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人教版八年级数学上册同步备课专题一次函数与图形的面积问题(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册同步备课专题一次函数与图形的面积问题(原卷版+解析)，共64页。试卷主要包含了根据面积的值求函数解析式或坐标，一次函数平分图形面积问题等内容，欢迎下载使用。
题型一 一次函数与坐标轴围成的三角形面积
【例题1】(2023春•滦州市期末）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4），与y轴交于点M．
（1）求直线l1的表达式．
（2）求△BOM的面积．
【变式1-1】(2023秋•广饶县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△AOC的面积．
【变式1-2】如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△AOB的面积．
【变式1-3】(2023春•天河区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9），与x轴、y轴分别交于点A、点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若坐标原点为O，求△ABO的面积．
【变式1-4】已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数y=43x的图象交于点C（m，4）
（1）求m的值；
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（3）求这两个函数图象与x轴所围成的△AOC的面积．
【变式1-5】（2023•惠阳区校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(43，53)，点D的坐标为（0，1），直线AD与x轴交于点B．
（1）求直线AD的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【变式1-6】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=43x的图象交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为 ．
题型二 利用一次函数求不规则的四边形的面积
【例题2】(2023秋•宿豫区期末）如图，直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，5），把直线l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与x轴、y轴交于点C、D．
（1）求直线l对应的函数表达式；
（2）求四边形ABDC的面积．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=12x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式2-2】如图，直线AC：y=12x+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB．
（1）求直线BD的解析式和E的坐标．
（2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积．
【变式2-3】(2023春•南城县校级月考）如图，已知直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A、C两点，直线BC过点C交x轴于点B，且OB＝2OC＝3OA，点D为AC的中点．
（1）求k的值以及直线BC的解析式；
（2）过点D作DE⊥y轴交BC于点E，连接OE，求四边形AOEC的面积；
【变式2-4】已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点是B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2）计算四边形ABCD的面积；
（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．
【变式2-5】(2023春•饶平县校级期末）如图，直线y＝2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y＝﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y＝2x+m（m＞0）相交于点D，若AB＝4．
（1）求点D的坐标；
（2）求出四边形AOCD的面积；
（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．
题型三 根据面积的值求函数解析式或坐标
【例题3】已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（ ）
A．y＝1.5x+3B．y＝﹣1.5x+3
C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3
【变式3-1】(2023秋•阜新县校级期末）一次函数y＝kx+10的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ．
【变式3-2】(2023春•上海期中）已知直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过（2，0），则这条直线的表达式是 ．
【变式3-3】(2023秋•南海区期末）在平面直角坐标系中，直线AB过点A（a，12）、B（12，﹣a），点A在第二象限，点O为坐标原点，连接OA、OB，△AOB的面积为90，则直线AB的函数表达式是 ．
【变式3-4】一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，则这个一次函数的解析式为（ ）
A．y=−12x+2B．y＝﹣2x+4
C．y=23x+16D．y=−12x+2或y＝﹣2x+4
【变式3-5】(2023秋•高邮市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）经过点A（4，0），与直线l2：y=12x相交于点M（m，1）．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）点C为x轴上一点，若△ABC的面积为6，求点C的坐标．
【变式3-6】(2023春•永川区期末）如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点．
（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．
【变式3-7】(2023春•单县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2）且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴正半轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直线l的函数表达式．
【变式3-8】(2023春•北辰区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．
题型四 由图形面积的关系求函数解析式或坐标
【例题4】一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，已知点A和B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若C是x轴上的一动点，试探究当点C运动到何处时，△CAB的面积等于△ABO面积的一半，请直接写出点C的坐标．
【变式4-1】(2023春•乌拉特前旗期末）如图所示，直线L1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．
（1）求直线L2的解析表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
【变式4-2】(2023秋•青岛期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
【变式4-3】(2023秋•垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的12？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-4】如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．
（1）求b的值；
（2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标；
【变式4-5】如图，直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别相交于E、F，点E的坐标为（﹣9，0），点A的坐标为（﹣6，0），点P（x，y）是直线l上的一个动点．
（1）求出△OPA的面积S与x的函数关系式．
（2）当△OPA的面积为3.6时，求点P的坐标．
（3）若直线OP分△OEF的面积为1：2两部分时，求点P的坐标．
【变式4-6】(2023秋•广陵区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，y2=−13x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）．
（1）填空：m＝ ，b＝ ；
（2）求△ACD的面积；
（3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五 一次函数平分图形面积问题
【例题5】(2023秋•吴江区月考）如图，一次函数y=34x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，过点B的直线l平分△ABO的面积，则直线l相应的函数表达式为（ ）
A．y=12x+6B．y＝2x+6C．y=23x+6D．y=32x+6
【变式5-1】(2023春•单县期末）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的表达式为 ．
【变式5-2】(2023•南京模拟）四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），当过点（0，1）的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（ ）
A．y=−23x+1B．y=23x+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
【变式5-3】(2023•沂源县一模）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 ．
【变式5-4】(2023春•皇姑区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=3x+b与x轴交于点A（﹣4，0）与y轴交于点C，过点C的直线BC与x轴正半轴交于点B，△OBC的面积是△OAC面积的3倍．
（1）求点B的坐标；
（2）线段BC上有点P，当直线AP把△ABC分成面积相等的两部分时，直接写出直线AP的解析式；
（3）在射线OC和射线OB上分别取点E和点F，且EF∥BC，将△OEF沿直线EF翻折得到△O1EF，点O的对应点为点O1，若点O1到直线OC和直线BC的距离相等，直接写出点O1的坐标．
【变式5-5】(2023春•颍州区期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），则①AB两点的距离=(x1−x2)2+(y1−y2)2；②线段AB的中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．
解决问题：
如图，平行四边形ABCD中，点B在x轴负半轴上，点D在第一象限，A，C两点的坐标分别为（0，4），（3，0），边AD的长为6．
（1）若点P是直线AD上一动点，当PO+PC取得最小值时，求点P的坐标及PO+PC的最小值；
（2）已知直线l：y＝kx+b过点（0，﹣2），且将平行四边ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若点N在平面直角坐标系内，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
专题 一次函数与图形的面积问题
题型一 一次函数与坐标轴围成的三角形面积
【例题1】(2023春•滦州市期末）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4），与y轴交于点M．
（1）求直线l1的表达式．
（2）求△BOM的面积．
分析：（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）把x＝0代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可；
【解答】解：（1）∵点B（m，4）直线l2：y＝2x上，
∴4＝2m，
∴m＝2，
∴点B（2，4），
设直线l1的表达式为y＝kx+b，
将A（﹣6，0），B（2，4）代入得：0=6k+b4=2k+b，
解得k=12b=3，
∴直线l1的表达式为y=12x+3；
（2）将x＝0代入y=12x+3，得：y＝3，
∴M（0，3），
∴OM＝3，
∴△BOM的面积=12OM•|xB|=12×3×2＝3；
【点评】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围．
【变式1-1】(2023秋•广饶县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△AOC的面积．
分析：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，将C（0，12），A（8，4）代入，即可由待定系数法求得直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：b=128k+b=4，
解得k=−1b=12，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）∵C（0，12），A（8，4），
∴S△OAC=12×12×8＝48．
【点评】本题是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形性质以及三角形面积求法等知识；熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式解题关键．
【变式1-2】如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△AOB的面积．
分析：（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）令x＝0，y＝0，代入y=43x+53即可确定C、D点坐标；
（3）根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD进行计算即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得 −2k+b=−1k+b=3，
解得 k=43b=53．
所以一次函数解析式为y=43x+53；
（2）令y＝0，则0=43x+53，解得x=−54，
所以C点的坐标为（−54，0），
把x＝0代入y=43x+53得y=53，
所以D点坐标为（0，53），
（3）△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD
=12×53×2+12×53×1
=52．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．
【变式1-3】(2023春•天河区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9），与x轴、y轴分别交于点A、点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若坐标原点为O，求△ABO的面积．
分析：（1）设出一次函数的解析式是y＝kx+b，然后把经过的点的坐标代入，求解得到k、b的值即可得解；
（2）根据一次函数的解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式是y＝kx+b，
则3k+b=5−4k+b=−9，
解得k=2b=−1，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1；
（2）当x＝0时，y＝﹣1，
当y＝0时，2x﹣1＝0，解得x=12，
∴点A、B的坐标是A（12，0），B（0，﹣1），
∴OA=12，OB＝1，
S△OAB=12OA•OB=12×12×1=14．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．
【变式1-4】已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数y=43x的图象交于点C（m，4）
（1）求m的值；
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（3）求这两个函数图象与x轴所围成的△AOC的面积．
分析：（1）根据两直线相交的问题，把C（m，4）代入y=43x中即可求出m的值；
（2）把B点和C点坐标分别代入y＝kx+b，得到关于k和b的方程组，然后解方程求出k和b即可得到一次函数解析式；
（3）先确定A点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）∵点C在正比例函数y=43x的图象上，
∴43m=4，
∴m＝3；
（2）∵点C（3，4）B（0，2）在一次函数图象上，
∴3k+b=4b=2，
解得k=23b=2．
∴一次函数的表达式为y=23x+2；
