人教版八年级数学下册同步精讲精练18.4菱形的性质与判定(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练18.4菱形的性质与判定(原卷版+解析)，共74页。试卷主要包含了4 菱形的性质和判定，8．等内容，欢迎下载使用。


知识点一
菱形的定义
●●定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.
◆1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可.
◆2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法.
知识点二
菱形的性质
◆1、菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质.
②菱形的四条边都相等.
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.
⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.
性质定理应用格式：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；
AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；
◆2、菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
知识点三
菱形的判定
●●菱形的判定方法：
◆1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.
◆2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理1应用格式：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
◆3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形.
定理2应用格式：
∵ AB=BC=CD=AD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
【要点解析】
（1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；
（2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等.
②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.
（3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等.
题型一 利用菱形的性质求角度
【例题1】（2022秋•南海区期末）如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC＝140°，则∠BCA等于（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【变式1-1】（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【变式1-2】（2022秋•碑林区校级期末）如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为 ．
【变式1-3】（2023•博罗县校级开学）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式1-4】（2022春•香坊区校级期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为 ．
【变式1-5】如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度数．
题型二 利用菱形的性质求线段长
【例题2】（2022秋•山亭区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝ ．
【变式2-1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（ ）
A．45B．8C．4D．25
【变式2-2】（2021秋•崂山区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A．245B．485C．5D．4
【变式2-3】（2023•雁塔区校级一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为 6 ．
【变式2-4】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 ．
【变式2-5】（2023•汉阳区校级一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（ ）
A．3B．5C．23D．192
题型三 利用菱形的性质求周长或面积
【例题3】（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝23，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．8B．43C．6D．4

【变式3-1】（2022秋•武侯区期末）在菱形ABCD中，若对角线AC=2，BD＝8，则菱形ABCD的面积是 ．
【变式3-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．48B．32C．24D．16
【变式3-3】（2022秋•阳山县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF=3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4B．46C．47D．28
【变式3-4】（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知菱形的两条对角线AC与BD长分别是12和16，则这个菱形的面积是（ ）
A．192B．48C．96D．40
【变式3-5】（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）
A．48B．24C．12D．6
【变式3-6】（2022春•巨野县校级月考）若菱形ABCD的周长为8，∠A：∠B＝1：2，则菱形的面积
为（ ）
A．3B．33C．43D．23
题型四 利用菱形的性质进行证明
【例题4】（2022秋•临渭区期末）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边AB和BC上的点，且∠ADE＝∠CDF，求证：BE＝BF．

【变式4-1】（2021秋•楚雄州期末）如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连BE，DE，求证：BE＝DE．
【变式4-2】（2021秋•武功县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF．
【变式4-3】（2022秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN．
【变式4-4】（2022秋•榆阳区校级期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝10，CE＝4，求菱形ABCD的面积．
【变式4-5】（2022春•江汉区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H．
（1）若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的长；
（2）连HO，求证：∠BOH＝∠DAH．
【变式4-6】（2022春•姑苏区校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．
题型五 菱形判定的条件
【例题5】（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的
是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
【变式5-1】（2022•铁锋区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形ABCD是菱形．
【变式5-2】（2022春•海伦市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 ，使四边形AEDF是菱形．
【变式5-3】（2022•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【变式5-4】（2022春•房山区期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：①AB∥CD； ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是 （写出所有可能的情况）．
【变式5-5】（2022秋•宝鸡期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形（ ）
A．AB＝ACB．∠B＝∠AC．BD＝DFD．DE⊥DF
【变式5-6】（2022秋•顺庆区月考）如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（ ）
A．OE＝OFB．AE＝CFC．EF⊥ACD．EF＝AC
【变式5-7】（2022春•高唐县期末）如图所示，D，E，F分别是△ABC三边的中点，添加下列条件后，不能得到四边形DBFE是菱形的是（ ）
A．AB＝BCB．BE平分∠ABCC．BE⊥ACD．AB＝AC
【变式5-8】（2022•大名县三模）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，点G、H在AC上，且AH＝CG，若添加一个条件使四边形EGFH是菱形，则下列可以添加的条件是（ ）
A．AB＝ADB．AB⊥ADC．AB＝ACD．AB⊥AC
题型六 菱形的判定的证明
