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数学九年级上册8 图形的位似课后测评
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这是一份数学九年级上册8 图形的位似课后测评，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，若点B坐标为(1,1)，则点D的坐标是( )
A. (3,3)
B. (4,4)
C. (5,5)
D. (6,6)
2.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：3，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 1：3B. 2：3C. 4：5D. 1：9
3.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且OA∶OD=1∶3，则△ABC与△DEF的面积之比是( )
A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶3D. 1∶9
4.如图，△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，AA′=2A′O，则△A′B′C′和△ABC的位似比为( )
A. 19B. 14C. 13D. 12
5.如圖，在直角坐標系中，▵OAB的頂點為O(0,0)，A(4,3)，B(3,0).以點O為位似中心，在第三象限內作與▵OAB的位似比為13的位元似圖形▵OCD，則點C的座標為( )
A. (−1,−1)B. (−43,-1)C. (−1,−43)D. (−2,−1)
6.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的面积之比是
A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:9
7.如图，在平面直角坐标系中，A(2,1)，B(3,0)，D(9,0)，O，A，C三点在同一直线上，AB//CD，则点C的坐标为( )
A. (4,2)B. (5,3)C. (6,3)D. (5,4)
8.如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，且OA:OA1=1:2，若△ABC的面积为5，则△A1B1C1的面积为 ( )
A. 10B. 15C. 20D. 25
9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,6)、B(−9,−3)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则边A的对应点A′的坐标是( )
A. (1,−2)
B. (−1,2)
C. (−1,−2)或(1,2)
D. (−1,2)或(1,−2)
10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上.若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为( )
A. (3,2)B. (3,1)C. (2,2)D. (4,2)
11.2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形(图2)，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素(忽略误差)，图2中的四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，点O是位似中心，点A′是线段OA的中点，那么以下结论正确的是( )
A. 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为1:1
B. 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为1:2
C. 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比为3:1
D. 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为4:1
12.如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段AB的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是
A. C点B. F点C. E点D. G点
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=5cm，OA′=10cm，五边形ABCDE的周长为50cm，则五边形A′B′C′D′E′的周长是 cm．
14.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且OAOD=12，若△ABC的面积为5，则△DEF的面积为 ．
15.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是______．
16.如图，已知A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)，写出△ABC作如下运动或变化后的各顶点坐标．
(1)关于x轴对称：A1(______，______)B1( ______，______)，C1(______，______)；
(2)以AC为轴翻折：A2(______，______)B2( ______，______)，C2(______，______)；
(3)关于原点对称：A3(______，______)B3( ______，______)，C3(______，______)；
(4)以坐标原点为位似中心，在第一象限内放大为原来的2倍：A4(______，______)B4( ______，______)，C4(______，______)；
(5)绕坐标原点逆时针旋转90°：A5(______，______)B5( ______，______)，C5(______，______)；
(6)绕点A逆时针旋转90°：A6(______，______)B6( ______，______)，C6(______，______).
