2022-2023学年湖南省长沙市华益中学八年级（下）期末数学试卷及参考答案

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市华益中学八年级（下）期末数学试卷及参考答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x≠2D．x≤﹣2
2．（3分）如图图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一个解，则a的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
4．（3分）如图，点A、B、C在圆O上，若∠A＝50°，则∠OBC 的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
5．（3分）已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定
6．（3分）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象与x轴的交点坐标为（0，4）
D．函数的图象向下平移4个单位长度得到y＝﹣2x的图象
7．（3分）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
8．（3分）关于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下
B．图象顶点坐标是（﹣2，﹣1）
C．当x＞0时，y随x增大而减小
D．图象与x轴有两个交点
9．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
10．（3分）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现当x＝3时，y＝﹣6；丙同学发现函数的最小值为﹣8；丁同学发现x＝3是一元二次方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0无实数根，则a的取值范围是 ．
12．（3分）已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O位置关系是 （选填“相离，相切，相交”）．
13．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若AC＝5，AB＝10，BC＝9．则△DEF的周长为 ．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示．则关于x的一元一次不等式kx＜mx+n的解集是 ．
15．（3分）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，函数y的最大值为 ．
16．（3分）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则a与c的数量关系是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分。）
17．（6分）已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．
18．（6分）（1）已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+（c+2）2＝0，求关于x的方程ax2+bx+c＝0的根．
（2）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0）三点，求该二次函数的解析式．
19．（6分）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝﹣x2+2x+3的“图象数”为[﹣1，2，3]
（1）二次函数y＝x2﹣x﹣1的“图象数”为 ．
（2）若“图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
20．（8分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台．
（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？
21．（8分）在4月24日“中国航天日”来临之际，某校开展以“航天点亮梦想”为主题的知识竞赛．七、八年级根据初赛成绩各选出6名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两队各选出的6名选手的决赛成绩如下所示：
七年级：65，80，80，90，95，100
八年级：75，80，85，85，90，95
（1）以上成绩统计分析表如表所示：则表中α＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）结合表中的各个统计量进行分析，你觉得哪个队的决赛成绩较好？
22．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．
23．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y＝2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x＝2，交x轴于点B．
（1）求M点的坐标及a，b的值；
（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，当m为多少时，s＝．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上的两点，C在G的左侧（均在直径AB的上方），连接AC，BC，OC，OG，CG，∠GOB＝2∠B．分别过C，G作CE⊥AB于E，交⊙O于D，作GF⊥AB于F．
（1）证明：四边形CEFG是矩形；
（2）①若AC＝6，BC＝8．求弦CD的长；
②若四边形AOGC是菱形，，求⊙O的半径；
（3）记△ACE的面积为S1，△BCE的面积为S2，△ABC的面积为S，若满足，求的值．
25．（10分）年少的岁月里，约定是令人欣喜的！我们不妨约定：关于原点对称的一对点（不重合）称为一对“双子星”，图象至少经过一对“双子星”的函数称为“双子星函数”．
（1）若和B（﹣1，t2﹣2t+1）是一对“双子星”，则s＝ ，t＝ ；
（2）已知关于x的函数y＝x2﹣3x﹣1和y＝kx+p（其中k，p为常数）
①求出“双子星函数”y＝x2﹣3x﹣1图象上所有的“双子星”；
②关于x的函数y＝kx+p的图象是否存在“双子星”，如果有，指出共有多少对“双子星”，如果没有，请说明理由；
（3）已知“双子星函数”y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，a≠0）的图象经过不同的两点P（4﹣m，n）和Q（m，n），（其中m，n为常数）并且满足以下2个条件：①a+b+c＝1；②当a≤x≤a+1时，该函数的最小值为4a+1，求二次项系数a的值．
