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人教版八年级数学上册同步备课专题平行四边形中的最值问题(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册同步备课专题平行四边形中的最值问题(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了与平行四边形有关的最值问题，与矩形有关的最值问题，与菱形有关的最值问题，与正方形有关的最值问题等内容，欢迎下载使用。
题型一 与平行四边形有关的最值问题
【例题1】(2023秋•榆树市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB=82，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．4B．8C．42D．82
【变式1-1】(2023春•溧水区期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ．
【变式1-2】(2023秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．1B．3−1C．32D．2−3
【变式1-3】(2023春•雁塔区校级月考）在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．3B．3C．23D．2
【变式1-4】(2023•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（ ）
A．22B．23C．10D．210
【变式1-5】(2023秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【变式1-6】(2023•榆林模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝23，BC＝2．点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点．连接PD并延长，使DE＝PD．以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值 ．
【变式1-7】(2023•沂水县一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝3，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为 ．
【变式1-8】(2023•房县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 ．
【变式1-9】如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P，Q分别是AC，BC上的动点，在P，Q运动过程中，PB+PQ的最小值是 ．
题型二 与矩形有关的最值问题
【例题2】(2023•内江模拟）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2-1】(2023春•永春县期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，AB＝6，BC＝2．当B在边ON上运动时（点B与O不重合），A随之在OM上运动．点E在AB边上，AE＝2EB，四边形OADE的面积为263，则OA+OB的值等于（ ）
A．7B．50C．8D．8.5
【变式2-2】(2023秋•南安市期末）如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值是 ．
【变式2-3】(2023•阜新）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 ．
【变式2-4】(2023春•沭阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（ ）
A．8B．9C．10D．241
【变式2-5】(2023春•仪征市期中）如图，矩形ABCD的边AB＝7，BC＝3，点E在边AB上，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．2B．3C．10D．13
【变式2-6】(2023春•晋安区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．20
【变式2-7】(2023春•瑶海区期末）如图，在矩形ABCD中，点N、O、P．M分别是边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，则四边形MNOP周长的最小值等于（ ）
A．25B．23C．5D．3
【变式2-8】(2023秋•松山区期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A．23+3B．25C．23D．21
题型三 与菱形有关的最值问题
【例题3】(2023春•玉州区期中）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝62，CE＝4，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（ ）
A．42B．6C．210D．45
【变式3-1】如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（ ）
A．8B．10C．10.4D．12
【变式3-2】(2023•花都区二模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．3
【变式3-3】(2023春•鼓楼区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．23B．6C．32D．13
【变式3-4】(2023春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ADC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．43B．83C．8+3D．4+43
【变式3-5】(2023春•惠民县期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（ ）
A．2+23B．4C．43D．6
【变式3-6】(2023•安徽一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（ ）
A．7B．7−1C．3D．2
【变式3-7】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．
【变式3-8】如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB．
（1）证明：BE＝BF；
（2）求△BEF面积的最小值．
题型四 与正方形有关的最值问题
【例题4】(2023春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ）
A．32B．62C．3D．2
【变式4-1】(2023春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝22，则EF的长的最小值为（ ）
A．2B．1C．2D．22
【变式4-2】(2023春•莱州市期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 ．
【变式4-3】(2023春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）
A．5B．9C．92D．922
【变式4-4】(2023•扬州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（ ）
A．35B．43C．52D．213
【变式4-5】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．4D．23
【变式4-6】如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，CG，则∠DCG＝ 度，运动变化过程中，GH的最小值为 ．
【变式4-7】如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式4-8】如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（ ）
A．2B．1C．5−1D．5−2
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 平行四边形中的最值问题
题型一 与平行四边形有关的最值问题
【例题1】(2023秋•榆树市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB=82，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．4B．8C．42D．82
分析：设PQ与AC交于点O，过O作OP′⊥BC于P′．先求出OP′＝4，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′，从而求解．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，过O作OP′⊥BC于P′．如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝82，
∴AC＝82，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC=12AC＝42，
∴OP′＝4，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小．
【变式1-1】(2023春•溧水区期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ．
分析：当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵四边形PBQO是平行四边形，
∴PH＝HQ，OH＝HB，
当PQ⊥OA时，PQ最短，
∵∠AOB＝30°，OB＝4，
∴OH＝2，
∴PQ＝2PH＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答．
【变式1-2】(2023秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．1B．3−1C．32D．2−3
分析：因为不论怎么变化MN始终是△AEF的中位线，MN=12AE这个等量关系不发生变化，当AE最小时，MN就最小，根据垂线段最短性质知，当AE⊥BC时，AE取最小值，求出此时的AE便可．
【解答】解：∵点M，N分别是AF，EF的中点．
∴MN=12AE，
当AE⊥BC时，AE的值最小，此时MN取最小值，
∵四边形ABCD是平行四边形中，AB∥CD，∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE＝30°，
∴BE=12AB＝1，
∴AE=AB2−BE2=4−1=3，
∴MN=123，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短定理，关键是运用垂线段最短性质求得AE的最小值．
【变式1-3】(2023春•雁塔区校级月考）在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．3B．3C．23D．2
分析：由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求FC，AN，EN，AE的长，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点N作NE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠D＝60°，
∵CF⊥AB，AN⊥CD，
∴AN∥CF，∠BCF＝30°，
∴四边形AFCN是平行四边形，BF=12BC＝2，CF=3BF＝23，
∴AN＝CF＝23，
∵AN⊥CD，∠D＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴EN=12AN=3，AE=3EN＝3，
