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人教版八年级数学下册同步精讲精练专题一次函数的实际应用问题(基础题&提升题&压轴题)(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练专题一次函数的实际应用问题(基础题&提升题&压轴题)(原卷版+解析)，共57页。试卷主要包含了的一次函数，其图象如图所示等内容，欢迎下载使用。
（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）
基础题
1．（2021春•遂宁期末）等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是（ ）
A．y＝20﹣2xB．y＝20﹣2x（5＜x＜10）
C．y＝10﹣0.5xD．y＝10﹣0.5x（10＜x＜20）
2．已知小明从A地到B地，速度为4千米/时，A，B两地相距3千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是（ ）
A．y＝4xB．y＝4x﹣3C．y＝﹣4xD．y＝3﹣4x
3．（2023春•济南月考）一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分（如图），与剩余木板的面积y（m2）与x（m）的关系式为（0≤x＜5）（ ）
A．y＝2xB．y＝5xC．y＝10﹣2xD．y＝10﹣x
4．（2022春•长安区校级期中）汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距B地路程s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（ ）
A．s＝120﹣30t（0≤t≤4）B．s＝120﹣30t（t＞0）
C．s＝30t（0≤t≤40）D．s＝30t（t＜4）
5．（2023•济南模拟）学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x表示餐桌的张数，y表示椅子的把数，请你写出椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式 ．
6．（2023•武汉模拟）龟兔赛跑是一个非常励志的寓言故事．龟兔同时间出发，朝终点跑去，刚开始兔子遥遥领先，就偷懒睡起了大觉，乌龟却一直坚持不懈的努力前进，当兔子一觉醒来时，发现乌龟已经到达比赛的终点了．若比赛中龟兔距出发点的距离s（单位：m）与出发时间t（单位：min）的关系如图，则乌龟追上兔子所需要的时间是（ ）
A．400minB．500minC．600minD．700min
7．（2023•济南二模）某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．
8．（2023•宝山区二模）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是 千克．
9．（2023•松北区一模）如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（ ）米．
A．150B．110C．75D．70
10．（2023春•鼓楼区期中）在同一条道路上，甲车从A地到B地匀速出发，乙车从B地到A地匀速出发，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．乙出发0.9小时后两车相遇
D．乙到A地比甲到B地早112小时
11．（2023•莲湖区三模）随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．西安市某区市民 的生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，该地生活用水的费用y（元）与人均生活用水的质量x（吨）之间的关系如图所示．请根据图象信息，回答下列问题：
（1）当人均月生活用水不超过5吨时，每吨按 元收取费用；
（2）当用水量超过5吨时，求生活用水的费用y（元）与人均月生活用水的质量x（吨） 之间的函数关系式；
（3）在该地居住的赵叔叔上个月缴水费30.4元，他上个月用了多少吨水？
12．（2023春•永安市期中）某村在政府的扶持下建起了鲜花大棚基地，准备种植A，B两种鲜花．经测算，种植两种鲜花每亩的投入与获利情况如表：
（1）政府和村共同投入200万元全部用来种植这两种鲜花，总获利y万元．设种植A种鲜花x亩，求y关于x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若要求A种鲜花的种植面积不能多于B种鲜花种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
13．（2023•韩城市一模）韩城地处陕西省东部黄河西岸，关中盆地东北隅，其饮食风格充满浓郁的关中风味和西北风味特点，有很多独特的美食小吃，有羊肉饸饹、羊肉胡悖、红甜面、韩城馄饨、油酥角、石子馍、武家手工面等等，某韩城特产专卖店同时购进石子馍和油酥角两种商品共300盒，其进价和售价如表，设购进石子馍x盒，销售完这300盒商品的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，购进多少盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？
14．（2023•安岳县一模）我县初三实考在即，为了更好地备考，某校准备提前采购A、B两类实验器材．经查询，若购买A类实验器材2套和B类实验器材1套共需1000元；若购买A类实验器材2套和B类实验器材3套共需1800元．
（1）分别求出A、B两类实验器材每套的价格；
（2）经核算，该校决定共购买这两类实验器材30套，其中A类实验器材的数量不多于B类实验器材数量的2倍．如何购买才能使总费用最低？最低费用是多少元？
15．（2023•文山州一模）甲、乙两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同．甲旅行社的优惠是：全家有一人购全票，其余人半价优惠；乙旅行社的优惠是：全家按六折优惠．设某一家庭共有x人，甲、乙两家旅行社的收费分别是y1、y2元．
（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社的费用较低？
提升题
1．（2023•苏州一模）甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，从乙出发开始计时，所计时间设为t秒，在跑步过程中，图1是乙跑步路程y（米）与时间t（秒）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离s（米）与时间t的函数图象，则b﹣a＝ ．
2．（2023•西城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）cm2．