【例题6】（2022秋•武功县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形．
【变式6-1】（2022秋•虹口区校级月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形．
【变式6-2】（2023•东莞市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．
【变式6-3】（2022春•苍溪县期末）如图，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分别是FC、AB的中点，过点A作AD∥FC交FE的延长线于点D．
（1）求证：BF＝AD；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
【变式6-4】（2022春•南丹县期末）已知：如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）当∠ACD满足什么条件时，四边形AMCN是菱形，请说明理由．
【变式6-5】（2022春•梅江区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形．
【变式6-6】（2022春•郯城县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M是BD上任意一点，连接AM并延长至点N，使AM＝MN，交BC于H，连接CN、BN．
（1）求证：OM∥CN．
（2）连接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求证：四边形BNCM是菱形．
题型七 菱形的性质与判定的综合应用
【例题7】（2022春•镇安县期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE，则下列结论：
①OG=12AB；
②四边形ABDE是菱形；
③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等．
其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个

【变式7-1】（2022春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（ ）
A．45B．8C．4D．52
【变式7-2】（2022春•惠民县期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，则下列相等关系：
①AD＝AB；
②AD＝BC；
③∠DAC＝∠ACD；
④AO＝BO，
其中一定成立的是 .（只填序号）
【变式7-3】（2022秋•砀山县校级月考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝32，AB＝42，求四边形ADCF的面积．
【变式7-4】（2022春•颍州区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，CE＝DF，AB＝BE，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为20，CE＝DF＝2，∠ABE＝60°，求AE的长．
【变式7-5】（2022•巴州区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD=6，BD＝2，求OE的长．
【变式7-6】（2022秋•龙岗区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．
题型八 菱形与矩形的综合应用
【例题8】（2022秋•铁西区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F．
（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；
（2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的长．
【变式8-1】（2022•五华区校级模拟）如图，AP是△ABC的角平分线，MN垂直平分AP，且交AP于点D，判断以下结论错误的是（ ）
A．MP∥ACB．AM＝AN
C．PA是∠MPN的平分线D．四边形AMPN是矩形
【变式8-2】（2022春•虹口区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）判断四边形OEFG的形状，并证明．
（2）若AC＝8，BD＝6，求四边形OEFG的面积．
【变式8-3】（2022秋•市中区校级月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC，AE⊥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若菱形边长为10，面积为96，求矩形AODE周长．
【变式8-4】（2022秋•通川区期末）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，若BD＝1，AC=3．
（1）求证：四边形BEFD是矩形；
（2）求四边形BEFD的周长为多少．
【变式8-5】（2022春•琅琊区校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）①对角线AC，BD满足 时，四边形DEBF是矩形；
②对角线AC，BD满足 时，四边形DEBF是菱形．
【变式8-6】（2022春•靖西市期末）如图，在▱ABCD中，DB⊥CB．
（1）延长CB到E，使BE＝CB，连接AE，求证：四边形AEBD是矩形；
（2）若点F，G分别是AB，CD的中点，连接DF、BG，试判断四边形DFBG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．
解题技巧提炼
在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的对角线互相垂直且平分一组对角，因此常通过连接对角线，把四边形的问题转化为特殊三角形（等边三角形、直角三角形）问题来解答.
解题技巧提炼
由于菱形的对角线互相垂直平分，所以对于菱形的两条对角线及边这三个元素中知道任意两个的长度，都能根据勾股定理求出第三个.
解题技巧提炼
因为菱形的四边都相等，所以菱形的周长等于边长×4；
菱形的面积计算公式：（1）底×高；（2）对角线乘积的12.
解题技巧提炼
菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形（特殊时为两个全等的等边三角形），两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊三角形的有关问题综合在一起 .
解题技巧提炼
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
解题技巧提炼
证明一个图形是菱形时，关键是看已知条件，若是一般的四边形，则考虑证明四条边相等或对角线互相垂直平分；若是平行四边形，则考虑证明一组邻边相等或对角线互相垂直.
解题技巧提炼
菱形的判定可以确定菱形的存在，再利用菱形的性质，可以得出线段或角的对应关系.
解题技巧提炼
综合利用菱形、矩形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键.
八年级下册数学《第十八章 平行四边形》
18.4 菱形的性质和判定
知识点一
菱形的定义
●●定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.
◆1、菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备，缺一不可.
◆2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法.
知识点二
菱形的性质
◆1、菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质.
②菱形的四条边都相等.
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.
⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.
性质定理应用格式：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD；
AC平分∠BAD，AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC，BD平分∠ADC；
◆2、菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式=底×高． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
③ 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)；
知识点三
菱形的判定
●●菱形的判定方法：
◆1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.
◆2、判定定理1（从对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理1应用格式：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
◆3、判定定理2（从边）：四条边相等四边形是菱形.
定理2应用格式：
∵ AB=BC=CD=AD,
∴ 四边形ABCD是菱形.
【要点解析】
（1）判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出发的；
（2）①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等.
②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.
（3）①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分；
②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等.
