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人教版八年级数学上册同步备课专题利用特殊四边形的性质巧解动点问题(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册同步备课专题利用特殊四边形的性质巧解动点问题(原卷版+解析)，共57页。试卷主要包含了平行四边形中的动点问题，矩形中的动点问题，菱形中的动点问题，正方形中的动点问题等内容，欢迎下载使用。
题型一 平行四边形中的动点问题
【例题1】(2023春•费县期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27cm，BC＝36cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
【变式1-1】(2023春•阳谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，BC=6cm,动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点A方向运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动，几秒后四边形CDPQ是平行四边形（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】(2023秋•抚州期末）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，∠A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）
A．四边形DEBF为平行四边形
B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形
C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形
D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形
【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
【变式1-4】(2023春•闽侯县月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，则当P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形PDCQ为平行四边形？
【变式1-5】(2023春•滨湖区期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为 ．
【变式1-6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式1-7】如图，等边△ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以4cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以3cm/s的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．
【变式1-8】(2023春•惠来县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）线段AD＝ cm；
（2）求证：PB＝PQ；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
题型二 矩形中的动点问题
【例题2】(2023秋•迁安市期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP≌△PCQ时，t的值为（ ）
A．1或3B．2C．2或4D．1或2
【变式2-1】(2023春•玄武区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E在BC边上，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为（ ）
A．3B．4C．8D．10
【变式2-2】(2023春•新洲区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝2，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（ ）
A．1B．4C．103D．143
【变式2-3】如图，矩形ACBE中，AC＝12，BC＝5，点M在边AB上，且AM＝6，动点D在矩形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式2-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P，Q分别是边BC和CD上的两个动点（可以与线段的端点重合，但P，Q两点不重合），点E、F分别是PA和PQ的中点，在两个动点的移动过程中，线段EF的长度取值范围是 ．
【变式2-5】如图，在长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm．点E从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线ABC方向运动，点F从点C出发，以每秒1cm的速度沿线段CD方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t．
（1）当E运动到B点时，求出t的值；
（2）在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得EF＝3cm？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式2-6】如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）如图1，S△DCP＝ ．（用t的代数式表示）
（2）如图1，当t＝3时，试说明：△ABP≌△DCP．
（3）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【变式2-7】(2023春•黄州区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为ts（0≤t≤5）．
（1）AE＝t，EF＝ ．
（2）若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形？
【变式2-8】(2023•合川区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ ；
（2）当t＝ 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
题型三 菱形中的动点问题
【例题3】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．保持不变且与EF的长度相等
C．逐渐减小
D．保持不变且与AB的长度相等
【变式3-1】(2023春•西湖区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线B一C一D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（ ）
A．①③②③B．③②①③C．①③②①D．③②③①
【变式3-2】(2023•槐荫区一模）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，BD=83，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为（ ）
A．2B．4C．43D．42
【变式3-3】(2023春•仙桃期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A．34B．43C．32D．53
【变式3-4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝ s时，△PAB为等腰三角形．
【变式3-5】(2023•江西模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝63，∠ABC＝60°，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若P是菱形ABCD边上的一动点，当△AFP的面积是93时，DP的长为 ．
【变式3-6】如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；
（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒．
①请用t表示PD的长；②求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
【变式3-7】(2023春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【变式3-8】如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，分别取AF、CE的中点G、H．设运动的时间为ts （0＜t＜4）．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当t为何值时，△ADF的面积为32cm2；
（3）连接GE、FH．当t为何值时，四边形EHFG为菱形．
题型四 正方形中的动点问题
【例题4】如图，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AC＝12，则PE+PF的值是（ ）
A．6B．10C．62D．12
【变式4-1】正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．一直变大D．保持不变
【变式4-2】(2023•乐陵市模拟）如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．54B．52−5C．522D．52
【变式4-3】(2023春•金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．1B．22C．3D．2
【变式4-4】(2023•东阿县三模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（ ）
A．2B．3C．22D．3
【变式4-5】如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（ ）
A．10B．85−3C．65+3D．33+5
【变式4-6】(2023春•潼南区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE平分∠BAC，BE＝CF，P为线段AC上的动点，记PD+PF的最小值为m，若正方形边长为2，则m2的值为（ ）
A．6﹣42B．8﹣42C．8+42D．6+42
【变式4-7】如图，点E是边长为12的正方形ABCD边BC上的一点，BE＝5，点F在该正方形的边上运动，当BF＝AE时，设线段AE与线段BF相交于点H，则BH的长等于 ．
【变式4-8】如图，E是正方形ABCD一边CD上的中点，AB＝4，动点P从A→B→C→D在正方形的边上运动，当△PAE为等腰三角形时，则AP的长为 ．
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 利用特殊四边形的性质巧解动点问题
题型一 平行四边形中的动点问题
【例题1】(2023春•费县期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27cm，BC＝36cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
分析：分两种情况，①若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，进而求出t的值；②若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，进而求出t的值．
【解答】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，
根据题意可得：AP＝tcm，PD＝（27﹣t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（36﹣2t）cm，
①若四边形ABQP是平行四边形，
则AP＝BQ，
∴t＝36﹣2t，
解得：t＝12，
∴12s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形，
则PD＝CQ，
∴27﹣t＝2t，
解得：t＝9，
∴9s后四边形PQCD是平行四边形；
综上所述：当P，Q两点同时出发，12秒或9秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，利用分类讨论是解题的关键．
【变式1-1】(2023春•阳谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，BC=6cm,动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点A方向运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动，几秒后四边形CDPQ是平行四边形（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析：由运动时间为t秒，则AP=t,QC=2t,而四边形CDPQ是平行四边形，所以DP=CQ，则得方程t=6-2t求解．
【解答】解：设t秒后，四边形CDPQ为平行四边形，
则DP=t cm,QC=（6-2t）cm,
∵AD∥BC所以DP∥CQ，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
知：DP=CQ即可，
即：t=6-2t,
∴t=2，
当t=2时，DP=CQ=2（cm），
综上所述，2秒后四边形CDPQ是平行四边形，
故选：B．
【点评】此题主要考查的是平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
【变式1-2】(2023秋•抚州期末）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，∠A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）
A．四边形DEBF为平行四边形
B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形
C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形
D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形
分析：由AB∥CD，得∠OBE＝∠ODF，而OB＝OD，即可证明△OBE≌△ODF，得OE＝OF，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形DEBF为平行四边形，可判断A正确；
当t＝4时，AE＝8，此时E为AB的中点，可根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”证明DE＝BE=12AB，则四边形DEBF为菱形，可判断B正确；
作DG⊥AB于点G，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得AG＝4cm，当t＝2时，AE＝4cm，点E与点G重合，则∠BED＝∠BGD＝90°，所以四边形DEBF为矩形，可判断C正确；
当t＝6时，AE＝12cm，此时点E在点G的右侧，则∠BED＞90°，因此四边形DEBF不可能是正方形，可判断D错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OBE＝∠ODF，
∵O为BD的中点，
∴OB＝OD，
在△OBE和△ODF中，
∠OBE=∠ODFOB=OD∠BOE=∠DOF，
∴△OBE≌△ODF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
故A正确；
∵当t＝4时，AE＝2t＝2×4＝8（cm），
∵AB＝16cm，