A．24B．12C．18D．21
3．（2022秋•莲池区期末）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行的时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．在步行过程中，小明先到达甲地．有下列结论：
①甲、乙两地相距5400m；
②两人出发后30min相遇；
③小丽步行的速度为100m/min，小明步行的速度为80m/min；④小明到达甲地时，小丽离乙地还有980m．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022秋•沙坪坝区校级期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．A、B两城相距300千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．乙车追上甲车时甲车行驶了2.5小时
D．当甲、乙两车相距40千米时，t=23或32或72
5．（2022秋•二七区校级期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④慢车先到达目的地．其中正确的是 ．
6．（2023春•临汾月考）“十一”期间，小华一家人开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油50升，当行驶100千米时，发现油箱剩余油量为41升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量．（耗油量＝用油量÷行驶的路程）
（2）写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式．
（3）当油箱中剩余油量低于5升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由．
7．（2023•遂平县一模）随着科学技术的日新月异，技术更新更是首当其冲，智能手机的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某手机商行经营的A款10英寸智能手机去年销售总额为10万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A款10英寸智能手机每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款10英寸智能手机和新款B款10英寸智能手机共600台，且B款10英寸智能手机的进货数量不超过A款10英寸智能手机数量的两倍，应如何进货才能使这批智能手机获利最多？
A，B两款10英寸智能手机的进货和销售价格如下表：
8．（2023•南开区一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、书店、超市依次在同一条直线上，书店离家1.5km，超市离家2.9km．周末小明先匀速骑行10min到超市停留了7min购买一些文具；然后匀速骑行5min到书店；在书店停留了24min后，匀速骑行了7min返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离y（单位：km）与离开家的时间x（单位：min）之间的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①书店到超市的距离为 km；
②小明从超市到书店的速度为 km/min；
③小明从书店返回家的速度为 km/min；
④当小明离家的距离为1km时，他离开家的时间为 min．
（Ⅲ）当0≤x≤22时，请直接写出y关于x的函数解析式．
9．（2023春•龙岗区校级期中）深圳市南山区不仅是一座美丽的海滨之城，更是一个充满了青春与活力的科技之城、创新之城，连续5年蝉联全国“百强区”第一名．该区的无人机制造商“大疆创新科技”更是享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有A和B两种配件，它们的进价和售价如表．用15000元可购进A产品50件和B产品25件．（利润＝售价﹣进价）
（1）求A种配件进价a的值．
（2）若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种配件件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
10．（2023•齐齐哈尔一模）某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点A，B，C三地，甲、乙两机器人同时从A地匀速出发，甲机器人到达C地后装货1分钟，再以原速原路返回A地，乙机器人到达B地后装货1分钟，再以原速前往C地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距A地的距离y（单位：米）与甲机器人所用时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为 米，甲机器人的速度为 米/分；
（2）求乙机器人从B地到C地行驶过程中y与x的函数关系式（不用写出x的取值范围）；
（3）两机器人经过多长时间相距120米？请直接写出答案．
11．（2023春•北仑区期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况．某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装一种蔬菜）．
（1）若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？
（2）计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆，该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润．
12．（2023•耿马县一模）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策．该省的A市有120吨物资，B市有130吨物资．经过调研发现该省的甲乡需要140吨物资，乙乡需要110吨物资．于是决定由A、B两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/吨、150元/吨，从B市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/吨、100元/吨．
（1）设从A市往甲乡运送x吨物资，从A、B两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为y元，求y与x的函数解析式．
（2）请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．