2022-2023学年湖南省长沙市华益中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x≠2D．x≤﹣2
【分析】被开方数x+2大于0，求解即可．
【解答】解：根据题意，x+2＞0，
解得x＞﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围，一般考虑被开方数非负数，分母不等于0．
2．（3分）如图图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一个解，则a的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值．
【解答】解：∵x＝1是方程的解，
∴1+1+2a＝0，
∴a＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．
4．（3分）如图，点A、B、C在圆O上，若∠A＝50°，则∠OBC 的度数为（ ）
A．40°B．45°C．50°D．55°
【分析】根据圆周角定理求得∠BOC的度数，然后利用三角形内角和定理及等边对等角即可求得答案．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形性质，它们均为几何中重要知识点，必须熟练掌握．
5．（3分）已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OA＝5＞3，
∴点A在⊙O外，
故选：C．
【点评】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
6．（3分）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（ ）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象与x轴的交点坐标为（0，4）
D．函数的图象向下平移4个单位长度得到y＝﹣2x的图象
【分析】根据一次函数的性质，平移的规律以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．
【解答】解：A、一次项系数小于0，则函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，不符合题意．
B、函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，不符合题意；
C、当y＝0时，x＝2，则函数图象与x轴交点坐标是（2，0），故C结论错误，符合题意．
D、函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x+4﹣4＝﹣2x，故D结论正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
7．（3分）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【分析】连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝8，然后利用勾股定理计算出OA即可．
【解答】解：连接OA，如图，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝×16＝8，
在Rt△OAE中，OA＝＝＝10，
即⊙O半径为10．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
8．（3分）关于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下
B．图象顶点坐标是（﹣2，﹣1）
C．当x＞0时，y随x增大而减小
D．图象与x轴有两个交点
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
【解答】解：因为a＝﹣1＜0，所以图象开口向下，
故A正确；
顶点坐标是（﹣2，﹣1），
故B正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣2．
∴当x＞﹣2时，y随x增大而减小，
∴当x＞0时，y随x增大而减小，
故C正确；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，﹣1）
∴抛物线与x轴没有交点，
故D错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
9．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【分析】把点的坐标分别代入可求得y1，y2，y3的值，比较大小可求得答案．
【解答】解：
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，
∴y1＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+2＝2，y2＝﹣1﹣2+2＝﹣1，y3＝﹣22﹣2×2+2＝﹣6，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
10．（3分）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx﹣6（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现当x＝3时，y＝﹣6；丙同学发现函数的最小值为﹣8；丁同学发现x＝3是一元二次方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成立．
【解答】解：当甲同学的结论正确，
即当函数的对称轴是直线x＝1时，，
即b＝﹣2a；
当乙同学的结论正确，
即当x＝3时，y＝﹣6时，9a+3b﹣6＝﹣6，
可得b＝﹣3a；
当丙同学的结论正确，
即当函数的最小值为﹣8时，，
可得b2＝8a；
当丁同学的结论正确，
即当x＝3时，一元二次方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根时，9a+3b﹣6＝0，
可得b＝2﹣3a；
根据b＝﹣3a和b＝2﹣3a不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，
假设丁同学的结论错误，联立b＝﹣2a和b＝﹣3a，
得a＝0，b＝0，不满足a≠0，
故假设不成立；
假设乙同学的结论错误，联立b＝﹣2a和b＝2﹣3a，
得a＝2，b＝﹣4，此时满足b2＝8a，
故假设成立；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0无实数根，则a的取值范围是 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：一元二次方程x2﹣3x+a＝0无实数根，
