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2022-2023学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（下）期末数学试卷及参考答案
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（下）期末数学试卷及参考答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝x2+1C．y＝D．y＝﹣
2．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8B．众数是9C．平均数是8D．方差是0
3．（3分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≤2C．x≥﹣2D．x≤﹣2
4．（3分）以下列各组数为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．6，8，10C．4，6，8D．5，12，11
5．（3分）一次函数y＝4x+2的图象经过第（ ）象限．
A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四
6．（3分）一元二次方程（x﹣6）（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝6B．x＝﹣2
C．x1＝6，x2＝﹣2D．x1＝﹣6，x2＝2
7．（3分）菱形ABCD的对角线为线段AC、BD，若AC＝8，BD＝12，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．12B．24C．36D．48
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．32B．24C．16D．8
9．（3分）今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+10000B．y＝﹣3x+8000
C．y＝﹣2x+4000D．y＝﹣4x+5000
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④当x＜0时，y随x增大而增大．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝﹣7x+9与y轴的交点坐标为 ．
12．（3分）如图，∠ABC＝90°，CB＝4，AC＝5，则阴影部分的面积是 ．
13．（3分）把方程x2+4x+4＝0变形为（x+h）2＝k的形式后，h+k＝ ．
14．（3分）关于x的方程x2﹣nx+9＝0有两个相等的实数根，则n的值为 ．
15．（3分）将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，则平移后的抛物线是 ．
16．（3分）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝﹣（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 米．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAD，∠B＝70°，求∠DFC的度数．
20．（8分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x﹣5与y2＝2x﹣4．
（1）求这两个函数图象的交点坐标；
（2）求一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积．
21．（8分）钟南山院士在谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量减少走亲访友，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜，健康才是幸福，”某小区防控小组为了了解小区每户家庭每周外出的次数，在外出登记册上随机抽取了若干户家庭，并对所抽家庭的外出次数进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）本次所抽取家庭每周外出的众数是 ；
（3）已知该小区共有800户家庭，请你估计该小区每周外出次数不超过3次的家庭户数．
22．（9分）长沙市政府出台了一系列“乡村振兴战略”优惠政策，使广大农户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种农产品每天的销售利润为W元．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）若物价部门规定这种农产品的销售价不得高于30元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为多少元/千克？
23．（9分）如图1，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F，连接CE．
（1）证明：△ADP≌△CDP；
（2）如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，请求出线段AP与线段CE的数量关系．
24．（10分）若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（x，y1），点Q的坐标为（x，y2），y1和y2的差构成一个新函数y，即y＝y1﹣y2．称y是y1﹣y2的“数天数函数”，P为“天数点1”，Q为“天数点2”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）已知“天数点1”为点A（x，kx+4），“天数点2”为点B（x，2x）．点C（2，3）在“数天数函数”y＝y1﹣y2图象上，求y的解析式；
（2）已知“天数点1”为点M（x，x2+3），“天数点2”为点N（x，3x），y是“数天数函数”，求x+y的最小值；
（3）关于x的方程的两个实数根x1、x2，“数天数函数”S＝S1﹣S2．若S1＝2x1，S2＝﹣x2，且S＝m+1，求m的值．
25．（10分）已知抛物线y＝（a﹣1）x2+（2a﹣7）x+a2﹣4（a为常数，a＞0）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．
（1）求a的值；
（2）若点P（8﹣t，s）和点Q（t﹣4，r）都是这个抛物线上的点，且有s＞r，求t的取值范围；
（3）设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值．如果不存在，请说明理由．
2022-2023学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝x2+1C．y＝D．y＝﹣
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、符合二次函数定义，故此选项正确；
C、右边不是整式，不是二次函数，故此选项错误；
D、右边不是整式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8B．众数是9C．平均数是8D．方差是0
【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案．
【解答】解：A、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，该选项错误，不符合题意；
B、这组数据中众数为9，该选项正确，符合题意；