压轴题
1．（2023•南山区二模）应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
2．（2023•大庆一模）大庆市为了筹建第五届旅发大会，建设滨水绿道，围绕“以河连湖，以绿串蓝”的理念，秉承“惠及民生、全民共享”的初心，串起一河五湖，沿黎明河主轴线纵伸延展，采用上跨立交和下穿通行的方式，建成一个全长35公里的滨水生态慢行系统．小东与父亲每天在某区段匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父子俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小东先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）小东的速度为 m/s、父亲的速度为 m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出整个过程中，哪个时间段内，父子两人之间距离超过了100m．
3．（2023春•萨尔图区校级月考）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元．
（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
（2）该商店计划再次购进两种练习本500本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍．已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本m个，获得的利润为W元；
①求W关于m的函数关系式，并求出自变量m的取值范围；
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
4．（2023•丰润区模拟）某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元．该店计划一次购进这两种蔬菜共60千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜x千克，销售这60千克蔬菜获得的总利润为y元．
（1）求y与x的关系式；
（2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的32，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？
（3）由于蔬菜自身的特点，有13的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是a元（a＞0）．若获得的总利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围．
5．（2023•东新区校级模拟）2022年岁末，随着“新十条”的颁布，各地疫情防控政策逐步放开，为加强个人防护，卫生部门建议居民外出佩戴N95口罩，某口罩厂为抓住商机，组织人员科技更新，购买甲乙两种原材科进行生产，该厂计划购买甲，乙两种原材科共1000吨，已知甲种原材料每吨250元，乙种原材科每吨300元，通过调查了解，甲，乙同种原材料的利用率分别是90%和95%．
（1）若购买这两种原材料共用去280000元，则甲、乙两种原材料各购买多少吨？
（2）要使这批原材料的利用率不低于92%，则甲种原材料最多购买多少吨？
（3）在（2）的条件下，应如何选购原材料，使购买原材料的费用最低？并求出最低费用．
6．（2023•许昌一模）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
7．（2023春•河南期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：
方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；
方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的优惠．
设小明当天购书标价总额为x（x＞50）元，方案一应付y1元，方案二应付y2元．
（1）当x＝150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；
（2）直接写出y1，y2与x的函数关系式；
（3）小明如何选择购书方案才更划算？
8．（2023•衡水模拟）202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（3）在（2）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a（15＜a＜25）元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，请直接写出a的值．
9．（2023•虎林市校级一模）我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满．
根据表格中提供的信息，解答以下问题：
（1）设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案？
（3）在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案？求出最大利润．
10．（2023•包头一模）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲，乙两种石材．经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积 x（m2） 间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
（1）求y与x间的函数解析式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过 乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的使用面积才能使总费用最少？总费用最少为多少元？
11．（2023春•涡阳县期中）某水产市场，需要把海鲜产品运送全国各地，若用5辆甲车和3辆乙车一次性可运送370吨，若用4辆甲车和7辆乙车一次性可运送480吨．
（1）求每辆甲车和每辆乙车一次可以分别运输多少吨海鲜产品；
（2）为了保证海鲜的鲜活度，及时把产品运送到销售地，该市场负责人计划用20辆甲乙两种同时运送，若运送的海鲜产品不少于955吨．
①至少需要用几辆甲车？
②已知每辆甲车运送一次费用为3000元，每辆乙车运送一次费用为2000元，且总费用不多于58800元，求哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
