初中数学苏科版九年级下册5.2 二次函数的图象和性质一课一练

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考察题型一 用配方法将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式
1．用配方法将二次函数化为的形式为
A．B．C．D．
【详解】解：．
故本题选：．
2．把化成的形式是
A．B．C．D．
【详解】解：．
故本题选：．
考察题型二 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质
【开口】
1．二次函数图象的开口方向是 ．
【详解】解：二次函数的二次项系数，
抛物线开口向下．
故本题答案为：向下．
2．已知关于的二次函数的图象开口向下，则 ．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，
，解得：．
故本题答案为：．
【对称轴】
3．(1)已知函数，则该函数图象的对称轴方程为 ；
(2)已知二次函数的对称轴为直线，则的值是 ．
【详解】解：(1)，
该函数图象的对称轴方程为，
故本题答案为：；
(2)二次函数，它的对称轴为直线，
，解得：，
故本题答案为：5．
4．(1)二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线 ；
(2)已知实数，，满足，且，，则抛物线的对称轴为 ．
【详解】解：(1)点和的纵坐标相同，
点和是抛物线的对称点，
而这两个点关于直线对称，
抛物线的对称轴为直线，
故本题答案为；
(2)，，
抛物线经过点和，
对称轴为直线，
故本题答案为：直线．
【顶点坐标】
5．抛物线的顶点坐标是 ．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标是．
故本题答案为：．
6．(1)已知二次函数的图象的顶点在轴上，则的值是 ；
(2)已知抛物线的顶点在直线上，求抛物线的顶点坐标．
【详解】解：(1)二次函数的图象的顶点在轴上，
，解得：，，
故本题答案为：6或；
(2)抛物线的顶点坐标为，，
,
点在直线上，
，
．
【增减性】
7．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
点、、到对称轴的距离分别为2、1、3，
．
故本题选：．
8．(1)关于的二次函数在轴右侧随的增大而减小，则的范围为
A．B．C．D．
(2)已知关于的二次函数，当时，的值随的增大而减小，则的取值范围为 ．
【详解】解：(1)关于的二次函数的对称轴为直线，
，且在轴右侧随的增大而减小，
，解得：，
故本题选：；
(2)当时，的值随的增大而减小，
抛物线开口向上，
，且对称轴，
，
故本题答案为：．
9．关于的二次函数（为整数），当时，随的增大而减小，则常数满足的条件是
A．B．C．D．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
．
故本题选：．
【最小值】
10．二次函数的最大值为
A．B．2C．5D．9
【详解】解：(1)化成顶点式，
抛物线开口向下，顶点为，
函数的最大值为5．
故本题选：．
11．二次函数在的范围内有最小值，则的值是 ．
二次函数转化成顶点坐标式为，
且二次函数的开口向下，对称轴为，
当时，二次函数有最小值为，
，解得：．
故本题答案为：3．
12．二次函数的最小值是 ，最大值是 ．
【详解】解：(1)，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
将代入得，
时，函数最小值为，最大值为1，
故本题答案为：，1．
13．已知二次函数．
（1）直接写出二次函数图象的顶点坐标 ；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）当时，的取值范围是 ．
【详解】解：（1），
抛物线顶点坐标为，
故本题答案为：；
（2）如图，
（3）将代入得：，
抛物线顶点坐标为，
当时，，
故本题答案为：．
14．已知二次函数在时，取得的最大值为15，则的值为
A．1B．2C．3D．4
【详解】解：二次函数，
抛物线的对称轴为，顶点，
当时，，
又当时，，且取得的最大值为15，
当时，，
即，解得：或，
．
故本题选：．
15．若二次函数的图象上两点，，满足．当时，该函数的最大值为，则的值为 ．
【详解】解：二次函数的图象上两点，，
，
，
，
，
当时，该函数的最大值为，
时，函数有最大值，
解得：．
故本题答案为：．
考察题三 根据题目条件识别二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像
1．如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是
A．点B．点C．点D．点
【详解】解：二次函数，
对称轴为直线，
点是原点．
故本题选：．
2．在同一直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是
A．B．
C．D．
【详解】解：当时，
一次函数过一二三象限，
抛物线开口向上，对称轴，故、不合题意；
当时，
一次函数过二三四象限，
抛物线开口向下，对称轴，故不合题意．
故本题选：．