C、这组数据平均数为，该选项错误，不符合题意；
D、这组数据的平均数为8.375，则方差为，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查统计综合，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的计算方法是解决问题的关键．
3．（3分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≤2C．x≥﹣2D．x≤﹣2
【分析】被开方数2﹣x大于等于0，求解即可．
【解答】解：根据题意，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围，一般考虑被开方数非负数，分母不等于0．
4．（3分）以下列各组数为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．6，8，10C．4，6，8D．5，12，11
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵12+12≠22，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+82＝102，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵42+62≠82，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵52+112≠122，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
5．（3分）一次函数y＝4x+2的图象经过第（ ）象限．
A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝4x+2中，k＝4＞0，b＝2＞0，
∴函数图象经过一、二、三象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键，
6．（3分）一元二次方程（x﹣6）（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝6B．x＝﹣2
C．x1＝6，x2＝﹣2D．x1＝﹣6，x2＝2
【分析】利用因式分解法直接解方程即可．
【解答】解：（x﹣6）（x+2）＝0，
可得x﹣6＝0或x+2＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的方法及根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
7．（3分）菱形ABCD的对角线为线段AC、BD，若AC＝8，BD＝12，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．12B．24C．36D．48
【分析】根据菱形的面积公式，菱形 ABCD的面积＝AC•BD，即可得到答案．
【解答】解：在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝12，
∵AC⊥BD，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×8＝48．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．32B．24C．16D．8
【分析】根据EF∥AC，GF∥AB，可以得到四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再根据AB＝AC＝8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长．
【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，FG＝GC，
∵四边形AEFG的周长是AE+EF+FG+AG，
∴四边形AEFG的周长是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，
∵AB＝AC＝8，
∴四边形AEFG的周长是AB+AC＝8+8＝16，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，将平行四边形的周长转化为AB和AC的关系．
9．（3分）今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+10000B．y＝﹣3x+8000
C．y＝﹣2x+4000D．y＝﹣4x+5000
【分析】已知两轮电动车停车辆数为x辆次，则小汽车停车辆数为（2000﹣x）辆次，结合已知条件，根据停车总收入等于两种车的停车收入之和即可得出答案．
【解答】解：∵两轮电动车停车辆数为x辆次，
∴小汽车停车辆数为（2000﹣x）辆次，
∵两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，
∴y＝x+5（2000﹣x），
整理得：y＝﹣4x+10000，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，根据题干已知条件，找到等量关系是解题的关键．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④当x＜0时，y随x增大而增大．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对③进行判断；根据二次函数的性质可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝﹣7x+9与y轴的交点坐标为 （0，9） ．
【分析】令x＝0，求出y值，可得结果．
【解答】解：在y＝﹣7x+9中，令x＝0，则y＝9，
∴直线y＝﹣7x+9与y轴的交点坐标为（0，9）；
故答案为：（0，9）．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是掌握一次函数与坐标轴交点的意义．
12．（3分）如图，∠ABC＝90°，CB＝4，AC＝5，则阴影部分的面积是 ．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，CB＝4，AC＝5，
∴AB＝＝＝3，
∴S阴影＝π（）2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
13．（3分）把方程x2+4x+4＝0变形为（x+h）2＝k的形式后，h+k＝ 2 ．
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x+4＝0，
（x+2）2＝0，
∴h＝2，k＝0，
∴h+k＝2+0＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
14．（3分）关于x的方程x2﹣nx+9＝0有两个相等的实数根，则n的值为 6或﹣6 ．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣n）2﹣4×9＝0，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣n）2﹣4×9＝0，
解得n＝±6，
即n的值为6或﹣6．
故答案为：6或﹣6．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（3分）将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，则平移后的抛物线是 y＝﹣（x+1）2+1 ．