∴（﹣3）2﹣4a＜0，
解得，
故答案为：．
【点评】此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0时方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0时方程没有实数根．
12．（3分）已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O位置关系是 相交 （选填“相离，相切，相交”）．
【分析】根据⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，4＞3，即可得．
【解答】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，4＞3，
∴直线l与⊙O位置关系是相交，
故答案为：相交．
【点评】本题考查圆与直线的位置关系，解题的关键是理解题意，掌握圆与直线的位置关系．
13．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，若AC＝5，AB＝10，BC＝9．则△DEF的周长为 12 ．
【分析】由于D、E分别是AB、AC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE＝BC，同理有EF＝AB，DF＝AC，于是易求△DEF的周长．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
同理有EF＝AB，DF＝AC，
∴△DEF的周长＝（AC+BC+AB）＝×（10+5+9）＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示．则关于x的一元一次不等式kx＜mx+n的解集是 x＞﹣1 ．
【分析】写出直线y＝kx在直线y＝mx+n下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：根据图象可知：两函数的交点为（﹣1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＜mx+n的解集是x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
15．（3分）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，函数y的最大值为 5 ．
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，
∴对称轴是：x＝﹣1，
∵a＝1＞0，
∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．
16．（3分）定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则a与c的数量关系是 a＝c ．
【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，又a﹣b+c＝0，即b＝a+c，代入b2﹣4ac＝0得（a+c）2﹣4ac＝0，化简即可得到a与c的关系．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蝴蝶”方程，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c，
故答案为：a＝c．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，关键是熟练掌握：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分。）
17．（6分）已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标；
（2）把这些点按A﹣D﹣B﹣C﹣A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，
∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，
解得a＝1，b＝﹣1，
∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），
∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（﹣3，1）；
（2）如图所示：
四边形ADBC的面积为：．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
18．（6分）（1）已知a，b，c均为实数，且+|b+1|+（c+2）2＝0，求关于x的方程ax2+bx+c＝0的根．
（2）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0）三点，求该二次函数的解析式．
【分析】（1）利用非负数的性质得到a﹣2＝0，b+1＝0，c+2＝0，再求出a、b、c，从而确定一元二次方程，然后利用公式法解方程；
（2）设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把C（0，﹣3）代入求出a即可．
【解答】解：（1）∵+|b+1|+（c+2）2＝0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，c+2＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0化为2x2﹣x﹣2＝0，
△＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣2）＝17，
x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得﹣3＝a•1•（﹣3），解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了非负数的性质．
19．（6分）新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝﹣x2+2x+3的“图象数”为[﹣1，2，3]
（1）二次函数y＝x2﹣x﹣1的“图象数”为 [，﹣1，﹣1] ．
（2）若“图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
【分析】（1）利用“图象数”的定义求解；
（2）根据新定义得到二次函数的解析式为y＝mx2+（m+1）x+m+1，然后根据判别式的意义得到△＝（m+1）2﹣4m（m+1）＝0，从而解m的方程即可．
【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣x﹣1的“图象数”为[，﹣1，﹣1]；