题型一 利用菱形的性质求角度
【例题1】（2022秋•南海区期末）如图，AC为菱形ABCD的对角线，已知∠ADC＝140°，则∠BCA等于（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【分析】直接利用菱形的性质可得∠BCD的度数，利用角平分线的性质进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D+∠BCD＝180°，∠DCA＝∠BCA，
∵∠ADC＝140°，
∴∠BCD＝40°，
∴∠BCA＝∠DCA=12∠BCD＝20°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
【变式1-1】（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据菱形的性质，可得△ABC是等边三角形，进一步可得∠ADC＝60°，根据菱形的性质可得∠ADB的度数．
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，
在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，涉及等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋•碑林区校级期末）如图，菱形ABCD的周长是40cm，对角线AC为10cm，则菱形相邻两内角的度数分别为 ．
【分析】证明△ACD是等边三角形，则∠D＝60°，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD=404=10（cm），AB∥CD，
∴∠D+∠BAD＝180°，
又∵AC＝10cm，
∴AD＝CD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠DAB＝120°，
故答案为：60°，120°．
【点评】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，证明△ACD为等边三角形是解题的关键．
【变式1-3】（2023•博罗县校级开学）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式1-4】（2022春•香坊区校级期中）已知，在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，在AC上取点P，连接PB、PD，若∠PBD＝20°，则∠PDC的度数为 ．
【分析】根据题意画出图形，然后根据垂直平分线的性质以及菱形的性质：对角线互相垂直平分，对角线平分对角进行分情况讨论即可．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝100°，对角线AC和BD相交于点O，
∴AC，BD互相垂直平分，
∵∠ABC＝∠ADC＝100°，
∴∠ABO=∠CBO=∠ADO=∠CDO=12×100°=50°，
当点P如下图P点所在位置时：
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠PDB＝20°，
∴∠PDC＝50°﹣20°＝30°；
当点P如下图P′点所在位置时：
∵P'B＝P'D，
∴∠P'BD＝∠P'DB＝20°，
∴∠P'DC＝∠P'DB+∠CDO＝70°；
综上：∠PDC的度数为30°或70°，
故答案为：30°或70°．
【点评】本题考查了菱形的性质以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键，注意分类讨论．
【变式1-5】如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝24°，求∠CEF的度数．
【分析】先连接AC，证明△ABE≌△ACF，然后推出AE＝AF，证明△AEF是等边三角形，最后运用三角形外角性质，求出∠CEF的度数．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝∠EAF＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，
∵∠BAE+∠EAC＝∠FAC+∠EAC，
∴∠BAE＝∠FAC，
在△ABE与△ACF中，
∠BAE=∠CAFAB=AC∠B=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE＝AF，
又∵∠EAF＝∠D＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
又∠AEC＝∠B+∠BAE＝84°，
∴∠CEF＝84°﹣60°＝24°．
【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定以及三角形的内角和定理的综合应用，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．
题型二 利用菱形的性质求线段长
【例题2】（2022秋•山亭区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝43，则OE＝ ．
【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝23，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，
∴BO＝23，
∴AO=33BO＝2，
∴AB＝2AO＝4，
∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，
∴OE=12AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•滕州市校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，S菱形ABCD＝64，则OH的长为（ ）
A．45B．8C．4D．25
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝16，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH=12BD，再由菱形的面积求出BD＝8，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝16，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴OH=12BD，
∵菱形ABCD的面积=12×AC×BD=12×16×BD=64，
∴BD＝8，
∴OH=12BD=4．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH=12BD．
【变式2-2】（2021秋•崂山区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝10，AC：BD＝3：4，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A．245B．485C．5D．4
【分析】设OA＝3a，则OB＝4a，由勾股定理求出OA、OB的长，得出AC、BD的长，再由菱形面积的计算方法即可求解．
【解答】解：设AC与BD交于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=12AC，OB=12BD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵AC：BD＝3：4，
∴OA：OB＝3：4，
设OA＝3a，则OB＝4a，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝102，
解得：a＝2（负值已舍去），
∴OA＝6，OB＝8，
∴AC＝2OA＝12，BD＝2OB＝16，
∵菱形ABCD的面积＝AB•DH=12AC•BD=12×12×16＝96，
∴DH=485，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
【变式2-3】（2023•雁塔区校级一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝3BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为 6 ．
【分析】设BE＝x，则CD＝3x，根据菱形的性质得AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，再证明DE＝DA＝3x，所以1+x＝2x，解得x＝1，然后利用勾股定理计算OA，再计算AE的长．
【解答】解：设BE＝x，则CD＝3x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝3x，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝DA＝3x，
∴BD＝4x，
∴OB＝OD＝2x，
∵OE+BE＝BO，
∴1+x＝2x，
解得x＝1，
即AB＝3，OB＝2，
在Rt△AOB中，OA=AB2−OB2=32−22=5，
在Rt△AOE中，AE=AO2+EO2=(5)2+12=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
【变式2-4】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 ．
【分析】直接利用菱形的性质得出AB＝AD＝10，S△ABD＝12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为24，
∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴12×AB×PE+12×PF×AD＝12，
∴12×5×（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝4.8．
故答案为：4.8．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，正确得出12×AB×PE+12×PF×AD＝S△ABD是解题关键．
【变式2-5】（2023•汉阳区校级一模）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（ ）