12．（2023春•砀山县校级期中）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每台的价格、年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求a，b的值；
（2）计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次．问有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
每亩需投入（万元）
每亩可获利（万元）
A种鲜花
2
0.8
B种鲜花
4
1.2
石子馍
油酥角
进价（元/盒）
10
15
售价（元/盒）
25
35
A款10英寸智能手机
B款10英寸智能手机
进货价格（元）
1400
1500
销售价格（元）
今年的销售价格
1800
离开家的时间（单位：min）
5
10
15
22
53
离家的距离（单位：km）
2.9
1.5
0
种类
A种配件
B种配件
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数
2
1
2.5
每吨蔬菜可获利润（百元）
5
7
4
水果品种
A
B
C
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨水果获利/百元
12
16
10
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
年载客量（万人/年）
60
100
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
专题 一次函数的实际应用问题
（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）
基础题
1．（2021春•遂宁期末）等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是（ ）
A．y＝20﹣2xB．y＝20﹣2x（5＜x＜10）
C．y＝10﹣0.5xD．y＝10﹣0.5x（10＜x＜20）
【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确x的取值范围即可．
【解答】解：∵2x+y＝20，
∴y＝20﹣2x，则20﹣2x＞0，
解得：x＜10，
由两边之和大于第三边，得x+x＞20﹣2x，
解得：x＞5，
综上可得：y＝20﹣2x（5＜x＜10）
故选：B．
【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键．
2．已知小明从A地到B地，速度为4千米/时，A，B两地相距3千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是（ ）
A．y＝4xB．y＝4x﹣3C．y＝﹣4xD．y＝3﹣4x
【分析】直接利用总路程﹣行驶的路程＝余下的路程，进而得出答案．
【解答】解：用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是：y＝3﹣4x．
故选：D．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确理解题意表示出行驶路程是解题关键．
3．（2023春•济南月考）一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分（如图），与剩余木板的面积y（m2）与x（m）的关系式为（0≤x＜5）（ ）
A．y＝2xB．y＝5xC．y＝10﹣2xD．y＝10﹣x
【分析】根据剩余木板的面积＝原长方形的面积﹣截去的面积．
【解答】解：依题意有：y＝2×5﹣2x＝10﹣2x．
故选：C．
【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
4．（2022春•长安区校级期中）汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距B地路程s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（ ）
A．s＝120﹣30t（0≤t≤4）B．s＝120﹣30t（t＞0）
C．s＝30t（0≤t≤40）D．s＝30t（t＜4）
【分析】汽车距B地路程＝120﹣t小时行驶的路程，自变量的取值应从时间为非负数和汽车距B地路程为非负数列式求解．
【解答】解：平均速度是30km/h，
∴t小时行驶30tkm，
∴s＝120﹣30t，
∵时间为非负数，汽车距B地路程为非负数，
∴t≥0，120﹣30t≥0，
解得0≤t≤4．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是得到汽车距B地路程的等量关系，要注意耐心寻找．
5．（2023•济南模拟）学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x表示餐桌的张数，y表示椅子的把数，请你写出椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式 ．
【分析】由图形可知，第一张餐桌上可以摆放4＝2+2把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放2把椅子，则x张餐桌共有2x+2，依此即可得到椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式．
【解答】解：观察图形：x＝1时，y＝4，x＝2时，y＝6；x＝3时，y＝8；…
可见每增加一张桌子，便增加2个座位，
∴x张餐桌共有2x+2个座位．
∴可坐人数y＝2x+2，
故函数关系式可以为y＝2x+2．
故答案为：y＝2x+2．
【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，难度一般，关键是依据图形得出变量x的变化规律．
6．（2023•武汉模拟）龟兔赛跑是一个非常励志的寓言故事．龟兔同时间出发，朝终点跑去，刚开始兔子遥遥领先，就偷懒睡起了大觉，乌龟却一直坚持不懈的努力前进，当兔子一觉醒来时，发现乌龟已经到达比赛的终点了．若比赛中龟兔距出发点的距离s（单位：m）与出发时间t（单位：min）的关系如图，则乌龟追上兔子所需要的时间是（ ）
A．400minB．500minC．600minD．700min
【分析】根据图象中的数据，可以计算出乌龟的速度，再根据乌龟追上兔子时，乌龟前进的路程为1500米，然后即可计算出乌龟追上兔子所需要的时间．
【解答】解：由图象可得，
乌龟的速度为：2000÷800＝2.5（米/min），
1500÷2.5＝600（min），
即乌龟追上兔子所需要的时间是600min，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（2023•济南二模）某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，