∴AE＝BE＝8cm，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∴DE＝BE=12AB，
∴四边形DEBF为菱形，
故B正确；
如图，作DG⊥AB于点G，则∠AGD＝∠BGD＝90°，
∵∠ADB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ADG＝∠ABD＝30°，
∴AD=12AB＝8cm，
∴AG=12AD＝4cm，
当t＝2时，AE＝2t＝2×2＝4（cm），
∴AE＝AG，
∴点E与点G重合，
∴∠BED＝∠BGD＝90°，
∴四边形DEBF为矩形，
故C正确；
当t＝6时，AE＝2t＝2×6＝12（cm），
∵AE＞AG，
∴点E在点G的右侧，
∴∠BED＞∠BGD，
∴∠BED＞90°，
∴四边形DEBF不可能是正方形，
故D错误，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确理解且能灵活运用平行四边形及特殊的平行四边形的性质是解题的关键．
【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
分析：分别利用①当BQ＝AP时以及②当CQ＝PD时，列方程得出答案．
【解答】解：设点P，Q运动的时间为ts．依题意得：CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，AP＝t，
PD＝9﹣t．
∵AD∥BC，
①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形．
即6﹣2t＝t，
解得t＝2．
②当CQ＝PD时，
四边形CQPD是平行四边形，即2t＝9﹣t，
解得：t＝3．
所以经过2秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
【点评】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【变式1-4】(2023春•闽侯县月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，则当P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形PDCQ为平行四边形？
分析：（1）根据题意得出AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t，利用平行四边形的性质解答即可；
（2）根据平行四边形的判定和性质得出方程解答即可．
【解答】解：（1）根据题意有，AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t，
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴t＝15﹣2t，
解得：t＝5，
∴运动5s时，四边形APQB是平行四边形；
（2）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t（cm），
当PQ∥CD，且PQ＝CD时，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ＝CD，PD＝CQ，
∴12﹣t＝2t，
解得：t＝4，
即当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
【点评】此题考查平行四边形的判定，关键是根据平行四边形的判定和性质解答．
【变式1-5】(2023春•滨湖区期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为 ．
分析：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可．
【解答】解：如图，
∵AQ∥BC，CQ∥AP，
∴四边形APCQ是平行四边形．
当PQ⊥BC时，PQ取得最小值，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AH＝HC=12AC，QH＝PH=12PQ，
∵∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，
∴AC＝2，∠ACB＝45°，
∵QP⊥BC，
∴∠PHC＝45°，
∴PH＝PC=22，
∴PQ=2，
∴QC=PC2+PQ2=(22)2+(2)2=102，
∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC＝2×22+2×102=2+10．
故答案为：平行四边形；2+10．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强．
【变式1-6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）作AM⊥BC于M，由已知条件得出AB＝AC，由等腰三角形的性质得出BM＝CM，由直角三角形斜边上的中线性质得出AM=12BC＝5，证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，由CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2得出方程，解方程即可；
（2）由平行四边形的判定得出AP＝BE，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴AM=12BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠PAN＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，
∴5﹣t＝2t﹣2，
解得：t=73，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×73=163；
（2）存在，t＝4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10
解得：t＝4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；根据题意得出t的方程是解决问题的突破口．
【变式1-7】如图，等边△ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以4cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以3cm/s的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．
分析：（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程＝AB+CA列方程求解即可；
（2）分类讨论：当点M在线段AB上，点N在AC上时；当点M在线段AC上，点N在AB上时；当点M在线段BC上，点N在AB上时，利用等边三角形的性质和点M、N的运动规律列出关于t的方程，借助于方程解答即可．
【解答】解：（1）
第一次相遇时间=10+103+4=207（秒）；
答：若动点M、N同时出发，经过207秒钟两点第一次相遇；
（2）如图2，当点M在线段AB上，点N在AC上时：
∵四边形ANDM为平行四边形，
DM＝AN DM∥AN
∵△ABC为等边三角形，
△BMD和△NCD是等边三角形
∴BM+CN＝CN+AN＝10
∴3t+4t＝10
∴t=107，
此时BD=407；
如图3，当点M在线段AC上，点N在AB上时：
同理△BND和△MCD是等边三角形
AM＝4t﹣10
AN＝3t﹣10
∴AM+AN＝AC＝10
4t﹣10+3t﹣10＝10
t=307，
此时BD=507．
如图4，当点M在线段BC上，点N在AB上时，
同理△BMN和△MCD是等边三角形
CM＝4t﹣20
AN＝3t﹣10
∴CM＝AN．
4t﹣20＝3t﹣10．
t＝10＞7.5（不合题意，舍去）．
综上所述：当时间t=107，BD=407；当时间t=307，BD=507．
【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．
【变式1-8】(2023春•惠来县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）线段AD＝ cm；
（2）求证：PB＝PQ；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
分析：（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ＝∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；
②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【解答】（1）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=AB2−BD2=202−162=12（cm），
故答案为：12；
（2）证明：如图1所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，即∠PBQ＝∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB＝∠C，
∴∠PBQ＝∠PQB，
∴PB＝PQ；
（3）解：分两种情况：
①当点M在点D的上方时，如图2所示：
由题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，
∴MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即当t＝（12﹣4t）cm时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t=125（s）；
②当点M在点D的下方时，如图3所示：
根据题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，
∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即当t＝（4t﹣12）cm时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t＝4（s）；
综上所述，当t=125s或t＝4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．
题型二 矩形中的动点问题
【例题2】(2023秋•迁安市期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP≌△PCQ时，t的值为（ ）
A．1或3B．2C．2或4D．1或2
分析：根据全等三角形的判定可得出答案．
【解答】解：当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∴BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，解得：t＝2，
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
【变式2-1】(2023春•玄武区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E在BC边上，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为（ ）
A．3B．4C．8D．10
分析：过点H作HM⊥BC于点M，过H点作PQ∥BC，分别与AB、CD交于点P、点Q，证明△AEF≌△MHE，得BE＝MH＝3，BF＝ME，设BF＝x，根据勾股定理用x表示CH，再解析式特点求得CH的最小值．
【解答】解：过点H作HM⊥BC于点M，连接CH，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝HE，∠FEH＝90°，
∴∠BEF+∠MEH＝∠MEH+∠MHE＝90°，
∴∠BEF＝∠MHE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°＝∠EMH，
∴△BEF≌△MHE（AAS），
∴BE＝HM＝3，BF＝EM，
设BF＝EM＝x，则CM＝BC﹣BE﹣EM＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∴CH=CM2+HM2=(5−x)2+32=(5−x)2+9，
∵0≤x≤4，
∴当x＝4时，CH有最小值为CH=10
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等，确定H点运动的轨迹．
【变式2-2】(2023春•新洲区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝2，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（ ）
A．1B．4C．103D．143
分析：过点F作FH⊥CD，交直线CD于点Q，根据正方形的性质易证△ADE≌△EHF（AAS），可知EH＝AD＝3，根据题意可得t+2t＝2+8，求解即可．
【解答】解：过点F作FH⊥CD，交直线CD于点H，如图所示：
则∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠EHF，
在正方形AEFG中，∠AEF＝90°，AE＝EF，
∴∠AED+∠HEF＝90°，
∵∠HEF+∠EFH＝90°，
∴∠AED＝∠EFH，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴EH＝AD＝2，
∵AB＝8，
根据题意，得t+2t＝2+8，
∴t=103，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质等，构造全等三角形是解题的关键．
【变式2-3】如图，矩形ACBE中，AC＝12，BC＝5，点M在边AB上，且AM＝6，动点D在矩形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
分析：以M为圆心MA为半径画圆即可解决问题．
【解答】解：如图M为圆心MA为半径画圆，由此可知，以M为圆心AM为半径的圆与矩形的边有5个交点（AC，BE边上各有2个，AE边上有2个），除了点A，其余的4个点，与A、M组成的三角形是等腰三角形，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定、圆等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
【变式2-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P，Q分别是边BC和CD上的两个动点（可以与线段的端点重合，但P，Q两点不重合），点E、F分别是PA和PQ的中点，在两个动点的移动过程中，线段EF的长度取值范围是 ．
分析：连接AQ，因为点E、F分别是PA和PQ的中点，则EF=12AQ，求得线段AQ的取值范围即可得出线段EF的取值范围．
【解答】解：如图，连接AQ，
∵点E、F分别是PA和PQ的中点，
∴EF=12AQ，
∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
当点Q与点D重合时，AQ最小，为4，此时EF最小值为2，
当点Q与点C重合时，AQ最大，为5，此时EF最大值为2.5，
∴2≤EF≤2.5．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．解题的关键是构造三角形的中位线转化为求线段AQ长度的取值范围．
【变式2-5】如图，在长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm．点E从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线ABC方向运动，点F从点C出发，以每秒1cm的速度沿线段CD方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t．
（1）当E运动到B点时，求出t的值；
（2）在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得EF＝3cm？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意得出方程2t＝5，求出方程的解即可；