【分析】根据解析式平移的规律“左加右减”求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，则平移后的抛物线是y＝﹣（x+1）2+1．
故答案为：y＝﹣（x+1）2+1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
16．（3分）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝﹣（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 26 米．
【分析】把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k求出k，根据镜面对称可得PP′＝2k，即可求得结果．
【解答】解：由二次函数的图象可知，A（22，0）在抛物线上，
把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k得：
0＝﹣（22﹣11）2+k，
解得：k＝13，
∴y＝﹣（x﹣11）2+13，
∵P和P′关于x轴对称，
∴PP′＝2×13＝26（米），
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，把A（22，0）代入函数解析式求出k值是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据零指数幂，立方根、算术平方根以及绝对值的定义进行计算即可；
（2）根据解分式方程的步骤，依次经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及检验写成答案等步骤进行解答即可．
【解答】解：（1）原式＝1+3+2+2﹣
＝8﹣；
（2）两边都乘以（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+（x+2）＝x2﹣4，
去括号，得x2﹣2x+x+2＝x2﹣4，
移项，得x2﹣2x+x﹣x2＝﹣4﹣2，
合并同类项，得﹣x＝﹣6，
即x＝6，
经检验，x＝6是原方程的根，
所以原方程的解为x＝6．
【点评】本题考查零指数幂，立方根，算术平方根，绝对值以及解分式方程，掌握零指数幂，立方根，算术平方根，绝对值的定义以及解分式方程的方法是正确解答的前提．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．
【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再根据根的判别式判断即可；
（2）把x＝﹣1代入方程，求出m的值，再设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系求出x2的值即可．
【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根．
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0中，
a＝1，b＝﹣2，c＝m，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m，
∵m＜0，
∴4﹣4m＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）∵﹣1是方程的一个根，
∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0，
∴m＝﹣3；
设方程的另一个根为x2，
∵﹣1+x2＝2，
∴x2＝3．
∴m＝﹣3，方程的另一个根为3．
【点评】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAD，∠B＝70°，求∠DFC的度数．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝CE，即可得出结论．
（2）由平行四边形的性质求出∠BAD＝110°，则∠DAE＝∠BAD＝55°，再由平行四边形的性质得AE∥CF，然后由平行线的性质即可求解．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAD＝55°，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠DFC＝∠DAE＝55°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF＝CE是解题的关键．
20．（8分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x﹣5与y2＝2x﹣4．
（1）求这两个函数图象的交点坐标；
（2）求一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积．
【分析】（1）根据两个函数相交于一点，得3x﹣5＝2x﹣4，解出x，把x代入y1或者y2，即可．
（2）当x＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与y轴的交点为：（0，﹣4），当y＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与y轴的交点为：（2，0），
根据三角形面积公式，即得．
【解答】解：（1）由题意可得：一次函数y1＝3x﹣5与一次函数y2＝2x﹣4相交于一点，
∴3x﹣5＝2x﹣4，解得：x＝1，
当x＝1时，y1＝y2＝﹣2，
∴一次函数y1＝3x﹣5与一次函数y2＝2x﹣4的交点坐标为：（1，﹣2）．
（2）当x＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与y轴有交点，
∴y＝﹣4，∴A（0，﹣4），
当y＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与x轴有交点，
∴0＝2x﹣4，解得：x＝2，∴B（2，0），
∴如图可知S△AOB＝，
∴一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积为4．
【点评】本题考查一次函数的知识，解题的关键掌握一次函数交点坐标及一次函数与几何的综合应用．
21．（8分）钟南山院士在谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量减少走亲访友，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜，健康才是幸福，”某小区防控小组为了了解小区每户家庭每周外出的次数，在外出登记册上随机抽取了若干户家庭，并对所抽家庭的外出次数进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）本次所抽取家庭每周外出的众数是 4 ；
（3）已知该小区共有800户家庭，请你估计该小区每周外出次数不超过3次的家庭户数．
【分析】（1）用“1次”的家庭数除以12%即可得到样本容量，进而得出“4次”的家庭数，进而补全条形统计图；
（2）利用众数的定义即可得出答案；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）本次所抽取家庭数为：6÷12%＝50（户），
“4次”的家庭数为：50×28%＝14（户），
补全条形统计图如下：
（2）因为每周外出4次的户数最多有14户，所以本次所抽取家庭每周外出的众数是4；
故答案为：4；
（3）800×＝416（户），