∵AM⊥BC，NE⊥AD，
∴AM∥EN，
∴当MN⊥EN时，MN有最小值为3，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式1-4】(2023•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（ ）
A．22B．23C．10D．210
分析：如图，作点E关于AD的对称点E′，连接AE′，BE′，BE′交AD于点P，连接PE，此时PE+PB的值最小．利用勾股定理求出BE′，可得结论．
【解答】解：如图，作点E关于AD的对称点E′，连接AE′，BE′，BE′交AD于点P，连接PE，此时PE+PB的值最小．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵AB=2AD，
∴∠DAB＝45°，
∴AD＝BD＝2，AB＝22，
∵AE＝EB=2，E，E′关于AD对称，
∴∠PAE′＝∠PAE＝45°，AE′＝AE=2，
∴BE′=AB2+AE′2=(22)2+(2)2=10，
∴PE+PB的最小值＝PB+PE′＝BE′=10，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
【变式1-5】(2023秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
分析：过点P作PH⊥AD交于点H，在AD上取一点M，使得AM＝BQ＝4，连接PM，BQ．求出PM，MQ．可得结论．
【解答】解：过点P作PH⊥AD交于点H，在AD上取一点M，使得AM＝BQ＝4，连接PM，BQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AM＝BQ，
∴四边形ABQM是平行四边形，
∴MQ＝AB＝6，
∵PD＝PA＝10，PH⊥AD，
∴DH＝AH＝6，
∴PH=PA2−AH2=102−62=8，
∴HM＝AH＝AM＝6﹣4＝2，
∴PM=PH2+HM2=82+22=217，
∴PQ≥PM﹣MQ＝217−6，
∴PQ的最小值为217−6．
故答案为：217−6．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
【变式1-6】(2023•榆林模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝23，BC＝2．点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点．连接PD并延长，使DE＝PD．以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值 ．
分析：根据直角三角形的性质得出AB＝4，进而利用直角三角形的性质和平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵AC＝23，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝4，
∵D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵PD＝DE，
∴PE＝2PD，
当P为AB的中点时，此时PQ⊥AB，对角线PQ最小，
∴2PD＝BC＝2，
∴PE＝2，
∴2PC＝AB＝4，
∴PC＝2，
∴平行四边形PEQC是菱形，
∴PQ＝23，
故答案为：23．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，题中主要涉及直角三角形的性质的计算问题，应熟练掌握此类问题并能够求解．
【变式1-7】(2023•沂水县一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝3，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为 ．
分析：如图（见解答），先利用直角三角形的性质可得CD=12AC=32，再根据平行四边形的性质可得AB∥CQ，由此可得出当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ＝CD．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝3，
∴CD=12AC=32，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AB∥CQ，
∴当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ＝CD=32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、平行线间的距离等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式1-8】(2023•房县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 ．
分析：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF=12AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，
∵AM＝DM＝DC＝2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝23，
在Rt△ACN中，∵AC＝23，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN=12AC=3，
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF=12AG，
∵AG≤AC，
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为23，最小值为3，
∴EF的最大值为3，最小值为32，
∴EF的最大值与最小值的差为32．
故答案为32．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．
【变式1-9】如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P，Q分别是AC，BC上的动点，在P，Q运动过程中，PB+PQ的最小值是 ．
分析：取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值．
【解答】解：取BC的中点G，连接AG．
∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，
∴∠GAC＝∠GCA＝30°，
∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短），
∵作点B关于AC的对称点F，即BC＝BF，∠AGB＝∠BAG＝60°，
∴△BCF是等边三角形，BE=32×4＝23，
∴BP+PQ的最小值为23．
故答案为：23．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
题型二 与矩形有关的最值问题
【例题2】(2023•内江模拟）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
分析：由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝OD=12BD＝6，由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠ODA＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD=12BD＝6，
∵∠BOC＝120°＝∠AOD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
当OP⊥AD时，OP有最小值，
∴OP=12OD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．
【变式2-1】(2023春•永春县期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，AB＝6，BC＝2．当B在边ON上运动时（点B与O不重合），A随之在OM上运动．点E在AB边上，AE＝2EB，四边形OADE的面积为263，则OA+OB的值等于（ ）
A．7B．50C．8D．8.5
分析：由面积关系可求OA×OB＝14，由勾股定理可求36＝AO2+BO2，即可求解．
【解答】解：如图，
∵AB＝6，AE＝2BE，
∴AE＝4，BE＝2，
∴S△AED=12×AD×AE=12×4×2＝4，
∵四边形OADE的面积为263，
∴S△AOE=143，
∵AE＝2BE，
∴S△AOB＝7，
∴12×OA×OB＝7，
∴OA×OB＝14，
∵AB2＝AO2+BO2，
∴36＝AO2+BO2，
∴（AO+BO）2＝36+28，
∴AO+BO＝8（负值舍去），
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，求出OA×OB＝14是解题的关键．
【变式2-2】(2023秋•南安市期末）如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值是 ．
分析：首先证明动点P在与CD平行且与CD的距离是3的直线l上，过点B作直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离．
【解答】解：设△BPC中BC边上的高是h．
∵S△PBC＝30，BC＝15，
∴12•BC•h＝30，
∴h＝4，
∴动点P在与CD平行且与CD的距离是4的直线l上，
过点B作直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵BC＝15，B′B＝15，
∴B′C=152+152=152，
故答案为：152．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
【变式2-3】(2023•阜新）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 ．
分析：由题知，当E点与D点重合时GH最长，设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，根据勾股定理计算出x的值即可．
【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，
设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，
由勾股定理得，HC2+CE2＝HE2，
即（10﹣x）2+62＝x2，
解得x＝6.8，
故答案为：6.8．
【点评】本题主要考查图形的翻折，矩形的性质以及勾股定理的知识，确定当D点与E点重合时GH最长时解题的关键．
【变式2-4】(2023春•沭阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（ ）
A．8B．9C．10D．241
分析：取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即EF＝OE+OF．
【解答】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠BCD＝90°，
∵点F是CD中点，点O是BC的中点，
∴CF＝3，CO＝4，
∴OF=CF2+CO2=5，
∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点，
∴OE＝OC＝4，
∵根据三角形三边关系可得：OE+OF＞EF，
∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF＝4+5＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点O，点E，点F共线时，EF有最大值是本题的关键．
【变式2-5】(2023春•仪征市期中）如图，矩形ABCD的边AB＝7，BC＝3，点E在边AB上，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．2B．3C．10D．13