A．3B．5C．23D．192
【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，再由三角形中位线定理得FH=12AB＝2，FH∥AB，然后证△FHG≌△CEG（AAS），得EG＝GH=12EH=32，进而由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，
∵F为AE的中点，H为BE的中点，
∴EH=12BE，FH是△ABE的中位线，
∴FH=12AB＝2，FH∥AB，
∴FH∥AB∥CD，
∵BE⊥AB，
∴FH⊥BE，CD⊥BE，
∴∠FHE＝∠BEC＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE=12BC＝2，
∴BE=BC2−CE2=42−22=23，
∴EH=12BE=3，
∴FH＝CE，
在△FHG和△CEG中，
∠FHG=∠CEG∠FGH=∠CGEFH=CE，
∴△FHG≌△CEG（AAS），
∴EG＝GH=12EH=32，
在Rt△FHG中，由勾股定理得：GF=FH2+GH2=22+(32)2=192，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
题型三 利用菱形的性质求周长或面积
【例题3】（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝23，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．8B．43C．6D．4
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=12AC=3，∠DAO＝30°，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD的长即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=12AC=3，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝30°，
∴AD＝2OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AO2，
∴AD2=14AD2+3，
∴AD＝2，
∴菱形ABCD的周长为4AD＝8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．

【变式3-1】（2022秋•武侯区期末）在菱形ABCD中，若对角线AC=2，BD＝8，则菱形ABCD的面积是 ．
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【解答】解：菱形ABCD中，AC=2，BD＝8，
∴AC⊥BD，
∴菱形ABCD的面积=12AC•BD＝42，
故答案为：42．
【点评】本题考查了菱形面积的计算，熟记菱形的各种计算面积公式是解题的关键．
【变式3-2】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．48B．32C．24D．16
【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
∴△COD为直角三角形．
∵OE＝4，点E为线段CD的中点，
∴CD＝2OE＝8．
∴C菱形ABCD＝4CD＝4×8＝32．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD＝8．
【变式3-3】（2022秋•阳山县期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，着EF=3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4B．46C．47D．28
【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=3，
∴AC＝2EF＝23，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC=3，OB=12BD＝2，
∴AB=OA2+OB2=7，
∴菱形ABCD的周长为47．
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．
【变式3-4】（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知菱形的两条对角线AC与BD长分别是12和16，则这个菱形的面积是（ ）
A．192B．48C．96D．40
【分析】直接由菱形面积公式列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×12×16＝96，
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质、解题的关键是熟记菱形的面积公式，属于中考常考题型．
【变式3-5】（2022秋•峰峰矿区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为（ ）
A．48B．24C．12D．6
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为12和8，
∴菱形的面积=12×6×8＝24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=12×24＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
【变式3-6】（2022春•巨野县校级月考）若菱形ABCD的周长为8，∠A：∠B＝1：2，则菱形的面积
为（ ）
A．3B．33C．43D．23
【分析】根据邻角互补可得出∠ABC＝60°，∠BAC＝120°，从而根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质可分别求出两对角线的长，进而根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行解答．
【解答】解：如图，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，
又∵∠A：∠B＝1：2，∠A+∠B＝180°，
∴∠ABC＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠ABO=12∠ABC＝30°，
在Rt△ABO中，AO=12AB＝1，BO=32AB=3，
∴AC＝2，BD=23，
∴菱形的面积=12AC×BD=12×2×23=23．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题用到的知识点为：①菱形的四边形等，菱形的对角线互相垂直且平分，②菱形的面积等于对角线乘积的一半，熟记菱形的各种性质是解题的关键．
题型四 利用菱形的性质进行证明
【例题4】（2022秋•临渭区期末）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边AB和BC上的点，且∠ADE＝∠CDF，求证：BE＝BF．
【分析】证△ADE≌△CDF（ASA），得AE＝CF，则AB﹣AE＝BC﹣CF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，
在△ADE和△CDF中，
∠A=∠CAD=CD∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝BC﹣CF，
即BE＝BF．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质，证明△ADE≌△CDF是解题的关键．

【变式4-1】（2021秋•楚雄州期末）如图，在菱形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连BE，DE，求证：BE＝DE．
【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定即可证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠BCA＝∠DCA，
∵BC＝CD，∠BCA＝∠DCA，CE＝CE，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴DE＝BE，
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握菱形的性质、全等三角形的判定与性质是关键．
【变式4-2】（2021秋•武功县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且BF＝DE，连接AE，AF．求证：AE＝AF．
【分析】由菱形的性质得到OB＝OD，AC⊥BD，由BF＝DE得到OF＝OE，根据线段垂直平分线的性质即可得到AE＝AF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，
∵BF＝DE，
∴BF﹣OB＝DE﹣OD，
∴OF＝OE，
∴AE＝AF．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键．
【变式4-3】（2022秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝CF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：DM＝DN．
【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定SAS，可以证明△ADE≌△CDF，再利用等腰三角形的性质，可以得到DE＝DF，DM＝DN．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
DA=DC∠DAE=∠DCFAE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAM＝∠DCN，
∵∠ADM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠DNC，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN．