答：估计该小区每周外出次数不超过3次的家庭户数大约为416户．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体以及众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22．（9分）长沙市政府出台了一系列“乡村振兴战略”优惠政策，使广大农户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种农产品每天的销售利润为W元．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）若物价部门规定这种农产品的销售价不得高于30元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为多少元/千克？
【分析】（1）利用这种农产品每天的销售利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可找出W与x之间的函数关系式；
（2）根据该农户每天获得150元的销售利润，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：W＝（x﹣20）（﹣2x+80），
∴W＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）根据题意得：﹣2x2+120x﹣1600＝150，
整理得：x2﹣60x+875＝0，
解得：x1＝25，x2＝35（不符合题意，舍去）．
答：销售价应定为25元/千克．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，找出W关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（9分）如图1，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F，连接CE．
（1）证明：△ADP≌△CDP；
（2）如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，请求出线段AP与线段CE的数量关系．
【分析】（1）由菱形性质可得AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，即可证明△ABP≌△CBP（SAS）．
（2）同理可证△CPE是等腰直角三角形三角形，即可得CE＝＝．
【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
（2）解：CE＝，证明如下：
如前同理可证：PC＝PE，∠EPC＝∠CDE，
在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠EPC＝∠CDE＝90°，
∴△CPE是等腰直角三角形三角形，
∴CE＝＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（10分）若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（x，y1），点Q的坐标为（x，y2），y1和y2的差构成一个新函数y，即y＝y1﹣y2．称y是y1﹣y2的“数天数函数”，P为“天数点1”，Q为“天数点2”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）已知“天数点1”为点A（x，kx+4），“天数点2”为点B（x，2x）．点C（2，3）在“数天数函数”y＝y1﹣y2图象上，求y的解析式；
（2）已知“天数点1”为点M（x，x2+3），“天数点2”为点N（x，3x），y是“数天数函数”，求x+y的最小值；
（3）关于x的方程的两个实数根x1、x2，“数天数函数”S＝S1﹣S2．若S1＝2x1，S2＝﹣x2，且S＝m+1，求m的值．
【分析】（1）由“数天数函数”的定义得，y＝（k﹣2）x+4，把点C的坐标代入计算即可；
（2）由“数天数函数”的定义得y＝x2+3﹣3x，配方求出x+y的最小值即可；
（3）由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2＝﹣m+2，，根据S1＝2x1，且S＝m+1，用含m的式子表示x1，再把x1 代入x1+x2＝﹣m+2求出x2，最后将x1、x2代入，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝kx+4﹣2x＝（k﹣2）x+4，
∵点C（2，3）在“数天数函数”y＝y1﹣y2图象上，
∴3＝（k﹣2）×2+4，
∴k＝
∴y的解析式为y＝（﹣2）x+4＝﹣x+4；
（2）根据题意得，y＝x2+3﹣3x，
x+y＝x+x2+3﹣3x＝x2﹣2x+3，
配方得，y＝（x﹣1）2+2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴当x＝1时，x+y的最小值为2；
（3）∵方程的两个实数根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣m+2①，②，
∵S1＝2x1，S2＝﹣x2，
∴S＝2x1+x2，
∵S＝m+1，
∴2x1+x2＝m+1，即﹣m+2+x1＝m+1，
∴x1＝2m﹣1，
把x1＝2m﹣1代入①得，x2＝﹣3m+3，
∴
把x1＝2m﹣1，x2＝﹣3m+3代入②得，
m﹣3＝（2m﹣1）（﹣3m+3），
解得m＝0或m＝．
【点评】本题是新定义题型，主要考查函数图象上点的坐标特征及一元二次方程的根与系数的关系，理解并分利用新定义是解答本题的关键．
25．（10分）已知抛物线y＝（a﹣1）x2+（2a﹣7）x+a2﹣4（a为常数，a＞0）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．
（1）求a的值；
（2）若点P（8﹣t，s）和点Q（t﹣4，r）都是这个抛物线上的点，且有s＞r，求t的取值范围；
（3）设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值．如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）将x＝0，y＝0代入抛物线的解析式得出a的值，进一步得出结果；
（2）将P，Q坐标代入表示出s和r，根据s＞r列出不等式，解不等式求得t的范围；
（3）设A（x，x2﹣3x），矩形ABCD的周长为l，表示出AB和AD，进而得出l的解析式，配方求得结果．
【解答】解：（1）将x＝0，y＝0代入抛物线的解析式得，
a2﹣4＝0（a＞0），
∴a＝2，
（2）当a＝2时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x，
由题意得，
（8﹣t）2﹣3（8﹣t）＞（t﹣4）2﹣3（t﹣4），
∴t＜6；
（3）设A（x，x2﹣3x），矩形ABCD的周长为l，
∴AB＝3x﹣x2，AD＝2（﹣x）＝3﹣2x，
∴l＝2（3x﹣x2+3﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+，
∴当x＝时，l最大值＝．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，矩形的有关知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
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1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝x2+1C．y＝D．y＝﹣