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A，B，A′，B′，O共线，点O为位似中心．
(1)AC与A′C′平行吗？为什么？
(2)若AB=2A′B′，OC′=5，求CC′的长．
18.(本小题8分)
已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A和点B的坐标分别为A(2,6)，B(6,2)．
(1)在第一象限画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2:1;
(2)画出△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90∘后的△A1B2C2．
19.(本小题8分)
如图，已知点O是坐标原点，小方格的边长为1，B(2,2)．
(1)以点A为位似中心，在x轴的上方将△ABC放大到原图的2倍，(即新图与原图的相似比为2)，画出对应的△AB′C′；
(2)直接写出四边形CBB′C′的面积：______．
20.(本小题8分)
在如图所示4×4小正方形方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图(不要求写画法)．
(1)在图中请以C为端点作一条线段CD，使它与线段AB平行且相等;
(2)以点C为位似中心，将线段AB按1:2缩小为A′B′，在图中画出线段A′B′，并保留作图痕迹．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(1,2)，B(3,1)(每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；
(2)请以O为位似中心在△O1A1B1的同侧画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2：1；
(3)点P(a,b)为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为______．
22.(本小题8分)
如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A(2,−2)、B(3,1)、C(1,0).请按如下要求画图：
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，位似比为2∶1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)△ABC内部一点M的坐标为(a,b)，写出M在△A1B1C1中的对应点M1的坐标．
23.(本小题8分)
如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,3)，C(3,0)．
(1)△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，按照要求画出△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且位似比为2：1．
24.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图(保留画图痕迹)．
(1)请画一个△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于点O位似;
(2)请画一个△A2B2C2，使得△A2B2C2可通过△ABC绕点O旋转得到．
25.(本小题8分)
如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(−1,2)、B(2,1)、C(4,5)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图，过点B作BE⊥OC于E，
∵点B坐标为(1,1)，
∴BE=OE=1．
∵△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，
∴△AOB∽△CDB且相似比为1：2，OA//CD．
∴OE：EC=1：2，OACD=12，BEOA=ECOC，BECD=OEOC．
∴OC=OE+2OE=3，CD=3BE=3，
∴D(3,3)．
故选：A．
根据题意可以推知：△AOB∽△CDB且相似比为1：2；由平行线分线段成比例、对应边上的高线之比等于相似比求得答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴AB：DE=OA：OD=1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，
故选：D．
根据位似图形的概念得到AB//DE，进而得到△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD=13，
∴S△ABCS△DEF=(13)2=19，
故选：D．
根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵AA′=2A′O，
∴OA′：OA=1：3，
∵△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，
∴△A′B′C′和△ABC的位似比为OA′：OA=1：3．
根据位似比的定义，计算出OA′：OA即可．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
根据位似变换的性质解答即可．
【解答】
解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，A(4,3)，
∴点C的横坐标为4×(−13)=−43，纵坐标为3×(−13)=−1，
即点C的坐标为(−43,−1)．
6.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC//EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴BCEF=OBOE=12，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4，
故选C．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC//EF，得出△OBC∽△OEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比是k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标是(kx,ky)或(−kx,−ky)，由此即可求解．
解：∵B(3,0)，D(9,0)，
∴OB=3，OD=9，
∵AB//CD，
∴ΔOCD∽ΔOAB，
∴ΔOCD与ΔOAB是以O为位似中心的位似图形，且相似比k=ODOB=93=3，
∵A的坐标是(2,1)，
∴C的横坐标，纵坐标分别是3×2=6，1×3=3，
∴C的坐标是(6,3)．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，根据相似三角形的性质得到ACA1C1=OAOA1=12，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【解答】
解：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴ACA1C1=OAOA1=12，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：4，
∵△ABC的面积为5，
∴△A1B1C1的面积是20，
故选C．
9.【答案】D
【解析】解：∵点A(−3,6)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是(−1,2)或(1,−2)，
故选：D．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
10.【答案】A
【解析】【分析】本题考查的是位似变换的性质、正方形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似形是解题的关键．
根据位似图形的概念和性质列出比例式，求出OB、CD，求出点C的坐标．
【解答】
解：因为正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 13 ，