【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式4-4】（2022秋•榆阳区校级期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若AB＝10，CE＝4，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）首先根据菱形的性质得到AB＝AD，∠B＝∠D，再利用AAS证明△ABE≌△ADF，于是得到AE＝AF；
（2）根据菱形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD．
∵S菱形ABCD＝BC⋅AE＝CD⋅AF，
∴AE＝AF．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝10．
∵CE＝4，
∴BE＝6，
∴AE=AB2−BE2=8，
∴S菱形ABCD＝BC⋅AE＝10×8＝80．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的四边相等，此题难度不大．
【变式4-5】（2022春•江汉区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H．
（1）若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的长；
（2）连HO，求证：∠BOH＝∠DAH．
【分析】（1）由勾股定理求出AB＝5cm，根据菱形的面积公式可得出答案；
（2）由菱形的性质及三角形内角和定理可得出答案．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC＝8cm，BD＝6cm，
∴OA=12AC=4cm，OB=12BD＝3cm，
∴AB=OA2+OB2=42+32=5（cm），
∴S菱形ABCD=12AC•BD＝AB•DH，
∴DH=12×AC⋅BDAB=12×8×65=245（cm）；
（2）证明：∵∠DHB＝90°，OB＝OD，
∴OH＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
∴∠BOH＝180°﹣2∠OBH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAH＝2∠OAB，
∵∠OAB＝90°﹣∠OBH，
∴∠DAH＝180°﹣2∠OBH，
∴∠BOH＝∠DAH．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
【变式4-6】（2022春•姑苏区校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；
（2）欲求菱形ABCD的面积，求得AC、BD的长度即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：由（1）知，四边形BECD是平行四边形，则BD∥CE．
∵∠E＝60°，
∴∠ABD＝60°．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB．
∴△ABD是等边三角形．
∴AB＝BD＝8．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=12BD＝4．
∴OA=AB2−OB2=82−42=43．
∴AC＝83．
∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×83×8＝323．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理的运用．证明出四边形BECD是平行四边形是解题的关键．
题型五 菱形判定的条件
【例题5】（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的
是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形
D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，
∵OA＝OD，∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
【变式5-1】（2022•铁锋区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形ABCD是菱形．
【分析】根据菱形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠DAB时，四边形ABCD为菱形．
故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．
【点评】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定方法是解题的关键．
【变式5-2】（2022春•海伦市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 ，使四边形AEDF是菱形．
【分析】根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立．
【解答】解：DF∥AB，理由如下：
∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∴∠ADF＝∠FAD，
∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
【点评】本题考查菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用菱形的判定解答．
【变式5-3】（2022•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
【分析】由平移的性质得AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABED是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．
【解答】解：这个条件可以是 AB＝AD，理由如下：
由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABED是菱形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及平移的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平移的性质是解题的关键．
【变式5-4】（2022春•房山区期中）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：①AB∥CD； ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是 （写出所有可能的情况）．
【分析】根据角平分线定义得到∠DAO＝∠BAO，根据全等三角形的性质得到DO＝CB，根据平行四边形的性质得到四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：如：若②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB，
则四边形ABCD是菱形，
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAO＝∠BAO，
在△AOD和△AOB中，
AD=AB∠DAO=∠BAOAO=AO，
∴△AOD≌△AOB（ASA），
∴DO＝CB，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
若①AB∥CD； ②AO＝OC；④AC平分∠DAB或①AB∥CD； ③AB＝AD；④AC平分∠DAB或 ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．都可以判定四边形ABCD为菱形．
故答案为：①②③或②③④或①②④或①③④．
【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【变式5-5】（2022秋•宝鸡期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形（ ）
A．AB＝ACB．∠B＝∠AC．BD＝DFD．DE⊥DF
【分析】可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形．
【解答】解：要使四边形AEDF是菱形，则应有DE＝DF＝AE＝AF，
∵E，F分别为AC，BC的中点，
∴AE＝BE，AF＝FC，
∴DE＝BE，DF＝CF，
∴△BDE≌△CDF（SSS），
∴BD＝CD，
∴当点D应是BC的中点，而AD⊥BC，
∴△ABC应是等腰三角形，
∴应添加条件：AB＝AC或∠B＝∠C．
则当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形．
故选：A．
【点评】此题考查的是菱形的判定、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
【变式5-6】（2022秋•顺庆区月考）如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，下列选项可以使四边形AFCE是菱形的为（ ）
A．OE＝OFB．AE＝CFC．EF⊥ACD．EF＝AC
【分析】由平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∵OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFO∠AOE=∠COFOA=OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形，故选项C符合题意；
D、∵EF＝AC，
∴平行四边形AFCE是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式5-7】（2022春•高唐县期末）如图所示，D，E，F分别是△ABC三边的中点，添加下列条件后，不能得到四边形DBFE是菱形的是（ ）
A．AB＝BCB．BE平分∠ABCC．BE⊥ACD．AB＝AC
【分析】当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形．根据三角形中位线定理证明即可；当BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，当BE⊥AC，可证AB＝BC，可得四边形DBFE是菱形，由此即可判断；