∴y1＝6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，
∴y2＝﹣4x+240，
联立y=6x+40y=−4x+240，
解得x=20y=160，
∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同．
故答案为：20
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法求解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
8．（2023•宝山区二模）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是 千克．
【分析】由图，已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李，即y＝0，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少．
【解答】解：设一次函数y＝kx+b，
∵当x＝40时，y＝6，当x＝50时，y＝10，
∴40k+b=650k+b=10，
解得：k=25b=−10，
∴所求函数关系式为y=25x﹣10（x≥25）；
当y＝0时，25x﹣10＝0，
所以x＝25，
故旅客最多可免费携带25千克行李．
故答案为：25．
【点评】本题主要考查了函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
9．（2023•松北区一模）如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（ ）米．
A．150B．110C．75D．70
【分析】设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b，用待定系数法求出函数解析式，然后求出x＝2时，y的值，再根据除以2即可．
【解答】解：设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b（k≠0），
把（4，370）和（5，480）代入解析式得：4k+b=3705k+b=480，
解得k=110b=−70，
∴工程队提高了工作效率后修路的长度y与与修路时间t之间的函数关系为y＝110x﹣70，
当x＝2时，y＝110×2﹣70＝150，
∴该工程队提高效率前每天修路的长度是1502=75（米）．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
10．（2023春•鼓楼区期中）在同一条道路上，甲车从A地到B地匀速出发，乙车从B地到A地匀速出发，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．乙出发0.9小时后两车相遇
D．乙到A地比甲到B地早112小时
【分析】根据已知图象分别分析甲、乙两车的速度，进而分析得出答案．
【解答】解：由图可知，
乙先出发的时间为0.5h．
故选项A说法正确，不符合题意；
乙的速度为（100﹣70）÷0.5＝60（千米/小时），
则乙从B地到A地的时间为：100÷60=53（小时），
则甲车的速度为：100÷（1.75﹣0.5）＝80（千米/小时）．
故选项B说法正确，不符合题意；
甲出发0.5小时后行驶距离为40km，
乙车行驶的距离为60km，
40+60＝100，故两车相遇，
此时乙出发时间为：0.5+0.5＝1（小时）．
故选项C说法错误，符合题意；
乙到A地比甲到B地早1.75−53=112（小时）．
故选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
11．（2023•莲湖区三模）随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．西安市某区市民 的生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，该地生活用水的费用y（元）与人均生活用水的质量x（吨）之间的关系如图所示．请根据图象信息，回答下列问题：
（1）当人均月生活用水不超过5吨时，每吨按 元收取费用；
（2）当用水量超过5吨时，求生活用水的费用y（元）与人均月生活用水的质量x（吨） 之间的函数关系式；
（3）在该地居住的赵叔叔上个月缴水费30.4元，他上个月用了多少吨水？
【分析】（1）观察图象，不超过5吨，每吨按16÷5＝3.2元收取；
（2）设y与x 之间的函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法求函数解析式；
（3）把y＝30.4代入（2）中解析式求出x即可．
【解答】解：（1）观察图象得：不超过5吨，每吨按16÷5＝3.2（元）收取，
故答案为：3.2；
（2）当x＞5时，设y与x 之间的函数关系式为y＝kx+b，
把（5，16）和（10，40）代入解析式得：5k+b=1610k+b=40，
解得k=245b=−8，
∴y与x 之间的函数关系式为y=245x﹣8；
（3）∵30.4＞16，
∴赵叔叔上个月用水超过5吨，
∴当y＝30.4时，245x﹣8＝30.4，
解得x＝8，
答：赵叔叔上个月用了8吨水．
【点评】此题考查一次函数的实际运用，结根据题意得出函数解析式是解题的关键．
12．（2023春•永安市期中）某村在政府的扶持下建起了鲜花大棚基地，准备种植A，B两种鲜花．经测算，种植两种鲜花每亩的投入与获利情况如表：
（1）政府和村共同投入200万元全部用来种植这两种鲜花，总获利y万元．设种植A种鲜花x亩，求y关于x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若要求A种鲜花的种植面积不能多于B种鲜花种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
【分析】（1）根据总利润等于两种鲜花利润之和列出函数解析式；
（2）根据A种鲜花的种植面积不能多于B种鲜花种植面积的2倍得到x的取值范围，根据函数的性质求最大值．
【解答】解：（1）由题意得：y=0.8x+1.2×200−2x4=0.2x+60；
（2）由题意得：x≤2×200−2x4，
解得x≤50，
∵y＝0.2x+60，且0.2＞0，
∴y随x的增大而增大．
∴当x＝50时，y最大值为70，
此时B种鲜花种植面积为200−2×504=25（亩）．
∴当种植A种鲜花50亩，B种鲜花25亩时，总获利最大，最大总获利为70万元．
【点评】本题考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式和不等式．