（2）画出符合条件的两种情况，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵AB＝5cm，
∴2t＝5，
解得：t＝2.5，
即当E运动到B点时，t的值是2.5秒；
（2）当0＜t≤2.5时，如图1，过E作EM⊥DC于，则EM＝BC＝3cm，
由勾股定理得：（3t﹣5）2+32＝32，
解得：t=53；
当2.5＜t≤4时，如图2，
由勾股定理得：（8﹣2t）2+t2＝32，
此方程无解；
即在点E、点F的运动过程中，存在某一时刻，使得EF＝3cm，此时t的值是53秒．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，能得出关于t的方程是解此题的关键，注意：矩形的对边相等，矩形的每一个角都是直角．
【变式2-6】如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）如图1，S△DCP＝ ．（用t的代数式表示）
（2）如图1，当t＝3时，试说明：△ABP≌△DCP．
（3）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用三角形的面积公式计算即可．
（2）根据全等三角形的判定即可解答；
（3）此题主要分两种情况①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【解答】解：（1）S△DCP=12•PC•CD=12•（12﹣2t）•8＝48﹣8t．
故答案为48﹣8t．
（2）当t＝3时，BP＝2×3＝6，
∴PC＝12﹣6＝6，
∴BP＝PC，
在△ABP与△DCP中
AB=CD∠B=∠CBP=PC，
∴△ABP≌△DCP（SAS）．
（3）①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8，
∴PC＝8，
∴BP＝12﹣8＝4，
∴2t＝4，解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4，v×2＝4，解得：v＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝6，
∴2t＝6，解得：t＝3，
CQ＝AB＝8，v×3＝8，解得：v=83，
综上所述，当v＝2或v=83时，△ABP与△PQC全等．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是全等三角形性质的掌握，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式2-7】(2023春•黄州区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为ts（0≤t≤5）．
（1）AE＝t，EF＝ ．
（2）若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形？
分析：（1）由勾股定理求出AC＝5，由题意得出AE＝CF＝t，即可得出EF＝5﹣2t或2t﹣5；
（2）由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定；
（3）由“对角线相等的平行四边形是矩形”判定四边形EGFH为矩形时t的取值．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
由题意得：AE＝CF＝t，
∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t，
EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5．
故答案为：5﹣2t或2t﹣5．
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，∠GAF＝∠HCE，
∵G，H分别是AB，DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG和△CEH中，
AG=CH∠GAF=∠HCEAF=CE，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（3）解：连接GH，
由（1）可知四边形EGFH是平行四边形．
∵点G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点，
∴GH＝BC＝4．
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①EF＝5﹣2t＝4，解得t＝0.5．
②EF＝2t﹣5＝4，解得t＝4.5．
故当t为0.5 s或4.5 s时，四边形EGFH为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
【变式2-8】(2023•合川区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ ；
（2）当t＝ 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
分析：（1）根据题意可得BP＝2t，进而可得结果；
（2）根据∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF＝AB＝4，得DF＝4，进而可得t的值；
（3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到AB边的距离也为4，②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到DE边的距离也为4，③当点P在CD上，点P到AB边的距离为8，但点P到AB、BC边的距离都小于8，进而可得当t＝2s或t＝3s或t=194时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP=12×BP×AB=12×2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABP=12×AB×BC=12×4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP=12×AB×AP=12×4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE，
∴12×3×4=12×5×PH+12×3×PC，
∴12＝8PH，
∴12＝8（2t﹣8），
解得t=194．
综上所述：t＝2或t＝3或t=194时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
题型三 菱形中的动点问题
【例题3】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．保持不变且与EF的长度相等
C．逐渐减小
D．保持不变且与AB的长度相等
分析：证明△ABE≌△DBF（ASA），可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE+CF＝AB，是一定值，可作判断．
【解答】解：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD．
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°．
∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD＝60°．
∴∠A＝∠CDB．
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABE＝∠DBF．
在△ABE和△DBF中，
∠BAE=∠BDFAB=DB∠ABE=∠DBF，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE＝DF，
∴AE+CF＝AB，
即AE+CF的长度保持不变与AB的长度相等．
故答案为：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【变式3-1】(2023春•西湖区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线B一C一D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（ ）
A．①③②③B．③②①③C．①③②①D．③②③①
分析：把点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可．
【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，
当点P与点B重合时，此时△ABP为等腰三角形，
当AP⊥AD时，此时△DAP为直角三角形；
当点P到达点C处时，此时△DAP为等边三角形；
当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；
故选：A．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，涉及到等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，题目有一定的综合性，难度适中．
【变式3-2】(2023•槐荫区一模）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，BD=83，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为（ ）
A．2B．4C．43D．42
分析：连接ED，由菱形的性质及AC＝8，BD=83，得出AF＝4，DF＝43，AC⊥BD，BA＝DA，由勾股定理求出AD＝8，进而得出∠ADB＝∠ABD＝30°，证明△BAP≌△DAE，得出∠ADE＝30°，进而得出当OE⊥DE时，OE的值最小，求出此时OE的长度即可．
【解答】解：如图，连接ED，
∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，BD=83，
∴AF=12AC＝4，DF=12BD＝43，AC⊥BD，BA＝DA，
∴AD=AF2+DF2=42+(43)2=8，
∴∠ADB＝∠ABD＝30°，
将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，
∴AP＝AE，
∴∠BAP＝∠DAE，
在△BAP和△DAE中，
BA=DA∠BAP=∠DAEPA=EA，
∴△BAP≌△DAE（SAS），
∴∠ADE＝∠ABP＝30°，
∴DE是满足∠ADE＝30°的线段，
当OE⊥DE时，OE的值最小，
∵O是AD的中点，
∴OD=12AD=12×8＝4，
∴OE=12OD=12×4＝2，
∴在点P的运动过程中，线段OE的最小值为2，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找出全等的三角形，证明∠ADE＝30°是解决问题的关键．
【变式3-3】(2023春•仙桃期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A．34B．43C．32D．53
分析：连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，再利用AE＝t，CF＝2t，则BF＝BC﹣CF＝5﹣2t求出时间t的值．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB=12∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，∠ADE=∠BDFAD=BD∠A=∠DBF，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，
∴t＝5﹣2t
∴t=53，
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出AE＝BF．
【变式3-4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝ s时，△PAB为等腰三角形．
分析：求出BA的值，根据已知画出符合条件的三种情况：①当PA＝AB＝5cm时，②当P和C重合时，PB＝AB＝5cm，③作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB＝PA，连接PB，求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝4cm，BO＝OD＝3cm，
由勾股定理得：BC＝AB＝AD＝CD＝5cm，
分为三种情况：①如图1，当PA＝AB＝5cm时，t＝5÷1＝5；
②如图2，当P和C重合时，PB＝AB＝5cm，t＝8÷1＝8；
③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB＝PA，连接PB，
在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，
AP2＝32+（4﹣AP）2，
AP=258；
t=258÷1=258，
故答案为：5或8或258．
【点评】本题考查了菱形性质和等腰三角形的判定的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况．
【变式3-5】(2023•江西模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝63，∠ABC＝60°，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若P是菱形ABCD边上的一动点，当△AFP的面积是93时，DP的长为 ．
分析：由菱形的性质可求∠ABD＝∠CBD＝30°，AD∥BC，由三角形的面积公式可求点P到AF的距离为33，即可求解．
【解答】解：∵AB＝63，∠ABC＝60°，AE⊥BC，
∴∠BAE＝30°，BE=12AB＝33，AE=3BE＝9，
∴EC＝33，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AD∥BC，
∴BE=3EF，BF＝2EF，∠DAF＝∠AEB＝90°，
∴EF＝3，BF＝6，
∴AF＝6，
∵△AFP的面积是93，
∴93=12×AF×点P到AF的距离，
∴点P到AF的距离为33，
∴点P与点B或点C重合，
当点P与点C重合，
∴PD＝63，
当点P与点B重合时，
∵∠ADB＝30°，∠DAF＝90°，
∴DF＝2AF＝12，
∴PD＝6+12＝18；
当点P在AD上时，AP＝33，
∴PD＝33，
综上所述：PD＝63或33或18，
故答案为63或33或18．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式3-6】如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；
（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒．
①请用t表示PD的长；②求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
分析：（1）根据矩形性质推出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠PDO＝∠QBO，根据全等三角形的判定ASA证△PDO≌△BQO，根据全等三角形的性质推出OP＝OQ，则“对角线相互平分的四边形为平行四边形”；
（2）①由线段间的和差关系来求PD的长度；
②根据平行四边形的判定得出四边形PBQD是平行四边形，求出DP＝BP即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO＝∠QBO，
∵O为BD中点，
∴OB＝OD，
在△PDO和△QBO中，
∠PDO=∠QBOOB=OD∠POD=∠BOQ，
∴△PDO≌△QBO（ASA），
∴OP＝OQ．
又∵OB＝OD，
∴四边形PBQD是平行四边形；
（2）①∵AP+PD＝AD，AP＝t，AD＝8cm，
∴PD＝8﹣AP＝8﹣t（cm）．
②当t=74s时，四边形PBQD是菱形，
理由是：
∵四边形PBQD是菱形，
∴BP＝DP＝8﹣t（cm）．
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
AB2+AP2＝BP2，
即62+t2＝（8﹣t）2
解得t=74．
∴当t=74s时，四边形PBQD是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，题目比较好，综合性比较强．