分析：由旋转的性质可得AE＝HE，AF＝HG，∠A＝∠H＝∠AEH＝90°，则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，即当HG＝AD＝3时，GC有最小值，由勾股定理可求解．
【解答】解：将△AEF绕点E顺时针旋转90°得到△HEG，延长HG交BC于点N，
∴AE＝HE，AF＝HG，∠A＝∠H＝∠AEH＝90°，
∴HG∥HN，
则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，
∴当HG＝AD＝3时，GC有最小值，
∵∠HEB＝∠B＝∠EHN＝90°，
∴四边形EHNB是矩形，
∴HE＝BN＝1，BE＝HN＝6，
∴CN＝2，GN＝3，
∴CG=CN2+GB2=4+9=13，
故选D．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，确定点G的轨迹是解题的关键．
【变式2-6】(2023春•晋安区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．20
分析：连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，
则BE＝2AB＝8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∴CE=BE2+BC2=82+62=10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故选：B．
【点评】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE是解题的关键．
【变式2-7】(2023春•瑶海区期末）如图，在矩形ABCD中，点N、O、P．M分别是边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，则四边形MNOP周长的最小值等于（ ）
A．25B．23C．5D．3
分析：首先利用SAS证明△AMN≌△COP，得MN＝PO，同理得，NO＝MP，则四边形MNOP是平行四边形，作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，求出ON'的长，从而解决问题．
【解答】解：∵BO＝DM，
∴CO＝AM，
∵AN＝CP，∠A＝∠C＝90°，
∴△AMN≌△COP（SAS），
∴MN＝PO，
同理得，NO＝MP，
∴四边形MNOP是平行四边形，
作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，
则NO＝N'O，
∴PO+ON的最小值为PN'，
由题意知，HN'＝AB＝2，PH＝BC＝1，
由勾股定理得，PN'=5，
∴四边形MNOP周长的最小值为25，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，证明四边形MNOP是平行四边形是解题的关键．
【变式2-8】(2023秋•松山区期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A．23+3B．25C．23D．21
分析：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC＝PF，
∵PB＝EF，
∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=(3)2+32=23，
∴AC＝2AB，
∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝23，
∵∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=(23)2+32=21，
故选：D．
【点评】本题考查两点之间线段最短、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
题型三 与菱形有关的最值问题
【例题3】(2023春•玉州区期中）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝62，CE＝4，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（ ）
A．42B．6C．210D．45
分析：先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．
【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝4，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴Rt△BHC中，BH＝CH=22BC＝6，
∴HG＝6﹣4＝2，
∴Rt△BHG中，BG=62+22=210，
∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），
∴PE+PF的最小值是210．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质和轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是得到PE+PF的最小值为BG的长度．
【变式3-1】如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（ ）
A．8B．10C．10.4D．12
分析：由矩形和菱形的性质可得AE＝EC，∠B＝90°，由勾股定理可求AE的长，即可求四边形AECF的周长．
【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大，
∵四边形AECF是菱形
∴AE＝CF＝EC＝AF，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴AE2＝1+（5﹣AE）2，
∴AE＝2.6
∴菱形AECF的周长＝2.6×4＝10.4
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的关键．
【变式3-2】(2023•花都区二模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．3
分析：由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=12BD＝3，OC=12AC＝4，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥AB时，OP有最小值，由面积法可求解．
【解答】解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥BD，BO=12BD＝3，AO=12AC＝4，
∴AB＝5，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥AB时，OP有最小值，
此时S△OBC=12OB×OA=12AB×OP，
∴OP＝2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
【变式3-3】(2023春•鼓楼区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．23B．6C．32D．13
分析：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最小值即可．
【解答】】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA＝FH，
∵FA＝FC，
∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH=AC2+AH2=32+22=13，
∴AE+AF的最小值13，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
【变式3-4】(2023春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ADC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．43B．83C．8+3D．4+43
分析：过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为8，
∴DE=AD2−AE2=82−42=43，
∴2DE＝83．
∴MA+MB+MD的最小值是83．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
【变式3-5】(2023春•惠民县期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（ ）
A．2+23B．4C．43D．6
分析：连接DE．因为BE的长度固定，所以要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可．
【解答】解：连接DE．
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P′D＝P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为4，E为BC的中点，∠DAB＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
又∵菱形ABCD的边长为4，
∴BD＝4，BE＝2，DE＝23，
∴△PBE的最小周长＝DE+BE＝23+2，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
【变式3-6】(2023•安徽一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（ ）
A．7B．7−1C．3D．2
分析：根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，
∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴FD=12MD=12，
∴FM＝DM×32=32，
∴MC=FM2+CF2=7，
∴A′C＝MC﹣MA′=7−1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．
【变式3-7】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．
分析：根据题意找出点C关于BD的对称点A，连接AP，构造△PAE中的三边关系解答即可．
【解答】解：由菱形性质可知，C点关于BD的对称点A，连接AP，则AP＝CP，
在△APE中，
|PE﹣PA|＜EA，
则当点P、E、A三点共线时，|PE﹣PA|取最大值，最大值为AE．
∴|PC﹣PE|的最大值为AE．
∵菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵点E为AB边的中点
∴AE＝2.5，
∴|PC﹣PE|的最大值为2.5．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，关键是通过构点C的对称点A，转化|PC﹣PE|，根据三角形的三边关系进行解题．
【变式3-8】如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB．
（1）证明：BE＝BF；
（2）求△BEF面积的最小值．
分析：（1）由在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，易得△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），则可证得结论；
（2）由△BDE≌△BCF，易证得△BEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点D或点A时，BE的最大，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小，此时△BEF的面积最小．
【解答】解：（1）BE＝BF，证明如下：
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD＝4，
∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，
∵AE+CF＝4，