13．（2023•韩城市一模）韩城地处陕西省东部黄河西岸，关中盆地东北隅，其饮食风格充满浓郁的关中风味和西北风味特点，有很多独特的美食小吃，有羊肉饸饹、羊肉胡悖、红甜面、韩城馄饨、油酥角、石子馍、武家手工面等等，某韩城特产专卖店同时购进石子馍和油酥角两种商品共300盒，其进价和售价如表，设购进石子馍x盒，销售完这300盒商品的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，购进多少盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以写出利润关于x的函数关系式，然后根据该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝（25﹣10）x+（35﹣15）（300﹣x）＝﹣10x+6000，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x+6000；
（2）由（1）知：y＝﹣10x+6000，
∴y随x的增大而减小，
∵该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，
∴10x+15（300﹣x）≤4000，
解得x≥100，
∴当x＝100时，y取得最大值，此时y＝5000，
答：购进100盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润，获得的最大利润是5000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
14．（2023•安岳县一模）我县初三实考在即，为了更好地备考，某校准备提前采购A、B两类实验器材．经查询，若购买A类实验器材2套和B类实验器材1套共需1000元；若购买A类实验器材2套和B类实验器材3套共需1800元．
（1）分别求出A、B两类实验器材每套的价格；
（2）经核算，该校决定共购买这两类实验器材30套，其中A类实验器材的数量不多于B类实验器材数量的2倍．如何购买才能使总费用最低？最低费用是多少元？
【分析】（1）设A类实验器材每套的售价为x元，B类实验器材每套的售价为y元，根据“购买A类实验器材2套和B类实验器材1套共需1000元；购买A类实验器材2套和B类实验器材3套共需1800元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购A类实验器材m套，费用为W元，根据A类实验器材的数量不多于B类实验器材数量的2倍可求出m的取值范围，于根据题意得出W＝﹣100m+12000，由函数的性质可得结论．
【解答】解：（1）设A类实验器材每套的售价为x元，B类实验器材每套的售价为y元，根据题意得，
2x+y=10002x+3y=1800，
解得x=300y=400
答：A、B两类实验器材每套的价格分别为300元、400元．
（2）设购A类实验器材m套，费用为W元，则m≤2（30﹣m），
∴m≤20．
∵W＝300m+400（30﹣m）＝﹣100m+12000．
∴当m＝20时，W有最小值，最小值为10000元．
∴购进A类实验器材20套，B类实验器材10套时，总费用最低，最低费用为10000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用和一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量间的关系，找出关于m的一元一次不等式，一次函数关系式．
15．（2023•文山州一模）甲、乙两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同．甲旅行社的优惠是：全家有一人购全票，其余人半价优惠；乙旅行社的优惠是：全家按六折优惠．设某一家庭共有x人，甲、乙两家旅行社的收费分别是y1、y2元．
（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社的费用较低？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据可以写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的关系式，可以写出相应的不等式，然后即可得到选择哪家旅行社的费用较低．
【解答】解：（1）由题意可得，
y1＝90+90（x﹣1）×0.5＝45x+45，
y2＝90x×0.6＝54x，
由上可得，y1与x之间的函数关系式是y1＝45x+45，y2与x之间的函数关系式y2＝54x；
（2）当45x+45＜54x时，可得x＞5，
即当某一家庭人数超过5人时，选择甲旅行社的费用比较低；
当45x+45＝54x时，可得x＝5，
即当某一家庭有5人时，选择两家旅行社的费用一样；
当45x+45＞54x时，可得x＜5，
即当某一家庭人数不足5人时，选择乙旅行社的费用比较低．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式．
提升题
1．（2023•苏州一模）甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，从乙出发开始计时，所计时间设为t秒，在跑步过程中，图1是乙跑步路程y（米）与时间t（秒）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离s（米）与时间t的函数图象，则b﹣a＝ ．
【分析】根据题意和函数图象，可以得到甲的速度，再根据函数图象中的数据，即可得到a秒时乙到达终点，甲还需964=24秒到达终点，即b﹣a＝24．
【解答】解：由图2可知．乙没有出发时，甲乙相距12米，且甲先出发3秒，
∴甲的速度为123=4（米/秒），
a秒后乙到达终点，甲、乙两人相距96米，
∴甲还需96米到达终点，
∴甲还需964=24（秒）到达终点，
∴b﹣a＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
2．（2023•西城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）cm2．
A．24B．12C．18D．21
【分析】根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24s﹣18s＝6s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42s﹣24s＝18s，再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得a•（30﹣15）＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据圆柱的体积公式得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），再解方程即可．
【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，
水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s﹣24s＝18（s），
这段高度为：14﹣11＝3（cm），
设匀速注水的水流速度为xcm3/s，则18•x＝30×3，