【变式3-7】(2023春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
分析：（1）先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．
【解答】（1）证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠EAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠ACF＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABC=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF．
（2）解：四边形AECF的面积不变．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△
AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值；
作AH⊥BC于H点，如图所示：
∵∠AHB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，
∴BH=12AB=4，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AH=AB2−BH2=82−42=43，
∴S四边形AECF＝S△ABC=12⋅BC⋅AH=163．
∵S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF=12S菱形ABCD﹣S△AEF，
∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，
∵△AEF为等边三角形，
∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，
∵当AE⊥BC时，AE最小，
∴AE的最小值为AH的长43，
过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：
∵△AEF为等边三角形，
∴AF=EF=AE=43，∠AEF＝60°，
∴EM=MF=12EF=23，
∴AM=AE2−EM2=(43)2−(23)2=6，
∴S△AEF=12×43×6=123，
∴S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝163−123=43，
即△CEF的面积的最大值为43．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，垂线段的性质，勾股定理，直角三角形的性质，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【变式3-8】如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，分别取AF、CE的中点G、H．设运动的时间为ts （0＜t＜4）．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当t为何值时，△ADF的面积为32cm2；
（3）连接GE、FH．当t为何值时，四边形EHFG为菱形．
分析：（1）由菱形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，可求CF＝AE，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AD＝2cm，∠ADN＝60°，由直角三角形的性质可求AN=3DN=3cm，由三角形的面积公式可求解；
（3）由菱形的性质可得EF⊥GH，可证四边形DFEM是矩形，可得DF＝ME，由直角三角形的性质可求AM＝1，即可求解．
【解答】证明：（1）∵动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，
∴DF＝BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，
∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，
∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN=12AD＝1cm，AN=3DN=3cm，
∴S△ADF=12×DF×AN=12×12t×3=32，
∴t＝2；
（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴FA＝CE，
∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，
∴FG＝CH，
∴四边形FGHC是平行四边形，
∴CF∥GH，
∵四边形EHFG为菱形，
∴EF⊥GH，
∴EF⊥CD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
又∵DM⊥AB，
∴四边形DFEM是矩形，
∴DF＝ME，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴AM=12AD＝1cm，
∵AM+ME+BE＝AB，
∴1+12t+12t＝2，
∴t＝1．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
题型四 正方形中的动点问题
【例题4】如图，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AC＝12，则PE+PF的值是（ ）
A．6B．10C．62D．12
分析：根据正方形的对角线互相垂直可得OB⊥OC，对角线平分一组对角可得∠OBC＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△BEP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝BE，从而得到PE+PF＝OB，然后根据正方形的性质解答即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，OB⊥OC，∠OBC＝45°，
∵PE⊥BD，PF⊥AC，
∴四边形OEPF为矩形，△BEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝BE，
∴PE+PF＝BE+OE＝OB，
∵AC＝BC，
∴OB=12AC＝6，
∴PE+PF＝6，
故选：A．
【点评】考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质求出PE+PF＝OB是解题的关键．
【变式4-1】正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．一直变大D．保持不变
分析：连接DE，△CDE的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，则矩形与正方形面积相等．
【解答】解：连接DE，
∵S△CDE=12S四边形CEGF，
S△CDE=12S正方形ABCD，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
故选：D．
【点评】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接DE由面积关系进行转化是解题的关键．
【变式4-2】(2023•乐陵市模拟）如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．54B．52−5C．522D．52
分析：由对称性质可得AF＝AB＝5，由正方形的性质可得AC=2AB＝52，当点F在线段AC上时，CF最小，即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，AF，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝5，
∴AC=2AB＝52，
∵点B关于直线AE的对称点为F，
∴AF＝AB＝5，
当点F在AC上时，CF最小，
∵AC﹣AF＝52−5，
∴线段CF的最小值为52−5，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用轴对称的性质．
【变式4-3】(2023春•金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．1B．22C．3D．2
分析：连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC即可得出结果．
【解答】解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC=22BC=2，
∴EF的最小值为2；
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键．
【变式4-4】(2023•东阿县三模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（ ）
A．2B．3C．22D．3
分析：连接BB'，连接BD，由正方形的性质可得BD=2AB＝22，BD平分∠ABC，BB'=2BE=2，BB'平分∠ABC，可证点B，点B'，点D三点共线，即可求解．
【解答】解：如图，连接BB'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=2AB＝22，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵四边形BEB'F是正方形，
∴BB'=2BE=2，BB'平分∠ABC，
∴点B，点B'，点D三点共线，
∴B'D＝BD﹣BB'=2，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
【变式4-5】如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（ ）
A．10B．85−3C．65+3D．33+5
分析：延长CD到C′，使C′D＝CD，CP+PM＝C′P+PM，当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：延长CD到C′，使C′D＝CD，
CP+PM＝C′P+PM，
当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，
圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，
∵BC＝CD＝8，
∴CC′＝16，
∴C′B=CC′2+BC2=162+82=85．
∴CP+PM的最小值是85−3．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．
【变式4-6】(2023春•潼南区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE平分∠BAC，BE＝CF，P为线段AC上的动点，记PD+PF的最小值为m，若正方形边长为2，则m2的值为（ ）
A．6﹣42B．8﹣42C．8+42D．6+42
分析：过E作EH⊥AC交于点H，由B点与D点关于AC对称，确定PD+PF的最小值即为BF，由AE平分∠BAC，可得BE＝EH，AB＝AH，在Rt△EHC中，∠HCE＝45°，则HC＝EH，求出AC＝2，设BE＝x，则EH＝x，HC＝2−2，则可求x＝2−2，进而求出CF＝2−2，在Rt△BCF中，BF2＝2+(2−2)2=8﹣42，即可求m2＝8﹣42．
【解答】解：过E作EH⊥AC交于点H，
∵正方形ABCD，
∴B点与D点关于AC对称，
∴PD+PF的最小值即为BF，
∵AE平分∠BAC，
∴BE＝EH，
又∵∠ABE＝∠AHE＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），
∴AB＝AH，
在Rt△EHC中，∠HCE＝45°，
∴HC＝EH，
∵正方形边长为2，
∴AC＝2，
设BE＝x，则EH＝x，HC＝2−2，
∴x＝2−2，
∵BE＝CF，
∴CF＝2−2，
在Rt△BCF中，BF2＝2+(2−2)2=8﹣42，
∴m2＝8﹣42，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，掌握正方形的对称性，确定PD+PF的最小值为BF，结合角平分线的性质和直角三角形勾股定理进行综合解题是正确求解的关键．
【变式4-7】如图，点E是边长为12的正方形ABCD边BC上的一点，BE＝5，点F在该正方形的边上运动，当BF＝AE时，设线段AE与线段BF相交于点H，则BH的长等于 ．
分析：利用勾股定理列式求出AE，再分①点F在CD上时，利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CBF，再求出BF⊥AE，利用三角形的面积列式求解即可得到BH的长；②点F在AD上时，利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△BAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝BE，连接EF，可得四边形ABEF是矩形，再根据矩形的对角线相等且互相平分解答．
【解答】解：如图，∵正方形的边长为12，BE＝5，
∴AE=122+52=13，
①点F在CD上时，如图1，在Rt△ABE和Rt△BCF中，BF=AEAB=BC，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴BF⊥AE，
∴S△ABE=12×13•BH=12×12×5，
解得BH=6013；
②点F在AD上时，如图2，在Rt△ABE和Rt△BAF中，BF=AEAB=BA，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴AF＝BE，
连接EF，则四边形ABEF是矩形，
∴BH=12AE=132，
综上所述，BH的长为6013或132．
故答案为：6013或132；
故答案是：6013或132．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
【变式4-8】如图，E是正方形ABCD一边CD上的中点，AB＝4，动点P从A→B→C→D在正方形的边上运动，当△PAE为等腰三角形时，则AP的长为 ．
分析：分类讨论P点位置：①当P在AB上时，只能是AE＝PE，P点在B点处；②当P在BC上，且PA＝PE，利用勾股定理求解AP值；③当P在BC上，且PA＝EA．
【解答】解：①当P在AB上时
∵AE大于AB
∴P在AB上时，要使△PAE为等腰三角形，只能是AE＝BE
∵E为DC的中点，∴BE＝AE，∴P与B重合时，AE＝EP，此时AP＝4；
②当P在BC上，且PA＝PE，如图1所示：
设BP＝x，则PC＝4﹣x，
Rt△ABP和Rt△ECP的斜边AP＝EP，
所以42+x2＝22+（4﹣x）2，解得x=12．
所以AP=AB2+BP2=16+14=652；
③当P在BC上，且PA＝EA，
∵在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=16+4=25，
∴AP＝AE＝25．
当P点在CD上时，△PAE不可能是等腰三角形．
所以AP长为4，652，25．
故答案为4，652，25．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，解决三角形为等腰三角形的问题时，要分情况讨论边相等情况．
题型一 平行四边形中的动点问题
【例题1】(2023春•费县期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27cm，BC＝36cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
【变式1-1】(2023春•阳谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，BC=6cm,动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点A方向运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动，几秒后四边形CDPQ是平行四边形（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】(2023秋•抚州期末）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，∠A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）