【解答】解：当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；
理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∵DE=12BC，EF=12AB，
∴DE＝EF，
∴四边形DBFE是菱形，故A正确，不符合题意，
当BE平分∠ABC时，可证BD＝DE，可得四边形DBFE是菱形，故B正确，不符合题意，
当BE⊥AC，可证AB＝BC，可得四边形DBFE是菱形，故C正确，不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
【变式5-8】（2022•大名县三模）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，点G、H在AC上，且AH＝CG，若添加一个条件使四边形EGFH是菱形，则下列可以添加的条件是（ ）
A．AB＝ADB．AB⊥ADC．AB＝ACD．AB⊥AC
【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，推出四边形ABFE是平行四边形，得到AB∥EF，根据全等三角形的性质得到EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，推出四边形EGFH是平行四边形，连接EF交AC于O，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：可以添加的条件是AB⊥AC，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E、F分别为边AD、BC的中点，
∴AE=12AD，BF＝CF=12BC，
∴AE＝BF＝CF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，
∵AD∥BC，
∴∠EAG＝∠FCH，
∵AH＝CG，
∴AH﹣HG＝CG﹣HG，
即AG＝CH，
∴△AEG≌△CFH（SAS），
∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，
∴∠EGH＝FHG，
∴EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
连接EF交AC于O，
∵AB∥EF，AB⊥AC，
∴EF⊥AC，
∴四边形EGFH是菱形，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌平行四边形的性质是解题的关键．
题型六 菱形的判定的证明
【例题6】（2022秋•武功县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作DE∥BC，且DE＝BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形．
【分析】先证明四边形BCDE是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=BD=12AB，进而证明△BCD为等边三角形得到BC＝CD，根据菱形的判定定理可证得结论．
【解答】证明：∵DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCDE是平行四边形．
∵CD为Rt△ABC的斜边AB上的中线，
∴CD=BD=12AB．
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
【点评】本题考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明△BCD为等边三角形是解答的关键．
【变式6-1】（2022秋•虹口区校级月考）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M为AC中点，MN⊥BD于点O，BN∥DM，求证：BNDM为菱形．
【分析】根据直角三角形的性质得到BM＝DM=12AC，根据等腰三角形的性质得到∠BMN＝∠DMN，由平行线的性质得到∠BNM＝∠DMN，等量代换得到∠BMN＝∠BNM，求得BM＝BN，得到BN＝DM，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M为对角线AC的中点，
∴BM＝DM=12AC，
∵MN⊥BD，
∴∠BMN＝∠DMN，
∵BN∥DM，
∴∠BNM＝∠DMN，
∴∠BMN＝∠BNM，
∴BM＝BN，
∴BN＝DM＝BM＝DN，
∴四边形BNDM是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式6-2】（2023•东莞市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．
【分析】（1）由平行四边形的性质知，AD＝BC，AD∥BC，得到∠ADF＝∠CBE，又有BE＝DF，故由SAS证得△ADF≌△CBE；
（2）平行四边形的性质知，AO＝CO，BO＝DO，由BE＝DF可求得OE＝OF，根据平行四边形的判定得到四边形AECF是平行四边形，由AC⊥EF可得平行四边形AECF是菱形．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB∠ADF=∠CBEDF=BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
（2）解：补充的条件是：AC⊥BD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定，证得四边形AECF是平行四边形是解决问题的关键．
【变式6-3】（2022春•苍溪县期末）如图，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分别是FC、AB的中点，过点A作AD∥FC交FE的延长线于点D．
（1）求证：BF＝AD；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）证明△AED≌△BEF（AAS），由全等三角形的性质得出AD＝BF；
（2）由直角三角形的性质得出AB＝BF＝BC，证出AD＝BC，得出四边形ABCD为平行四边形，由菱形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥FC，
∴∠ADE＝∠BFE，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
又∵∠AED＝∠BEF，
∴△AED≌△BEF（AAS），
∴AD＝BF；
（2）证明：∵∠FAC＝90°，B为CF的中点，
∴AB＝BF＝BC，
∵AD＝BF，
∴AD＝BC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，证明△AED≌△BEF是解题的关键．
【变式6-4】（2022春•南丹县期末）已知：如图，在▱ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）当∠ACD满足什么条件时，四边形AMCN是菱形，请说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证得AM∥CN，AD＝BC，根据M，N分别是AD和BC的中点证得AM＝CN即可证得结论；
（2）当∠ACD＝90°，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵M、N分别是AD和BC的中点，
∴AM=12AD，CN=12BC，
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，AM＝CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）解：当∠ACD＝90°，四边形AMCN是菱形，
理由如下：
∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
∵∠ACD＝90°，
∴CM＝AM＝DM，
∴AM＝CM，
由（1）知，四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形．③一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形．
【变式6-5】（2022春•梅江区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若BE＝ED时，求证：四边形EBFD是菱形．
【分析】（1）证明△ADE≌△CBF（AAS），即可得出结论；
（2）由平行线的判定得DE∥BF，再由全等三角形的性质得DE＝BF，则四边形EBFD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵∠1＝∠2，
∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE与△CBF中，
∠AED=∠CFB∠DAE=∠BCFAD=CB，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）∵∠1＝∠2，
∴DE∥BF．
由（1）知，△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵BE＝ED，
∴平行四边形EBFD是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
【变式6-6】（2022春•郯城县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M是BD上任意一点，连接AM并延长至点N，使AM＝MN，交BC于H，连接CN、BN．
（1）求证：OM∥CN．
（2）连接CM，若AD⊥AN，且AC＝AB，求证：四边形BNCM是菱形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，再证OM是△ACN的中位线，即可得出结论；
（2）证△MBH≌△NCH（ASA），得MH＝NH，再证四边形BNCM是平行四边形，然后由菱形的判定定理即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵AM＝MN，
∴OM是△ACN的中位线，