2．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8B．众数是9C．平均数是8D．方差是0
3．（3分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≤2C．x≥﹣2D．x≤﹣2
4．（3分）以下列各组数为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．6，8，10C．4，6，8D．5，12，11
5．（3分）一次函数y＝4x+2的图象经过第（ ）象限．
A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四
6．（3分）一元二次方程（x﹣6）（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝6B．x＝﹣2
C．x1＝6，x2＝﹣2D．x1＝﹣6，x2＝2
7．（3分）菱形ABCD的对角线为线段AC、BD，若AC＝8，BD＝12，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．12B．24C．36D．48
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．32B．24C．16D．8
9．（3分）今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+10000B．y＝﹣3x+8000
C．y＝﹣2x+4000D．y＝﹣4x+5000
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④当x＜0时，y随x增大而增大．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝﹣7x+9与y轴的交点坐标为 ．
12．（3分）如图，∠ABC＝90°，CB＝4，AC＝5，则阴影部分的面积是 ．
13．（3分）把方程x2+4x+4＝0变形为（x+h）2＝k的形式后，h+k＝ ．
14．（3分）关于x的方程x2﹣nx+9＝0有两个相等的实数根，则n的值为 ．
15．（3分）将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，则平移后的抛物线是 ．
16．（3分）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝﹣（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 米．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAD，∠B＝70°，求∠DFC的度数．
20．（8分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x﹣5与y2＝2x﹣4．
（1）求这两个函数图象的交点坐标；
（2）求一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积．
21．（8分）钟南山院士在谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量减少走亲访友，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜，健康才是幸福，”某小区防控小组为了了解小区每户家庭每周外出的次数，在外出登记册上随机抽取了若干户家庭，并对所抽家庭的外出次数进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）本次所抽取家庭每周外出的众数是 ；
（3）已知该小区共有800户家庭，请你估计该小区每周外出次数不超过3次的家庭户数．
22．（9分）长沙市政府出台了一系列“乡村振兴战略”优惠政策，使广大农户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种农产品每天的销售利润为W元．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）若物价部门规定这种农产品的销售价不得高于30元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为多少元/千克？
23．（9分）如图1，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F，连接CE．
（1）证明：△ADP≌△CDP；
（2）如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，请求出线段AP与线段CE的数量关系．
24．（10分）若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（x，y1），点Q的坐标为（x，y2），y1和y2的差构成一个新函数y，即y＝y1﹣y2．称y是y1﹣y2的“数天数函数”，P为“天数点1”，Q为“天数点2”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）已知“天数点1”为点A（x，kx+4），“天数点2”为点B（x，2x）．点C（2，3）在“数天数函数”y＝y1﹣y2图象上，求y的解析式；
（2）已知“天数点1”为点M（x，x2+3），“天数点2”为点N（x，3x），y是“数天数函数”，求x+y的最小值；
（3）关于x的方程的两个实数根x1、x2，“数天数函数”S＝S1﹣S2．若S1＝2x1，S2＝﹣x2，且S＝m+1，求m的值．
25．（10分）已知抛物线y＝（a﹣1）x2+（2a﹣7）x+a2﹣4（a为常数，a＞0）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．
（1）求a的值；
（2）若点P（8﹣t，s）和点Q（t﹣4，r）都是这个抛物线上的点，且有s＞r，求t的取值范围；
（3）设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值．如果不存在，请说明理由．
2022-2023学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝x2+1C．y＝D．y＝﹣
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【解答】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、符合二次函数定义，故此选项正确；
C、右边不是整式，不是二次函数，故此选项错误；
D、右边不是整式，不是二次函数，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．（3分）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8B．众数是9C．平均数是8D．方差是0
【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案．
【解答】解：A、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，该选项错误，不符合题意；
B、这组数据中众数为9，该选项正确，符合题意；
C、这组数据平均数为，该选项错误，不符合题意；
D、这组数据的平均数为8.375，则方差为，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查统计综合，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的计算方法是解决问题的关键．