（3）当y＝0时，23x+2＝0，解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∴△AOC的面积=12×3×4＝6．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
【变式1-5】（2023•惠阳区校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(43，53)，点D的坐标为（0，1），直线AD与x轴交于点B．
（1）求直线AD的解析式．
（2）求△ABC的面积．
分析：（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，用待定系数法将 A(43，53)，D（0，1）代入即可；
（2）根先求得BC＝5，再根据三角形面积计算公式进行计算即可．
【解答】解：（1）设直线AD的解析式为 y＝kx+b，
∵直线AD过点 A(43，53)，D（0，1），
∴43k+b=53b=1，
解得k=12b=1，
∴直线AD的解析式为：y=12x+1．
（2）∵直线AD的解析式为y=12x+1，
∴当y＝0时，则12x+1＝0，
解得x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∴BC＝5，
∴△ABC的面积=12×5×53=256．
【点评】本题主要是两直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
【变式1-6】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=43x的图象交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为 ．
分析：（1）把C点坐标代入正比例函数解析式可求得m，再把A、C坐标代入一次函数解析式可求得k、b，可求得答案；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）由题意可分两种情况，即A为直角顶点和B为直角顶点，分别设对应的D点为D2和D1，过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，可证明△BED1≌△AOB（AAS），可求得D1的坐标，同理可求得D2的坐标，可得出D点的坐标．
【解答】解：（1）∵点C在正比例函数图象上，
∴43m＝4，解得：m＝3，
∵点C（3，4）、A（﹣3，0）在一次函数图象上，
∴代入一次函数解析式可得−3k+b=03k+b=4，解这个方程组得k=23b=2，
∴一次函数的解析式为y=23x+2；
（2）在y=23x+2中，令x＝0，解得y＝2，
∴B（0，2）
∴S△BOC=12×2×3＝3；
（3）过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，如图，
∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AB＝BD2，
∵∠D1BE+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBD1，
∵在△BED1和△AOB中，∠D1EB=∠BOA∠EBD1=∠BAOD1B=BA
∴△BED1≌△AOB（AAS），
∴BE＝AO＝3，D1E＝BO＝2，
即可得出点D的坐标为（﹣2，5）；
同理可得出：△AFD2≌△AOB，
∴FA＝BO＝2，D2F＝AO＝3，
∴点D的坐标为（﹣5，3），
∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°，
∴∠AD3B＝90°，
∴D3（−52，52），
综上可知点D的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，3）或（−52，52）．
故答案为：（﹣2，5）或（﹣5，3）或（−52，52）．
【点评】本题考查了两直线相交，一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
题型二 利用一次函数求不规则的四边形的面积
【例题2】(2023秋•宿豫区期末）如图，直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，5），把直线l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与x轴、y轴交于点C、D．
（1）求直线l对应的函数表达式；
（2）求四边形ABDC的面积．
分析：（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求出直线l沿y轴向下平移后的直线解析式，再求出C点和D点坐标，再根据四边形ABDC的面积＝S△OAB﹣S△ODC求解即可．
【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），
∵直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，5），
∴4k+b=0b=5，
解得k=−54b=5，
∴直线l的函数表达式为y=−54x+5；
（2）直线l沿y轴向下平移3个单位长度得y=−54x+5−3=−54x+2，
∴直线m的解析式为y=−54x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴点D坐标为（0，2），
∴OD＝2，
当y=−54x+2=0时，x=85，
∴点C坐标为（85，0），
∴OC=85，
∵OA＝4，OB＝5，
∴四边形ABDC的面积＝S△OAB﹣S△ODC
=12×4×5−12×2×85
=425．
【点评】本题考查了一次函数与几何变换，待定系数法求解析式，四边形的面积等，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=12x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求四边形ABCD的面积．
分析：（1）根据直线l1的解析式求出A（﹣6，0），B（0，3）．根据上加下减的平移规律求出直线l3的解析式为y=12x﹣1，求出C（2，0），D（0，﹣1）．根据直线l2过点B、C，利用待定系数法求出直线l2的解析式；
（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，即可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵直线l1：y=12x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，
∴y＝0时，12x+3＝0，解得x＝﹣6，
x＝0时，y＝3，
∴A（﹣6，0），B（0，3）．
∵将直线l1：y=12x+3向下平移4个单位长度得到直线l3，
∴直线l3的解析式为：y=12x+3﹣4，即y=12x﹣1，
∵y＝0时，12x﹣1＝0，解得x＝2，
x＝0时，y＝﹣1，
∴C（2，0），D（0，﹣1）．
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l2过点B（0，3）、点C（2，0），
∴b=32k+b=0，解得k=−32b=3，
∴直线l2的解析式为y=−32x+3；
（2）∵A（﹣6，0），B（0，3），C（2，0），D（0，﹣1），
∴AC＝2﹣（﹣6）＝8，OB＝3，OD＝1，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
=12AC•OB+12AC•OD
=12×8×3+12×8×1
＝12+4
＝16．
【点评】本题是关于求一次函数解析式，两直线交点以及利用坐标来求相关图形面积的综合问题．
【变式2-2】如图，直线AC：y=12x+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB．
（1）求直线BD的解析式和E的坐标．
（2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积．
分析：（1）先求直线AC：y=12x+2与x轴和y轴的交点A，C，由OA＝OB得点坐标，代入直线BD：y＝﹣x+b，求出b，即可知直线BD的解析式；再把直线BD的解析式与直线AC：y=12x+2联立即可求出点E的坐标．
（2）由（1）知点C，D，E的坐标，再联立y＝x和直线BD的解析式，求出点F的坐标，由三角形DOF的面积减去三角形DCE的面积，即可求出四边形ECOF的面积．
【解答】解：（1）∵直线AC：y=12x+2分别交x轴和y轴于A，C两点，
∴A（﹣4，0），C（0，2），
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝4，B（4，0），
∵直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，
∴0＝﹣4+b，
∴b＝4，D（0，4）
∴直线BD：y＝﹣x+4．
解y=12x+2y=−x+4得 x=43y=83
∴E（43，83）
综上，直线 直线BD的解析式为：y＝﹣x+4，点E坐标为（43，83）．
（2）由（1）知：C（0，2），D（0，4），E（43，83），
且由y=xy=−x+4，得点F（2，2），
∴S四边形ECOF＝S△DOF﹣S△DCE
＝4×2÷2﹣（4﹣2）×43÷2
＝4−43
=83
故四边形ECOF的面积为83．
【点评】本题是关于求一次函数解析式，两直线交点以及利用坐标来求相关图形面积的综合问题．
【变式2-3】(2023春•南城县校级月考）如图，已知直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A、C两点，直线BC过点C交x轴于点B，且OB＝2OC＝3OA，点D为AC的中点．
（1）求k的值以及直线BC的解析式；
（2）过点D作DE⊥y轴交BC于点E，连接OE，求四边形AOEC的面积；
分析：（1）根据一次函数解析式求出点C的坐标，然后根据OB＝2OC＝3OA求出点A和点B的坐标，将点A坐标代入函数解析式求出k的值，运用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）根据点D为AC的中点得出点D和点E的坐标，然后根据S\user2四边形AOEC=S△AOC+S△COE求解即可；
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A、C两点，
∴当x＝0时，y＝3，
∴点C（0，3），即OC＝3，
∵OB＝2OC＝3OA，
∴OB＝6，OA＝2，
∴点A（﹣2，0），B（6，0），
即0＝﹣2k+3，
解得：k=32，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
∵B（6，0），C（0，3），
∴0=6m+n3=n，
解得m=−12n=3，
∴直线BC的解析式为y=−12x+3；
（2）∵点D为AC的中点，
∴点D(−1，32)，
∵DE⊥y轴交BC于点E，
∴点E的纵坐标为32，
∵点E在直线BC上，
∴32=−12x+3，
解得：x＝3，
∴点E(3，32)，
设DE与y轴交于点F，
则S四边形AOEC＝S△AOC+S△COE=12AO•OC+12OC•EF=12×2×2+12×3×3=152；
【点评】本题考查了一次函数与几何综合，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质，是解本题的关键．
【变式2-4】已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点是B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2）计算四边形ABCD的面积；
（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．
分析：（1）利用待定系数法可分别求出直线AB的解析式为y＝2x+4；直线CD的解析式为y=12x﹣3；然后利用两点确定一直线画函数图象；
（2）利用坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为（0，4）＝B点坐标为（﹣2，0）、D点坐标为（6，0），然后根据三角形面积公式和四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD进行计算；
（3）根据一次函数的交点问题通过解方程组y=2x+4y=12x−3得到E点坐标，然后利用△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD进行计算．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把（1，6）、（﹣3，﹣2）代入得k+b=6−3k+b=−2，
解得k=2b=4．
所以直线AB的解析式为y＝2x+4；
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
把（2，﹣2）、（0，﹣3）代入得2m+n=−2n=−3，
解得m=12n=−3，
所以直线CD的解析式为y=12x﹣3；
如图所示；
（2）把x＝0代入y＝2x+4得y＝4，则A点坐标为（0，4）；
把y＝0代入y＝2x+4得2x+4＝0，解得x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
把y＝0代入y=12x﹣3得12x﹣3＝0，解得x＝6，则D点坐标为（6，0），
所以四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD=12×（6+2）×4+12×（6+2）×3＝28；
（3）解方程组y=2x+4y=12x−3得x=−143y=−163，
所以E点坐标为（−143，−163），
所以△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD
=12×（6+2）×163−12×（6+2）×3
=283．
【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
【变式2-5】(2023春•饶平县校级期末）如图，直线y＝2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y＝﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y＝2x+m（m＞0）相交于点D，若AB＝4．
（1）求点D的坐标；
（2）求出四边形AOCD的面积；
（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．
分析：（1）先把A点坐标代入y＝2x+m得到m＝4，则y＝2x+4，再利用AB＝4可得到B点坐标为（2，0），则把B点坐标代入y＝﹣x+n可得到n＝2，则y＝﹣x+2，然后根据两直线相交的问题，通过解方程组y=−x+2y=2x+4得到D点坐标；
（2）先确定C点坐标为（0，2），然后利用四边形AOCD的面积＝S△DAB﹣S△COB进行计算即可；
（3）先利用A、C两点的坐标特征得到△ACO为等腰直角三角形，AC＝22，然后分类讨论：当AE＝AC＝22时，以A点为圆心，22画弧交x轴于E1点和E2点，再写出它们的坐标；当CE＝CA时，E3点与点A关于y轴对称，即可得到它的坐标；当EA＝EC时，E4点为坐标原点．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝2x+m得﹣4+m＝0，解得m＝4，
∴y＝2x+4，
∵AB＝4，A（﹣2，0），
∴B点坐标为（2，0），
把B（2，0）代入y＝﹣x+n得﹣2+n＝0，解得n＝2，
∴y＝﹣x+2，
解方程组y=−x+2y=2x+4得x=−23y=83，
∴D点坐标为（−23，83）；
（2）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，
∴C点坐标为（0，2），
∴四边形AOCD的面积＝S△DAB﹣S△COB
=12×4×83−12×2×2
=103；
（3）∵A（﹣2，0），C（0，2），
∴AC＝22，
当AE＝AC＝22时，E1点的坐标为（22−2，0），E2点的坐标为（﹣22−2，0）；
当CE＝CA时，E3点的坐标为（2，0），
当EA＝EC时，E4点的坐标为（0，0），
综上所述，点E的坐标为（22−2，0）、（﹣22−2，0）、（2，0）、（0，0）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了分类讨论思想的运用．
题型三 根据面积的值求函数解析式或坐标
【例题3】已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（ ）
A．y＝1.5x+3B．y＝﹣1.5x+3
C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3
分析：设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0），根据三角形的面积公式即可求得a的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式．
【解答】解：设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0）．
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，3），
∴b＝3．
∵这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为3，
∴12×3×|a|＝3，
解得：a＝2或﹣2．
把（2，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1.5，则函数的解析式是y＝﹣1.5x+3；
把（﹣2，0）代入y＝kx+3，得k＝1.5，则函数的解析式是y＝1.5x+3．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求得与x轴的交点坐标是解题的关键．
【变式3-1】(2023秋•阜新县校级期末）一次函数y＝kx+10的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ．
分析：先求出一次函数y＝kx+10与x轴，y轴的交点，然后再利用它与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，进行计算即可解答．