故答案为[，﹣1，﹣1]；
（2）二次函数的解析式为y＝mx2+（m+1）x+m+1，
根据题意得△＝（m+1）2﹣4m（m+1）＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
20．（8分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020年出口量为20万台，2022年出口量增加到45万台．
（1）求2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？
（2）按照这个增长速度，预计2023年我国新能源汽车出口量为多少？
【分析】（1）根据2020年某款新能源车销售量为20万辆，到2022年销售量为45万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一元二次方程；
（2）利用（1）中所求，进而利用2023年出口量＝2022年出口量×（1+增长率），即可得出答案．
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，
根据题意可列方程：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5，x2＝﹣2.5（不合题意舍去），
答：2020年到2022年新能源汽车出口量的年平均增长率是50%；
（2）由（1）得，45×（1+50%）＝67.5（万），
答：预计2023年我国新能源汽车出口量为67.5万辆．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（8分）在4月24日“中国航天日”来临之际，某校开展以“航天点亮梦想”为主题的知识竞赛．七、八年级根据初赛成绩各选出6名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两队各选出的6名选手的决赛成绩如下所示：
七年级：65，80，80，90，95，100
八年级：75，80，85，85，90，95
（1）以上成绩统计分析表如表所示：则表中α＝ 85 ，b＝ 80 ，c＝ 85 ．
（2）结合表中的各个统计量进行分析，你觉得哪个队的决赛成绩较好？
【分析】（1）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可；
（2）利用方差的意义求解即可．
【解答】解：（1）七年级6名选手的平均分是：＝85，众数是80，
八年级6名选手的成绩是：75，80，85，85，90，95，故中位数是＝85，
故答案为：85，80，85；
（2）∵s2八年级＝，s2七年级＝，
∵＜，
故八年级的决赛成绩较好．
【点评】本题主要考查方差、中位数、众数及平均数，解题的关键是掌握方差、中位数、众数及平均数的定义及中位数和方差的意义．
22．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0．
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）若方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β满足α2+β2＝9，求m的值．
【分析】（1）根据Δ＝9﹣4（2﹣m2﹣m）＝4m2+4m+1＝（2m+1）2≥0，即Δ≥0，即可得出结论；
（2）根据两根之和以及两根之积得α+β＝3，αβ＝2﹣m2﹣m，代入α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝9﹣2（2﹣m2﹣m）＝5+2m2+2m＝9，计算即可．
【解答】（1）证明：Δ＝9﹣4（2﹣m2﹣m）＝4m2+4m+1＝（2m+1）2，
∵无论m为何实数，总有（2m+1）2≥0，即Δ≥0，
∴无论m为何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程x2﹣3x+2﹣m2﹣m＝0，的两个实数根α、β，
∴α+β＝3，αβ＝2﹣m2﹣m，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝9﹣2（2﹣m2﹣m）＝5+2m2+2m＝9，
解得m＝1或﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac和一元二次方程的根与系数的关系：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
23．（9分）如图，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y＝2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x＝2，交x轴于点B．
（1）求M点的坐标及a，b的值；
（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，当m为多少时，s＝．
【分析】（1）通过直线y＝2x确定M点的坐标，然后利用对称轴方程和二次函数图象上点的坐标特征列关于a、b的方程组，再解方程组得到a、b的值；
（2）设P（m，﹣m2+4m），利用三角形面积公式得到×2×（﹣m2+4m）＝，然后解方程求出即可得到满足条件的m的值．
【解答】解：（1）将x＝2代入y＝2x得y＝4
∴M（2，4），
根据题意得，解得；
（2）抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，
设P（m，﹣m2+4m），B（2，0）
∵×2×（﹣m2+4m）＝，
m2﹣4m＝﹣，
解得m1＝，m2＝，
∵P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，
∴m的值为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上的两点，C在G的左侧（均在直径AB的上方），连接AC，BC，OC，OG，CG，∠GOB＝2∠B．分别过C，G作CE⊥AB于E，交⊙O于D，作GF⊥AB于F．
（1）证明：四边形CEFG是矩形；
（2）①若AC＝6，BC＝8．求弦CD的长；
②若四边形AOGC是菱形，，求⊙O的半径；
（3）记△ACE的面积为S1，△BCE的面积为S2，△ABC的面积为S，若满足，求的值．
【分析】（1）利用圆周角定理推出∠GOF＝∠COE，再证明△GOF≌△COE（AAS），推出CE＝GF，据此即可证明四边形CEFG是矩形；
（2）①利用勾股定理求得AB的长，利用面积关系求得CE的长，再利用垂径定理即可求解；②证明△OAC、△OGC都是等边三角形，求得∠A＝60°，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；