∴CF＝4﹣AE＝AD﹣AE＝DE，
又∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C＝60°，
在△BDE和△BCF中，
DE=DF∠BDE=∠CBD=BC，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴BE＝BF；
（2）∵△BDE≌△BCF，
∴∠EBD＝∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF＝∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF＝∠DBC＝60°，
又∵BE＝BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF＝BE＝BF，
当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为23，
此时△BEF的面积为34•（23）2＝33．
【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△BDE≌△BCF是解此题的关键．
题型四 与正方形有关的最值问题
【例题4】(2023春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ）
A．32B．62C．3D．2
分析：连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC=22BC＝32，即可得出结果．
【解答】解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC=22BC=6×22=32，
∴EF的最小值为32；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键．
【变式4-1】(2023春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝22，则EF的长的最小值为（ ）
A．2B．1C．2D．22
分析：如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解．
【解答】解：如图，连接OP、EF，
∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，
∴四边形OEPF为矩形，
∴EF＝OP，
∴EF最小时OP最小，
当OP⊥BC于P的时候OP最小，
而当OP⊥BC时，P为BC的中点，
∴OP=12BC，
∵AC＝22，
则BC＝2，
∴OP＝1，
∴EF的长的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．
【变式4-2】(2023春•莱州市期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 ．
分析：连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可．
【解答】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF＝DF，
∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在AB上且BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE=AD2+AE2=5，
∴△BFE的周长＝5+1＝6，
故答案为：6．
【点评】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时△BFE的周长有最小值，这是解题的关键．
【变式4-3】(2023春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）
A．5B．9C．92D．922
分析：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM．∠ADM＝90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=22AM，当AM的值最大时，AD的值最大，根据三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题．
【解答】解：如图，
将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，
由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD=22AM，
∴当AM的值最大时，AD的值最大，
∵AM≤AC+CM，
∴AM≤9，
∴AM的最大值为9，
∴AD的最大值为922．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
【变式4-4】(2023•扬州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（ ）
A．35B．43C．52D．213
分析：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE（AAS），确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF＝45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，求出DC'＝35即可．
【解答】解：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，
∴F点在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点C'，
∵EG＝DA，FG＝AE，
∴AE＝BG，
∴BG＝FG，
∴∠FBG＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C'点在AB的延长线上，
当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，
∴DC'＝35，
∴DF+CF的最小值为35，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
【变式4-5】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．4D．23
分析：以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH＝BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH＝GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH＝BN，
∵BE＝2，
∴EC＝4，
∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC，
∴EC＝EH＝4，EN＝NC＝2，∠HEC＝60°，
∴BN＝4＝MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC，
∴∠FEH＝∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
FE=GE∠FEH=∠GECHE=EC，
∴△FEH≌△GEC（SAS），
∴FH＝GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH＝HM＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式4-6】如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，CG，则∠DCG＝ 度，运动变化过程中，GH的最小值为 ．
分析：（1）证明△ADE≌△CDG，推出∠DCG＝∠DAE＝45°即可；
（2）由∠DCG＝45°推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAE＝45°，
故答案为：45；
（2）∵∠DCG＝45°，
∴点G的运动轨迹是射线CG，
根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，
∵DH=23CD，
∴CH＝CD﹣DH=13CD＝1，
∴GH最小值＝CH•22＝1×22=22．
故答案为：22．
【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短，解决此题的关键是△ADE≌△CDG得到∠DCG＝∠DAE＝45°，证明出点G的运动轨迹是射线CG．
【变式4-7】如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．5
分析：由S△ADP+S△ABP+S△ACP＝1，推出12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）＝1，则BB′+CC′+DD′=2PA，求出PA的最大值即可解决问题．
【解答】解：连接AC，DP，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，
∴AB＝CD，S正方形ABCD＝1，
∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP＝S△ABC=12S正方形ABCD=12，
∴S△ADP+S△ABP+S△ACP＝1，
∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）＝1，
则BB′+CC′+DD′=2PA，
∵当点P与C重合时，PA的值最大，PA的最大值为2，
∴BB′+CC′+DD′的最小值是2，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质以及三角形的面积，根据正方形的性质结合三角形的面积找出BB′+CC′+DD′=2PA是解题的关键．
【变式4-8】如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（ ）
A．2B．1C．5−1D．5−2
分析：根据正方形的性质可得AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AFD＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=12AD＝1，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
AD=BCAM=BN，
∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），
∴∠1＝∠2，
在△DCE和△BCE中，
BC=CD∠DCE=∠BCECE=CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，
∴∠1+∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则OF＝DO=12AD＝1，
在Rt△ODC中，OC=DO2+DC2=12+22=5，
根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，
∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值＝OC﹣OF=5−1．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出CF最小时点F的位置是解题关键，也是本题的难点．
题型一 与平行四边形有关的最值问题
【例题1】(2023秋•榆树市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB=82，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．4B．8C．42D．82
【变式1-1】(2023春•溧水区期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ．
【变式1-2】(2023秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．1B．3−1C．32D．2−3