【解答】解：当x＝0时，代入y＝kx+10中可得：
y＝10，
∴y＝kx+10与y轴的交点为（0，10），
当y＝0时，代入y＝kx+10中可得：
kx+10＝0，
解得：x=−10k
∴y＝kx+10与x轴的交点为（−10k，0），
由题意得：
12×10•|−10k|＝5，
解得：k＝±10，
经检验：k＝±10是原方程的根．
∴该直线的表达式为：y＝﹣10x+10或y＝10x+10，
故答案为：y＝﹣10x+10或y＝10x+10．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，求出一次函数y＝kx+10与x轴，y轴的交点是解题的关键．
【变式3-2】(2023春•上海期中）已知直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过（2，0），则这条直线的表达式是 ．
分析：先根据面积求出三角形在y轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意，设与y轴交点坐标为（0，b）
则12×2×|b|＝6，
解得|b|＝6，
∴b＝±6，
①当b＝6时，与y轴交点为（0，6）
∴2k+b=0b=6，解得k=−3b=6，
∴函数解析式为y＝﹣3x+6；
②当b＝﹣6时，与y轴的交点为（0，﹣6）
∴2k+b=0b=−6解得k=3b=−6，
∴函数解析式为y＝3x﹣6．
∴这个一次函数的解析式是y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．
故答案为：y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．
【变式3-3】(2023秋•南海区期末）在平面直角坐标系中，直线AB过点A（a，12）、B（12，﹣a），点A在第二象限，点O为坐标原点，连接OA、OB，△AOB的面积为90，则直线AB的函数表达式是 ．
分析：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△AOC≌△OBD，可得∠AOC＝∠OBD，由∠AOC+∠BOD＝∠OBD+∠BOD＝90°，根据△AOB的面积为90得出a＝﹣6，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵点A（a，12）、B（12，﹣a），点A在第二象限，
∴OC＝BD＝﹣a，AC＝OD＝12，
在△AOC和△OBD中，
OC=DB∠ACO=∠ODB=90°AC=OD，
∴△AOC≌△OBD（SAS），
∴∠AOC＝∠OBD，
∴∠AOC+∠BOD＝∠OBD+∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵点A（a，12）、B（12，﹣a），
∴OA＝OB=a2+122，
∵△AOB的面积为90，
∴12×OA×OB=12×a2+122×a2+122=6，
∴a＝﹣6或6（舍去），
∴点A（﹣6，12）、B（12，6），
设直线AB的函数表达式是y＝kx+b，
∴−6k+b=1212k+b=6，解得a=−13b=10，
∴直线AB的函数表达式是y=−13x+10．
故答案为：y=−13x+10．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等，作辅助线，证明△AOC≌△OBD是解题的关键．
【变式3-4】一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，则这个一次函数的解析式为（ ）
A．y=−12x+2B．y＝﹣2x+4
C．y=23x+16D．y=−12x+2或y＝﹣2x+4
分析：首先根据题意设A（x，0），B（0，y），再根据“OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，”可得方程组12xy=4x+y=6，再解出x、y的值，进而得到A、B两点坐标．然后再利用待定系数法求出一次函数解析式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．
∴设A（x，0），B（0，y），
∵OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，
∴12xy=4x+y=6，
解得：x=2y=4或x=4y=2，
∴A（2，0）、B（0，4）或A（4，0）、B（0，2），
当A（2，0）、B（0，4）时0=2k+bb=4，解得b=4k=−2，
当A（4，0）、B（0，2）时，0=4k+bb=2，解得k=−12b=2，
∴这个一次函数的解析式为y=−12x+2或y＝﹣2x+4，
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是根据题意计算出一次函数图象所经过的点的坐标．
【变式3-5】(2023秋•高邮市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）经过点A（4，0），与直线l2：y=12x相交于点M（m，1）．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）点C为x轴上一点，若△ABC的面积为6，求点C的坐标．
分析：（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求点B的坐标，设C（x，0），根据三角形面积公式构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点M（m，1）在y=12x上，
∴12m=1，
解得：m＝2，
∴M（2，1），
∵M（2，1），A（4，0）在y＝kx+b（k≠0）上，
∴2k+b=14k+b=0，
解得：k=−12b=2，
∴y=−12x+2；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
设C（x，0），
∵S△ABC＝6，
∴12⋅|4−x|⋅2=6，
解得：x＝10或﹣2，
∴点C的坐标为（﹣2，0），（10，0）．
【点评】本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式并且求出点C坐标是解决本题的关键．
【变式3-6】(2023春•永川区期末）如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点．
（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．
分析：（1）根据三角形的面积公式S△OPA=12OA•y，然后把y转换成x，即可求得△OPA的面积S与x的函数关系式；
（2）把s＝10代入S＝﹣4x+40，求得x的值，把x的值代入y＝﹣x+10即可求得P的坐标．
【解答】解（1）∵A（8，0），
∴OA＝8，
S=12OA•|yP|=12×8×（﹣x+10）＝﹣4x+40，（0＜x＜10）．
（2）当S＝10时，则﹣4x+40＝10，解得x=152，
当x=152时，y=−152+10=52，
∴当△OPA的面积为10时，点P的坐标为（152，52）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，把求三角形的面积和一次函数的图象结合起来，综合性比较强．
【变式3-7】(2023春•单县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2）且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴正半轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直线l的函数表达式．
分析：（1）用待定系数法求直线n的函数解析式；
（2）根据△ABC的面积为9可求得AC的长，可得出结论；
（3）过点B作BD⊥y轴于点D，则CD＝AD＝4，得C（0，6），设直线l的解析式为：y＝kx+b，将B，C代入即可．
【解答】解：（1）设直线n的解析式为：y＝kx+b，
∵直线n：y＝kx+b过点A（0，﹣2），点B（3，2），
∴b=−23k+b=2，解得：k=43b=−2，
∴直线n的函数解析式为：y=43x−2；
（2）∵若△ABC的面积为9，
∴9=12⋅AC⋅3，
∴AC＝6，
∵OA＝2，
∵点C在y轴正半轴，
∴C（0，4）；
（3）当AB＝BC时，过点B作BD⊥y轴于点D，
∴CD＝AD＝4，
∴C（0，6），
设直线l的解析式为：y＝kx+b，
将B（3，2），C（0，6）代入得：
3k+b=2b=6，
解得k=−43b=6，
∴直线l的解析式为：y=−43x+6．
【点评】本题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，以及等腰三角形的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【变式3-8】(2023春•北辰区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．
分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：4k+b=03k+b=1，
解得：k=−1b=4，
则直线的解析式是：y＝﹣x+4；
（2）在y＝﹣x+4中，令x＝0，解得：y＝4，
S△OAC=12×4×3＝6；
（3）当M在线段OA时，
设OA的解析式是y＝mx，
把A（3，1）代入得：3m＝1，
解得：m=13，
则直线的解析式是：y=13x，
∵△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，
∴当M的横坐标是13×3＝1，
在y=13x中，当x＝1时，y=13，
则M的坐标是（1，13）；
当M在射线AC上时
在y＝﹣x+4中，x＝1时，
则y＝3，
则M的坐标是（1，3）；
当M的横坐标是﹣1时，
在y＝﹣x+4中，当x＝﹣1时，y＝5，
则M的坐标是（﹣1，5）；
综上所述：M的坐标是：M1（1，13）或M2（1，3）或M3（﹣1，5）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，利用M点横坐标为±1分别求出其纵坐标是解题关键．
题型四 由图形面积的关系求函数解析式或坐标
【例题4】一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，已知点A和B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若C是x轴上的一动点，试探究当点C运动到何处时，△CAB的面积等于△ABO面积的一半，请直接写出点C的坐标．
分析：（1）由待定系数法直接求得答案即可；
（2）设出C点的坐标，表示出△CAB的面积，与△ABO面积建立方程，求得答案即可．
【解答】解：（1）把（4，0）、（0，3）代入一次函数y＝kx+b得，
4k+b=0b=3，
解得：k=−34b=3．
所以函数解析式为y=−34x+3；
（2）设C点的坐标为（x，0），由题意得，
12|4﹣x|×3=12×12×4×3，
解得：x＝2或x＝6．
所以点C坐标为C1（2，0），C2（6，0）．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，以及利用点的坐标求有关面积的问题，渗透分类探讨的思想和方法．
【变式4-1】(2023春•乌拉特前旗期末）如图所示，直线L1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．
（1）求直线L2的解析表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
分析：（1）利用待定系数法求直线L2的解析表达式；
（2）先解方程组y=32x−6y=−3x+3确定C（2，﹣3），再利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（3）由于△ADP与△ADC的面积相等，根据三角形面积公式得到点P与点C到AD的距离相等，则P点的纵坐标为3，对于函数y=32x﹣6，计算出函数值为3所对应的自变量的值即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）设直线L2的解析表达式为y＝kx+b，
把A（4，0）、B（3，−32）代入得4k+b=03k+b=−32，解得k=32b=−6，
所以直线L2的解析表达式为y=32x﹣6；
（2）解方程组y=32x−6y=−3x+3得x=2y=−3，则C（2，﹣3）；
当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x＝1，则D（1，0），
所以△ADC的面积=12×（4﹣1）×3=92；
（3）因为点P与点C到AD的距离相等，
所以P点的纵坐标为3，
当y＝3时，32x﹣6＝3，解得x＝6，
所以P点坐标为（6，3）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
【变式4-2】(2023秋•青岛期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
分析：（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出S△ABC＝27，设G（m，﹣m+6），分两种情况：①S△ABG：S△ACG＝1：2时，②S△ABG：S△ACG＝2：1时，分别求得m的值，进而求得G点的坐标；
【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），
∵点B（6，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：
∴6k+b=0b=6，解得：k=−1b=6，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）．
∴AB＝9，
∴S△ABC=12×9×6＝27，
设G（m，﹣m+6），（0＜m＜6），
①当S△ABG：S△ACG＝1：2时，即S△ABG=13S△ABC＝9，
∴12×9（﹣m+6）＝9，
∴m＝4，
∴G（4，2）；
当S△ABG：S△ACG＝2：1时，即S△ABG=23S△ABC＝18，
∴12×9（﹣m+6）＝18，
∴m＝2，
∴G（2，4）．
综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）；
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形的面积及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中利用三角形的面积公式是解题的关键．
【变式4-3】(2023秋•垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的12？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，将C（0，12），A（8，4）代入，即可由待定系数法求得直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）过A作AH⊥OC于H，由A（8，4）得AH＝8，故S△OAC=12OC•AH=12×12×8＝48；
（3）①若M在线段OA上时，由△OMC的面积是△OAC的面积的12，知M为OA中点，即得M（4，2），②当M在射线AC上时，△OMC的面积是△OAC的面积的12，则M为AC的中点，可得M（4，8），由等底同高的三角形面积相等可得，M'（﹣4，16）．
【解答】解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：
12=b4=8k+b，解得k=−1b=12，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）过A作AH⊥OC于H，如图：
∵A（8，4），AH⊥OC，
∴AH＝8，
∵C（0，12），
∴OC＝12，
∴S△OAC=12OC•AH=12×12×8＝48；
（3）存在，
①若M在线段OA上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的12，
∴M为OA中点，
而A（8，4），
∴M（4，2），
②当M在射线AC上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的12，
∴M为AC的中点，
而A（8，4），C（0，12），
∴M（4，8），
由等底同高的三角形面积相等可知，若M在C上方的射线AC上的M'处，CM'＝CM时，△OM'C的面积也等于△OAC的面积的12，
此时C为线段MM'的中点，
而C（0，12），M（4，8），
∴M'（﹣4，16），
综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（﹣4，16）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积等，难度适中，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形面积．
【变式4-4】如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．
（1）求b的值；
（2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标；
分析：（1）利用△ABC和△ACO的面积公式求解；
（2）分两种情况讨论，点P在第一象限或者在第二象限，分别列出对应面积的表达式求解；
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，
∴点A（b，0），点B（0，b），
∴S△ABC=12×BC×OA=12×(b−2)×b，S△ACO=12OC×OA=12×2×b，
∵S△ABC＝2S△ACO，
∴12(b−2)×b=12×2b×2，
解得b＝6；
（2）由（1）知b＝6，直线AB表达式为y＝﹣x+6，
∴A点坐标（6，0），B点坐标（0，6），
设直线AC的表达式为y＝kx+b，将点A、C代入得，
6k+b=0b=2，解得k=−13b=2，
∴直线AC的解析式为y=−13x+2，
