初中数学苏科版九年级下册5.5 用二次函数解决问题练习题

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考察题型一 几何最值问题
1．如图，中，，，为中点，、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 4 时，的面积最大．
2．桐华农场准备利用如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形家禽养殖场（篱笆只围，两边），并在，两边上各开一个宽的门，设．
（1）若养殖场的面积为，求：关于的函数表达式；
（2）若在直角墙角内点处有一水池，且与墙，的距离分别是7米，21米，要将这个水池围在矩形养殖场内（含边界，不考虑水池的尺寸），则养殖场的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
3．如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为．（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，说明理由．
（2）因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值．
考察题型二 利润最值问题
1．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于55元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于1600元，则每天的销售量最少应为多少件？
2．商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．
（1）该商场平均每月可售出 件商品（用含的代数式表示）；
（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？
（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随增大而减小，求的取值范围．
3．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
（3）在（2）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【分段】
4．某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表：
设该商品的日销售利润为元．
（1）求出与的函数关系式；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
5．为增强民众生活幸福感，县政府大力推进老旧小区改造工程．电厂小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元．
（1）当时，求与的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3.5倍时．
①求出的取值范围；
②如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用（元）最少？最少是多少元？
考察题型三 抛物线型问题
1．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数关系是，汽车刹车后到停下来前进了 ．
2．掷实心球是某市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，此时离地面3.6米，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 米．
3．如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与的距离为 米．
4．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球与点的水平距离为时，达到最高，球网与点的水平距离为．高度为，球场的边界距点的水平距离为，则下列判断正确的是
A．球不会过网B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界D．无法确定
5．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加 ．
6．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为0.9米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点水平距离为米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则的取值范围是 ．
7．如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽为，此时拱桥的最高点到水面的距离为．
（1）把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
（2）当水面宽时，达到警戒水位，如果水位以的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
8．跳绳是一项很好的健身活动，如图是小明跳绳运动时的示意图，建立平面直角坐标系如图所示，甩绳近似抛物线形状，脚底、相距，头顶离地，相距的双手、离地均为．点、、、、在同一平面内，脚离地面的高度忽略不计．小明调节绳子，使跳动时绳子刚好经过脚底、两点，且甩绳形状始终保持不变．
（1）求经过脚底、时绳子所在抛物线的解析式．
（2）判断小明此次跳绳能否成功，并说明理由．
1．某超市拟于春节前50天里销售某品牌灯笼，其进价为18元个．设第天的销售价格为（元个），销售量为（个）．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律：
①与的关系式为；
②与的关系式为．
（1）求第10天的日销售利润；
（2）当时，求第几天的销售利润（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第30天到第40天的日销售利润（元）的最小值为5460元，需在当天销售价格的基础上涨元个，求的值．
2．塑料大棚（如图1）是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．一个蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分和矩形构成（如图2），矩形的一边为12米，另一边为2米．以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系（规定一个单位长度代表1米）．抛物线的顶点坐标为，其横截面有三根支架，，（三根支架均垂直于地面，且．
（1）求此抛物线对应的二次函数关系式；
（2）已知大棚共有支架300根（，，各100根），为了增加大棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，调整后仍然是抛物线的一部分且支架数量不变，对应顶点上升到（如图3）．若增加的支架，，单价为60元米（接口忽略不计），要使增加支架的费用不超过12000元，求大棚向上调整高度的最大值．
3．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到个绿化带，直接写出的取值范围．时间：第（天）（，为整数）
日销售价（元件）
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日销售量（件