解得x＝5，
即匀速注水的水流速度为5cm3/s；
“几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5，
解得a＝6，
所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm），
设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据题意得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），
解得S＝24，
即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．
3．（2022秋•莲池区期末）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行的时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．在步行过程中，小明先到达甲地．有下列结论：
①甲、乙两地相距5400m；
②两人出发后30min相遇；
③小丽步行的速度为100m/min，小明步行的速度为80m/min；④小明到达甲地时，小丽离乙地还有980m．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①②直接从图象获取信息即可；③设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，根据图象和题意列出方程组，求解即可；④由图可知：点C的位置是小明到达甲地，直接用总路程÷时间可得小明的时间，即54min，二人的距离即C的纵坐标，由此可得小丽离乙地的距离．
【解答】解：由图象可知，甲、乙两地相距5400m，小丽与小明出发30min相遇，
故①②正确，符合题意；
③设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，
则30V1+30V2=5400(67.5−30)V1=30V2，
解得：V1=80V2=100，
小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；故③不符合题意；
④5400÷100＝54，54×80＝4320，
∴点C（54，4320），
点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．
∴5400﹣4320＝1080m，
∴小明到达甲地时，小丽离乙地还有1080m．故④不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图象获取信息是解题关键．
4．（2022秋•沙坪坝区校级期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．A、B两城相距300千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．乙车追上甲车时甲车行驶了2.5小时
D．当甲、乙两车相距40千米时，t=23或32或72
【分析】观察图象可判断A、B，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断C，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可判断D，可得出答案．
【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
故A、B都正确，不符合题意；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得m+n=04m+n=300，
解得m=100n=−100，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，
解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时驾车出发2.5小时，
故C正确，不符合题意；
令|y甲﹣y乙|＝40，可得|60t﹣100t+100|＝40，即|100﹣40t|＝40，
当100﹣40t＝40时，可解得t=32，
当100﹣40t＝﹣40时，可解得t=72，
又当t＝40÷（300÷60）=23时，y甲＝40，此时乙还没出发，
当t＝5−23=113时，乙到达B城，y甲＝260；
综上可知当t的值为23或32或72或113时，两车相距40千米，
故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．
5．（2022秋•二七区校级期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④慢车先到达目的地．其中正确的是 ．
【分析】根据题意可知两车出发2小时后相遇，据此可知他们的速度和为180km/h，相遇后慢车停留了0.5 h，快车停留了1.6 h，此时两车距离为88 km，据此可得慢车的速度为80km/h，进而得出快车的速度为100km/h，根据“路程和＝速度和×时间”即可求出a的值，从而判断出谁先到达目的地．
【解答】解：由函数图象的倾斜程度可得：
相遇后慢车停留了2.5﹣2＝0.5（ h），快车停留了3.6﹣2＝1.6（ h），
故①不符合题意；
根据题意可知，两车的速度和为：360÷2＝180（ km/h），
慢车的速度为：88÷（3.6﹣2.5）＝80（ km/h），
则快车的速度为100 km/h，所以快车速度比慢车速度多20 km/h；故②符合题意；
∵88+（5﹣3.6）×180＝340（ km），
所以图中a＝340，故③结论符合题意；
快车到达终点的时间为360÷100+1.6＝5.2（小时），
慢车到达终点的时间为360÷80+0.5＝5（小时），因为5.2＞5，
所以慢车先到达目的地，故④结论符合题意．
所以正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了一次函数的应用，行程问题中数量关系的运用，函数图象的意义的运用，解答时读懂函数图象，从图象中获取有用信息是解题的关键．
6．（2023春•临汾月考）“十一”期间，小华一家人开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油50升，当行驶100千米时，发现油箱剩余油量为41升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量．（耗油量＝用油量÷行驶的路程）
（2）写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式．
（3）当油箱中剩余油量低于5升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由．
【分析】（1）依据耗油量＝用油量÷行驶的路程求解即可；
（2）由剩余油量等于总油量减去耗油量（每千米的耗油量乘以行驶路程）求解即可；