A．四边形DEBF为平行四边形
B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形
C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形
D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形
【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
【变式1-4】(2023春•闽侯县月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，则当P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形PDCQ为平行四边形？
【变式1-5】(2023春•滨湖区期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为 ．
【变式1-6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式1-7】如图，等边△ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以4cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以3cm/s的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．
【变式1-8】(2023春•惠来县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）线段AD＝ cm；
（2）求证：PB＝PQ；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
题型二 矩形中的动点问题
【例题2】(2023秋•迁安市期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP≌△PCQ时，t的值为（ ）
A．1或3B．2C．2或4D．1或2
【变式2-1】(2023春•玄武区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E在BC边上，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为（ ）
A．3B．4C．8D．10
【变式2-2】(2023春•新洲区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝2，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（ ）
A．1B．4C．103D．143
【变式2-3】如图，矩形ACBE中，AC＝12，BC＝5，点M在边AB上，且AM＝6，动点D在矩形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式2-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P，Q分别是边BC和CD上的两个动点（可以与线段的端点重合，但P，Q两点不重合），点E、F分别是PA和PQ的中点，在两个动点的移动过程中，线段EF的长度取值范围是 ．
【变式2-5】如图，在长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm．点E从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线ABC方向运动，点F从点C出发，以每秒1cm的速度沿线段CD方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t．
（1）当E运动到B点时，求出t的值；
（2）在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得EF＝3cm？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式2-6】如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）如图1，S△DCP＝ ．（用t的代数式表示）
（2）如图1，当t＝3时，试说明：△ABP≌△DCP．
（3）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【变式2-7】(2023春•黄州区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为ts（0≤t≤5）．
（1）AE＝t，EF＝ ．
（2）若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形？
【变式2-8】(2023•合川区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ ；
（2）当t＝ 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
题型三 菱形中的动点问题
【例题3】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．保持不变且与EF的长度相等
C．逐渐减小
D．保持不变且与AB的长度相等
【变式3-1】(2023春•西湖区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线B一C一D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（ ）
A．①③②③B．③②①③C．①③②①D．③②③①
【变式3-2】(2023•槐荫区一模）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，BD=83，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为（ ）
A．2B．4C．43D．42
【变式3-3】(2023春•仙桃期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A．34B．43C．32D．53
【变式3-4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝ s时，△PAB为等腰三角形．
【变式3-5】(2023•江西模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝63，∠ABC＝60°，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若P是菱形ABCD边上的一动点，当△AFP的面积是93时，DP的长为 ．
【变式3-6】如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；
（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒．
①请用t表示PD的长；②求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
【变式3-7】(2023春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【变式3-8】如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，分别取AF、CE的中点G、H．设运动的时间为ts （0＜t＜4）．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当t为何值时，△ADF的面积为32cm2；
（3）连接GE、FH．当t为何值时，四边形EHFG为菱形．
题型四 正方形中的动点问题
【例题4】如图，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AC＝12，则PE+PF的值是（ ）
A．6B．10C．62D．12
【变式4-1】正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．一直变大D．保持不变
【变式4-2】(2023•乐陵市模拟）如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．54B．52−5C．522D．52
【变式4-3】(2023春•金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．1B．22C．3D．2
【变式4-4】(2023•东阿县三模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（ ）
A．2B．3C．22D．3
【变式4-5】如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（ ）
A．10B．85−3C．65+3D．33+5
【变式4-6】(2023春•潼南区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE平分∠BAC，BE＝CF，P为线段AC上的动点，记PD+PF的最小值为m，若正方形边长为2，则m2的值为（ ）
A．6﹣42B．8﹣42C．8+42D．6+42
【变式4-7】如图，点E是边长为12的正方形ABCD边BC上的一点，BE＝5，点F在该正方形的边上运动，当BF＝AE时，设线段AE与线段BF相交于点H，则BH的长等于 ．
【变式4-8】如图，E是正方形ABCD一边CD上的中点，AB＝4，动点P从A→B→C→D在正方形的边上运动，当△PAE为等腰三角形时，则AP的长为 ．
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 利用特殊四边形的性质巧解动点问题
题型一 平行四边形中的动点问题
【例题1】(2023春•费县期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27cm，BC＝36cm，点P从A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
分析：分两种情况，①若四边形ABQP是平行四边形，则AP＝BQ，进而求出t的值；②若四边形PQCD是平行四边形，则PD＝CQ，进而求出t的值．
【解答】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，
根据题意可得：AP＝tcm，PD＝（27﹣t）cm，CQ＝2tcm，BQ＝（36﹣2t）cm，
①若四边形ABQP是平行四边形，
则AP＝BQ，
∴t＝36﹣2t，
解得：t＝12，
∴12s后四边形ABQP是平行四边形；
②若四边形PQCD是平行四边形，
则PD＝CQ，
∴27﹣t＝2t，
解得：t＝9，
∴9s后四边形PQCD是平行四边形；
综上所述：当P，Q两点同时出发，12秒或9秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，利用分类讨论是解题的关键．
【变式1-1】(2023春•阳谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，BC=6cm,动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点A方向运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动，几秒后四边形CDPQ是平行四边形（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析：由运动时间为t秒，则AP=t,QC=2t,而四边形CDPQ是平行四边形，所以DP=CQ，则得方程t=6-2t求解．
【解答】解：设t秒后，四边形CDPQ为平行四边形，
则DP=t cm,QC=（6-2t）cm,
∵AD∥BC所以DP∥CQ，
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
知：DP=CQ即可，
即：t=6-2t,
∴t=2，
当t=2时，DP=CQ=2（cm），
综上所述，2秒后四边形CDPQ是平行四边形，
故选：B．
【点评】此题主要考查的是平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
【变式1-2】(2023秋•抚州期末）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，∠A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（ ）
A．四边形DEBF为平行四边形
B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形
C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形
D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形
分析：由AB∥CD，得∠OBE＝∠ODF，而OB＝OD，即可证明△OBE≌△ODF，得OE＝OF，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形DEBF为平行四边形，可判断A正确；
当t＝4时，AE＝8，此时E为AB的中点，可根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”证明DE＝BE=12AB，则四边形DEBF为菱形，可判断B正确；
作DG⊥AB于点G，由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得AG＝4cm，当t＝2时，AE＝4cm，点E与点G重合，则∠BED＝∠BGD＝90°，所以四边形DEBF为矩形，可判断C正确；
当t＝6时，AE＝12cm，此时点E在点G的右侧，则∠BED＞90°，因此四边形DEBF不可能是正方形，可判断D错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OBE＝∠ODF，
∵O为BD的中点，
∴OB＝OD，
在△OBE和△ODF中，
∠OBE=∠ODFOB=OD∠BOE=∠DOF，
∴△OBE≌△ODF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
故A正确；
∵当t＝4时，AE＝2t＝2×4＝8（cm），
∵AB＝16cm，
∴AE＝BE＝8cm，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB＝90°，
∴DE＝BE=12AB，
∴四边形DEBF为菱形，
故B正确；
如图，作DG⊥AB于点G，则∠AGD＝∠BGD＝90°，
∵∠ADB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ADG＝∠ABD＝30°，
∴AD=12AB＝8cm，
∴AG=12AD＝4cm，
当t＝2时，AE＝2t＝2×2＝4（cm），
∴AE＝AG，
∴点E与点G重合，
∴∠BED＝∠BGD＝90°，
∴四边形DEBF为矩形，
故C正确；
当t＝6时，AE＝2t＝2×6＝12（cm），
∵AE＞AG，
∴点E在点G的右侧，
∴∠BED＞∠BGD，
∴∠BED＞90°，
∴四边形DEBF不可能是正方形，
故D错误，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确理解且能灵活运用平行四边形及特殊的平行四边形的性质是解题的关键．
【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且AD＝9cm，BC＝6cm，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动．问几秒后直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
分析：分别利用①当BQ＝AP时以及②当CQ＝PD时，列方程得出答案．
【解答】解：设点P，Q运动的时间为ts．依题意得：CQ＝2t，BQ＝6﹣2t，AP＝t，
PD＝9﹣t．
∵AD∥BC，
①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形．