①当点P在第一象限时，过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，设Q（x，−13x+2），则点P（x，﹣x+6），
方法一：
∴PQ＝﹣x+6﹣（−13x+2）=−23x+4，
∴S△PAC＝S△PCQ+S△PAQ
=12PQ⋅x+12×PQ×(6−x)
＝12﹣2x，
S△PCO=12OC⋅x
＝x，
∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝x，解得：x＝4，则P点坐标（4，2）；
方法二：∵S△PAC＝S△BCA﹣S△BCP，
∴S△PAC=12BC×OA−12BC⋅x
=12×4×6−12×4⋅x
＝12﹣2x，
∵S△PCO=12OC⋅x=12×2⋅x=x，
∴S△PAC＝S△PCO，
∴12﹣2x＝x，
解得x＝4，
∴P（4，2）；
②当P点在第二象限时，设点P（x，﹣x+6），
∴S△PAC＝S△PBC+S△ABC
=12BC⋅(−x)+12BC⋅OA
＝12﹣2x，
S△PCO=12OC⋅(−x)
＝﹣x，
∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝﹣x，解得：x＝12，
∴第二象限x＜0，x＝12不符合题意舍去，
∴P点坐标（4，2）；
【点评】本题是一次函数综合题目，主要考查直角坐标系内三角形面积计算，解题关键是熟练计算坐标系内三角形面积，求出点E和点C的坐标，进而求出直线的表达式．
【变式4-5】如图，直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别相交于E、F，点E的坐标为（﹣9，0），点A的坐标为（﹣6，0），点P（x，y）是直线l上的一个动点．
（1）求出△OPA的面积S与x的函数关系式．
（2）当△OPA的面积为3.6时，求点P的坐标．
（3）若直线OP分△OEF的面积为1：2两部分时，求点P的坐标．
分析：（1）思想求出直线EF的解析式，则P（x，23x+6），根据三角形的面积公式，利用分段函数表示S即可；
（2）利用（1）中结论，列出方程，解方程即可；
（3）由S△EOF=12×9×6＝27，直线OP分△OEF的面积为1：2两部分，可得S△PEO＝9或18，可得12×9×（23x+6）＝9或12×9×（23x+6）＝18，解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+6经过点E（﹣9，0），
∴﹣9k+6＝0，
∴k=23，
∴y=23x+6，
∴P（x，23x+6），
∴S=12•OA•|23x+6|=2x+18(x≥−9)−2x−18(x＜−9)．
（2）由题意2x+18＝3.6或﹣2x﹣18＝3.6，
解得x＝﹣7.2或x＝﹣10.8，
∴当△OPA的面积为3.6时，点P的坐标为（﹣7.2，1.2）或（﹣10.8，﹣1.2）．
（3）∵S△EOF=12×9×6＝27，直线OP分△OEF的面积为1：2两部分，
∴S△PEO＝9或18，
∴12×9×（23x+6）＝9或12×9×（23x+6）＝18，
解得x＝﹣6或﹣3，
此时点P坐标为（﹣6，2）或（﹣3，4）．
【点评】本题考查三角形综合题、一次函数图象上点的坐标特点、三角形的面积公式等知识，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键，学会用构建方程的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．
【变式4-6】(2023秋•广陵区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，y2=−13x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）．
（1）填空：m＝ ，b＝ ；
（2）求△ACD的面积；
（3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2=−13x+b的图象的交点，即可解出；
（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到AD的长，从而算出△ACD的面积；
（3）由已知条件可得△ABM的面积，进而得出AM的长，即可得点M的坐标；
【解答】解：（1）∵C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2=−13x+b的图象的交点，
∴m+2＝5，解得m＝3，
∴−13×3+b＝5，解得b＝6，
故答案为：3，6；
（2）一次函数y1＝x+2中，当y1＝0时，x＝﹣2；当x＝0时，y1＝2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
一次函数y2=−13x+6中，当y2＝0时，x＝18，
∴D（18，0），
∴AD＝18﹣（﹣2）＝20，
∴S△ACD=12×20×5＝50，
∴△ACD的面积为50；
（3）如图：
在线段AD上存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21，
∵△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21，
∴S△ABM=44+21S△ACD=425×50＝8，
∴12AM•OB＝8，即12AM×2＝8，
∴AM＝8，
∵点M在线段AD上，
∴点M的坐标为（6，0）；
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
题型五 一次函数平分图形面积问题
【例题5】(2023秋•吴江区月考）如图，一次函数y=34x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，过点B的直线l平分△ABO的面积，则直线l相应的函数表达式为（ ）
A．y=12x+6B．y＝2x+6C．y=23x+6D．y=32x+6
分析：由一次函数y=34x+6求得A、B的坐标，根据题意求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得．
【解答】解：∵一次函数y=34x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴令y＝0，则求得x＝﹣8，令x＝0，求得y＝6，
∴A（﹣8，0），B（0，6），
∵过点B的直线l平分△ABO的面积，
∴AC＝OC，
∴C（﹣4，0），
设直线l的解析式为y＝kx+6，
把C（﹣4，0）代入得﹣4k+6＝0，
解得k=32，
∴直线l的解析式为y=32x+6，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
【变式5-1】(2023春•单县期末）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的表达式为 ．
分析：先利用一次函数图象上点的坐标特征写出A、B点的坐标，再求出AB的中点坐标，根据三角形面积公式可判断直线l2经过AB的中点，然后利用待定系数法求直线解析式．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，则B（0，4）；
当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得x＝2，则A（2，0），
所以线段AB的中点坐标为（1，2），
设直线l2的解析式为y＝kx，
把（1，2）代入得k＝2，
所以直线l2的解析式为y＝2x．
故答案为y＝2x．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数．也考查了一次函数的性质．
【变式5-2】(2023•南京模拟）四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），当过点（0，1）的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（ ）
A．y=−23x+1B．y=23x+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
分析：先判断四边形ABCD是平行四边形，即可判断直线l经过四边形对角线的交点，求得交点坐标，然后利用待定系数法即可求得．
【解答】解：∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），
∴点A向右平移2个单位，再向下平移3个单位与B点重合，点D向右平移2个单位，再向下平移3个单位与C点重合，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴过四边形ABCD对角线的交点的直线1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），
∴对角线的交点为（12，0），
∵过点（0，1）的直线1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴直线l经过点（0，1）和（12，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
∴b=112k+b=0，解得k=−2b=1，
∴直线l所表示的函数表达式为y＝﹣2x+1，
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，待定系数法求得一次函数的解析式，明确直线经过的点的坐标是解题的关键．
【变式5-3】(2023•沂源县一模）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 ．
分析：根据题意画出直线BM，再设解析式，代入点坐标，分别求出DC和BC得解析式，根据铅垂高×水平宽÷2等于△BMC的面积，即可求出m的值，再代入B、M点坐标即可求出解析式．
【解答】解：如图所示，作直线BM交CD于点M，过点M作MN∥y轴，交BC于点N．
设直线BM将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，
设直线DC的解析式为y＝k1x+b1，代入点D（0，3），C（3，0），
得y＝﹣x+3，
设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，代入点B（﹣2，﹣1），C（3，0），
得y=15x−35，
设M（m，﹣m+3），则N（m，15m−35），
∵四边形ABCD的面积为S＝S△ADC+S△ABC=(4+3)×32+(4+3)×12=14，
∴S△BMC＝（﹣m+3−15m+35）×5÷2＝7，
解得m=23，
∴M点坐标为（23，73），
设BM的解析式为y＝kx+b，代入B（﹣2，﹣1）和M（23，73），
解得k=54b=32，
∴BM的解析式为y=54x+32．
【点评】本题考查了一次函数和三角形面积，正确求出一次函数解析式并表示出△BMC的面积是解决本题的关键．
【变式5-4】(2023春•皇姑区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=3x+b与x轴交于点A（﹣4，0）与y轴交于点C，过点C的直线BC与x轴正半轴交于点B，△OBC的面积是△OAC面积的3倍．
（1）求点B的坐标；
（2）线段BC上有点P，当直线AP把△ABC分成面积相等的两部分时，直接写出直线AP的解析式；
（3）在射线OC和射线OB上分别取点E和点F，且EF∥BC，将△OEF沿直线EF翻折得到△O1EF，点O的对应点为点O1，若点O1到直线OC和直线BC的距离相等，直接写出点O1的坐标．
分析：（1）根据△OBC的面积是△OAC面积的3倍，A（﹣4，0），可得OB＝12，点B的坐标（12，0）；
（2）将A（﹣4，0）代入y=3x+b可得y=3x+43，则C（0，43），OC＝43，即得S△ABC=12AB•OC＝323，由B（12，0），C（0，43）可得直线BC解析式为y=−33x+43，设P（m，−33m+43），可得12×（12+4）×（−33m+43）＝163，解得P（6，23），设直线AP的解析式为y＝nx+b'，用待定系数法即得直线AP的解析式为y=35x+435；
（3）过O1作O1K⊥OC于K，由OA＝4，OC＝43，OB＝12，可得∠ACO＝30°，∠OBC＝30°，而点O1到直线OC和直线BC的距离相等，知O1在∠BCO的平分线上，即∠OCO1＝∠BCO1＝30°，设CO1与AB交于F，则∠OFC＝60°，根据EF∥BC，可证∠EFO＝∠OFC﹣∠EFC＝30°＝∠EFC，O关于EF的对称点正好在CF上，若FO＝FO1，则O关于EF对称点即为O1，在Rt△COF中，OF=OC3=4，CF＝2OF＝8，可得O1K是△COF的中位线，从而O1（2，23）．
【解答】解：（1）∵△OBC的面积是△OAC面积的3倍，
∴OB＝3OA，
∵A（﹣4，0），
∴OB＝12，
∴点B的坐标（12，0）；
（2）如图：
将A（﹣4，0）代入y=3x+b得：
﹣43+b＝0，
∴b＝43，
∴y=3x+43，
令x＝0得y＝43，
∴C（0，43），OC＝43，
∴S△ABC=12AB•OC=12×（12+4）×43=323，
由B（12，0），C（0，43）可得直线BC解析式为y=−33x+43，
设P（m，−33m+43），
∵直线AP把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ABP=12S△ABC＝163，
∴12×（12+4）×（−33m+43）＝163，
解得m＝6，
∴P（6，23），
设直线AP的解析式为y＝nx+b'，将A（﹣4，0），P（6，23）代入得：
−4n+b'=06n+b'=23，
解得n=35b'=435，
∴直线AP的解析式为y=35x+435；
（3）过O1作O1K⊥OC于K，如图：
∵OA＝4，OC＝43，OB＝12，
∴AC=42+(43)2=8，BC=(43)2+122=83，
∴OA=12AC，OC=12BC，
∴∠ACO＝30°，∠OBC＝30°，
∴∠BCO＝∠OAC＝60°，∠ACB＝90°，
∵点O1到直线OC和直线BC的距离相等，
∴O1在∠BCO的平分线上，即∠OCO1＝∠BCO1＝30°，
设CO1与AB交于F，则∠OFC＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠BCF＝30°，
∴∠EFO＝∠OFC﹣∠EFC＝30°＝∠EFC，
∴此时O关于EF的对称点正好在CF上，若FO＝FO1，则O关于EF对称点即为O1，
在Rt△COF中，OF=OC3=433=4，CF＝2OF＝8，
∵O关于EF对称点为O1，
∴O1F＝OF＝4，
∴O1F=12CF，
∵O1K∥OF，
∴O1K是△COF的中位线，
∴O1K=12OF＝2，OK=12OC＝23，
∴O1（2，23）．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形面积，待定系数法，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是根据已知得出含特殊角的直角三角形．
【变式5-5】(2023春•颍州区期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），则①AB两点的距离=(x1−x2)2+(y1−y2)2；②线段AB的中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．
解决问题：
如图，平行四边形ABCD中，点B在x轴负半轴上，点D在第一象限，A，C两点的坐标分别为（0，4），（3，0），边AD的长为6．
（1）若点P是直线AD上一动点，当PO+PC取得最小值时，求点P的坐标及PO+PC的最小值；
（2）已知直线l：y＝kx+b过点（0，﹣2），且将平行四边ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若点N在平面直角坐标系内，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
分析：（1）“将军饮马”模型：设点O关于直线AD的对称点为Q，连接CQ交AD于P，连接OP，求出直线QC的解析式为y=−83x+8，即得P（32，4），PO+PC的最小值＝QC=73；
（2）设AC与BD交于点E，则直线l经过点E，由A（0，4）C（3，0），得点E的坐标为(32，2)，用待定系数法即可求得直线l的解析式为y=83x﹣2；
（3）分类画出图象：①以AC为边时，可得CF1＝CF2＝AC＝5，即得F1（8，0），F2（﹣2，0），当F3与B重合时，四边形AF3N3C为菱形，可得F3（﹣3，0）；
②以AC为对角线时，设此时F4（t，0），由AF4＝CF4可得：t2+42=|3﹣t|，即可求出F4（−76，0）．
【解答】解：（1）设点O关于直线AD的对称点为Q，连接CQ交AD于P，连接OP，如图：
∵A（0，4），
∴Q（0，8），PO＝PQ，
∵C（3，0），
∴设直线QC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则3k+b=0b=8，解得：k=−83b=8，
∴直线QC的解析式为y=−83x+8，
当y＝4时，4=−83x+8，
解得x=32，
∴P（32，4），
∴PO+PC的最小值=PQ+PC=QC=(0−3)2+(8−0)2=9+64=73；
（2）设AC与BD交于点E，由平行四边形的中心对称性可知，直线l将平行四边ABCD分成面积相等的两部分，则直线l经过点E，
如图：
在平行四边形ABCD中，EA＝EC，
∵A（0，4）C（3，0），
∴点E的坐标为(32，2)，
设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），则32m+n=2n=−2，
解得：m=83n=−2，
∴直线l的解析式为y=83x﹣2；
（3）存在，理由如下：
①∵A（0，4），C（3，0），
∴AC＝5，
以AC为边时，如图：
此时CF1＝CF2＝AC＝5，
∴F1（8，0），F2（﹣2，0），
当F3与B重合时，如图：
此时AC＝AF3，过B（F3）作AC平行线，过C作AB（AF3）的平行线，两平行线交于N3，此时四边形AF3N3C为菱形，
∴F3（﹣3，0），
②以AC为对角线时，如图：
设此时F4（t，0），由AF4＝CF4可得：t2+42=|3﹣t|，
解得t=−76，
∴F4（−76，0），
综上所述，以A、C、F、N为顶点的四边形为菱形，点F的坐标为（8，0）或（﹣2，0）或（﹣3，0）或（−76，0）．