【变式1-3】(2023春•雁塔区校级月考）在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．3B．3C．23D．2
【变式1-4】(2023•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（ ）
A．22B．23C．10D．210
【变式1-5】(2023秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【变式1-6】(2023•榆林模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝23，BC＝2．点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点．连接PD并延长，使DE＝PD．以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值 ．
【变式1-7】(2023•沂水县一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝3，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为 ．
【变式1-8】(2023•房县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 ．
【变式1-9】如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P，Q分别是AC，BC上的动点，在P，Q运动过程中，PB+PQ的最小值是 ．
题型二 与矩形有关的最值问题
【例题2】(2023•内江模拟）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2-1】(2023春•永春县期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，AB＝6，BC＝2．当B在边ON上运动时（点B与O不重合），A随之在OM上运动．点E在AB边上，AE＝2EB，四边形OADE的面积为263，则OA+OB的值等于（ ）
A．7B．50C．8D．8.5
【变式2-2】(2023秋•南安市期末）如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值是 ．
【变式2-3】(2023•阜新）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 ．
【变式2-4】(2023春•沭阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（ ）
A．8B．9C．10D．241
【变式2-5】(2023春•仪征市期中）如图，矩形ABCD的边AB＝7，BC＝3，点E在边AB上，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．2B．3C．10D．13
【变式2-6】(2023春•晋安区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．20
【变式2-7】(2023春•瑶海区期末）如图，在矩形ABCD中，点N、O、P．M分别是边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，则四边形MNOP周长的最小值等于（ ）
A．25B．23C．5D．3
【变式2-8】(2023秋•松山区期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A．23+3B．25C．23D．21
题型三 与菱形有关的最值问题
【例题3】(2023春•玉州区期中）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝62，CE＝4，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（ ）
A．42B．6C．210D．45
【变式3-1】如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（ ）
A．8B．10C．10.4D．12
【变式3-2】(2023•花都区二模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．3
【变式3-3】(2023春•鼓楼区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．23B．6C．32D．13
【变式3-4】(2023春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ADC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．43B．83C．8+3D．4+43
【变式3-5】(2023春•惠民县期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（ ）
A．2+23B．4C．43D．6
【变式3-6】(2023•安徽一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（ ）
A．7B．7−1C．3D．2
【变式3-7】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．
【变式3-8】如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB．
（1）证明：BE＝BF；
（2）求△BEF面积的最小值．
题型四 与正方形有关的最值问题
【例题4】(2023春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ）
A．32B．62C．3D．2
【变式4-1】(2023春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝22，则EF的长的最小值为（ ）
A．2B．1C．2D．22
【变式4-2】(2023春•莱州市期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 ．
【变式4-3】(2023春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）
A．5B．9C．92D．922
【变式4-4】(2023•扬州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（ ）
A．35B．43C．52D．213
【变式4-5】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．4D．23
【变式4-6】如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，CG，则∠DCG＝ 度，运动变化过程中，GH的最小值为 ．
【变式4-7】如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式4-8】如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（ ）
A．2B．1C．5−1D．5−2
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
专题 平行四边形中的最值问题
题型一 与平行四边形有关的最值问题
【例题1】(2023秋•榆树市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB=82，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．4B．8C．42D．82
分析：设PQ与AC交于点O，过O作OP′⊥BC于P′．先求出OP′＝4，当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′，从而求解．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，过O作OP′⊥BC于P′．如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝82，
∴AC＝82，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC=12AC＝42，
∴OP′＝4，
当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP′＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是得到当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ的值最小．
【变式1-1】(2023春•溧水区期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ．
分析：当PQ⊥OA时，PQ最短，利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵四边形PBQO是平行四边形，
∴PH＝HQ，OH＝HB，
当PQ⊥OA时，PQ最短，
∵∠AOB＝30°，OB＝4，
∴OH＝2，
∴PQ＝2PH＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质和菱形的判定和性质解答．
【变式1-2】(2023秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．1B．3−1C．32D．2−3
分析：因为不论怎么变化MN始终是△AEF的中位线，MN=12AE这个等量关系不发生变化，当AE最小时，MN就最小，根据垂线段最短性质知，当AE⊥BC时，AE取最小值，求出此时的AE便可．
【解答】解：∵点M，N分别是AF，EF的中点．
∴MN=12AE，
当AE⊥BC时，AE的值最小，此时MN取最小值，
∵四边形ABCD是平行四边形中，AB∥CD，∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE＝30°，
∴BE=12AB＝1，
∴AE=AB2−BE2=4−1=3，
∴MN=123，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，垂线段最短定理，关键是运用垂线段最短性质求得AE的最小值．
【变式1-3】(2023春•雁塔区校级月考）在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．3B．3C．23D．2
分析：由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求FC，AN，EN，AE的长，即可求解．
【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点N作NE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠D＝60°，
∵CF⊥AB，AN⊥CD，
∴AN∥CF，∠BCF＝30°，
∴四边形AFCN是平行四边形，BF=12BC＝2，CF=3BF＝23，
∴AN＝CF＝23，
∵AN⊥CD，∠D＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴EN=12AN=3，AE=3EN＝3，
∵AM⊥BC，NE⊥AD，
∴AM∥EN，
∴当MN⊥EN时，MN有最小值为3，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式1-4】(2023•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（ ）
A．22B．23C．10D．210
分析：如图，作点E关于AD的对称点E′，连接AE′，BE′，BE′交AD于点P，连接PE，此时PE+PB的值最小．利用勾股定理求出BE′，可得结论．
【解答】解：如图，作点E关于AD的对称点E′，连接AE′，BE′，BE′交AD于点P，连接PE，此时PE+PB的值最小．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∵AB=2AD，
∴∠DAB＝45°，