（3）由已知，得（S2﹣4S1）（S2+S1）＝0，得到S2＝4S1，推出BE＝4AE，设AE＝a，则BE＝4a，AB＝5a，证明△ACE∽△CBE，利用相似三角形的性质求得CE＝2a，再利用垂径定理求得CD＝2CE＝4a，据此即可求解．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，GF⊥AB，
∴∠CEO＝∠GFO＝90°，CE∥GF，
∵∠GOB＝2∠B，∠COA＝2∠B，
∴∠GOF＝∠COE，
又∵OG＝OC，
∴△GOF≌△COE（AAS），
∴CE＝GF，
∴四边形CEFG是平行四边形，
∵∠CEO＝∠GFO＝90°，
∴四边形CEFG是矩形；
解：（2）①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴CE＝DE，
∵AC＝6，BC＝8，
∴，
∵，
∴，
∴弦；
②∵四边形AOGC是菱形，
∴AC＝OA＝OG＝CG，
又∵OA＝OC＝OG，
∴△OAC、△OGC都是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∵AC2+BC2＝AB2，
即，
∴AC＝2，AB＝4，
∴⊙O的半径为2；
（3）由题意得S＝S1+S2，
∵，
∴，
即，
而S2+S1≠0，
∴S2﹣4S1＝0，即S2＝4S1，
∴BE＝4AE，
设AE＝a，则BE＝4a，AB＝AE+BE＝5a，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝∠B，
∵CE⊥AB，
∴∠ACE＝∠BCE＝90°，
∴△ACE∽△CBE，
∴，即CE2＝AE×BE＝4a2，
∴CE＝2a，
由（2）得CD＝2CE＝4a，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，因式分解，矩形的判定，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
25．（10分）年少的岁月里，约定是令人欣喜的！我们不妨约定：关于原点对称的一对点（不重合）称为一对“双子星”，图象至少经过一对“双子星”的函数称为“双子星函数”．
（1）若和B（﹣1，t2﹣2t+1）是一对“双子星”，则s＝ ﹣ ，t＝ 3或﹣1 ；
（2）已知关于x的函数y＝x2﹣3x﹣1和y＝kx+p（其中k，p为常数）
①求出“双子星函数”y＝x2﹣3x﹣1图象上所有的“双子星”；
②关于x的函数y＝kx+p的图象是否存在“双子星”，如果有，指出共有多少对“双子星”，如果没有，请说明理由；
（3）已知“双子星函数”y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，a≠0）的图象经过不同的两点P（4﹣m，n）和Q（m，n），（其中m，n为常数）并且满足以下2个条件：①a+b+c＝1；②当a≤x≤a+1时，该函数的最小值为4a+1，求二次项系数a的值．
【分析】（1）根据和B（﹣1，t2﹣2t+1）是一对“双子星”，根据关于原点对称的点的坐标关系可构造方程求解；
（2）①设点（m，n）和（﹣m，﹣n）是“双子星函数”y＝x2﹣3x﹣1图象上所有的“双子星”，代入可得关于m，n的方程组，解方程组即可解决；
②设点（m，n）和（﹣m，﹣n）是关于x的函数y＝kx+p的图象上的“双子星”点，代入可得关于m，n的方程组，整理得km＝km+p．根据p的值分两种情况讨论m的值，从而得到函数y＝kx+p的图象上“双子星”点的情况；
（3）设“双子星函数”y＝ax2+bx+c的图象上的“双子星”点为（u，v）和（﹣u，﹣v），代入则有方程组，整理可得，由u2≥0得到．根据函数y＝ax2+bx+c的图象经过不同的两点P（4﹣m，n）和Q（m，n）得到对称轴为x＝2，因此b＝﹣4a，由a+b+c＝1得到c＝3a+1，从而函数解析式为y＝ax2﹣4ax+3a+1．由于a≤x≤a+1时，函数的最小值为4a+1，因此分三种情况讨论：①当x＝a时，函数取得最小值4a+1，则4a+1＝a3﹣4a2+3a+1，求解得到a的值，再根据进行判断；②当x＝a+1时，函数取得最小值4a+1，则4a+1＝a（a+1）2﹣4a（a+1）+3a+1，求解得到a的值，再根据进行判断；③当a＞0，函数在对称轴x＝2时取得最小值4a+1，则4a+1＝4a﹣8a+3a+1，求解a，再判断．综合即可得到a的值．
【解答】解：（1）∵点和B（﹣1，t2﹣2t+1）是一对“双子星”，即它们关于原点对称，
∴，t2﹣2t+1＝4，
∴，t＝3或t＝﹣1．
故答案为：，3或﹣1；
（2）①设点（m，n）和（﹣m，﹣n）是“双子星函数”y＝x2﹣3x﹣1图象上所有的“双子星”，
∴，
∴解得或，
∴“双子星函数”y＝x2﹣3x﹣1图象上所有的“双子星”为（1，﹣3）和（﹣1，3）．
②设点（m，n）和（﹣m，﹣n）是关于x的函数y＝kx+p的图象上的“双子星”点，
则有，
两式相减，得n＝km，
∴km＝km+p．
若p＝0，则m有无数个解，即函数y＝kx+p的图象上有无数个“双子星”点；
若p≠0，则km＝km+p无解，即函数y＝kx+p的图象上没有“双子星”点．
∴对于函数y＝kx+p的图象，若p＝0，它有无数个“双子星”点；若p≠0，它没有“双子星”点．
（3）设“双子星函数”y＝ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，a≠0）的图象上的“双子星”点为（u，v）和（﹣u，﹣v），则
，
两式相加，得au2+c＝0，
∵a≠0，
∴，
∵u2≥0，
∴，即．
∵函数y＝ax2+bx+c的图象经过不同的两点P（4﹣m，n）和Q（m，n），
∴对称轴为直线，
∴，
∴b＝﹣4a．
∵a+b+c＝1，
∴c＝1﹣a﹣b＝1﹣a+4a＝3a+1，
∴函数y＝ax2+bx+c为y＝ax2﹣4ax+3a+1．
∵当a≤x≤a+1时，函数的最小值为4a+1，
∴分三种情况讨论：
①当x＝a时，函数取得最小值4a+1，
∴4a+1＝a3﹣4a2+3a+1，
解得：a＝0（舍去）或或，
若，则，，舍去；
若，则，，满足题意．
②当x＝a+1时，函数取得最小值4a+1，则4a+1＝a（a+1）2﹣4a（a+1）+3a+1，
∴a＝0（舍去）或或，
若，则，，舍去；
若，则，，舍去．
③当a＞0，x＝2时，函数取得最小值4a+1，
∴4a+1＝4a﹣8a+3a+1，
∴a＝0，舍去．
综上所述，．
【点评】本题考查二次函数的图象性质，关于原点对称的点的坐标变化规律，解整式方程与分式方程，综合运用各个知识是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/3 22:25:16；用户：杨老师；邮箱：18674391680；学号：37305232平均分（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
七年级
α
85
b

八年级
85
c
85

平均分（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
七年级
α
85
b

八年级
85
c
85