【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及待定系数法，一次函数图象、“将军饮马”问题等知识，解题的关键是分类画出图形，数形结合解决问题．
题型一 一次函数与坐标轴围成的三角形面积
【例题1】(2023春•滦州市期末）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4），与y轴交于点M．
（1）求直线l1的表达式．
（2）求△BOM的面积．
【变式1-1】(2023秋•广饶县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△AOC的面积．
【变式1-2】如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△AOB的面积．
【变式1-3】(2023春•天河区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9），与x轴、y轴分别交于点A、点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若坐标原点为O，求△ABO的面积．
【变式1-4】已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数y=43x的图象交于点C（m，4）
（1）求m的值；
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（3）求这两个函数图象与x轴所围成的△AOC的面积．
【变式1-5】（2023•惠阳区校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(43，53)，点D的坐标为（0，1），直线AD与x轴交于点B．
（1）求直线AD的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【变式1-6】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=43x的图象交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为 ．
题型二 利用一次函数求不规则的四边形的面积
【例题2】(2023秋•宿豫区期末）如图，直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，5），把直线l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与x轴、y轴交于点C、D．
（1）求直线l对应的函数表达式；
（2）求四边形ABDC的面积．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=12x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式2-2】如图，直线AC：y=12x+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB．
（1）求直线BD的解析式和E的坐标．
（2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积．
【变式2-3】(2023春•南城县校级月考）如图，已知直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A、C两点，直线BC过点C交x轴于点B，且OB＝2OC＝3OA，点D为AC的中点．
（1）求k的值以及直线BC的解析式；
（2）过点D作DE⊥y轴交BC于点E，连接OE，求四边形AOEC的面积；
【变式2-4】已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点是B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2）计算四边形ABCD的面积；
（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．
【变式2-5】(2023春•饶平县校级期末）如图，直线y＝2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y＝﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y＝2x+m（m＞0）相交于点D，若AB＝4．
（1）求点D的坐标；
（2）求出四边形AOCD的面积；
（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．
题型三 根据面积的值求函数解析式或坐标
【例题3】已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（ ）
A．y＝1.5x+3B．y＝﹣1.5x+3
C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3
【变式3-1】(2023秋•阜新县校级期末）一次函数y＝kx+10的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ．
【变式3-2】(2023春•上海期中）已知直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过（2，0），则这条直线的表达式是 ．
【变式3-3】(2023秋•南海区期末）在平面直角坐标系中，直线AB过点A（a，12）、B（12，﹣a），点A在第二象限，点O为坐标原点，连接OA、OB，△AOB的面积为90，则直线AB的函数表达式是 ．
【变式3-4】一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，则这个一次函数的解析式为（ ）
A．y=−12x+2B．y＝﹣2x+4
C．y=23x+16D．y=−12x+2或y＝﹣2x+4
【变式3-5】(2023秋•高邮市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）经过点A（4，0），与直线l2：y=12x相交于点M（m，1）．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）点C为x轴上一点，若△ABC的面积为6，求点C的坐标．
【变式3-6】(2023春•永川区期末）如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点．
（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．
【变式3-7】(2023春•单县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2）且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴正半轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直线l的函数表达式．
【变式3-8】(2023春•北辰区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．
题型四 由图形面积的关系求函数解析式或坐标
【例题4】一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，已知点A和B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若C是x轴上的一动点，试探究当点C运动到何处时，△CAB的面积等于△ABO面积的一半，请直接写出点C的坐标．
【变式4-1】(2023春•乌拉特前旗期末）如图所示，直线L1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．
（1）求直线L2的解析表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
【变式4-2】(2023秋•青岛期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
【变式4-3】(2023秋•垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的12？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-4】如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．
（1）求b的值；
（2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标；
【变式4-5】如图，直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别相交于E、F，点E的坐标为（﹣9，0），点A的坐标为（﹣6，0），点P（x，y）是直线l上的一个动点．
（1）求出△OPA的面积S与x的函数关系式．
（2）当△OPA的面积为3.6时，求点P的坐标．
（3）若直线OP分△OEF的面积为1：2两部分时，求点P的坐标．
【变式4-6】(2023秋•广陵区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，y2=−13x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）．
（1）填空：m＝ ，b＝ ；
（2）求△ACD的面积；
（3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五 一次函数平分图形面积问题
【例题5】(2023秋•吴江区月考）如图，一次函数y=34x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，过点B的直线l平分△ABO的面积，则直线l相应的函数表达式为（ ）
A．y=12x+6B．y＝2x+6C．y=23x+6D．y=32x+6
【变式5-1】(2023春•单县期末）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的表达式为 ．
【变式5-2】(2023•南京模拟）四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），当过点（0，1）的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（ ）
A．y=−23x+1B．y=23x+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
【变式5-3】(2023•沂源县一模）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 ．
【变式5-4】(2023春•皇姑区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=3x+b与x轴交于点A（﹣4，0）与y轴交于点C，过点C的直线BC与x轴正半轴交于点B，△OBC的面积是△OAC面积的3倍．
（1）求点B的坐标；
（2）线段BC上有点P，当直线AP把△ABC分成面积相等的两部分时，直接写出直线AP的解析式；
（3）在射线OC和射线OB上分别取点E和点F，且EF∥BC，将△OEF沿直线EF翻折得到△O1EF，点O的对应点为点O1，若点O1到直线OC和直线BC的距离相等，直接写出点O1的坐标．
【变式5-5】(2023春•颍州区期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），则①AB两点的距离=(x1−x2)2+(y1−y2)2；②线段AB的中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．
解决问题：
如图，平行四边形ABCD中，点B在x轴负半轴上，点D在第一象限，A，C两点的坐标分别为（0，4），（3，0），边AD的长为6．
（1）若点P是直线AD上一动点，当PO+PC取得最小值时，求点P的坐标及PO+PC的最小值；
（2）已知直线l：y＝kx+b过点（0，﹣2），且将平行四边ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若点N在平面直角坐标系内，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
专题 一次函数与图形的面积问题
题型一 一次函数与坐标轴围成的三角形面积
【例题1】(2023春•滦州市期末）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣6，0）的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B（m，4），与y轴交于点M．
（1）求直线l1的表达式．
（2）求△BOM的面积．
分析：（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）把x＝0代入解析式，求出M坐标，利用三角形面积公式解答即可；
【解答】解：（1）∵点B（m，4）直线l2：y＝2x上，
∴4＝2m，
∴m＝2，
∴点B（2，4），
设直线l1的表达式为y＝kx+b，
将A（﹣6，0），B（2，4）代入得：0=6k+b4=2k+b，
解得k=12b=3，
∴直线l1的表达式为y=12x+3；
（2）将x＝0代入y=12x+3，得：y＝3，
∴M（0，3），
∴OM＝3，
∴△BOM的面积=12OM•|xB|=12×3×2＝3；
【点评】本题考查两条直线平行、相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围．
【变式1-1】(2023秋•广饶县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△AOC的面积．
分析：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，将C（0，12），A（8，4）代入，即可由待定系数法求得直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：b=128k+b=4，
解得k=−1b=12，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）∵C（0，12），A（8，4），
∴S△OAC=12×12×8＝48．
【点评】本题是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形性质以及三角形面积求法等知识；熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式解题关键．
【变式1-2】如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△AOB的面积．
分析：（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）令x＝0，y＝0，代入y=43x+53即可确定C、D点坐标；
（3）根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD进行计算即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得 −2k+b=−1k+b=3，
解得 k=43b=53．
所以一次函数解析式为y=43x+53；
（2）令y＝0，则0=43x+53，解得x=−54，
所以C点的坐标为（−54，0），
把x＝0代入y=43x+53得y=53，
所以D点坐标为（0，53），
（3）△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD
=12×53×2+12×53×1
=52．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．
【变式1-3】(2023春•天河区期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9），与x轴、y轴分别交于点A、点B．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若坐标原点为O，求△ABO的面积．
分析：（1）设出一次函数的解析式是y＝kx+b，然后把经过的点的坐标代入，求解得到k、b的值即可得解；
（2）根据一次函数的解析式求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式是y＝kx+b，
则3k+b=5−4k+b=−9，
解得k=2b=−1，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1；
（2）当x＝0时，y＝﹣1，
当y＝0时，2x﹣1＝0，解得x=12，
∴点A、B的坐标是A（12，0），B（0，﹣1），
∴OA=12，OB＝1，
S△OAB=12OA•OB=12×12×1=14．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．
【变式1-4】已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数y=43x的图象交于点C（m，4）
（1）求m的值；
（2）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（3）求这两个函数图象与x轴所围成的△AOC的面积．
分析：（1）根据两直线相交的问题，把C（m，4）代入y=43x中即可求出m的值；
（2）把B点和C点坐标分别代入y＝kx+b，得到关于k和b的方程组，然后解方程求出k和b即可得到一次函数解析式；
（3）先确定A点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）∵点C在正比例函数y=43x的图象上，
∴43m=4，
∴m＝3；
（2）∵点C（3，4）B（0，2）在一次函数图象上，
∴3k+b=4b=2，
解得k=23b=2．
∴一次函数的表达式为y=23x+2；
（3）当y＝0时，23x+2＝0，解得x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
∴△AOC的面积=12×3×4＝6．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