∴AD＝BD＝2，AB＝22，
∵AE＝EB=2，E，E′关于AD对称，
∴∠PAE′＝∠PAE＝45°，AE′＝AE=2，
∴BE′=AB2+AE′2=(22)2+(2)2=10，
∴PE+PB的最小值＝PB+PE′＝BE′=10，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
【变式1-5】(2023秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
分析：过点P作PH⊥AD交于点H，在AD上取一点M，使得AM＝BQ＝4，连接PM，BQ．求出PM，MQ．可得结论．
【解答】解：过点P作PH⊥AD交于点H，在AD上取一点M，使得AM＝BQ＝4，连接PM，BQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AM＝BQ，
∴四边形ABQM是平行四边形，
∴MQ＝AB＝6，
∵PD＝PA＝10，PH⊥AD，
∴DH＝AH＝6，
∴PH=PA2−AH2=102−62=8，
∴HM＝AH＝AM＝6﹣4＝2，
∴PM=PH2+HM2=82+22=217，
∴PQ≥PM﹣MQ＝217−6，
∴PQ的最小值为217−6．
故答案为：217−6．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
【变式1-6】(2023•榆林模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝23，BC＝2．点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点．连接PD并延长，使DE＝PD．以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值 ．
分析：根据直角三角形的性质得出AB＝4，进而利用直角三角形的性质和平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵AC＝23，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AB＝4，
∵D是AC的中点，
∴AD＝DC，
∵PD＝DE，
∴PE＝2PD，
当P为AB的中点时，此时PQ⊥AB，对角线PQ最小，
∴2PD＝BC＝2，
∴PE＝2，
∴2PC＝AB＝4，
∴PC＝2，
∴平行四边形PEQC是菱形，
∴PQ＝23，
故答案为：23．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，题中主要涉及直角三角形的性质的计算问题，应熟练掌握此类问题并能够求解．
【变式1-7】(2023•沂水县一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝3，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为 ．
分析：如图（见解答），先利用直角三角形的性质可得CD=12AC=32，再根据平行四边形的性质可得AB∥CQ，由此可得出当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ＝CD．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝3，
∴CD=12AC=32，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AB∥CQ，
∴当PQ⊥AB时，PQ取得最小值，此时PQ＝CD=32，
故答案为：32．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、平行线间的距离等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【变式1-8】(2023•房县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 ．
分析：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF=12AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，
∵AM＝DM＝DC＝2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝23，
在Rt△ACN中，∵AC＝23，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN=12AC=3，
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF=12AG，
∵AG≤AC，
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为23，最小值为3，
∴EF的最大值为3，最小值为32，
∴EF的最大值与最小值的差为32．
故答案为32．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．
【变式1-9】如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P，Q分别是AC，BC上的动点，在P，Q运动过程中，PB+PQ的最小值是 ．
分析：取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值．
【解答】解：取BC的中点G，连接AG．
∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，
∴∠GAC＝∠GCA＝30°，
∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短），
∵作点B关于AC的对称点F，即BC＝BF，∠AGB＝∠BAG＝60°，
∴△BCF是等边三角形，BE=32×4＝23，
∴BP+PQ的最小值为23．
故答案为：23．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
题型二 与矩形有关的最值问题
【例题2】(2023•内江模拟）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
分析：由矩形的性质可得OA＝OB＝OC＝OD=12BD＝6，由等腰三角形的性质可求∠OAD＝∠ODA＝30°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD=12BD＝6，
∵∠BOC＝120°＝∠AOD，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
当OP⊥AD时，OP有最小值，
∴OP=12OD＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是本题的关键．
【变式2-1】(2023春•永春县期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，AB＝6，BC＝2．当B在边ON上运动时（点B与O不重合），A随之在OM上运动．点E在AB边上，AE＝2EB，四边形OADE的面积为263，则OA+OB的值等于（ ）
A．7B．50C．8D．8.5
分析：由面积关系可求OA×OB＝14，由勾股定理可求36＝AO2+BO2，即可求解．
【解答】解：如图，
∵AB＝6，AE＝2BE，
∴AE＝4，BE＝2，
∴S△AED=12×AD×AE=12×4×2＝4，
∵四边形OADE的面积为263，
∴S△AOE=143，
∵AE＝2BE，
∴S△AOB＝7，
∴12×OA×OB＝7，
∴OA×OB＝14，
∵AB2＝AO2+BO2，
∴36＝AO2+BO2，
∴（AO+BO）2＝36+28，
∴AO+BO＝8（负值舍去），
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等知识，求出OA×OB＝14是解题的关键．
【变式2-2】(2023秋•南安市期末）如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值是 ．
分析：首先证明动点P在与CD平行且与CD的距离是3的直线l上，过点B作直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离．
【解答】解：设△BPC中BC边上的高是h．
∵S△PBC＝30，BC＝15，
∴12•BC•h＝30，
∴h＝4，
∴动点P在与CD平行且与CD的距离是4的直线l上，
过点B作直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点P，B′C的长就是所求的最短距离，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵BC＝15，B′B＝15，
∴B′C=152+152=152，
故答案为：152．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
【变式2-3】(2023•阜新）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 ．
分析：由题知，当E点与D点重合时GH最长，设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，根据勾股定理计算出x的值即可．
【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，
设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，
由勾股定理得，HC2+CE2＝HE2，
即（10﹣x）2+62＝x2，
解得x＝6.8，
故答案为：6.8．
【点评】本题主要考查图形的翻折，矩形的性质以及勾股定理的知识，确定当D点与E点重合时GH最长时解题的关键．
【变式2-4】(2023春•沭阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（ ）
A．8B．9C．10D．241
分析：取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即EF＝OE+OF．
【解答】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠BCD＝90°，
∵点F是CD中点，点O是BC的中点，
∴CF＝3，CO＝4，
∴OF=CF2+CO2=5，
∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点，
∴OE＝OC＝4，
∵根据三角形三边关系可得：OE+OF＞EF，
∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF＝4+5＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点O，点E，点F共线时，EF有最大值是本题的关键．
【变式2-5】(2023春•仪征市期中）如图，矩形ABCD的边AB＝7，BC＝3，点E在边AB上，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．2B．3C．10D．13
分析：由旋转的性质可得AE＝HE，AF＝HG，∠A＝∠H＝∠AEH＝90°，则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，即当HG＝AD＝3时，GC有最小值，由勾股定理可求解．
【解答】解：将△AEF绕点E顺时针旋转90°得到△HEG，延长HG交BC于点N，
∴AE＝HE，AF＝HG，∠A＝∠H＝∠AEH＝90°，
∴HG∥HN，
则点G在平行于AB，且与AB的距离为1的直线上运动，
∴当HG＝AD＝3时，GC有最小值，
∵∠HEB＝∠B＝∠EHN＝90°，
∴四边形EHNB是矩形，
∴HE＝BN＝1，BE＝HN＝6，
∴CN＝2，GN＝3，
∴CG=CN2+GB2=4+9=13，
故选D．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，确定点G的轨迹是解题的关键．
【变式2-6】(2023春•晋安区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．20