3．（3分）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≤2C．x≥﹣2D．x≤﹣2
【分析】被开方数2﹣x大于等于0，求解即可．
【解答】解：根据题意，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围，一般考虑被开方数非负数，分母不等于0．
4．（3分）以下列各组数为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2B．6，8，10C．4，6，8D．5，12，11
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵12+12≠22，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+82＝102，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵42+62≠82，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵52+112≠122，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
5．（3分）一次函数y＝4x+2的图象经过第（ ）象限．
A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝4x+2中，k＝4＞0，b＝2＞0，
∴函数图象经过一、二、三象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键，
6．（3分）一元二次方程（x﹣6）（x+2）＝0的解是（ ）
A．x＝6B．x＝﹣2
C．x1＝6，x2＝﹣2D．x1＝﹣6，x2＝2
【分析】利用因式分解法直接解方程即可．
【解答】解：（x﹣6）（x+2）＝0，
可得x﹣6＝0或x+2＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的方法及根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．
7．（3分）菱形ABCD的对角线为线段AC、BD，若AC＝8，BD＝12，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．12B．24C．36D．48
【分析】根据菱形的面积公式，菱形 ABCD的面积＝AC•BD，即可得到答案．
【解答】解：在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝12，
∵AC⊥BD，
∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×12×8＝48．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8．点E，F，G分别在边AB，BC，AC上，EF∥AC，GF∥AB，则四边形AEFG的周长是（ ）
A．32B．24C．16D．8
【分析】根据EF∥AC，GF∥AB，可以得到四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，再根据AB＝AC＝8和等量代换，即可求得四边形AEFG的周长．
【解答】解：∵EF∥AC，GF∥AB，
∴四边形AEFG是平行四边形，∠B＝∠GFC，∠C＝∠EFB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EFB，∠GFC＝∠C，
∴EB＝EF，FG＝GC，
∵四边形AEFG的周长是AE+EF+FG+AG，
∴四边形AEFG的周长是AE+EB+GC+AG＝AB+AC，
∵AB＝AC＝8，
∴四边形AEFG的周长是AB+AC＝8+8＝16，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，将平行四边形的周长转化为AB和AC的关系．
9．（3分）今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+10000B．y＝﹣3x+8000
C．y＝﹣2x+4000D．y＝﹣4x+5000
【分析】已知两轮电动车停车辆数为x辆次，则小汽车停车辆数为（2000﹣x）辆次，结合已知条件，根据停车总收入等于两种车的停车收入之和即可得出答案．
【解答】解：∵两轮电动车停车辆数为x辆次，
∴小汽车停车辆数为（2000﹣x）辆次，
∵两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，
∴y＝x+5（2000﹣x），
整理得：y＝﹣4x+10000，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，根据题干已知条件，找到等量关系是解题的关键．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④当x＜0时，y随x增大而增大．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对③进行判断；根据二次函数的性质可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）函数y＝﹣7x+9与y轴的交点坐标为 （0，9） ．
【分析】令x＝0，求出y值，可得结果．
【解答】解：在y＝﹣7x+9中，令x＝0，则y＝9，
∴直线y＝﹣7x+9与y轴的交点坐标为（0，9）；
故答案为：（0，9）．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是掌握一次函数与坐标轴交点的意义．
12．（3分）如图，∠ABC＝90°，CB＝4，AC＝5，则阴影部分的面积是 ．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，CB＝4，AC＝5，
∴AB＝＝＝3，
∴S阴影＝π（）2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
13．（3分）把方程x2+4x+4＝0变形为（x+h）2＝k的形式后，h+k＝ 2 ．
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x+4＝0，
（x+2）2＝0，
∴h＝2，k＝0，
∴h+k＝2+0＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
14．（3分）关于x的方程x2﹣nx+9＝0有两个相等的实数根，则n的值为 6或﹣6 ．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣n）2﹣4×9＝0，然后解方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣n）2﹣4×9＝0，
解得n＝±6，
即n的值为6或﹣6．
故答案为：6或﹣6．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（3分）将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，则平移后的抛物线是 y＝﹣（x+1）2+1 ．
【分析】根据解析式平移的规律“左加右减”求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，则平移后的抛物线是y＝﹣（x+1）2+1．