所以 OBOE =13 ， CDGF = ODOG = 13 ，即 OBOB+6 = 13 ， CD6 = 13 ，解得OB=3，CD=2．
所以BC=CD=2.所以点C的坐标为(3,2)．
11.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．先利用位似的性质得到A′B′:AB=1:2，然后根据相似的性质进行判断．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，点O是位似中心，点A′是线段OA的中点，
∴OA′:OA=1:2，
∴A′B′:AB=1:2，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2:1，周长的比为2:1，面积比为4:1．
故选：D．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是位似图形有关知识，根据OD、OB的长度求出相似比，根据位似变换的性质解答即可．
【解答】
解：如图
∵OD=4，OB=2，
∴线段AB与其位似的图形的相似比为1：2，
由图可知：点A的对应点是点G
13.【答案】100
【解析】【分析】
此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意相似多边形的周长比等于相似比．
由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=5cm，OA′=10cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10=1：2，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是1：2解答即可．
【解答】
解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=5cm，OA′=10cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10=1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是1：2，
∵五边形ABCDE的周长是50cm，
故五边形A′B′C′D′E′的周长为：100cm．
14.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出AC//DF是解题的关键．根据△ABC与△DEF是位似图形得到AC//DF，证明△AOC∽△DOF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】
解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC//DF，
∴△AOC∽△DOF，
∴ACDF=OAOD=12
∴△ABC与△DEF的位似比为1：2，
∵△ABC的面积为5，
∴△DEF的面积为20，
故答案为20．
15.【答案】1：4
【解析】解：∵OA=AD，
∴OA：OD=1：2，
∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴∠ODE=∠OAB，∠OBA=∠OED，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD=12，
∴△ABC与△DEF的面积比为：(12)2=14，
故答案为：1：4．
根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
16.【答案】1 −3 4 −1 1 −1 1 3 −1 1 1 1 −1 −3 −4 −1 −1 −1 2 6 8 2 2 2 −3 1 −1 4 −1 1 1 3 3 6 3 3
【解析】解：(1)关于x轴对称：A1(1,−3)B1(4,−1)，C1(1,−1)；
故答案为：1，−3，4，−1，1，−1；
(2)以AC为轴翻折：A2(1,3)B2(−1,1)，C2(1,1)；
故答案为：1，3，−1，−1，1，1；
(3)关于原点对称：A3(−1,−3)B3(−4,−1)，C3(−1,−1)；
故答案为：−1，−3，−4，−1，−1，−1；
(4)以坐标原点为位似中心，在第一象限内放大为原来的2倍：A4(2,6)B4(8,2)，C4(2,2)；
故答案为：2，6，8，2，2，2；
(5)绕坐标原点逆时针旋转90°：A5(−3,1)，B5(−1,4)，C5(−1,1)；
故答案为：−3，1，−1，4，−1，−1；
(6)绕点A逆时针旋转90°：A6(1,3)B6(3,6)，C6(3,3)．
故答案为：1，3，3，6，3，3．
(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征，解决问题即可；
(2)根据轴对称的性质解决问题即可；
(3)根据关于原点对称的点的坐标特征解决问题即可；
(4)根据位似变换的性质解决问题即可；
(5)(6)利用性质变换的性质画出图形，可得结论．
本题考查位似变换，轴对称变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题．
17.【答案】解：(1)结论：AC与A′C′平行，
理由：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A、B、A′、B′、O共线，
∴∠A=∠A′，
∴AC//A′C′；
(2)∵AB=2A′B′，OC′=5，
∴CO=2OC′=10，
∴CC′的长为：10−5=5．
【解析】(1)利用位似图形的性质，得出AC//A′C′；
(2)利用位似图形的性质得出CO=2OC′=10，即可得出答案．
此题主要考查了位似图形的性质，得出符合题意的图形是解题关键．
18.【答案】解：(1)如图所示，
△A1B1C1即为所求图形;
(2)如图所示，
△A1B2C2即为所求图形．
【解析】此题主要考查了作图−位似变换，作图−旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)分别画出△ABC以原点O为位似中心，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2:1的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得；
(2)分别作出点B1、C1绕点A1按逆时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
19.【答案】16.5
【解析】解：(1)如图，△AB′C′即为所求；
(2)四边形CBB′C′的面积=5×7−12×1×3−12×6×4−12×2×3−12×1×4=16.5．
故答案为：16.5．
(1)利用位似变换的性质，画出三角形AB′C′即可；
(2)利用分割法求出四边形面积即可．
本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)如图，线段CD即为所求；
(2)如图，线段A’B’即为所求．
【解析】本题考查了平行线的判定及性质，位似变换作图，熟悉网格中的平行作图和位似作图是解题的关键．
(1)结合网格特征，找到格点D，并连接CD即可；
(2)连接BC，AC，利用网格特征找到线段BC，AC的中点并连接即可．
21.【答案】解：(1)如图，△O1A1B1即为所求作三角形；
(2)如图，△O2A2B2即为所求作三角形；
(3)(2a+2,2b)．
【解析】【分析】
本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．
(1)根据平移的规律，将点O、A、B向右平移1个单位，得到O1、A1、B1，连接O1、A1、B1即可；
(2)连接OA1并延长到A2，使OA2=2OA1，连接OB1并延长到B2，使OB2=2OB1，连接OO1并延长到O2，使OO2=2OO1，然后顺次连接即可；
(3)分别根据平移和位似变换坐标的变化规律得出坐标即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)点P(a,b)为△OAB内一点，位似变换后的对应点P′的坐标为(2a+2,2b)，
故答案为：(2a+2,2b)．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所求
(2)如图，△A2B2C2为所求
(3)△ABC内部一点M的坐标为(a,b)
则M在△A1B1C1中的对应点M1的坐标(−b,a)