分析：连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，
则BE＝2AB＝8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∴CE=BE2+BC2=82+62=10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故选：B．
【点评】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE是解题的关键．
【变式2-7】(2023春•瑶海区期末）如图，在矩形ABCD中，点N、O、P．M分别是边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，则四边形MNOP周长的最小值等于（ ）
A．25B．23C．5D．3
分析：首先利用SAS证明△AMN≌△COP，得MN＝PO，同理得，NO＝MP，则四边形MNOP是平行四边形，作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，求出ON'的长，从而解决问题．
【解答】解：∵BO＝DM，
∴CO＝AM，
∵AN＝CP，∠A＝∠C＝90°，
∴△AMN≌△COP（SAS），
∴MN＝PO，
同理得，NO＝MP，
∴四边形MNOP是平行四边形，
作点N关于BC的对称点N'，连接ON'，PN'，
则NO＝N'O，
∴PO+ON的最小值为PN'，
由题意知，HN'＝AB＝2，PH＝BC＝1，
由勾股定理得，PN'=5，
∴四边形MNOP周长的最小值为25，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，证明四边形MNOP是平行四边形是解题的关键．
【变式2-8】(2023秋•松山区期末）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A．23+3B．25C．23D．21
分析：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC＝PF，
∵PB＝EF，
∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=(3)2+32=23，
∴AC＝2AB，
∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝23，
∵∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=(23)2+32=21，
故选：D．
【点评】本题考查两点之间线段最短、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
题型三 与菱形有关的最值问题
【例题3】(2023春•玉州区期中）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝62，CE＝4，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（ ）
A．42B．6C．210D．45
分析：先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．
【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝4，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴Rt△BHC中，BH＝CH=22BC＝6，
∴HG＝6﹣4＝2，
∴Rt△BHG中，BG=62+22=210，
∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），
∴PE+PF的最小值是210．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质和轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是得到PE+PF的最小值为BG的长度．
【变式3-1】如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（ ）
A．8B．10C．10.4D．12
分析：由矩形和菱形的性质可得AE＝EC，∠B＝90°，由勾股定理可求AE的长，即可求四边形AECF的周长．
【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大，
∵四边形AECF是菱形
∴AE＝CF＝EC＝AF，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴AE2＝1+（5﹣AE）2，
∴AE＝2.6
∴菱形AECF的周长＝2.6×4＝10.4
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的关键．
【变式3-2】(2023•花都区二模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．3
分析：由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=12BD＝3，OC=12AC＝4，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥AB时，OP有最小值，由面积法可求解．
【解答】解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥BD，BO=12BD＝3，AO=12AC＝4，
∴AB＝5，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥AB时，OP有最小值，
此时S△OBC=12OB×OA=12AB×OP，
∴OP＝2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
【变式3-3】(2023春•鼓楼区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．23B．6C．32D．13
分析：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，进而得出△AEF周长的最小值即可．
【解答】】解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA＝FH，
∵FA＝FC，
∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD的边长为3，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH=AC2+AH2=32+22=13，
∴AE+AF的最小值13，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
【变式3-4】(2023春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ADC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．43B．83C．8+3D．4+43
分析：过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为8，
∴DE=AD2−AE2=82−42=43，
∴2DE＝83．
∴MA+MB+MD的最小值是83．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
【变式3-5】(2023春•惠民县期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（ ）
A．2+23B．4C．43D．6
分析：连接DE．因为BE的长度固定，所以要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可．
【解答】解：连接DE．
∵BE的长度固定，
∴要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴P′D＝P′B，
∴PB+PE的最小长度为DE的长，
∵菱形ABCD的边长为4，E为BC的中点，∠DAB＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
又∵菱形ABCD的边长为4，
∴BD＝4，BE＝2，DE＝23，
∴△PBE的最小周长＝DE+BE＝23+2，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、轴对称以及最短路线问题、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
【变式3-6】(2023•安徽一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（ ）
A．7B．7−1C．3D．2
分析：根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．
【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，
∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°，
∴∠FMD＝30°，
∴FD=12MD=12，
∴FM＝DM×32=32，
∴MC=FM2+CF2=7，
∴A′C＝MC﹣MA′=7−1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．
【变式3-7】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．
分析：根据题意找出点C关于BD的对称点A，连接AP，构造△PAE中的三边关系解答即可．
【解答】解：由菱形性质可知，C点关于BD的对称点A，连接AP，则AP＝CP，
在△APE中，
|PE﹣PA|＜EA，
则当点P、E、A三点共线时，|PE﹣PA|取最大值，最大值为AE．
∴|PC﹣PE|的最大值为AE．
∵菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵点E为AB边的中点
∴AE＝2.5，
∴|PC﹣PE|的最大值为2.5．
【点评】本题考查了菱形的性质和判定，关键是通过构点C的对称点A，转化|PC﹣PE|，根据三角形的三边关系进行解题．
【变式3-8】如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB．
（1）证明：BE＝BF；
（2）求△BEF面积的最小值．
分析：（1）由在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，易得△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），则可证得结论；
（2）由△BDE≌△BCF，易证得△BEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点D或点A时，BE的最大，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小，此时△BEF的面积最小．
【解答】解：（1）BE＝BF，证明如下：
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD＝4，
∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，
∵AE+CF＝4，
∴CF＝4﹣AE＝AD﹣AE＝DE，
又∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C＝60°，
在△BDE和△BCF中，
DE=DF∠BDE=∠CBD=BC，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴BE＝BF；
（2）∵△BDE≌△BCF，
∴∠EBD＝∠FBC，
∴∠EBD+∠DBF＝∠FBC+∠DBF，
∴∠EBF＝∠DBC＝60°，
又∵BE＝BF，
∴△BEF是正三角形，
∴EF＝BE＝BF，
当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为23，
此时△BEF的面积为34•（23）2＝33．