即6﹣2t＝t，
解得t＝2．
②当CQ＝PD时，
四边形CQPD是平行四边形，即2t＝9﹣t，
解得：t＝3．
所以经过2秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
【点评】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【变式1-4】(2023春•闽侯县月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，则当P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？
（2）当t为何值时，四边形PDCQ为平行四边形？
分析：（1）根据题意得出AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t，利用平行四边形的性质解答即可；
（2）根据平行四边形的判定和性质得出方程解答即可．
【解答】解：（1）根据题意有，AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t，
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴t＝15﹣2t，
解得：t＝5，
∴运动5s时，四边形APQB是平行四边形；
（2）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t（cm），
当PQ∥CD，且PQ＝CD时，
∵AD∥BC，即PD∥QC，
∴四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ＝CD，PD＝CQ，
∴12﹣t＝2t，
解得：t＝4，
即当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
【点评】此题考查平行四边形的判定，关键是根据平行四边形的判定和性质解答．
【变式1-5】(2023春•滨湖区期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为 ．
分析：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可．
【解答】解：如图，
∵AQ∥BC，CQ∥AP，
∴四边形APCQ是平行四边形．
当PQ⊥BC时，PQ取得最小值，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AH＝HC=12AC，QH＝PH=12PQ，
∵∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝22，
∴AC＝2，∠ACB＝45°，
∵QP⊥BC，
∴∠PHC＝45°，
∴PH＝PC=22，
∴PQ=2，
∴QC=PC2+PQ2=(22)2+(2)2=102，
∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC＝2×22+2×102=2+10．
故答案为：平行四边形；2+10．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强．
【变式1-6】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）作AM⊥BC于M，由已知条件得出AB＝AC，由等腰三角形的性质得出BM＝CM，由直角三角形斜边上的中线性质得出AM=12BC＝5，证出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，由CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2得出方程，解方程即可；
（2）由平行四边形的判定得出AP＝BE，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）作AM⊥BC于M，设AC交PE于N．如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
∴BM＝CM，
∴AM=12BC＝5，
∵AD∥BC，
∴∠PAN＝∠C＝45°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝AM＝5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN＝AP＝t，CE＝NE＝5﹣t，
∵CE＝CQ﹣QE＝2t﹣2，
∴5﹣t＝2t﹣2，
解得：t=73，所以BQ＝BC﹣CQ＝10﹣2×73=163；
（2）存在，t＝4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP＝BE，
∴t＝10﹣2t+2或t＝2t﹣2﹣10
解得：t＝4或12
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t＝4或12．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；根据题意得出t的方程是解决问题的突破口．
【变式1-7】如图，等边△ABC的边长为10cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以4cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以3cm/s的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．
分析：（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程＝AB+CA列方程求解即可；
（2）分类讨论：当点M在线段AB上，点N在AC上时；当点M在线段AC上，点N在AB上时；当点M在线段BC上，点N在AB上时，利用等边三角形的性质和点M、N的运动规律列出关于t的方程，借助于方程解答即可．
【解答】解：（1）
第一次相遇时间=10+103+4=207（秒）；
答：若动点M、N同时出发，经过207秒钟两点第一次相遇；
（2）如图2，当点M在线段AB上，点N在AC上时：
∵四边形ANDM为平行四边形，
DM＝AN DM∥AN
∵△ABC为等边三角形，
△BMD和△NCD是等边三角形
∴BM+CN＝CN+AN＝10
∴3t+4t＝10
∴t=107，
此时BD=407；
如图3，当点M在线段AC上，点N在AB上时：
同理△BND和△MCD是等边三角形
AM＝4t﹣10
AN＝3t﹣10
∴AM+AN＝AC＝10
4t﹣10+3t﹣10＝10
t=307，
此时BD=507．
如图4，当点M在线段BC上，点N在AB上时，
同理△BMN和△MCD是等边三角形
CM＝4t﹣20
AN＝3t﹣10
∴CM＝AN．
4t﹣20＝3t﹣10．
t＝10＞7.5（不合题意，舍去）．
综上所述：当时间t=107，BD=407；当时间t=307，BD=507．
【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．
【变式1-8】(2023春•惠来县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）线段AD＝ cm；
（2）求证：PB＝PQ；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
分析：（1）由勾股定理求出AD即可；
（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ＝∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；
（3）分两种情况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；
②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．
【解答】（1）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=AB2−BD2=202−162=12（cm），
故答案为：12；
（2）证明：如图1所示：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，即∠PBQ＝∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB＝∠C，
∴∠PBQ＝∠PQB，
∴PB＝PQ；
（3）解：分两种情况：
①当点M在点D的上方时，如图2所示：
由题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，
∴MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即当t＝（12﹣4t）cm时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t=125（s）；
②当点M在点D的下方时，如图3所示：
根据题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，
∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，
∵PQ∥AC，
∴PQ∥MD，
∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，
即当t＝（4t﹣12）cm时，四边形PQDM是平行四边形，
解得：t＝4（s）；
综上所述，当t=125s或t＝4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．
题型二 矩形中的动点问题
【例题2】(2023秋•迁安市期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，同时，点Q由点C出发，以相同的速度沿CD向点D运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP≌△PCQ时，t的值为（ ）
A．1或3B．2C．2或4D．1或2
分析：根据全等三角形的判定可得出答案．
【解答】解：当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8cm，
∴PC＝8cm，
∴BP＝12﹣8＝4（cm），
∴2t＝4，解得：t＝2，
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
【变式2-1】(2023春•玄武区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E在BC边上，且BE＝3，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作正方形EFGH，且点H在矩形ABCD内，连接CH，则CH的最小值为（ ）
A．3B．4C．8D．10
分析：过点H作HM⊥BC于点M，过H点作PQ∥BC，分别与AB、CD交于点P、点Q，证明△AEF≌△MHE，得BE＝MH＝3，BF＝ME，设BF＝x，根据勾股定理用x表示CH，再解析式特点求得CH的最小值．
【解答】解：过点H作HM⊥BC于点M，连接CH，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝HE，∠FEH＝90°，
∴∠BEF+∠MEH＝∠MEH+∠MHE＝90°，
∴∠BEF＝∠MHE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°＝∠EMH，
∴△BEF≌△MHE（AAS），
∴BE＝HM＝3，BF＝EM，
设BF＝EM＝x，则CM＝BC﹣BE﹣EM＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∴CH=CM2+HM2=(5−x)2+32=(5−x)2+9，
∵0≤x≤4，
∴当x＝4时，CH有最小值为CH=10
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等，确定H点运动的轨迹．
【变式2-2】(2023春•新洲区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝2，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（ ）
A．1B．4C．103D．143
分析：过点F作FH⊥CD，交直线CD于点Q，根据正方形的性质易证△ADE≌△EHF（AAS），可知EH＝AD＝3，根据题意可得t+2t＝2+8，求解即可．
【解答】解：过点F作FH⊥CD，交直线CD于点H，如图所示：
则∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠EHF，
在正方形AEFG中，∠AEF＝90°，AE＝EF，
∴∠AED+∠HEF＝90°，
∵∠HEF+∠EFH＝90°，
∴∠AED＝∠EFH，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴EH＝AD＝2，
∵AB＝8，
根据题意，得t+2t＝2+8，
∴t=103，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质等，构造全等三角形是解题的关键．
【变式2-3】如图，矩形ACBE中，AC＝12，BC＝5，点M在边AB上，且AM＝6，动点D在矩形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
分析：以M为圆心MA为半径画圆即可解决问题．
【解答】解：如图M为圆心MA为半径画圆，由此可知，以M为圆心AM为半径的圆与矩形的边有5个交点（AC，BE边上各有2个，AE边上有2个），除了点A，其余的4个点，与A、M组成的三角形是等腰三角形，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定、圆等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
【变式2-4】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P，Q分别是边BC和CD上的两个动点（可以与线段的端点重合，但P，Q两点不重合），点E、F分别是PA和PQ的中点，在两个动点的移动过程中，线段EF的长度取值范围是 ．
分析：连接AQ，因为点E、F分别是PA和PQ的中点，则EF=12AQ，求得线段AQ的取值范围即可得出线段EF的取值范围．
【解答】解：如图，连接AQ，
∵点E、F分别是PA和PQ的中点，
∴EF=12AQ，
∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
当点Q与点D重合时，AQ最小，为4，此时EF最小值为2，
当点Q与点C重合时，AQ最大，为5，此时EF最大值为2.5，
∴2≤EF≤2.5．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．解题的关键是构造三角形的中位线转化为求线段AQ长度的取值范围．
【变式2-5】如图，在长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm．点E从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线ABC方向运动，点F从点C出发，以每秒1cm的速度沿线段CD方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t．
（1）当E运动到B点时，求出t的值；
（2）在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得EF＝3cm？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据题意得出方程2t＝5，求出方程的解即可；
（2）画出符合条件的两种情况，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵AB＝5cm，
∴2t＝5，
解得：t＝2.5，
即当E运动到B点时，t的值是2.5秒；
（2）当0＜t≤2.5时，如图1，过E作EM⊥DC于，则EM＝BC＝3cm，
由勾股定理得：（3t﹣5）2+32＝32，
解得：t=53；
当2.5＜t≤4时，如图2，
由勾股定理得：（8﹣2t）2+t2＝32，
此方程无解；