【解析】本题考查的是作图−旋转变换，作图−位似变换有关知识，
(1)根据网格结构找出点ABC绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)连接AO并延长至A2，使A2O=2AO，连接BO并延长至B2，使B2O=2BO，连接CO并延长至C2，使C2O=2CO，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
(3)根据旋转的性质解答
23.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△DEF、△D′E′F′为所作．
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点即可；
(2)利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2(或−2)得到点D、E、F的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了旋转变换．
24.【答案】解：(1)如答图1，△A1B1C1即为所求;
(2)如答图2，△A2B2C2即为所求．
【解析】本题主要考查位似变换和旋转变换，掌握相关性质是解题的关键．
(1)根据位似变换的性质，确定位似比，进而得到对应点，即可画出图形；
(2)根据旋转变换的性质，结合网格特点作图即可．
25.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1就是所求三角形．
(2)如图所示，△A2B2C2就是所求三角形，
∵A(−1,2)，B(2,1)，C(4,5)，△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，
∴A2(−2,4)，B2(4,2)，C2(8,10)，
∴S△A2B2C2=8×10−12×6×2−12×4×8−12×6×10=28．
【解析】本题考查作图−位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型．
(1)画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；
(2)连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；再根据图形，利用矩形面积减去周围直角三角形的面积，求解即可．
1.如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，若点B坐标为(1,1)，则点D的坐标是( )
A. (3,3)
B. (4,4)
C. (5,5)
D. (6,6)
2.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：3，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 1：3B. 2：3C. 4：5D. 1：9
3.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且OA∶OD=1∶3，则△ABC与△DEF的面积之比是( )
A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶3D. 1∶9
4.如图，△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，AA′=2A′O，则△A′B′C′和△ABC的位似比为( )
A. 19B. 14C. 13D. 12
5.如圖，在直角坐標系中，▵OAB的頂點為O(0,0)，A(4,3)，B(3,0).以點O為位似中心，在第三象限內作與▵OAB的位似比為13的位元似圖形▵OCD，則點C的座標為( )
A. (−1,−1)B. (−43,-1)C. (−1,−43)D. (−2,−1)
6.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的面积之比是
A. 1:2B. 1:3C. 1:4D. 1:9
7.如图，在平面直角坐标系中，A(2,1)，B(3,0)，D(9,0)，O，A，C三点在同一直线上，AB//CD，则点C的坐标为( )
A. (4,2)B. (5,3)C. (6,3)D. (5,4)
8.如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，且OA:OA1=1:2，若△ABC的面积为5，则△A1B1C1的面积为 ( )
A. 10B. 15C. 20D. 25
9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−3,6)、B(−9,−3)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则边A的对应点A′的坐标是( )
A. (1,−2)
B. (−1,2)
C. (−1,−2)或(1,2)
D. (−1,2)或(1,−2)
10.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上.若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为( )
A. (3,2)B. (3,1)C. (2,2)D. (4,2)
11.2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形(图2)，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素(忽略误差)，图2中的四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，点O是位似中心，点A′是线段OA的中点，那么以下结论正确的是( )
A. 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为1:1
B. 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为1:2
C. 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比为3:1
D. 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为4:1
12.如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段AB的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是
A. C点B. F点C. E点D. G点
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=5cm，OA′=10cm，五边形ABCDE的周长为50cm，则五边形A′B′C′D′E′的周长是 cm．
14.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且OAOD=12，若△ABC的面积为5，则△DEF的面积为 ．
15.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是______．
16.如图，已知A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)，写出△ABC作如下运动或变化后的各顶点坐标．
(1)关于x轴对称：A1(______，______)B1( ______，______)，C1(______，______)；
(2)以AC为轴翻折：A2(______，______)B2( ______，______)，C2(______，______)；
(3)关于原点对称：A3(______，______)B3( ______，______)，C3(______，______)；
(4)以坐标原点为位似中心，在第一象限内放大为原来的2倍：A4(______，______)B4( ______，______)，C4(______，______)；
(5)绕坐标原点逆时针旋转90°：A5(______，______)B5( ______，______)，C5(______，______)；
(6)绕点A逆时针旋转90°：A6(______，______)B6( ______，______)，C6(______，______).