∴OM∥CN；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AD⊥AN，
∴BC⊥AN，
∵AB＝AC，
∴BH＝CH，
由（1）可知，OM∥CN，
∴∠MBH＝∠NCH，
在△MBH和△NCH中，
∠MBH=∠NCHBH=CH∠BHM=∠CHN，
∴△MBH≌△NCH（ASA），
∴MH＝NH，
∴四边形BNCM是平行四边形，
又∵BC⊥MN，
∴平行四边形BNCM是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
题型七 菱形的性质与判定的综合应用
【例题7】（2022春•镇安县期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG、AE，则下列结论：
①OG=12AB；
②四边形ABDE是菱形；
③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等．
其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=12CD=12AB，①正确；
②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，②正确；
③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
∠BAG=∠EDG∠AGB=∠DGEAB=DE，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG=12CD=12AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故②正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
AG=DO∠BAG=∠CDOAB=DC，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故正确的结论有3个．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

【变式7-1】（2022春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（ ）
A．45B．8C．4D．52
【分析】根据作图可得：OA＝AC＝BC＝OB，从而可得四边形OACB是菱形，然后利用菱形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
OA＝AC＝BC＝OB，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2，OC＝4，
∴菱形OACB的面积=12OC•AB
=12×4×2
＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【变式7-2】（2022春•惠民县期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，则下列相等关系：
①AD＝AB；
②AD＝BC；
③∠DAC＝∠ACD；
④AO＝BO，
其中一定成立的是 .（只填序号）
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，得到AD＝BC，即可得出结论．
【解答】解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
故答案为：②．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
【变式7-3】（2022秋•砀山县校级月考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝32，AB＝42，求四边形ADCF的面积．
【分析】（1）由“AAS”可证△AFE≌△DBE，得AF＝BD＝CD，再证四边形ADCF是平行四边形，然后由直角三角形的性质可证AD＝CD，可得结论；
（2）由菱形的性质和面积关系可求解．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠BDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DBE中，
∠FAE=∠BDEAE=DE∠AEF=∠DEB，
∴△AFE≌△DBE（ASA），
∴AF＝BD，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴AD=12BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC，
由（1）可知，四边形ADCF是菱形，
∴S四边形ADCF＝2S△ACD＝S△ABC=12AC•AB=12×32×42=12．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，证明AD＝CD是解题的关键．
【变式7-4】（2022春•颍州区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，CE＝DF，AB＝BE，AE与BF相交于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若平行四边形ABCD的周长为20，CE＝DF＝2，∠ABE＝60°，求AE的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证四边形ABEF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AB+BC＝10，再证AB＝BE＝4，然后证△ABE是等边三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CE＝DF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB＝BE，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长为20，
∴AB+BC＝10，
即AB+BE+CE＝10，
∵AB＝BE，CE＝2，
∴AB＝BE＝4，
∵∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝4，
即AE的长为4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式7-5】（2022•巴州区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD=6，BD＝2，求OE的长．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠OAB＝∠OCD，
∴BC＝AD＝AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，AB＝AD=6，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB=12BD＝1，
在Rt△AOB中，AB=6，OB＝1，
∴OA=AB2−OB2=5，
∴OE＝OA=5．
【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理是解本题的关键．
【变式7-6】（2022秋•龙岗区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．
【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证CD＝AD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6，再由勾股定理得AB＝5，然后由菱形面积公式得S菱形ABCD＝AB•CE=12AC•BD，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝4，OB＝3，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6，
∴∠AOB＝90°，
∴AB=OA2+OB2=42+32=5，
∵CE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝AB•CE=12AC•BD，
即5CE=12×8×6，
解得：CE=245，
即CE的长为245．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
题型八 菱形与矩形的综合应用
【例题8】（2022秋•铁西区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F．
（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；
（2）如果BE＝3，BF＝6，求DP的长．
【分析】（1）根据菱形的性质和矩形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和矩形的性质得出DE＝BF，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】（1）解：四边形DEBF是矩形，理由如下：
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEB＝∠BFD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠DEB+∠EDF＝180°，
∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°，
∴四边形DEBF是矩形；
（2）解：连接PB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB＝PD，
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
∴DE＝FB＝6，
设PD＝BP＝x，则PE＝6﹣x，
在Rt△PEB中，由勾股定理得：（6﹣x）2+32＝x2，
解得：x=154，
∴PD=154．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对边平行和勾股定理解答．

【变式8-1】（2022•五华区校级模拟）如图，AP是△ABC的角平分线，MN垂直平分AP，且交AP于点D，判断以下结论错误的是（ ）