3．已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为
A．B．
C．D．
【详解】解：，
，故，选项不合题意；
当时，
，
对称轴，故选项不合题意；
当时，
，
对称轴，故选项符合题意．
故本题选：．
4．已知时，二次函数的图象如下列四个图之一所示：
根据图象分析，的值等于
A．B．C．1D．2
【详解】解：前两个图象的对称轴是轴，
，
又，
，与矛盾；
第三个图的对称轴，
又，
，与矛盾；
第四个图的对称轴，
又，
，与题设相符，故第四个图正确，
又第四个图过原点，
将代入解析式得：，
解得：，
．
故本题选：．
考察题型四 根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像进行推理判断
1．小丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【详解】解：函数图象与轴的交点在轴的负半轴可知：，
①正确；
函数图象开口向上，
，
由函数的对称轴在的正半轴上可知：，
，
由①知：，
，
②错误；
由函数的图象可知：当时，，
，
③正确；
，，
，
，
④错误；
由函数的图象可知：时，，
，
⑤正确；
综上，正确的有①③⑤．
故本题选：．
2．如图为二次函数的图象，下列说法：①；②；③；④当时，随的增大而增大；⑤；⑥对于任意实数，均有．正确的说法有
A．①④⑤⑥B．①②③⑤C．①③④⑥D．①②⑤⑥
【详解】解：由图象可知：，，，
，故①正确；
抛物线与轴的两个交点的横坐标为和3，
抛物线的对称轴为直线，
，即，故②正确；
由图象可知：抛物线的顶点坐标在轴下方，
当时，函数值小于0，
，故③错误；
抛物线的对称轴是直线，且开口向上，
时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故④错误；
抛物线经过点，
，
又，
，故⑤正确；
当时，函数有最小值，最小值为，
又当时，，
，即，故⑥正确．
故本题选：．
考察题型五 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像变换
【上加下减，左加右减】
1．将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数的图象的表达式是 ．
【详解】解：，
抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
平移后的函数关系式是：．
故本题答案为：．
2．抛物线可由抛物线平移得到，平移方法可以是
A．先向左平移3个单位，再向下平移5个单位
B．先向右平移6个单位，再向上平移5个单位
C．先向右平移3个单位，再向下平移14个单位
D．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位
【详解】解：，
该抛物线的顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是，
平移的方法可以是：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移14个单位．
故本题选：．
3．在平面直角坐标系中，函数的图象经变换后得到函数的图象，则这个变换可以是
A．向左平移2个单位B．向左平移4个单位
C．向右平移2个单位D．向右平移4个单位
【详解】解：，顶点坐标是，
且，顶点坐标是．
将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．
故本题选：．
4．将抛物线向下平移2个单位长度后，经过点，则的值是 ．
【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度后，经过点，
原抛物线经过，
，
．
故本题答案为：3．
5．已知二次函数的图象如图所示．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方法．
【详解】解：（1）将代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
该抛物线的顶点坐标为；
（2）设平移后抛物线解析式为：，
将点代入得：．
解得：或．
故将该抛物线向左平移3个单位或向右平移1个单位，使其经过坐标原点．
【关于x轴或y轴对称】
6．已知抛物线，则该抛物线关于轴对称的抛物线的函数关系式为 ．
【详解】解：抛物线与抛物线关于轴对称，
当横坐标相等时，纵坐标互为相反数，
，
，
故本题答案为：．
7．已知抛物线：．
（1）请写出抛物线的对称轴：直线 ；
（2）时，将该抛物线沿轴翻折，得到新的抛物线对应的函数表达式是 ；
（3）若抛物线的顶点在轴上，求的值．
【详解】解：（1），
对称轴为直线，
故本题答案为：；
（2）当时，，
该抛物线沿轴翻折，得到新的抛物线对应的函数表达式是，
即；
（3）抛物线的顶点在轴上，
，
解得：．
8．将抛物线关于轴对称，所得到的抛物线解析式为 ．
【详解】解：，其顶点坐标是，
关于轴对称的顶点坐标是，
与抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为，
即．
故本题答案为：．
9．已知二次函数的顶点为，且经过点．
（1）求顶点的坐标；
（2）把该二次函数以轴为对称轴作轴对称变换，求变化后的函数表达式．