即在点E、点F的运动过程中，存在某一时刻，使得EF＝3cm，此时t的值是53秒．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，能得出关于t的方程是解此题的关键，注意：矩形的对边相等，矩形的每一个角都是直角．
【变式2-6】如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）如图1，S△DCP＝ ．（用t的代数式表示）
（2）如图1，当t＝3时，试说明：△ABP≌△DCP．
（3）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用三角形的面积公式计算即可．
（2）根据全等三角形的判定即可解答；
（3）此题主要分两种情况①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【解答】解：（1）S△DCP=12•PC•CD=12•（12﹣2t）•8＝48﹣8t．
故答案为48﹣8t．
（2）当t＝3时，BP＝2×3＝6，
∴PC＝12﹣6＝6，
∴BP＝PC，
在△ABP与△DCP中
AB=CD∠B=∠CBP=PC，
∴△ABP≌△DCP（SAS）．
（3）①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB＝8，
∴PC＝8，
∴BP＝12﹣8＝4，
∴2t＝4，解得：t＝2，
∴CQ＝BP＝4，v×2＝4，解得：v＝2；
②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝6，
∴2t＝6，解得：t＝3，
CQ＝AB＝8，v×3＝8，解得：v=83，
综上所述，当v＝2或v=83时，△ABP与△PQC全等．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是全等三角形性质的掌握，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式2-7】(2023春•黄州区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为ts（0≤t≤5）．
（1）AE＝t，EF＝ ．
（2）若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形？
分析：（1）由勾股定理求出AC＝5，由题意得出AE＝CF＝t，即可得出EF＝5﹣2t或2t﹣5；
（2）由“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来判定；
（3）由“对角线相等的平行四边形是矩形”判定四边形EGFH为矩形时t的取值．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
由题意得：AE＝CF＝t，
∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t，
EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5．
故答案为：5﹣2t或2t﹣5．
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，∠GAF＝∠HCE，
∵G，H分别是AB，DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG和△CEH中，
AG=CH∠GAF=∠HCEAF=CE，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
同理：GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（3）解：连接GH，
由（1）可知四边形EGFH是平行四边形．
∵点G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点，
∴GH＝BC＝4．
∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①EF＝5﹣2t＝4，解得t＝0.5．
②EF＝2t﹣5＝4，解得t＝4.5．
故当t为0.5 s或4.5 s时，四边形EGFH为矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
【变式2-8】(2023•合川区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ ；
（2）当t＝ 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
分析：（1）根据题意可得BP＝2t，进而可得结果；
（2）根据∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，可得四边形ABCD是矩形，根据角平分线定义可得AF＝AB＝4，得DF＝4，进而可得t的值；
（3）根据题意分3种情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，分别用含t的代数式表示△ABP的面积S即可；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：①当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到AB边的距离也为4，②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，点P到DE边的距离也为4，③当点P在CD上，点P到AB边的距离为8，但点P到AB、BC边的距离都小于8，进而可得当t＝2s或t＝3s或t=194时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP=12×BP×AB=12×2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABP=12×AB×BC=12×4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP=12×AB×AP=12×4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE，
∴12×3×4=12×5×PH+12×3×PC，
∴12＝8PH，
∴12＝8（2t﹣8），
解得t=194．
综上所述：t＝2或t＝3或t=194时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线定义、三角形的面积、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
题型三 菱形中的动点问题
【例题3】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别为AD，DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．保持不变且与EF的长度相等
C．逐渐减小
D．保持不变且与AB的长度相等
分析：证明△ABE≌△DBF（ASA），可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE+CF＝AB，是一定值，可作判断．
【解答】解：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD．
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°．
∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD＝60°．
∴∠A＝∠CDB．
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABE＝∠DBF．
在△ABE和△DBF中，
∠BAE=∠BDFAB=DB∠ABE=∠DBF，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE＝DF，
∴AE+CF＝AB，
即AE+CF的长度保持不变与AB的长度相等．
故答案为：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【变式3-1】(2023春•西湖区期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线B一C一D方向移动，移动到点D停止，连结AP，DP．在△DAP形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形，以下排序正确的是（ ）
A．①③②③B．③②①③C．①③②①D．③②③①
分析：把点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动的整个过程，逐次考虑确定三角形的形状即可．
【解答】解：∵∠B＝60°，故菱形由两个等边三角形组合而成，
当点P与点B重合时，此时△ABP为等腰三角形，
当AP⊥AD时，此时△DAP为直角三角形；
当点P到达点C处时，此时△DAP为等边三角形；
当P为CD中点时，△ABP为直角三角形；
故选：A．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，涉及到等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，题目有一定的综合性，难度适中．
【变式3-2】(2023•槐荫区一模）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且AC＝8，BD=83，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为（ ）
A．2B．4C．43D．42
分析：连接ED，由菱形的性质及AC＝8，BD=83，得出AF＝4，DF＝43，AC⊥BD，BA＝DA，由勾股定理求出AD＝8，进而得出∠ADB＝∠ABD＝30°，证明△BAP≌△DAE，得出∠ADE＝30°，进而得出当OE⊥DE时，OE的值最小，求出此时OE的长度即可．
【解答】解：如图，连接ED，
∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，BD=83，
∴AF=12AC＝4，DF=12BD＝43，AC⊥BD，BA＝DA，
∴AD=AF2+DF2=42+(43)2=8，
∴∠ADB＝∠ABD＝30°，
将AP绕点A逆时针旋转使得∠PAE＝∠BAD，
∴AP＝AE，
∴∠BAP＝∠DAE，
在△BAP和△DAE中，
BA=DA∠BAP=∠DAEPA=EA，
∴△BAP≌△DAE（SAS），
∴∠ADE＝∠ABP＝30°，
∴DE是满足∠ADE＝30°的线段，
当OE⊥DE时，OE的值最小，
∵O是AD的中点，
∴OD=12AD=12×8＝4，
∴OE=12OD=12×4＝2，
∴在点P的运动过程中，线段OE的最小值为2，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找出全等的三角形，证明∠ADE＝30°是解决问题的关键．
【变式3-3】(2023春•仙桃期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（ ）
A．34B．43C．32D．53
分析：连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，再利用AE＝t，CF＝2t，则BF＝BC﹣CF＝5﹣2t求出时间t的值．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ADB=12∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝∠DEF＝60°，
又∵∠ADB＝60°，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，∠ADE=∠BDFAD=BD∠A=∠DBF，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE＝BF，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，
∴t＝5﹣2t
∴t=53，
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出AE＝BF．
【变式3-4】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．AC＝8cm，BD＝6cm，点P为AC上一动点，点P以1cm/s的速度从点A出发沿AC向点C运动．设运动时间为ts，当t＝ s时，△PAB为等腰三角形．
分析：求出BA的值，根据已知画出符合条件的三种情况：①当PA＝AB＝5cm时，②当P和C重合时，PB＝AB＝5cm，③作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB＝PA，连接PB，求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝4cm，BO＝OD＝3cm，
由勾股定理得：BC＝AB＝AD＝CD＝5cm，
分为三种情况：①如图1，当PA＝AB＝5cm时，t＝5÷1＝5；
②如图2，当P和C重合时，PB＝AB＝5cm，t＝8÷1＝8；
③如图3，作AB的垂直平分线交AC于P，此时PB＝PA，连接PB，
在Rt△BOP中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，
AP2＝32+（4﹣AP）2，
AP=258；
t=258÷1=258，
故答案为：5或8或258．
【点评】本题考查了菱形性质和等腰三角形的判定的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况．
【变式3-5】(2023•江西模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝63，∠ABC＝60°，AE⊥BC于点E，交BD于点F．若P是菱形ABCD边上的一动点，当△AFP的面积是93时，DP的长为 ．
分析：由菱形的性质可求∠ABD＝∠CBD＝30°，AD∥BC，由三角形的面积公式可求点P到AF的距离为33，即可求解．
【解答】解：∵AB＝63，∠ABC＝60°，AE⊥BC，
∴∠BAE＝30°，BE=12AB＝33，AE=3BE＝9，
∴EC＝33，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AD∥BC，
∴BE=3EF，BF＝2EF，∠DAF＝∠AEB＝90°，
∴EF＝3，BF＝6，
∴AF＝6，
∵△AFP的面积是93，
∴93=12×AF×点P到AF的距离，
∴点P到AF的距离为33，
∴点P与点B或点C重合，
当点P与点C重合，
∴PD＝63，
当点P与点B重合时，
∵∠ADB＝30°，∠DAF＝90°，
∴DF＝2AF＝12，
∴PD＝6+12＝18；
当点P在AD上时，AP＝33，
∴PD＝33，
综上所述：PD＝63或33或18，
故答案为63或33或18．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式3-6】如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．
（1）求证：四边形PBQD是平行四边形；
（2）若AD＝8cm，AB＝6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向D运动（不与D重合），设点P运动时间为t秒．
①请用t表示PD的长；②求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
分析：（1）根据矩形性质推出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠PDO＝∠QBO，根据全等三角形的判定ASA证△PDO≌△BQO，根据全等三角形的性质推出OP＝OQ，则“对角线相互平分的四边形为平行四边形”；
（2）①由线段间的和差关系来求PD的长度；
②根据平行四边形的判定得出四边形PBQD是平行四边形，求出DP＝BP即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO＝∠QBO，
∵O为BD中点，
∴OB＝OD，
在△PDO和△QBO中，
∠PDO=∠QBOOB=OD∠POD=∠BOQ，
∴△PDO≌△QBO（ASA），
∴OP＝OQ．
又∵OB＝OD，
∴四边形PBQD是平行四边形；
（2）①∵AP+PD＝AD，AP＝t，AD＝8cm，
∴PD＝8﹣AP＝8﹣t（cm）．