故答案为：y＝﹣（x+1）2+1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
16．（3分）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁．古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝﹣（x﹣11）2+k，则主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离为 26 米．
【分析】把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k求出k，根据镜面对称可得PP′＝2k，即可求得结果．
【解答】解：由二次函数的图象可知，A（22，0）在抛物线上，
把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k得：
0＝﹣（22﹣11）2+k，
解得：k＝13，
∴y＝﹣（x﹣11）2+13，
∵P和P′关于x轴对称，
∴PP′＝2×13＝26（米），
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，把A（22，0）代入函数解析式求出k值是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）（1）计算：；
（2）解方程：．
【分析】（1）根据零指数幂，立方根、算术平方根以及绝对值的定义进行计算即可；
（2）根据解分式方程的步骤，依次经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1以及检验写成答案等步骤进行解答即可．
【解答】解：（1）原式＝1+3+2+2﹣
＝8﹣；
（2）两边都乘以（x+2）（x﹣2），得x（x﹣2）+（x+2）＝x2﹣4，
去括号，得x2﹣2x+x+2＝x2﹣4，
移项，得x2﹣2x+x﹣x2＝﹣4﹣2，
合并同类项，得﹣x＝﹣6，
即x＝6，
经检验，x＝6是原方程的根，
所以原方程的解为x＝6．
【点评】本题考查零指数幂，立方根，算术平方根，绝对值以及解分式方程，掌握零指数幂，立方根，算术平方根，绝对值的定义以及解分式方程的方法是正确解答的前提．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．
【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再根据根的判别式判断即可；
（2）把x＝﹣1代入方程，求出m的值，再设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系求出x2的值即可．
【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根．
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0中，
a＝1，b＝﹣2，c＝m，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m，
∵m＜0，
∴4﹣4m＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）∵﹣1是方程的一个根，
∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0，
∴m＝﹣3；
设方程的另一个根为x2，
∵﹣1+x2＝2，
∴x2＝3．
∴m＝﹣3，方程的另一个根为3．
【点评】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAD，∠B＝70°，求∠DFC的度数．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝CE，即可得出结论．
（2）由平行四边形的性质求出∠BAD＝110°，则∠DAE＝∠BAD＝55°，再由平行四边形的性质得AE∥CF，然后由平行线的性质即可求解．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAD＝55°，
由（1）得：四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠DFC＝∠DAE＝55°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF＝CE是解题的关键．
20．（8分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x﹣5与y2＝2x﹣4．
（1）求这两个函数图象的交点坐标；
（2）求一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积．
【分析】（1）根据两个函数相交于一点，得3x﹣5＝2x﹣4，解出x，把x代入y1或者y2，即可．
（2）当x＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与y轴的交点为：（0，﹣4），当y＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与y轴的交点为：（2，0），
根据三角形面积公式，即得．
【解答】解：（1）由题意可得：一次函数y1＝3x﹣5与一次函数y2＝2x﹣4相交于一点，
∴3x﹣5＝2x﹣4，解得：x＝1，
当x＝1时，y1＝y2＝﹣2，
∴一次函数y1＝3x﹣5与一次函数y2＝2x﹣4的交点坐标为：（1，﹣2）．
（2）当x＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与y轴有交点，
∴y＝﹣4，∴A（0，﹣4），
当y＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与x轴有交点，
∴0＝2x﹣4，解得：x＝2，∴B（2，0），
∴如图可知S△AOB＝，
∴一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积为4．
【点评】本题考查一次函数的知识，解题的关键掌握一次函数交点坐标及一次函数与几何的综合应用．
21．（8分）钟南山院士在谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量减少走亲访友，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜，健康才是幸福，”某小区防控小组为了了解小区每户家庭每周外出的次数，在外出登记册上随机抽取了若干户家庭，并对所抽家庭的外出次数进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）本次所抽取家庭每周外出的众数是 4 ；
（3）已知该小区共有800户家庭，请你估计该小区每周外出次数不超过3次的家庭户数．
【分析】（1）用“1次”的家庭数除以12%即可得到样本容量，进而得出“4次”的家庭数，进而补全条形统计图；
（2）利用众数的定义即可得出答案；
（3）利用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）本次所抽取家庭数为：6÷12%＝50（户），
“4次”的家庭数为：50×28%＝14（户），
补全条形统计图如下：
（2）因为每周外出4次的户数最多有14户，所以本次所抽取家庭每周外出的众数是4；
故答案为：4；
（3）800×＝416（户），