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A，B，A′，B′，O共线，点O为位似中心．
(1)AC与A′C′平行吗？为什么？
(2)若AB=2A′B′，OC′=5，求CC′的长．
18.(本小题8分)
已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A和点B的坐标分别为A(2,6)，B(6,2)．
(1)在第一象限画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2:1;
(2)画出△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90∘后的△A1B2C2．
19.(本小题8分)
如图，已知点O是坐标原点，小方格的边长为1，B(2,2)．
(1)以点A为位似中心，在x轴的上方将△ABC放大到原图的2倍，(即新图与原图的相似比为2)，画出对应的△AB′C′；
(2)直接写出四边形CBB′C′的面积：______．
20.(本小题8分)
在如图所示4×4小正方形方格中，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图(不要求写画法)．
(1)在图中请以C为端点作一条线段CD，使它与线段AB平行且相等;
(2)以点C为位似中心，将线段AB按1:2缩小为A′B′，在图中画出线段A′B′，并保留作图痕迹．
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)，A(1,2)，B(3,1)(每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；
(2)请以O为位似中心在△O1A1B1的同侧画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2：1；
(3)点P(a,b)为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为______．
22.(本小题8分)
如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A(2,−2)、B(3,1)、C(1,0).请按如下要求画图：
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，位似比为2∶1，将△ABC在位似中心的异侧进行放大得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
(3)△ABC内部一点M的坐标为(a,b)，写出M在△A1B1C1中的对应点M1的坐标．
23.(本小题8分)
如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,3)，C(3,0)．
(1)△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，按照要求画出△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且位似比为2：1．
24.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求画图(保留画图痕迹)．
(1)请画一个△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于点O位似;
(2)请画一个△A2B2C2，使得△A2B2C2可通过△ABC绕点O旋转得到．
25.(本小题8分)
如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(−1,2)、B(2,1)、C(4,5)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图，过点B作BE⊥OC于E，
∵点B坐标为(1,1)，
∴BE=OE=1．
∵△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，
∴△AOB∽△CDB且相似比为1：2，OA//CD．
∴OE：EC=1：2，OACD=12，BEOA=ECOC，BECD=OEOC．
∴OC=OE+2OE=3，CD=3BE=3，
∴D(3,3)．
故选：A．
根据题意可以推知：△AOB∽△CDB且相似比为1：2；由平行线分线段成比例、对应边上的高线之比等于相似比求得答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴AB：DE=OA：OD=1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，
故选：D．
根据位似图形的概念得到AB//DE，进而得到△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD=13，
∴S△ABCS△DEF=(13)2=19，
故选：D．
根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵AA′=2A′O，
∴OA′：OA=1：3，
∵△A′B′C′和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，
∴△A′B′C′和△ABC的位似比为OA′：OA=1：3．
根据位似比的定义，计算出OA′：OA即可．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
根据位似变换的性质解答即可．
【解答】
解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，A(4,3)，
∴点C的横坐标为4×(−13)=−43，纵坐标为3×(−13)=−1，
即点C的坐标为(−43,−1)．
6.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC//EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴BCEF=OBOE=12，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4，
故选C．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC//EF，得出△OBC∽△OEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比是k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标是(kx,ky)或(−kx,−ky)，由此即可求解．