②当t=74s时，四边形PBQD是菱形，
理由是：
∵四边形PBQD是菱形，
∴BP＝DP＝8﹣t（cm）．
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
AB2+AP2＝BP2，
即62+t2＝（8﹣t）2
解得t=74．
∴当t=74s时，四边形PBQD是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，题目比较好，综合性比较强．
【变式3-7】(2023春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
分析：（1）先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE＝CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．
【解答】（1）证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠EAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠ACF＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABC=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF．
（2）解：四边形AECF的面积不变．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△
AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值；
作AH⊥BC于H点，如图所示：
∵∠AHB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°，
∴BH=12AB=4，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AH=AB2−BH2=82−42=43，
∴S四边形AECF＝S△ABC=12⋅BC⋅AH=163．
∵S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF=12S菱形ABCD﹣S△AEF，
∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，
∵△AEF为等边三角形，
∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，
∵当AE⊥BC时，AE最小，
∴AE的最小值为AH的长43，
过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：
∵△AEF为等边三角形，
∴AF=EF=AE=43，∠AEF＝60°，
∴EM=MF=12EF=23，
∴AM=AE2−EM2=(43)2−(23)2=6，
∴S△AEF=12×43×6=123，
∴S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝163−123=43，
即△CEF的面积的最大值为43．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，垂线段的性质，勾股定理，直角三角形的性质，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
【变式3-8】如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，分别取AF、CE的中点G、H．设运动的时间为ts （0＜t＜4）．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当t为何值时，△ADF的面积为32cm2；
（3）连接GE、FH．当t为何值时，四边形EHFG为菱形．
分析：（1）由菱形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，可求CF＝AE，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AD＝2cm，∠ADN＝60°，由直角三角形的性质可求AN=3DN=3cm，由三角形的面积公式可求解；
（3）由菱形的性质可得EF⊥GH，可证四边形DFEM是矩形，可得DF＝ME，由直角三角形的性质可求AM＝1，即可求解．
【解答】证明：（1）∵动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，
∴DF＝BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE；
（2）如图1，过点A作AN⊥CD于N，
∵在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°，
∴AD＝2cm，∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN=12AD＝1cm，AN=3DN=3cm，
∴S△ADF=12×DF×AN=12×12t×3=32，
∴t＝2；
（3）如图2，连接GH，EF，过点D作DM⊥AB于M，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴FA＝CE，
∵点G是AF的中点，点H是CE的中点，
∴FG＝CH，
∴四边形FGHC是平行四边形，
∴CF∥GH，
∵四边形EHFG为菱形，
∴EF⊥GH，
∴EF⊥CD，
∵AB∥CD，
∴EF⊥AB，
又∵DM⊥AB，
∴四边形DFEM是矩形，
∴DF＝ME，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴AM=12AD＝1cm，
∵AM+ME+BE＝AB，
∴1+12t+12t＝2，
∴t＝1．
【点评】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
题型四 正方形中的动点问题
【例题4】如图，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AC＝12，则PE+PF的值是（ ）
A．6B．10C．62D．12
分析：根据正方形的对角线互相垂直可得OB⊥OC，对角线平分一组对角可得∠OBC＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△BEP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝BE，从而得到PE+PF＝OB，然后根据正方形的性质解答即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，OB⊥OC，∠OBC＝45°，
∵PE⊥BD，PF⊥AC，
∴四边形OEPF为矩形，△BEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝BE，
∴PE+PF＝BE+OE＝OB，
∵AC＝BC，
∴OB=12AC＝6，
∴PE+PF＝6，
故选：A．
【点评】考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质求出PE+PF＝OB是解题的关键．
【变式4-1】正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（ ）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．一直变大D．保持不变
分析：连接DE，△CDE的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，则矩形与正方形面积相等．
【解答】解：连接DE，
∵S△CDE=12S四边形CEGF，
S△CDE=12S正方形ABCD，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
故选：D．
【点评】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接DE由面积关系进行转化是解题的关键．
【变式4-2】(2023•乐陵市模拟）如图，在正方形ABCD中，已知边长AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．54B．52−5C．522D．52
分析：由对称性质可得AF＝AB＝5，由正方形的性质可得AC=2AB＝52，当点F在线段AC上时，CF最小，即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，AF，
∵四边形ABCD为正方形，AB＝5，
∴AC=2AB＝52，
∵点B关于直线AE的对称点为F，
∴AF＝AB＝5，
当点F在AC上时，CF最小，
∵AC﹣AF＝52−5，
∴线段CF的最小值为52−5，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用轴对称的性质．
【变式4-3】(2023春•金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于点E，MF⊥CD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．1B．22C．3D．2
分析：连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC即可得出结果．
【解答】解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC=22BC=2，
∴EF的最小值为2；
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键．
【变式4-4】(2023•东阿县三模）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（ ）
A．2B．3C．22D．3
分析：连接BB'，连接BD，由正方形的性质可得BD=2AB＝22，BD平分∠ABC，BB'=2BE=2，BB'平分∠ABC，可证点B，点B'，点D三点共线，即可求解．
【解答】解：如图，连接BB'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=2AB＝22，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵四边形BEB'F是正方形，
∴BB'=2BE=2，BB'平分∠ABC，
∴点B，点B'，点D三点共线，
∴B'D＝BD﹣BB'=2，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键．
【变式4-5】如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是（ ）
A．10B．85−3C．65+3D．33+5
分析：延长CD到C′，使C′D＝CD，CP+PM＝C′P+PM，当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：延长CD到C′，使C′D＝CD，
CP+PM＝C′P+PM，
当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，
圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，
∵BC＝CD＝8，
∴CC′＝16，
∴C′B=CC′2+BC2=162+82=85．
∴CP+PM的最小值是85−3．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．
【变式4-6】(2023春•潼南区期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE平分∠BAC，BE＝CF，P为线段AC上的动点，记PD+PF的最小值为m，若正方形边长为2，则m2的值为（ ）
A．6﹣42B．8﹣42C．8+42D．6+42
分析：过E作EH⊥AC交于点H，由B点与D点关于AC对称，确定PD+PF的最小值即为BF，由AE平分∠BAC，可得BE＝EH，AB＝AH，在Rt△EHC中，∠HCE＝45°，则HC＝EH，求出AC＝2，设BE＝x，则EH＝x，HC＝2−2，则可求x＝2−2，进而求出CF＝2−2，在Rt△BCF中，BF2＝2+(2−2)2=8﹣42，即可求m2＝8﹣42．
【解答】解：过E作EH⊥AC交于点H，
∵正方形ABCD，
∴B点与D点关于AC对称，
∴PD+PF的最小值即为BF，
∵AE平分∠BAC，
∴BE＝EH，
又∵∠ABE＝∠AHE＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），
∴AB＝AH，
在Rt△EHC中，∠HCE＝45°，
∴HC＝EH，
∵正方形边长为2，
∴AC＝2，
设BE＝x，则EH＝x，HC＝2−2，
∴x＝2−2，
∵BE＝CF，
∴CF＝2−2，
在Rt△BCF中，BF2＝2+(2−2)2=8﹣42，
∴m2＝8﹣42，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，掌握正方形的对称性，确定PD+PF的最小值为BF，结合角平分线的性质和直角三角形勾股定理进行综合解题是正确求解的关键．
【变式4-7】如图，点E是边长为12的正方形ABCD边BC上的一点，BE＝5，点F在该正方形的边上运动，当BF＝AE时，设线段AE与线段BF相交于点H，则BH的长等于 ．
分析：利用勾股定理列式求出AE，再分①点F在CD上时，利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CBF，再求出BF⊥AE，利用三角形的面积列式求解即可得到BH的长；②点F在AD上时，利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△BAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝BE，连接EF，可得四边形ABEF是矩形，再根据矩形的对角线相等且互相平分解答．
【解答】解：如图，∵正方形的边长为12，BE＝5，
∴AE=122+52=13，
①点F在CD上时，如图1，在Rt△ABE和Rt△BCF中，BF=AEAB=BC，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴BF⊥AE，
∴S△ABE=12×13•BH=12×12×5，
解得BH=6013；
②点F在AD上时，如图2，在Rt△ABE和Rt△BAF中，BF=AEAB=BA，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴AF＝BE，
连接EF，则四边形ABEF是矩形，
∴BH=12AE=132，
综上所述，BH的长为6013或132．
故答案为：6013或132；
故答案是：6013或132．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
【变式4-8】如图，E是正方形ABCD一边CD上的中点，AB＝4，动点P从A→B→C→D在正方形的边上运动，当△PAE为等腰三角形时，则AP的长为 ．
分析：分类讨论P点位置：①当P在AB上时，只能是AE＝PE，P点在B点处；②当P在BC上，且PA＝PE，利用勾股定理求解AP值；③当P在BC上，且PA＝EA．
【解答】解：①当P在AB上时
∵AE大于AB
∴P在AB上时，要使△PAE为等腰三角形，只能是AE＝BE
∵E为DC的中点，∴BE＝AE，∴P与B重合时，AE＝EP，此时AP＝4；
②当P在BC上，且PA＝PE，如图1所示：
设BP＝x，则PC＝4﹣x，
Rt△ABP和Rt△ECP的斜边AP＝EP，
所以42+x2＝22+（4﹣x）2，解得x=12．
所以AP=AB2+BP2=16+14=652；
③当P在BC上，且PA＝EA，
∵在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=16+4=25，
∴AP＝AE＝25．
当P点在CD上时，△PAE不可能是等腰三角形．
所以AP长为4，652，25．
故答案为4，652，25．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，解决三角形为等腰三角形的问题时，要分情况讨论边相等情况．
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