【详解】解：（1）将点代入得：．
解得：，
该抛物线解析式为，
，
顶点的坐标为；
（2）将此抛物线沿轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式为．
【绕原点或顶点旋转180°】
10．将抛物线绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为 ．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，
将抛物线绕原点旋转180度后，抛物线的顶点坐标为，且开口方向相反，
所得抛物线解析式为．
故本题答案为：．
11．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着顶点旋转后，所得抛物线的解析式为 ．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为，
将抛物线绕着顶点旋转后，抛物线的顶点坐标不变，且开口方向相反，所得抛物线的解析式为．
故本题答案为：．
考察题型六 构造二次函数求最值
1．已知实数，满足，则代数式的最大值为 ．
【详解】解：由得：，
，
故本题答案为：．
2．二次函数的顶点纵坐标为，当时，的最大值为 ．
【详解】解：，
抛物线的顶点为，
，
当时，，
当时，的最大值为3．
故本题答案为：3．
3．已知，则的最小值是
A．8B．C．D．9
【详解】解：，
，
，
，
，
，，
时最小值是8．
故本题选：．
4．已知抛物线（为整数）经过点，，，当时，则的取值范围为
A．B．C．D．
【详解】解：抛物线（为整数）经过点，，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线为，
抛物线（为整数）经过点，，
，
，
，
，
，
，
．
故本题选：．
1．当时，二次函数的最小值为，则的值为
A．2B．C．2或D．2或
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
①当时，若时，随的增大而增大，
当时，有最小值，
，
（不合题意，舍去）；
②当时，，有最小值，
，
，
（不合题意，舍去）或；
③当时，若，随的增大而减小，
当时，有最小值，
，
（不合题意，舍去）；
综上：．
故本题选．
2．已知非负数，，满足，，设的最大值为，最小值为，则的值为
A．9B．8C．1D．
【详解】解：，，
，，
，
，都是非负数，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
，
又是非负数，
，
的对称轴为直线，
时，最小值，
时，最大值，
．
故本题选：．
3．在平面直角坐标系中．设函数，其中为常数，且．
（1）当，时，求的值．
（2）若函数的图象同时经过点、，求的值．
（3）已知点和在函数的图象上，且，求的取值范围．
【详解】解：（1）函数的图象经过点得：，
解得：，；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
函数的图象同时经过点，，
，解得：；
（3），
，
又，
，
，
．
4．已知，二次函数．
（1）若该图象过点，求的值；
（2）当时，的最大值是，求的值；
（3）当时，若，，在函数图象上，且，求的取值范围．
【详解】解：（1）把点代入中，得，
解得：；
（2）抛物线的对称轴为直线，
①当时，
当时，的最大值是，
当时，，
把代入中得：，
②当时，
当时，的最大值是，
当时，，
把代入中得：，
综上，的值为或；
（3），
二次函数对称轴为直线，
当时，
当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，
，且，
点距离对称轴最远，点距离对称轴最近，
，
解得：．
的取值范围为．
5．（1）已知函数，当，时，恒成立，求实数的取值范围．
（2）已知函数，若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
【详解】解：（1），
的对称轴为直线，
①当时，在，上随着的增大而减小，
，解得：，
，
②当时，当时，最小，
，解得：，
，
③当时，在，上随着的增大而增大，
，解得：，
，
综上，当，时，恒成立时，实数的取值范围为；
（2）作出二次函数的大致图象如图所示：
对于任意，都有成立，
，解得：，
实数的取值范围为．
6．在平面直角坐标系中，点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称．在实数范围内定义函数（其中为常数）的图象为．
（1）当点在上时，则的值是 ；
（2）求点在上时，求的值；
（3）当最小值的取值范围是时，请直接写出的取值范围．
【详解】解：（1）将点代入得：，
；
（2）点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称，
点的坐标为，
①当时，即时，
将点代入得：，
解得：（舍去），
②当时，即时，
将点代入得：，
解得：（舍去负值），
综上，；
（3）①当图形上最低点落在函数的图象上时，最低点坐标为，
，解得：，
②当图形上最低点落在函数的图象上时，最低点坐标即顶点坐标为，
，解得：；
令，解得：，
当时，为最低点，
当时，为最低点；
综上，的取值范围为：或．