【变式1-5】（2023•惠阳区校级开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(43，53)，点D的坐标为（0，1），直线AD与x轴交于点B．
（1）求直线AD的解析式．
（2）求△ABC的面积．
分析：（1）设直线AD的解析式为y＝kx+b，用待定系数法将 A(43，53)，D（0，1）代入即可；
（2）根先求得BC＝5，再根据三角形面积计算公式进行计算即可．
【解答】解：（1）设直线AD的解析式为 y＝kx+b，
∵直线AD过点 A(43，53)，D（0，1），
∴43k+b=53b=1，
解得k=12b=1，
∴直线AD的解析式为：y=12x+1．
（2）∵直线AD的解析式为y=12x+1，
∴当y＝0时，则12x+1＝0，
解得x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∴BC＝5，
∴△ABC的面积=12×5×53=256．
【点评】本题主要是两直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
【变式1-6】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y=43x的图象交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）求△BOC的面积；
（3）若点D在第二象限，△DAB为等腰直角三角形，则点D的坐标为 ．
分析：（1）把C点坐标代入正比例函数解析式可求得m，再把A、C坐标代入一次函数解析式可求得k、b，可求得答案；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）由题意可分两种情况，即A为直角顶点和B为直角顶点，分别设对应的D点为D2和D1，过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，可证明△BED1≌△AOB（AAS），可求得D1的坐标，同理可求得D2的坐标，可得出D点的坐标．
【解答】解：（1）∵点C在正比例函数图象上，
∴43m＝4，解得：m＝3，
∵点C（3，4）、A（﹣3，0）在一次函数图象上，
∴代入一次函数解析式可得−3k+b=03k+b=4，解这个方程组得k=23b=2，
∴一次函数的解析式为y=23x+2；
（2）在y=23x+2中，令x＝0，解得y＝2，
∴B（0，2）
∴S△BOC=12×2×3＝3；
（3）过点D1作D1E⊥y轴于点E，过点D2作D2F⊥x轴于点F，如图，
∵点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AB＝BD2，
∵∠D1BE+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠EBD1，
∵在△BED1和△AOB中，∠D1EB=∠BOA∠EBD1=∠BAOD1B=BA
∴△BED1≌△AOB（AAS），
∴BE＝AO＝3，D1E＝BO＝2，
即可得出点D的坐标为（﹣2，5）；
同理可得出：△AFD2≌△AOB，
∴FA＝BO＝2，D2F＝AO＝3，
∴点D的坐标为（﹣5，3），
∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°，
∴∠AD3B＝90°，
∴D3（−52，52），
综上可知点D的坐标为（﹣2，5）或（﹣5，3）或（−52，52）．
故答案为：（﹣2，5）或（﹣5，3）或（−52，52）．
【点评】本题考查了两直线相交，一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
题型二 利用一次函数求不规则的四边形的面积
【例题2】(2023秋•宿豫区期末）如图，直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，5），把直线l沿y轴向下平移3个单位长度，得到直线m，且直线m分别与x轴、y轴交于点C、D．
（1）求直线l对应的函数表达式；
（2）求四边形ABDC的面积．
分析：（1）待定系数法求解析式即可；
（2）先求出直线l沿y轴向下平移后的直线解析式，再求出C点和D点坐标，再根据四边形ABDC的面积＝S△OAB﹣S△ODC求解即可．
【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），
∵直线l分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，5），
∴4k+b=0b=5，
解得k=−54b=5，
∴直线l的函数表达式为y=−54x+5；
（2）直线l沿y轴向下平移3个单位长度得y=−54x+5−3=−54x+2，
∴直线m的解析式为y=−54x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴点D坐标为（0，2），
∴OD＝2，
当y=−54x+2=0时，x=85，
∴点C坐标为（85，0），
∴OC=85，
∵OA＝4，OB＝5，
∴四边形ABDC的面积＝S△OAB﹣S△ODC
=12×4×5−12×2×85
=425．
【点评】本题考查了一次函数与几何变换，待定系数法求解析式，四边形的面积等，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=12x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，直线l2过点B且与x轴交于点C，将直线l1向下平移4个单位长度得到直线l3，已知直线l3刚好过点C且与y轴交于点D．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求四边形ABCD的面积．
分析：（1）根据直线l1的解析式求出A（﹣6，0），B（0，3）．根据上加下减的平移规律求出直线l3的解析式为y=12x﹣1，求出C（2，0），D（0，﹣1）．根据直线l2过点B、C，利用待定系数法求出直线l2的解析式；
（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，即可求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵直线l1：y=12x+3与x轴、y轴交点分别为点A和点B，
∴y＝0时，12x+3＝0，解得x＝﹣6，
x＝0时，y＝3，
∴A（﹣6，0），B（0，3）．
∵将直线l1：y=12x+3向下平移4个单位长度得到直线l3，
∴直线l3的解析式为：y=12x+3﹣4，即y=12x﹣1，
∵y＝0时，12x﹣1＝0，解得x＝2，
x＝0时，y＝﹣1，
∴C（2，0），D（0，﹣1）．
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∵直线l2过点B（0，3）、点C（2，0），
∴b=32k+b=0，解得k=−32b=3，
∴直线l2的解析式为y=−32x+3；
（2）∵A（﹣6，0），B（0，3），C（2，0），D（0，﹣1），
∴AC＝2﹣（﹣6）＝8，OB＝3，OD＝1，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
=12AC•OB+12AC•OD
=12×8×3+12×8×1
＝12+4
＝16．
【点评】本题是关于求一次函数解析式，两直线交点以及利用坐标来求相关图形面积的综合问题．
【变式2-2】如图，直线AC：y=12x+2分别交x轴和y轴于A，C两点，直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，直线AC与BD交于点E，且OA＝OB．
（1）求直线BD的解析式和E的坐标．
（2）若直线y＝x分别与直线AC，BD交于点H和F，求四边形ECOF的面积．
分析：（1）先求直线AC：y=12x+2与x轴和y轴的交点A，C，由OA＝OB得点坐标，代入直线BD：y＝﹣x+b，求出b，即可知直线BD的解析式；再把直线BD的解析式与直线AC：y=12x+2联立即可求出点E的坐标．
（2）由（1）知点C，D，E的坐标，再联立y＝x和直线BD的解析式，求出点F的坐标，由三角形DOF的面积减去三角形DCE的面积，即可求出四边形ECOF的面积．
【解答】解：（1）∵直线AC：y=12x+2分别交x轴和y轴于A，C两点，
∴A（﹣4，0），C（0，2），
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝4，B（4，0），
∵直线BD：y＝﹣x+b分别交x轴和y轴于B，D两点，
∴0＝﹣4+b，
∴b＝4，D（0，4）
∴直线BD：y＝﹣x+4．
解y=12x+2y=−x+4得 x=43y=83
∴E（43，83）
综上，直线 直线BD的解析式为：y＝﹣x+4，点E坐标为（43，83）．
（2）由（1）知：C（0，2），D（0，4），E（43，83），
且由y=xy=−x+4，得点F（2，2），
∴S四边形ECOF＝S△DOF﹣S△DCE
＝4×2÷2﹣（4﹣2）×43÷2
＝4−43
=83
故四边形ECOF的面积为83．
【点评】本题是关于求一次函数解析式，两直线交点以及利用坐标来求相关图形面积的综合问题．
【变式2-3】(2023春•南城县校级月考）如图，已知直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A、C两点，直线BC过点C交x轴于点B，且OB＝2OC＝3OA，点D为AC的中点．
（1）求k的值以及直线BC的解析式；
（2）过点D作DE⊥y轴交BC于点E，连接OE，求四边形AOEC的面积；
分析：（1）根据一次函数解析式求出点C的坐标，然后根据OB＝2OC＝3OA求出点A和点B的坐标，将点A坐标代入函数解析式求出k的值，运用待定系数法求出直线BC的解析式即可；
（2）根据点D为AC的中点得出点D和点E的坐标，然后根据S\user2四边形AOEC=S△AOC+S△COE求解即可；
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A、C两点，
∴当x＝0时，y＝3，
∴点C（0，3），即OC＝3，
∵OB＝2OC＝3OA，
∴OB＝6，OA＝2，
∴点A（﹣2，0），B（6，0），
即0＝﹣2k+3，
解得：k=32，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
∵B（6，0），C（0，3），
∴0=6m+n3=n，
解得m=−12n=3，
∴直线BC的解析式为y=−12x+3；
（2）∵点D为AC的中点，
∴点D(−1，32)，
∵DE⊥y轴交BC于点E，
∴点E的纵坐标为32，
∵点E在直线BC上，
∴32=−12x+3，
解得：x＝3，
∴点E(3，32)，
设DE与y轴交于点F，
则S四边形AOEC＝S△AOC+S△COE=12AO•OC+12OC•EF=12×2×2+12×3×3=152；
【点评】本题考查了一次函数与几何综合，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的性质，是解本题的关键．
【变式2-4】已知直线m经过两点（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x轴、y轴的交点是B、A，直线n过点（2，﹣2），且与y轴交点的纵坐标是﹣3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
（1）分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2）计算四边形ABCD的面积；
（3）若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积．
分析：（1）利用待定系数法可分别求出直线AB的解析式为y＝2x+4；直线CD的解析式为y=12x﹣3；然后利用两点确定一直线画函数图象；
（2）利用坐标轴上点的坐标特征确定A点坐标为（0，4）＝B点坐标为（﹣2，0）、D点坐标为（6，0），然后根据三角形面积公式和四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD进行计算；
（3）根据一次函数的交点问题通过解方程组y=2x+4y=12x−3得到E点坐标，然后利用△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD进行计算．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把（1，6）、（﹣3，﹣2）代入得k+b=6−3k+b=−2，
解得k=2b=4．
所以直线AB的解析式为y＝2x+4；
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
把（2，﹣2）、（0，﹣3）代入得2m+n=−2n=−3，
解得m=12n=−3，
所以直线CD的解析式为y=12x﹣3；
如图所示；
（2）把x＝0代入y＝2x+4得y＝4，则A点坐标为（0，4）；
把y＝0代入y＝2x+4得2x+4＝0，解得x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
把y＝0代入y=12x﹣3得12x﹣3＝0，解得x＝6，则D点坐标为（6，0），
所以四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△CBD=12×（6+2）×4+12×（6+2）×3＝28；
（3）解方程组y=2x+4y=12x−3得x=−143y=−163，
所以E点坐标为（−143，−163），
所以△BCE的面积＝S△EBD﹣S△CBD
=12×（6+2）×163−12×（6+2）×3
=283．
【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
【变式2-5】(2023春•饶平县校级期末）如图，直线y＝2x+m（m＞0）与x轴交于点A（﹣2，0），直线y＝﹣x+n（n＞0）与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与直线y＝2x+m（m＞0）相交于点D，若AB＝4．
（1）求点D的坐标；
（2）求出四边形AOCD的面积；
（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，求点E的坐标．
分析：（1）先把A点坐标代入y＝2x+m得到m＝4，则y＝2x+4，再利用AB＝4可得到B点坐标为（2，0），则把B点坐标代入y＝﹣x+n可得到n＝2，则y＝﹣x+2，然后根据两直线相交的问题，通过解方程组y=−x+2y=2x+4得到D点坐标；
（2）先确定C点坐标为（0，2），然后利用四边形AOCD的面积＝S△DAB﹣S△COB进行计算即可；
（3）先利用A、C两点的坐标特征得到△ACO为等腰直角三角形，AC＝22，然后分类讨论：当AE＝AC＝22时，以A点为圆心，22画弧交x轴于E1点和E2点，再写出它们的坐标；当CE＝CA时，E3点与点A关于y轴对称，即可得到它的坐标；当EA＝EC时，E4点为坐标原点．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝2x+m得﹣4+m＝0，解得m＝4，
∴y＝2x+4，
∵AB＝4，A（﹣2，0），
∴B点坐标为（2，0），
把B（2，0）代入y＝﹣x+n得﹣2+n＝0，解得n＝2，
∴y＝﹣x+2，
解方程组y=−x+2y=2x+4得x=−23y=83，
∴D点坐标为（−23，83）；
（2）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，
∴C点坐标为（0，2），
∴四边形AOCD的面积＝S△DAB﹣S△COB
=12×4×83−12×2×2
=103；
（3）∵A（﹣2，0），C（0，2），
∴AC＝22，
当AE＝AC＝22时，E1点的坐标为（22−2，0），E2点的坐标为（﹣22−2，0）；
当CE＝CA时，E3点的坐标为（2，0），
当EA＝EC时，E4点的坐标为（0，0），
综上所述，点E的坐标为（22−2，0）、（﹣22−2，0）、（2，0）、（0，0）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了分类讨论思想的运用．
题型三 根据面积的值求函数解析式或坐标
【例题3】已知一次函数的图象过点（0，3），且与两坐标轴所围成的三角形面积为3，则这个一次函数的表达式为（ ）
A．y＝1.5x+3B．y＝﹣1.5x+3
C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3
分析：设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0），根据三角形的面积公式即可求得a的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式．
【解答】解：设这个一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），与x轴的交点是（a，0）．
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，3），
∴b＝3．
∵这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为3，
∴12×3×|a|＝3，
解得：a＝2或﹣2．
把（2，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1.5，则函数的解析式是y＝﹣1.5x+3；
把（﹣2，0）代入y＝kx+3，得k＝1.5，则函数的解析式是y＝1.5x+3．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，正确求得与x轴的交点坐标是解题的关键．
【变式3-1】(2023秋•阜新县校级期末）一次函数y＝kx+10的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ．
分析：先求出一次函数y＝kx+10与x轴，y轴的交点，然后再利用它与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，进行计算即可解答．
【解答】解：当x＝0时，代入y＝kx+10中可得：
y＝10，
∴y＝kx+10与y轴的交点为（0，10），
当y＝0时，代入y＝kx+10中可得：
kx+10＝0，
解得：x=−10k