【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△BDE≌△BCF是解此题的关键．
题型四 与正方形有关的最值问题
【例题4】(2023春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ）
A．32B．62C．3D．2
分析：连接MC，证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，得出MC=22BC＝32，即可得出结果．
【解答】解：连接MC，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F
∴四边形MECF为矩形，
∴EF＝MC，
当MC⊥BD时，MC取得最小值，
此时△BCM是等腰直角三角形，
∴MC=22BC=6×22=32，
∴EF的最小值为32；
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键．
【变式4-1】(2023春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝22，则EF的长的最小值为（ ）
A．2B．1C．2D．22
分析：如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解．
【解答】解：如图，连接OP、EF，
∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，
∴四边形OEPF为矩形，
∴EF＝OP，
∴EF最小时OP最小，
当OP⊥BC于P的时候OP最小，
而当OP⊥BC时，P为BC的中点，
∴OP=12BC，
∵AC＝22，
则BC＝2，
∴OP＝1，
∴EF的长的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了垂线段最短解决问题．
【变式4-2】(2023春•莱州市期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 ．
分析：连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时△BFE的周长最小，利用勾股定理求出DE即可．
【解答】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF＝DF，
∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在AB上且BE＝1，
∴AE＝3，
∴DE=AD2+AE2=5，
∴△BFE的周长＝5+1＝6，
故答案为：6．
【点评】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据正方形的对称性，连接DE交AC于点F时△BFE的周长有最小值，这是解题的关键．
【变式4-3】(2023春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）
A．5B．9C．92D．922
分析：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM．∠ADM＝90°，得出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=22AM，当AM的值最大时，AD的值最大，根据三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题．
【解答】解：如图，
将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，
由旋转不变性可知：AB＝CM＝5，DA＝DM，∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD=22AM，
∴当AM的值最大时，AD的值最大，
∵AM≤AC+CM，
∴AM≤9，
∴AM的最大值为9，
∴AD的最大值为922．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
【变式4-4】(2023•扬州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（ ）
A．35B．43C．52D．213
分析：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明△AED≌△GFE（AAS），确定F点在BF的射线上运动；作点C关于BF的对称点C'，由三角形全等得到∠CBF＝45°，从而确定C'点在AB的延长线上；当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，在Rt△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，求出DC'＝35即可．
【解答】解：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴EF⊥DE，且EF＝DE，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，
∴F点在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点C'，
∵EG＝DA，FG＝AE，
∴AE＝BG，
∴BG＝FG，
∴∠FBG＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，
即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C'点在AB的延长线上，
当D、F、C'三点共线时，DF+CF＝DC'最小，
在Rt△ADC'中，AD＝3，AC'＝6，
∴DC'＝35，
∴DF+CF的最小值为35，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径；能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．
【变式4-5】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．4D．23
分析：以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH＝BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH＝GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH＝BN，
∵BE＝2，
∴EC＝4，
∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC，
∴EC＝EH＝4，EN＝NC＝2，∠HEC＝60°，
∴BN＝4＝MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC，
∴∠FEH＝∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
FE=GE∠FEH=∠GECHE=EC，
∴△FEH≌△GEC（SAS），
∴FH＝GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH＝HM＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式4-6】如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且DH=23CD，连接GH，CG，则∠DCG＝ 度，运动变化过程中，GH的最小值为 ．
分析：（1）证明△ADE≌△CDG，推出∠DCG＝∠DAE＝45°即可；
（2）由∠DCG＝45°推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，
∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADE＝∠CDG，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠DCG＝∠DAE＝45°，
故答案为：45；
（2）∵∠DCG＝45°，
∴点G的运动轨迹是射线CG，
根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，
∵DH=23CD，
∴CH＝CD﹣DH=13CD＝1，
∴GH最小值＝CH•22＝1×22=22．
故答案为：22．
【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短，解决此题的关键是△ADE≌△CDG得到∠DCG＝∠DAE＝45°，证明出点G的运动轨迹是射线CG．
【变式4-7】如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．5
分析：由S△ADP+S△ABP+S△ACP＝1，推出12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）＝1，则BB′+CC′+DD′=2PA，求出PA的最大值即可解决问题．
【解答】解：连接AC，DP，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，
∴AB＝CD，S正方形ABCD＝1，
∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP＝S△ABC=12S正方形ABCD=12，
∴S△ADP+S△ABP+S△ACP＝1，
∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）＝1，
则BB′+CC′+DD′=2PA，
∵当点P与C重合时，PA的值最大，PA的最大值为2，
∴BB′+CC′+DD′的最小值是2，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质以及三角形的面积，根据正方形的性质结合三角形的面积找出BB′+CC′+DD′=2PA是解题的关键．
【变式4-8】如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（ ）
A．2B．1C．5−1D．5−2
分析：根据正方形的性质可得AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，然后利用“HL”证明Rt△ADM和Rt△BCN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△DCE和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AFD＝90°，取AD的中点O，连接OF、OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OF=12AD＝1，利用勾股定理列式求出OC，然后根据三角形的三边关系可知当O、F、C三点共线时，CF的长度最小．
【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
AD=BCAM=BN，
∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），
∴∠1＝∠2，
在△DCE和△BCE中，
BC=CD∠DCE=∠BCECE=CE，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠ADF+∠3＝∠ADC＝90°，
∴∠1+∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
取AD的中点O，连接OF、OC，
则OF＝DO=12AD＝1，
在Rt△ODC中，OC=DO2+DC2=12+22=5，
根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，
∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，
最小值＝OC﹣OF=5−1．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出CF最小时点F的位置是解题关键，也是本题的难点．
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