解：∵B(3,0)，D(9,0)，
∴OB=3，OD=9，
∵AB//CD，
∴ΔOCD∽ΔOAB，
∴ΔOCD与ΔOAB是以O为位似中心的位似图形，且相似比k=ODOB=93=3，
∵A的坐标是(2,1)，
∴C的横坐标，纵坐标分别是3×2=6，1×3=3，
∴C的坐标是(6,3)．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，根据相似三角形的性质得到ACA1C1=OAOA1=12，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【解答】
解：∵△ABC与△A1B1C1位似，
∴△ABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，
∴△AOC∽△A1OC1，
∴ACA1C1=OAOA1=12，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：4，
∵△ABC的面积为5，
∴△A1B1C1的面积是20，
故选C．
9.【答案】D
【解析】解：∵点A(−3,6)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是(−1,2)或(1,−2)，
故选：D．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
10.【答案】A
【解析】【分析】本题考查的是位似变换的性质、正方形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似形是解题的关键．
根据位似图形的概念和性质列出比例式，求出OB、CD，求出点C的坐标．
【解答】
解：因为正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 13 ，
所以 OBOE =13 ， CDGF = ODOG = 13 ，即 OBOB+6 = 13 ， CD6 = 13 ，解得OB=3，CD=2．
所以BC=CD=2.所以点C的坐标为(3,2)．
11.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．先利用位似的性质得到A′B′:AB=1:2，然后根据相似的性质进行判断．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，点O是位似中心，点A′是线段OA的中点，
∴OA′:OA=1:2，
∴A′B′:AB=1:2，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为2:1，周长的比为2:1，面积比为4:1．
故选：D．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是位似图形有关知识，根据OD、OB的长度求出相似比，根据位似变换的性质解答即可．
【解答】
解：如图
∵OD=4，OB=2，
∴线段AB与其位似的图形的相似比为1：2，
由图可知：点A的对应点是点G
13.【答案】100
【解析】【分析】
此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意相似多边形的周长比等于相似比．
由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=5cm，OA′=10cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10=1：2，然后由相似多边形的性质可证得：五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是1：2解答即可．
【解答】
解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=5cm，OA′=10cm，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为5：10=1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是1：2，
∵五边形ABCDE的周长是50cm，
故五边形A′B′C′D′E′的周长为：100cm．
14.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出AC//DF是解题的关键．根据△ABC与△DEF是位似图形得到AC//DF，证明△AOC∽△DOF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】
解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC//DF，
∴△AOC∽△DOF，
∴ACDF=OAOD=12
∴△ABC与△DEF的位似比为1：2，
∵△ABC的面积为5，
∴△DEF的面积为20，
故答案为20．
15.【答案】1：4
【解析】解：∵OA=AD，
∴OA：OD=1：2，
∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴∠ODE=∠OAB，∠OBA=∠OED，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD=12，
∴△ABC与△DEF的面积比为：(12)2=14，
故答案为：1：4．
根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
16.【答案】1 −3 4 −1 1 −1 1 3 −1 1 1 1 −1 −3 −4 −1 −1 −1 2 6 8 2 2 2 −3 1 −1 4 −1 1 1 3 3 6 3 3
【解析】解：(1)关于x轴对称：A1(1,−3)B1(4,−1)，C1(1,−1)；
故答案为：1，−3，4，−1，1，−1；
(2)以AC为轴翻折：A2(1,3)B2(−1,1)，C2(1,1)；
故答案为：1，3，−1，−1，1，1；
(3)关于原点对称：A3(−1,−3)B3(−4,−1)，C3(−1,−1)；
故答案为：−1，−3，−4，−1，−1，−1；
(4)以坐标原点为位似中心，在第一象限内放大为原来的2倍：A4(2,6)B4(8,2)，C4(2,2)；
故答案为：2，6，8，2，2，2；
(5)绕坐标原点逆时针旋转90°：A5(−3,1)，B5(−1,4)，C5(−1,1)；
故答案为：−3，1，−1，4，−1，−1；