∴y＝kx+10与x轴的交点为（−10k，0），
由题意得：
12×10•|−10k|＝5，
解得：k＝±10，
经检验：k＝±10是原方程的根．
∴该直线的表达式为：y＝﹣10x+10或y＝10x+10，
故答案为：y＝﹣10x+10或y＝10x+10．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，求出一次函数y＝kx+10与x轴，y轴的交点是解题的关键．
【变式3-2】(2023春•上海期中）已知直线y＝kx+b（k≠0）与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过（2，0），则这条直线的表达式是 ．
分析：先根据面积求出三角形在y轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意，设与y轴交点坐标为（0，b）
则12×2×|b|＝6，
解得|b|＝6，
∴b＝±6，
①当b＝6时，与y轴交点为（0，6）
∴2k+b=0b=6，解得k=−3b=6，
∴函数解析式为y＝﹣3x+6；
②当b＝﹣6时，与y轴的交点为（0，﹣6）
∴2k+b=0b=−6解得k=3b=−6，
∴函数解析式为y＝3x﹣6．
∴这个一次函数的解析式是y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．
故答案为：y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．
【变式3-3】(2023秋•南海区期末）在平面直角坐标系中，直线AB过点A（a，12）、B（12，﹣a），点A在第二象限，点O为坐标原点，连接OA、OB，△AOB的面积为90，则直线AB的函数表达式是 ．
分析：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△AOC≌△OBD，可得∠AOC＝∠OBD，由∠AOC+∠BOD＝∠OBD+∠BOD＝90°，根据△AOB的面积为90得出a＝﹣6，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
∵点A（a，12）、B（12，﹣a），点A在第二象限，
∴OC＝BD＝﹣a，AC＝OD＝12，
在△AOC和△OBD中，
OC=DB∠ACO=∠ODB=90°AC=OD，
∴△AOC≌△OBD（SAS），
∴∠AOC＝∠OBD，
∴∠AOC+∠BOD＝∠OBD+∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵点A（a，12）、B（12，﹣a），
∴OA＝OB=a2+122，
∵△AOB的面积为90，
∴12×OA×OB=12×a2+122×a2+122=6，
∴a＝﹣6或6（舍去），
∴点A（﹣6，12）、B（12，6），
设直线AB的函数表达式是y＝kx+b，
∴−6k+b=1212k+b=6，解得a=−13b=10，
∴直线AB的函数表达式是y=−13x+10．
故答案为：y=−13x+10．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等，作辅助线，证明△AOC≌△OBD是解题的关键．
【变式3-4】一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．已知OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，则这个一次函数的解析式为（ ）
A．y=−12x+2B．y＝﹣2x+4
C．y=23x+16D．y=−12x+2或y＝﹣2x+4
分析：首先根据题意设A（x，0），B（0，y），再根据“OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，”可得方程组12xy=4x+y=6，再解出x、y的值，进而得到A、B两点坐标．然后再利用待定系数法求出一次函数解析式．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点．
∴设A（x，0），B（0，y），
∵OA+OB＝6（O为坐标原点）．且S△ABO＝4，
∴12xy=4x+y=6，
解得：x=2y=4或x=4y=2，
∴A（2，0）、B（0，4）或A（4，0）、B（0，2），
当A（2，0）、B（0，4）时0=2k+bb=4，解得b=4k=−2，
当A（4，0）、B（0，2）时，0=4k+bb=2，解得k=−12b=2，
∴这个一次函数的解析式为y=−12x+2或y＝﹣2x+4，
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是根据题意计算出一次函数图象所经过的点的坐标．
【变式3-5】(2023秋•高邮市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+b（k≠0）经过点A（4，0），与直线l2：y=12x相交于点M（m，1）．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）点C为x轴上一点，若△ABC的面积为6，求点C的坐标．
分析：（1）根据待定系数法求解即可；
（2）先求点B的坐标，设C（x，0），根据三角形面积公式构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点M（m，1）在y=12x上，
∴12m=1，
解得：m＝2，
∴M（2，1），
∵M（2，1），A（4，0）在y＝kx+b（k≠0）上，
∴2k+b=14k+b=0，
解得：k=−12b=2，
∴y=−12x+2；
（2）当x＝0时，y＝2，
∴B（0，2），
设C（x，0），
∵S△ABC＝6，
∴12⋅|4−x|⋅2=6，
解得：x＝10或﹣2，
∴点C的坐标为（﹣2，0），（10，0）．
【点评】本题考查了两条直线相交问题，用待定系数法求函数解析式并且求出点C坐标是解决本题的关键．
【变式3-6】(2023春•永川区期末）如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点．
（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；
（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．
分析：（1）根据三角形的面积公式S△OPA=12OA•y，然后把y转换成x，即可求得△OPA的面积S与x的函数关系式；
（2）把s＝10代入S＝﹣4x+40，求得x的值，把x的值代入y＝﹣x+10即可求得P的坐标．
【解答】解（1）∵A（8，0），
∴OA＝8，
S=12OA•|yP|=12×8×（﹣x+10）＝﹣4x+40，（0＜x＜10）．
（2）当S＝10时，则﹣4x+40＝10，解得x=152，
当x=152时，y=−152+10=52，
∴当△OPA的面积为10时，点P的坐标为（152，52）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，把求三角形的面积和一次函数的图象结合起来，综合性比较强．
【变式3-7】(2023春•单县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2）且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴正半轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直线l的函数表达式．
分析：（1）用待定系数法求直线n的函数解析式；
（2）根据△ABC的面积为9可求得AC的长，可得出结论；
（3）过点B作BD⊥y轴于点D，则CD＝AD＝4，得C（0，6），设直线l的解析式为：y＝kx+b，将B，C代入即可．
【解答】解：（1）设直线n的解析式为：y＝kx+b，
∵直线n：y＝kx+b过点A（0，﹣2），点B（3，2），
∴b=−23k+b=2，解得：k=43b=−2，
∴直线n的函数解析式为：y=43x−2；
（2）∵若△ABC的面积为9，
∴9=12⋅AC⋅3，
∴AC＝6，
∵OA＝2，
∵点C在y轴正半轴，
∴C（0，4）；
（3）当AB＝BC时，过点B作BD⊥y轴于点D，
∴CD＝AD＝4，
∴C（0，6），
设直线l的解析式为：y＝kx+b，
将B（3，2），C（0，6）代入得：
3k+b=2b=6，
解得k=−43b=6，
∴直线l的解析式为：y=−43x+6．
【点评】本题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，以及等腰三角形的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【变式3-8】(2023春•北辰区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点B（4，0）的直线AB与直线OA相交于点A（3，1），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式；
（2）直线AB交y轴于点C，求△OAC的面积；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，求出这时点M的坐标．
分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：4k+b=03k+b=1，
解得：k=−1b=4，
则直线的解析式是：y＝﹣x+4；
（2）在y＝﹣x+4中，令x＝0，解得：y＝4，
S△OAC=12×4×3＝6；
（3）当M在线段OA时，
设OA的解析式是y＝mx，
把A（3，1）代入得：3m＝1，
解得：m=13，
则直线的解析式是：y=13x，
∵△OAC的面积是△OMC面积的3倍时，
∴当M的横坐标是13×3＝1，
在y=13x中，当x＝1时，y=13，
则M的坐标是（1，13）；
当M在射线AC上时
在y＝﹣x+4中，x＝1时，
则y＝3，
则M的坐标是（1，3）；
当M的横坐标是﹣1时，
在y＝﹣x+4中，当x＝﹣1时，y＝5，
则M的坐标是（﹣1，5）；
综上所述：M的坐标是：M1（1，13）或M2（1，3）或M3（﹣1，5）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，利用M点横坐标为±1分别求出其纵坐标是解题关键．
题型四 由图形面积的关系求函数解析式或坐标
【例题4】一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，已知点A和B的坐标分别为（4，0）、（0，3）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若C是x轴上的一动点，试探究当点C运动到何处时，△CAB的面积等于△ABO面积的一半，请直接写出点C的坐标．
分析：（1）由待定系数法直接求得答案即可；
（2）设出C点的坐标，表示出△CAB的面积，与△ABO面积建立方程，求得答案即可．
【解答】解：（1）把（4，0）、（0，3）代入一次函数y＝kx+b得，
4k+b=0b=3，
解得：k=−34b=3．
所以函数解析式为y=−34x+3；
（2）设C点的坐标为（x，0），由题意得，
12|4﹣x|×3=12×12×4×3，
解得：x＝2或x＝6．
所以点C坐标为C1（2，0），C2（6，0）．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，以及利用点的坐标求有关面积的问题，渗透分类探讨的思想和方法．
【变式4-1】(2023春•乌拉特前旗期末）如图所示，直线L1的解析表达式为y＝﹣3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．
（1）求直线L2的解析表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
分析：（1）利用待定系数法求直线L2的解析表达式；
（2）先解方程组y=32x−6y=−3x+3确定C（2，﹣3），再利用x轴上点的坐标特征确定D点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（3）由于△ADP与△ADC的面积相等，根据三角形面积公式得到点P与点C到AD的距离相等，则P点的纵坐标为3，对于函数y=32x﹣6，计算出函数值为3所对应的自变量的值即可得到P点坐标．
【解答】解：（1）设直线L2的解析表达式为y＝kx+b，
把A（4，0）、B（3，−32）代入得4k+b=03k+b=−32，解得k=32b=−6，
所以直线L2的解析表达式为y=32x﹣6；
（2）解方程组y=32x−6y=−3x+3得x=2y=−3，则C（2，﹣3）；
当y＝0时，﹣3x+3＝0，解得x＝1，则D（1，0），
所以△ADC的面积=12×（4﹣1）×3=92；
（3）因为点P与点C到AD的距离相等，
所以P点的纵坐标为3，
当y＝3时，32x﹣6＝3，解得x＝6，
所以P点坐标为（6，3）．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．
【变式4-2】(2023秋•青岛期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
分析：（1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出S△ABC＝27，设G（m，﹣m+6），分两种情况：①S△ABG：S△ACG＝1：2时，②S△ABG：S△ACG＝2：1时，分别求得m的值，进而求得G点的坐标；
【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），
∵点B（6，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：
∴6k+b=0b=6，解得：k=−1b=6，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）．
∴AB＝9，
∴S△ABC=12×9×6＝27，
设G（m，﹣m+6），（0＜m＜6），
①当S△ABG：S△ACG＝1：2时，即S△ABG=13S△ABC＝9，
∴12×9（﹣m+6）＝9，
∴m＝4，
∴G（4，2）；
当S△ABG：S△ACG＝2：1时，即S△ABG=23S△ABC＝18，
∴12×9（﹣m+6）＝18，
∴m＝2，
∴G（2，4）．
综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）；
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、等腰直角三角形的性质、三角形的面积及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中利用三角形的面积公式是解题的关键．
【变式4-3】(2023秋•垦利区期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）．
（1）求直线AC的表达式；
（2）求△OAC的面积；
（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的12？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，将C（0，12），A（8，4）代入，即可由待定系数法求得直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）过A作AH⊥OC于H，由A（8，4）得AH＝8，故S△OAC=12OC•AH=12×12×8＝48；
（3）①若M在线段OA上时，由△OMC的面积是△OAC的面积的12，知M为OA中点，即得M（4，2），②当M在射线AC上时，△OMC的面积是△OAC的面积的12，则M为AC的中点，可得M（4，8），由等底同高的三角形面积相等可得，M'（﹣4，16）．
【解答】解：（1）设直线AC解析式为y＝kx+b，
将C（0，12），A（8，4）代入得：
12=b4=8k+b，解得k=−1b=12，
∴直线AC解析式为y＝﹣x+12；
（2）过A作AH⊥OC于H，如图：
∵A（8，4），AH⊥OC，
∴AH＝8，
∵C（0，12），
∴OC＝12，
∴S△OAC=12OC•AH=12×12×8＝48；
（3）存在，
①若M在线段OA上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的12，
∴M为OA中点，
而A（8，4），
∴M（4，2），
②当M在射线AC上时，如图：
∵△OMC的面积是△OAC的面积的12，
∴M为AC的中点，
而A（8，4），C（0，12），
∴M（4，8），
由等底同高的三角形面积相等可知，若M在C上方的射线AC上的M'处，CM'＝CM时，△OM'C的面积也等于△OAC的面积的12，
此时C为线段MM'的中点，
而C（0，12），M（4，8），
∴M'（﹣4，16），
综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（﹣4，16）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积等，难度适中，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形面积．
【变式4-4】如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．
（1）求b的值；
（2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标；
分析：（1）利用△ABC和△ACO的面积公式求解；
（2）分两种情况讨论，点P在第一象限或者在第二象限，分别列出对应面积的表达式求解；
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，
∴点A（b，0），点B（0，b），
∴S△ABC=12×BC×OA=12×(b−2)×b，S△ACO=12OC×OA=12×2×b，
∵S△ABC＝2S△ACO，
∴12(b−2)×b=12×2b×2，
解得b＝6；
（2）由（1）知b＝6，直线AB表达式为y＝﹣x+6，
∴A点坐标（6，0），B点坐标（0，6），
设直线AC的表达式为y＝kx+b，将点A、C代入得，
6k+b=0b=2，解得k=−13b=2，
∴直线AC的解析式为y=−13x+2，