答：估计该小区每周外出次数不超过3次的家庭户数大约为416户．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体以及众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22．（9分）长沙市政府出台了一系列“乡村振兴战略”优惠政策，使广大农户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种农产品每天的销售利润为W元．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）若物价部门规定这种农产品的销售价不得高于30元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为多少元/千克？
【分析】（1）利用这种农产品每天的销售利润＝每千克的销售利润×每天的销售量，即可找出W与x之间的函数关系式；
（2）根据该农户每天获得150元的销售利润，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：W＝（x﹣20）（﹣2x+80），
∴W＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）根据题意得：﹣2x2+120x﹣1600＝150，
整理得：x2﹣60x+875＝0，
解得：x1＝25，x2＝35（不符合题意，舍去）．
答：销售价应定为25元/千克．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，找出W关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（9分）如图1，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F，连接CE．
（1）证明：△ADP≌△CDP；
（2）如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，请求出线段AP与线段CE的数量关系．
【分析】（1）由菱形性质可得AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，即可证明△ABP≌△CBP（SAS）．
（2）同理可证△CPE是等腰直角三角形三角形，即可得CE＝＝．
【解答】（1）证明：在菱形ABCD中，AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
（2）解：CE＝，证明如下：
如前同理可证：PC＝PE，∠EPC＝∠CDE，
在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠EPC＝∠CDE＝90°，
∴△CPE是等腰直角三角形三角形，
∴CE＝＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（10分）若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（x，y1），点Q的坐标为（x，y2），y1和y2的差构成一个新函数y，即y＝y1﹣y2．称y是y1﹣y2的“数天数函数”，P为“天数点1”，Q为“天数点2”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．）
（1）已知“天数点1”为点A（x，kx+4），“天数点2”为点B（x，2x）．点C（2，3）在“数天数函数”y＝y1﹣y2图象上，求y的解析式；
（2）已知“天数点1”为点M（x，x2+3），“天数点2”为点N（x，3x），y是“数天数函数”，求x+y的最小值；
（3）关于x的方程的两个实数根x1、x2，“数天数函数”S＝S1﹣S2．若S1＝2x1，S2＝﹣x2，且S＝m+1，求m的值．
【分析】（1）由“数天数函数”的定义得，y＝（k﹣2）x+4，把点C的坐标代入计算即可；
（2）由“数天数函数”的定义得y＝x2+3﹣3x，配方求出x+y的最小值即可；
（3）由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2＝﹣m+2，，根据S1＝2x1，且S＝m+1，用含m的式子表示x1，再把x1 代入x1+x2＝﹣m+2求出x2，最后将x1、x2代入，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝kx+4﹣2x＝（k﹣2）x+4，
∵点C（2，3）在“数天数函数”y＝y1﹣y2图象上，
∴3＝（k﹣2）×2+4，
∴k＝
∴y的解析式为y＝（﹣2）x+4＝﹣x+4；
（2）根据题意得，y＝x2+3﹣3x，
x+y＝x+x2+3﹣3x＝x2﹣2x+3，
配方得，y＝（x﹣1）2+2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴当x＝1时，x+y的最小值为2；
（3）∵方程的两个实数根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣m+2①，②，
∵S1＝2x1，S2＝﹣x2，
∴S＝2x1+x2，
∵S＝m+1，
∴2x1+x2＝m+1，即﹣m+2+x1＝m+1，
∴x1＝2m﹣1，
把x1＝2m﹣1代入①得，x2＝﹣3m+3，
∴
把x1＝2m﹣1，x2＝﹣3m+3代入②得，
m﹣3＝（2m﹣1）（﹣3m+3），
解得m＝0或m＝．
【点评】本题是新定义题型，主要考查函数图象上点的坐标特征及一元二次方程的根与系数的关系，理解并分利用新定义是解答本题的关键．
25．（10分）已知抛物线y＝（a﹣1）x2+（2a﹣7）x+a2﹣4（a为常数，a＞0）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．
（1）求a的值；
（2）若点P（8﹣t，s）和点Q（t﹣4，r）都是这个抛物线上的点，且有s＞r，求t的取值范围；
（3）设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，过点D作DC⊥x轴，垂足于点C，试问四边形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值．如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）将x＝0，y＝0代入抛物线的解析式得出a的值，进一步得出结果；
（2）将P，Q坐标代入表示出s和r，根据s＞r列出不等式，解不等式求得t的范围；
（3）设A（x，x2﹣3x），矩形ABCD的周长为l，表示出AB和AD，进而得出l的解析式，配方求得结果．
【解答】解：（1）将x＝0，y＝0代入抛物线的解析式得，
a2﹣4＝0（a＞0），
∴a＝2，
（2）当a＝2时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x，
由题意得，
（8﹣t）2﹣3（8﹣t）＞（t﹣4）2﹣3（t﹣4），
∴t＜6；
（3）设A（x，x2﹣3x），矩形ABCD的周长为l，
∴AB＝3x﹣x2，AD＝2（﹣x）＝3﹣2x，
∴l＝2（3x﹣x2+3﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+，
∴当x＝时，l最大值＝．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，矩形的有关知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
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