形FEGE′是菱形，
∴FE′//EG，GE′//EF，
∵AE−EF=DE−GE，
∴AF=DG，
∵∠FAH=∠GDI，∠AFH=∠DGI=∠AED，
∴△AFH≌△DGI(ASA)，
∴AH=DI，
∵AB=4，AD=BC=6，AH+DI=HI，
∴AH+DI+HI=2HI=AD=6，
∴AH+DI=HI=3，
∴AH=DI=32，
∴DH=6−32=92，
∵FH/​/DE，
∴EFAE=DHAD=926=34，
∵△EFG∽△EAD，
∴S△EFGS△EAD=(EFAE)2=(34)2=916，
∵S△EAD=12AD⋅AB=12×6×4=12，
∴S△EFG=916S△EAD=916×12=274，
∵FE′=FE，GE′=GE，FG=FG，
∴△E′FG≌△EFG(SSS)，
∴S△EFG=S△E′FG=274，
∴S四边形FEGE′=S△EFG+S△E′FG=274+274=272，
故答案为：272．
连接EE′，则EF垂直平分EE′，可证明四边形FEGE′是菱形，则FE′//EG，GE′//EF，再证明△AFH≌△DGI，得AH=DI，由AB=4，AD=BC=6，AH+DI=HI，得AH+DI+HI=2HI=6，则AH+DI=HI=3，AH=DI=32，所以DH=92，由FH/​/DE，根据平行线分线段成比例定理得EFAE=DHAD=34，而△EFG∽△EAD，则S△EFGS△EAD=916，而S△EAD=12AD⋅AB=12，则S△EFG=916S△EAD=274，所以S△EFG=S△E′FG=274，S四边形FEGE′=272，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、根据转化思想求多边形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且证明四边形FEGE′是菱形是解题的关键．
17.【答案】解：

【解析】旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”，经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同；平移和旋转都是在平面内，图形变换前后的图形是全等的，对应线段相等，对应角相等，对应点的排列次序相同；由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫作图形轴对称变换．
本题考查的是对平移变换，相似变换，旋转变换，轴对称变换的认识．根据概念作出回答．
18.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=5米，
∵矩形AEFD∽矩形BCFE，
∴AEBC=BCBE．
∴5+BE5=5BE，
解得BE=52( 5−1)(舍去负值)，
经检验BE=5 5−52是分式方程的解，
∴BE的长为5 5−52．
【解析】根据相似多边形的性质求解即可．
本题主要考查了正方形的性质，相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解决问题的关键．
19.【答案】相似．理由：∵A′、B′分别是OA、OB的中点，∴A′B′ // AB，
A′B′=12AB，∴∠OA′B′=∠OAB，A′B′AB=12．
同理，∠OA′D′=∠OAD，A′D′AD=12，
∴∠B′A′D′=∠BAD，A′B′AB=A′D′AD，
同理，∠A′D′C′=∠ADC，∠D′C′B′=∠DCB，∠C′B′A′=∠CBA，A′B′AB=A′D′AD=D′C′DC=B′C′BC，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．

【解析】见答案
20.【答案】解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
由已知条件知，∠ADC=∠A′D′C′， ∠C=∠C′，∠ABC=∠A′B′C′，∠A= ∠A′，且ABA′B′=BCB′C′=CDC′D′=DAD′A′= 43，
所以四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
【解析】见答案
21.【答案】∵矩形AˈBˈCˈDˈ的面积为57.6，AˈDˈ=6，∴AˈBˈ=9.6．
∴ABA′B′=169.6=53.根据矩形的性质，知DCD′C′=ABA′B′=53．
同理，得BCB′C′=ADA′D′=106=53.∴ABA′B′=ADA′D′=DCD′C′=BCB′C′=53．
∵矩形的各内角都是90°，∴矩形ABCD与矩形AˈBˈCˈDˈ相似

【解析】见答案
22.【答案】解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1︰2，
∴ABDE=AEDC=12，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4，
∴4DE=AE4=12，
∴DE=8，AE=2，
∴AD=AE+DE=2+8=10．
【解析】本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．也考查了矩形的性质．利用相似多边形的性质得到ABDE=AEDC=12，而根据矩形的性质得到CD=AB=4，从而利用比例性质得到DE=8，AE=2，然后计算AE+DE即可．
23.【答案】【小题1】
2
【小题2】
A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为 2，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为 2a．
∵A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为 22a．
∴A5纸的长边与较短边的比为a 22a= 2．
∴A4纸较长边与较短边的比=A5纸的长边与较短边的比．又A4纸与A5纸的四个角均为直角，∴A4纸与A5纸相似．

【解析】1.
如图：
由折叠过程可以看到：第一次折叠，点A与点D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC= 2AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合，所以较长边= 2AB，∴A4纸较长边与较短边的比为 2．
2. 见答案
24.【答案】【小题1】
∵AB=CD=20 m，AD=BC=16 m，EF=GH=(20−2x)m，EH=FG=(16−2x)m，
∴EFAB=20−2x20=1−x10，EHAD=16−2x16=1−x8．
∵1−x10≠1−x8，∴EFAB≠EHAD．
∴小路内外边缘所成的矩形不相似．
【小题2】
∵20>16，∴20−x>16−x，∴EF>FG.如果两个矩形相似，那么有EFAB=FGBC，
即20−2x20=16−x16，解得x=0，不符合题意，∴两个矩形不相似．
【小题3】
能．
当20−x20=16−y16时，解得x=54y(0当20−x16=16−y20时，解得y=54x−9(7.2∴当x=54y(0【小题4】
假设矩形ABCD与矩形ADEF相似，则DEBC=ADAB，即a−xb=ba，
解得x=a2−b2a.∴矩形ABCD与矩形ADEF能相似，x=a2−b2a．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
3. 见答案
4. 见答案
25.【答案】∵F、E分别是AO、BO的中点，∴FE=12AB，FE // AB，∴∠OEF=∠OBA，∠OFE=∠OAB.同理，可得EM=12BC，MN=12CD，NF=12DA，∠OEM=∠OBC，∠OME=∠OCB，∠OMN=∠OCD，∠ONM=∠ODC，∠ONF=∠ODA，∠OFN=∠OAD.∴ABFE=BCEM=CDMN=DANF，∠DAB=∠NFE，∠ABC=∠FEM，∠BCD=∠EMN，∠CDA=∠MNF，∴□ABCD∽□FEMN
【解析】见答案