①当点P在第一象限时，过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，设Q（x，−13x+2），则点P（x，﹣x+6），
方法一：
∴PQ＝﹣x+6﹣（−13x+2）=−23x+4，
∴S△PAC＝S△PCQ+S△PAQ
=12PQ⋅x+12×PQ×(6−x)
＝12﹣2x，
S△PCO=12OC⋅x
＝x，
∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝x，解得：x＝4，则P点坐标（4，2）；
方法二：∵S△PAC＝S△BCA﹣S△BCP，
∴S△PAC=12BC×OA−12BC⋅x
=12×4×6−12×4⋅x
＝12﹣2x，
∵S△PCO=12OC⋅x=12×2⋅x=x，
∴S△PAC＝S△PCO，
∴12﹣2x＝x，
解得x＝4，
∴P（4，2）；
②当P点在第二象限时，设点P（x，﹣x+6），
∴S△PAC＝S△PBC+S△ABC
=12BC⋅(−x)+12BC⋅OA
＝12﹣2x，
S△PCO=12OC⋅(−x)
＝﹣x，
∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝﹣x，解得：x＝12，
∴第二象限x＜0，x＝12不符合题意舍去，
∴P点坐标（4，2）；
【点评】本题是一次函数综合题目，主要考查直角坐标系内三角形面积计算，解题关键是熟练计算坐标系内三角形面积，求出点E和点C的坐标，进而求出直线的表达式．
【变式4-5】如图，直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别相交于E、F，点E的坐标为（﹣9，0），点A的坐标为（﹣6，0），点P（x，y）是直线l上的一个动点．
（1）求出△OPA的面积S与x的函数关系式．
（2）当△OPA的面积为3.6时，求点P的坐标．
（3）若直线OP分△OEF的面积为1：2两部分时，求点P的坐标．
分析：（1）思想求出直线EF的解析式，则P（x，23x+6），根据三角形的面积公式，利用分段函数表示S即可；
（2）利用（1）中结论，列出方程，解方程即可；
（3）由S△EOF=12×9×6＝27，直线OP分△OEF的面积为1：2两部分，可得S△PEO＝9或18，可得12×9×（23x+6）＝9或12×9×（23x+6）＝18，解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+6经过点E（﹣9，0），
∴﹣9k+6＝0，
∴k=23，
∴y=23x+6，
∴P（x，23x+6），
∴S=12•OA•|23x+6|=2x+18(x≥−9)−2x−18(x＜−9)．
（2）由题意2x+18＝3.6或﹣2x﹣18＝3.6，
解得x＝﹣7.2或x＝﹣10.8，
∴当△OPA的面积为3.6时，点P的坐标为（﹣7.2，1.2）或（﹣10.8，﹣1.2）．
（3）∵S△EOF=12×9×6＝27，直线OP分△OEF的面积为1：2两部分，
∴S△PEO＝9或18，
∴12×9×（23x+6）＝9或12×9×（23x+6）＝18，
解得x＝﹣6或﹣3，
此时点P坐标为（﹣6，2）或（﹣3，4）．
【点评】本题考查三角形综合题、一次函数图象上点的坐标特点、三角形的面积公式等知识，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键，学会用构建方程的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．
【变式4-6】(2023秋•广陵区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，y2=−13x+b的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点C（m，5）．
（1）填空：m＝ ，b＝ ；
（2）求△ACD的面积；
（3）在线段AD上是否存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2=−13x+b的图象的交点，即可解出；
（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到AD的长，从而算出△ACD的面积；
（3）由已知条件可得△ABM的面积，进而得出AM的长，即可得点M的坐标；
【解答】解：（1）∵C（m，5）是一次函数y1＝x+2与y2=−13x+b的图象的交点，
∴m+2＝5，解得m＝3，
∴−13×3+b＝5，解得b＝6，
故答案为：3，6；
（2）一次函数y1＝x+2中，当y1＝0时，x＝﹣2；当x＝0时，y1＝2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
一次函数y2=−13x+6中，当y2＝0时，x＝18，
∴D（18，0），
∴AD＝18﹣（﹣2）＝20，
∴S△ACD=12×20×5＝50，
∴△ACD的面积为50；
（3）如图：
在线段AD上存在一点M，使得△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21，
∵△ABM的面积与四边形BMDC的面积比为4：21，
∴S△ABM=44+21S△ACD=425×50＝8，
∴12AM•OB＝8，即12AM×2＝8，
∴AM＝8，
∵点M在线段AD上，
∴点M的坐标为（6，0）；
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
题型五 一次函数平分图形面积问题
【例题5】(2023秋•吴江区月考）如图，一次函数y=34x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，过点B的直线l平分△ABO的面积，则直线l相应的函数表达式为（ ）
A．y=12x+6B．y＝2x+6C．y=23x+6D．y=32x+6
分析：由一次函数y=34x+6求得A、B的坐标，根据题意求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得．
【解答】解：∵一次函数y=34x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴令y＝0，则求得x＝﹣8，令x＝0，求得y＝6，
∴A（﹣8，0），B（0，6），
∵过点B的直线l平分△ABO的面积，
∴AC＝OC，
∴C（﹣4，0），
设直线l的解析式为y＝kx+6，
把C（﹣4，0）代入得﹣4k+6＝0，
解得k=32，
∴直线l的解析式为y=32x+6，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
【变式5-1】(2023春•单县期末）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的表达式为 ．
分析：先利用一次函数图象上点的坐标特征写出A、B点的坐标，再求出AB的中点坐标，根据三角形面积公式可判断直线l2经过AB的中点，然后利用待定系数法求直线解析式．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，则B（0，4）；
当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得x＝2，则A（2，0），
所以线段AB的中点坐标为（1，2），
设直线l2的解析式为y＝kx，
把（1，2）代入得k＝2，
所以直线l2的解析式为y＝2x．
故答案为y＝2x．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数．也考查了一次函数的性质．
【变式5-2】(2023•南京模拟）四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），当过点（0，1）的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（ ）
A．y=−23x+1B．y=23x+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+1
分析：先判断四边形ABCD是平行四边形，即可判断直线l经过四边形对角线的交点，求得交点坐标，然后利用待定系数法即可求得．
【解答】解：∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），
∴点A向右平移2个单位，再向下平移3个单位与B点重合，点D向右平移2个单位，再向下平移3个单位与C点重合，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴过四边形ABCD对角线的交点的直线1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），
∴对角线的交点为（12，0），
∵过点（0，1）的直线1将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
∴直线l经过点（0，1）和（12，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b，
∴b=112k+b=0，解得k=−2b=1，
∴直线l所表示的函数表达式为y＝﹣2x+1，
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，待定系数法求得一次函数的解析式，明确直线经过的点的坐标是解题的关键．
【变式5-3】(2023•沂源县一模）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为 ．
分析：根据题意画出直线BM，再设解析式，代入点坐标，分别求出DC和BC得解析式，根据铅垂高×水平宽÷2等于△BMC的面积，即可求出m的值，再代入B、M点坐标即可求出解析式．
【解答】解：如图所示，作直线BM交CD于点M，过点M作MN∥y轴，交BC于点N．
设直线BM将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，
设直线DC的解析式为y＝k1x+b1，代入点D（0，3），C（3，0），
得y＝﹣x+3，
设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，代入点B（﹣2，﹣1），C（3，0），
得y=15x−35，
设M（m，﹣m+3），则N（m，15m−35），
∵四边形ABCD的面积为S＝S△ADC+S△ABC=(4+3)×32+(4+3)×12=14，
∴S△BMC＝（﹣m+3−15m+35）×5÷2＝7，
解得m=23，
∴M点坐标为（23，73），
设BM的解析式为y＝kx+b，代入B（﹣2，﹣1）和M（23，73），
解得k=54b=32，
∴BM的解析式为y=54x+32．
【点评】本题考查了一次函数和三角形面积，正确求出一次函数解析式并表示出△BMC的面积是解决本题的关键．
【变式5-4】(2023春•皇姑区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=3x+b与x轴交于点A（﹣4，0）与y轴交于点C，过点C的直线BC与x轴正半轴交于点B，△OBC的面积是△OAC面积的3倍．
（1）求点B的坐标；
（2）线段BC上有点P，当直线AP把△ABC分成面积相等的两部分时，直接写出直线AP的解析式；
（3）在射线OC和射线OB上分别取点E和点F，且EF∥BC，将△OEF沿直线EF翻折得到△O1EF，点O的对应点为点O1，若点O1到直线OC和直线BC的距离相等，直接写出点O1的坐标．
分析：（1）根据△OBC的面积是△OAC面积的3倍，A（﹣4，0），可得OB＝12，点B的坐标（12，0）；
（2）将A（﹣4，0）代入y=3x+b可得y=3x+43，则C（0，43），OC＝43，即得S△ABC=12AB•OC＝323，由B（12，0），C（0，43）可得直线BC解析式为y=−33x+43，设P（m，−33m+43），可得12×（12+4）×（−33m+43）＝163，解得P（6，23），设直线AP的解析式为y＝nx+b'，用待定系数法即得直线AP的解析式为y=35x+435；
（3）过O1作O1K⊥OC于K，由OA＝4，OC＝43，OB＝12，可得∠ACO＝30°，∠OBC＝30°，而点O1到直线OC和直线BC的距离相等，知O1在∠BCO的平分线上，即∠OCO1＝∠BCO1＝30°，设CO1与AB交于F，则∠OFC＝60°，根据EF∥BC，可证∠EFO＝∠OFC﹣∠EFC＝30°＝∠EFC，O关于EF的对称点正好在CF上，若FO＝FO1，则O关于EF对称点即为O1，在Rt△COF中，OF=OC3=4，CF＝2OF＝8，可得O1K是△COF的中位线，从而O1（2，23）．
【解答】解：（1）∵△OBC的面积是△OAC面积的3倍，
∴OB＝3OA，
∵A（﹣4，0），
∴OB＝12，
∴点B的坐标（12，0）；
（2）如图：
将A（﹣4，0）代入y=3x+b得：
﹣43+b＝0，
∴b＝43，
∴y=3x+43，
令x＝0得y＝43，
∴C（0，43），OC＝43，
∴S△ABC=12AB•OC=12×（12+4）×43=323，
由B（12，0），C（0，43）可得直线BC解析式为y=−33x+43，
设P（m，−33m+43），
∵直线AP把△ABC分成面积相等的两部分，
∴S△ABP=12S△ABC＝163，
∴12×（12+4）×（−33m+43）＝163，
解得m＝6，
∴P（6，23），
设直线AP的解析式为y＝nx+b'，将A（﹣4，0），P（6，23）代入得：
−4n+b'=06n+b'=23，
解得n=35b'=435，
∴直线AP的解析式为y=35x+435；
（3）过O1作O1K⊥OC于K，如图：
∵OA＝4，OC＝43，OB＝12，
∴AC=42+(43)2=8，BC=(43)2+122=83，
∴OA=12AC，OC=12BC，
∴∠ACO＝30°，∠OBC＝30°，
∴∠BCO＝∠OAC＝60°，∠ACB＝90°，
∵点O1到直线OC和直线BC的距离相等，
∴O1在∠BCO的平分线上，即∠OCO1＝∠BCO1＝30°，
设CO1与AB交于F，则∠OFC＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠BCF＝30°，
∴∠EFO＝∠OFC﹣∠EFC＝30°＝∠EFC，
∴此时O关于EF的对称点正好在CF上，若FO＝FO1，则O关于EF对称点即为O1，
在Rt△COF中，OF=OC3=433=4，CF＝2OF＝8，
∵O关于EF对称点为O1，
∴O1F＝OF＝4，
∴O1F=12CF，
∵O1K∥OF，
∴O1K是△COF的中位线，
∴O1K=12OF＝2，OK=12OC＝23，
∴O1（2，23）．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及三角形面积，待定系数法，含30°角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是根据已知得出含特殊角的直角三角形．
【变式5-5】(2023春•颍州区期末）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），则①AB两点的距离=(x1−x2)2+(y1−y2)2；②线段AB的中点坐标为（x1+x22，y1+y22）．
解决问题：
如图，平行四边形ABCD中，点B在x轴负半轴上，点D在第一象限，A，C两点的坐标分别为（0，4），（3，0），边AD的长为6．
（1）若点P是直线AD上一动点，当PO+PC取得最小值时，求点P的坐标及PO+PC的最小值；
（2）已知直线l：y＝kx+b过点（0，﹣2），且将平行四边ABCD分成面积相等的两部分，求直线l的解析式；
（3）若点N在平面直角坐标系内，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
分析：（1）“将军饮马”模型：设点O关于直线AD的对称点为Q，连接CQ交AD于P，连接OP，求出直线QC的解析式为y=−83x+8，即得P（32，4），PO+PC的最小值＝QC=73；
（2）设AC与BD交于点E，则直线l经过点E，由A（0，4）C（3，0），得点E的坐标为(32，2)，用待定系数法即可求得直线l的解析式为y=83x﹣2；
（3）分类画出图象：①以AC为边时，可得CF1＝CF2＝AC＝5，即得F1（8，0），F2（﹣2，0），当F3与B重合时，四边形AF3N3C为菱形，可得F3（﹣3，0）；
②以AC为对角线时，设此时F4（t，0），由AF4＝CF4可得：t2+42=|3﹣t|，即可求出F4（−76，0）．
【解答】解：（1）设点O关于直线AD的对称点为Q，连接CQ交AD于P，连接OP，如图：
∵A（0，4），
∴Q（0，8），PO＝PQ，
∵C（3，0），
∴设直线QC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则3k+b=0b=8，解得：k=−83b=8，
∴直线QC的解析式为y=−83x+8，
当y＝4时，4=−83x+8，
解得x=32，
∴P（32，4），
∴PO+PC的最小值=PQ+PC=QC=(0−3)2+(8−0)2=9+64=73；
（2）设AC与BD交于点E，由平行四边形的中心对称性可知，直线l将平行四边ABCD分成面积相等的两部分，则直线l经过点E，
如图：
在平行四边形ABCD中，EA＝EC，
∵A（0，4）C（3，0），
∴点E的坐标为(32，2)，
设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），则32m+n=2n=−2，
解得：m=83n=−2，
∴直线l的解析式为y=83x﹣2；
（3）存在，理由如下：
①∵A（0，4），C（3，0），
∴AC＝5，
以AC为边时，如图：
此时CF1＝CF2＝AC＝5，
∴F1（8，0），F2（﹣2，0），
当F3与B重合时，如图：
此时AC＝AF3，过B（F3）作AC平行线，过C作AB（AF3）的平行线，两平行线交于N3，此时四边形AF3N3C为菱形，
∴F3（﹣3，0），
②以AC为对角线时，如图：
设此时F4（t，0），由AF4＝CF4可得：t2+42=|3﹣t|，
解得t=−76，
∴F4（−76，0），
综上所述，以A、C、F、N为顶点的四边形为菱形，点F的坐标为（8，0）或（﹣2，0）或（﹣3，0）或（−76，0）．
【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及待定系数法，一次函数图象、“将军饮马”问题等知识，解题的关键是分类画出图形，数形结合解决问题．
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