A．MP∥ACB．AM＝AN
C．PA是∠MPN的平分线D．四边形AMPN是矩形
【分析】由线段垂直平分线的性质得AM＝PM，AN＝PN，则∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，再证∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，则AM∥PN，MP∥AC，得四边形AMPN是平行四边形，然后证平行四边形AMPN是菱形，即可得出结论．
【解答】解：∵MN垂直平分AP，
∴AM＝PM，AN＝PN，
∴∠MAP＝∠MPA，∠NAP＝∠NPA，
∵AP是△ABC的角平分线，
∴∠MAP＝∠NAP，
∴∠MAP＝∠MPA＝∠NAP＝∠NPA，
∴AM∥PN，MP∥AC，
∴四边形AMPN是平行四边形，
又∵AM＝PM，
∴平行四边形AMPN是菱形，
∴AM＝AN，PA是∠MPN的平分线，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
【变式8-2】（2022春•虹口区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）判断四边形OEFG的形状，并证明．
（2）若AC＝8，BD＝6，求四边形OEFG的面积．
【分析】（1）由三角形中位线定理可得AE＝DE，OE∥AB，由矩形的判定可求解；
（2）由菱形的面积公式可求面积，利用面积法可求OG，即可求EF．
【解答】解：（1）四边形OEFG是矩形．
在菱形ABCD中，DO＝BO，
又∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，OE∥AB，
∴OE∥FG，
又∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形．
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∵四边形OEFG是矩形．
（2）菱形的面积=12AC⋅BD=12×8×6=24．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO=12AC=4，BO=12BD=3，
∴AB＝5．
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴EF＝OG，OG⊥AB．
∴12AO⋅BO=12AB⋅OG，
∴OG=AO⋅BOAB=125，
∴OE=12AB=12×5=52，
四边形OEFG的面积＝OE×OG=125×52=6．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式8-3】（2022秋•市中区校级月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC，AE⊥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若菱形边长为10，面积为96，求矩形AODE周长．
【分析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD＝90°，可判断出四边形AODE是矩形；
（2）由菱形的面积和勾股定理求出OA+OD＝14，由矩形的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵菱形ABCD边长为10，面积为96，
∴AD＝10，AC＝2OA，BD＝2OD，AC⊥BD，12AC×BD＝96，
∴∠AOD＝90°，2OA×OD＝96，
∴OA2+OD2＝AD2＝100，
∴OA2+2OA×OD+OD2＝100+96＝196，
∴（OA+OD）2＝196，
∴OA+OD＝14，
∵四边形AODE是矩形，
∴DE＝OA，AE＝OD，
∴矩形AODE的周长＝2（OA+OD）＝28．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及完全平方式等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．
【变式8-4】（2022秋•通川区期末）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，若BD＝1，AC=3．
（1）求证：四边形BEFD是矩形；
（2）求四边形BEFD的周长为多少．
【分析】（1）先证四边形BEFD是平行四边形，再由三角形中位线定理得OC∥BE，则BE⊥BD，得∠DBE＝90°，即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得出BE的长，再由矩形的性质得EF＝BD＝1，BE＝DF=3，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∵CE＝CD，CF＝BC，
∴四边形BEFD是平行四边形，OC是△BDE的中位线，
∴OC∥BE，
∴BE⊥BD，
∴∠DBE＝90°，
∴平行四边形BEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OA=12AC，
由（2）可知，OC是△BDE的中位线，
∴BE＝2OC＝AC=3，
∵四边形BEFD是矩形，
∴EF＝BD＝1，BE＝DF=3，
∴四边形BEFD的周长＝2（BD+BE）＝2+23．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
【变式8-5】（2022春•琅琊区校级月考）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）①对角线AC，BD满足 时，四边形DEBF是矩形；
②对角线AC，BD满足 时，四边形DEBF是菱形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，证出OE＝OF，那么两组对角线互相平分，得出四边形DEBF是平行四边形；
（2）①由平行四边形对角线相等即可证明四边形ABCD是矩形；②由对角线互相垂直且平分即可证明．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵点E、F分别为OA、OC的中点，
∴OE=12OA，OF=12OC，
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）解：①当AC＝2BD时，平行四边形DEBF是矩形；理由如下：
∵AC＝2BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴EF=12AC=BD，
∴平行四边形DEBF是矩形；
故答案为：AC＝2BD．
②当AC⊥BD时，平行四边形DEBF是菱形；理由如下：
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴BD⊥EF，
∴平行四边形DEBF是菱形，
故答案为：AC⊥BD．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、矩形的判定；解题的关键是注意掌握两组对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【变式8-6】（2022春•靖西市期末）如图，在▱ABCD中，DB⊥CB．
（1）延长CB到E，使BE＝CB，连接AE，求证：四边形AEBD是矩形；
（2）若点F，G分别是AB，CD的中点，连接DF、BG，试判断四边形DFBG是什么特殊的四边形？并证明你的结论．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出AD＝BE，根据平行四边形的判定得出四边形AEBD是平行四边形，再证∠DBE＝90°，根据矩形的判定得出即可．
（2）根据平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥CB，求出BF＝DG，根据平行四边形的判定得出四边形AFCG是平行四边形，求出DF＝BF，根据菱形的判定得出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝CB，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
又∵DB⊥CB，
∴∠DBE＝90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）解：四边形DFBG是菱形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵点F，G分别是AB，CD的中点，
∴BF=12AB，DG=12CD，
∴BF＝DG，
∴四边形DFBG是平行四边形，
由（1）可知，四边形AEBD是矩形，
∴∠ADB＝90°，
∵F是AB的中点，
∴DF=12AB＝BF，
∴平行四边形DFBG是菱形．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
解题技巧提炼
在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的对角线互相垂直且平分一组对角，因此常通过连接对角线，把四边形的问题转化为特殊三角形（等边三角形、直角三角形）问题来解答.
解题技巧提炼
由于菱形的对角线互相垂直平分，所以对于菱形的两条对角线及边这三个元素中知道任意两个的长度，都能根据勾股定理求出第三个.
解题技巧提炼
因为菱形的四边都相等，所以菱形的周长等于边长×4；
菱形的面积计算公式：（1）底×高；（2）对角线乘积的12.
解题技巧提炼
菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形（特殊时为两个全等的等边三角形），两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊三角形的有关问题综合在一起 .
解题技巧提炼
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
解题技巧提炼
证明一个图形是菱形时，关键是看已知条件，若是一般的四边形，则考虑证明四条边相等或对角线互相垂直平分；若是平行四边形，则考虑证明一组邻边相等或对角线互相垂直.
解题技巧提炼
菱形的判定可以确定菱形的存在，再利用菱形的性质，可以得出线段或角的对应关系.
解题技巧提炼
综合利用菱形、矩形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键.