(6)绕点A逆时针旋转90°：A6(1,3)B6(3,6)，C6(3,3)．
故答案为：1，3，3，6，3，3．
(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征，解决问题即可；
(2)根据轴对称的性质解决问题即可；
(3)根据关于原点对称的点的坐标特征解决问题即可；
(4)根据位似变换的性质解决问题即可；
(5)(6)利用性质变换的性质画出图形，可得结论．
本题考查位似变换，轴对称变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题．
17.【答案】解：(1)结论：AC与A′C′平行，
理由：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A、B、A′、B′、O共线，
∴∠A=∠A′，
∴AC//A′C′；
(2)∵AB=2A′B′，OC′=5，
∴CO=2OC′=10，
∴CC′的长为：10−5=5．
【解析】(1)利用位似图形的性质，得出AC//A′C′；
(2)利用位似图形的性质得出CO=2OC′=10，即可得出答案．
此题主要考查了位似图形的性质，得出符合题意的图形是解题关键．
18.【答案】解：(1)如图所示，
△A1B1C1即为所求图形;
(2)如图所示，
△A1B2C2即为所求图形．
【解析】此题主要考查了作图−位似变换，作图−旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
(1)分别画出△ABC以原点O为位似中心，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2:1的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得；
(2)分别作出点B1、C1绕点A1按逆时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．
19.【答案】16.5
【解析】解：(1)如图，△AB′C′即为所求；
(2)四边形CBB′C′的面积=5×7−12×1×3−12×6×4−12×2×3−12×1×4=16.5．
故答案为：16.5．
(1)利用位似变换的性质，画出三角形AB′C′即可；
(2)利用分割法求出四边形面积即可．
本题考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)如图，线段CD即为所求；
(2)如图，线段A’B’即为所求．
【解析】本题考查了平行线的判定及性质，位似变换作图，熟悉网格中的平行作图和位似作图是解题的关键．
(1)结合网格特征，找到格点D，并连接CD即可；
(2)连接BC，AC，利用网格特征找到线段BC，AC的中点并连接即可．
21.【答案】解：(1)如图，△O1A1B1即为所求作三角形；
(2)如图，△O2A2B2即为所求作三角形；
(3)(2a+2,2b)．
【解析】【分析】
本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．
(1)根据平移的规律，将点O、A、B向右平移1个单位，得到O1、A1、B1，连接O1、A1、B1即可；
(2)连接OA1并延长到A2，使OA2=2OA1，连接OB1并延长到B2，使OB2=2OB1，连接OO1并延长到O2，使OO2=2OO1，然后顺次连接即可；
(3)分别根据平移和位似变换坐标的变化规律得出坐标即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)点P(a,b)为△OAB内一点，位似变换后的对应点P′的坐标为(2a+2,2b)，
故答案为：(2a+2,2b)．
22.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所求
(2)如图，△A2B2C2为所求
(3)△ABC内部一点M的坐标为(a,b)
则M在△A1B1C1中的对应点M1的坐标(−b,a)
【解析】本题考查的是作图−旋转变换，作图−位似变换有关知识，
(1)根据网格结构找出点ABC绕点O逆时针旋转90°的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)连接AO并延长至A2，使A2O=2AO，连接BO并延长至B2，使B2O=2BO，连接CO并延长至C2，使C2O=2CO，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
(3)根据旋转的性质解答
23.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△DEF、△D′E′F′为所作．
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点即可；
(2)利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2(或−2)得到点D、E、F的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.也考查了旋转变换．
24.【答案】解：(1)如答图1，△A1B1C1即为所求;
(2)如答图2，△A2B2C2即为所求．
【解析】本题主要考查位似变换和旋转变换，掌握相关性质是解题的关键．
(1)根据位似变换的性质，确定位似比，进而得到对应点，即可画出图形；
(2)根据旋转变换的性质，结合网格特点作图即可．
25.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1就是所求三角形．
(2)如图所示，△A2B2C2就是所求三角形，
∵A(−1,2)，B(2,1)，C(4,5)，△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，
∴A2(−2,4)，B2(4,2)，C2(8,10)，
∴S△A2B2C2=8×10−12×6×2−12×4×8−12×6×10=28．
【解析】本题考查作图−位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义，属于中考常考题型．
(1)画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；
(2)连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；再根据图形，利用矩形面积减去周围直角三角形的面积，求解即可．
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