（3）求出行驶400千米后的剩余油量，比较即可得到答案．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为：50−41100=0.09，
∴该车平均每千米的耗油量为0.09升；
（2）由（1）得：∵50÷0.09=50009，∴Q＝50﹣0.09x
即Q＝﹣0.09x+50（0≤x≤50009）；
（3）他们能在汽车报警前回家，
理由如下：
由（2）可知，当x＝400千米时，Q＝﹣0.09×400+50＝14（升），
∵14＞5，
∴他们能在汽车报警前回家．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键在于能够准确根据题意得到Q＝﹣0.09x+50．
7．（2023•遂平县一模）随着科学技术的日新月异，技术更新更是首当其冲，智能手机的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某手机商行经营的A款10英寸智能手机去年销售总额为10万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A款10英寸智能手机每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款10英寸智能手机和新款B款10英寸智能手机共600台，且B款10英寸智能手机的进货数量不超过A款10英寸智能手机数量的两倍，应如何进货才能使这批智能手机获利最多？
A，B两款10英寸智能手机的进货和销售价格如下表：
【分析】（1）设今年A款40英寸智能电视每台售价x元，则去年售价每台为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A款40英寸智能电视a台，则B款40英寸智能电视（60﹣a）台，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【解答】解：（1）设今年每台手机售价x元，由题意得100000x+400=100000(1−20%)x，
解得：x＝1600．
检验：当x＝1600时，是分式方程的解．
答：今年A款10英寸智能手机每台售价是1600元；
（2）设进A款手机a台，B款为（600﹣a）台，总获利为W元．
由题意，W＝（1600﹣1400）a+（600﹣a）（1800﹣1500），
W＝﹣100a+180000，﹣100＜0，
∴当a＝200时获利最大，此时600﹣a＝400，
∵600﹣a≤2a，a≥200，
∴A款手机进200台，B款手机进400台获利最多．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
8．（2023•南开区一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、书店、超市依次在同一条直线上，书店离家1.5km，超市离家2.9km．周末小明先匀速骑行10min到超市停留了7min购买一些文具；然后匀速骑行5min到书店；在书店停留了24min后，匀速骑行了7min返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离y（单位：km）与离开家的时间x（单位：min）之间的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①书店到超市的距离为 km；
②小明从超市到书店的速度为 km/min；
③小明从书店返回家的速度为 km/min；
④当小明离家的距离为1km时，他离开家的时间为 min．
（Ⅲ）当0≤x≤22时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【分析】（Ⅰ）先算出0～10min小明匀速骑行的速度，再根据“路程＝速度×时间”即可求得离开家的时间为5min时离家的距离，根据图象即可得到离开家的时间为15min时离家的距离；
（Ⅱ）①根据图象即可得到答案；
②利用速度＝路程÷时间即可得到答案；
③利用速度＝路程÷时间即可得到答案；
④分两种情况：从家出发离家的距离为1km和返回时离家的距离为1km，分别列式计算即可；
（Ⅲ）根据路程＝速度×时间，分段列出函数关系式即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据图象可得，0～10min小明匀速骑行的速度为2.910=0.29km/min，
则离开家的时间为5min时，离家的距离为0.29×5＝1.45（km），
到离开家的时间为15min时，离家的距离为2.9km；
故答案为：1.45，2.9；
（Ⅱ）①书店到超市的距离为2.9﹣1.5＝1.4（km）；
故答案为：1.4；
②小明从超市到书店的速度为2.9−1.522−17=0.28（km/min）；
故答案为：0.28；
③小明从书店返回家的速度为1.553−46=314（km/min）；
故答案为：314；
④当小明从家出发离家的距离为1km时，他离开家的时间为10.29=10029（min），
当小明从家返回离家的距离为1km时，他离开家的时间为53−1314=1453（min）；
故答案为：10029或1453；
（Ⅲ）当0≤x≤10时，y＝0.29x，
当10＜x≤17时，y＝2.9，
当17＜x≤22，y＝2.9﹣0.28（x﹣17）＝﹣0.28x+7.66，
综上，y=0.29x(0≤x≤10)2.9(10＜x≤17)−0.28x+7.66(17＜x≤22)．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题关键是读懂题意，掌握从函数图象中获取信息的能力．
9．（2023春•龙岗区校级期中）深圳市南山区不仅是一座美丽的海滨之城，更是一个充满了青春与活力的科技之城、创新之城，连续5年蝉联全国“百强区”第一名．该区的无人机制造商“大疆创新科技”更是享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有A和B两种配件，它们的进价和售价如表．用15000元可购进A产品50件和B产品25件．（利润＝售价﹣进价）
（1）求A种配件进价a的值．
（2）若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种配件件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）设购进A种配件x件，则购进B种配件（300﹣x）件，根据B种配件进货件数不低于A种配件件数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260．
答：a的值为260；
（2）设购进A种配件x件，则购进B种配件（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种配件全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，
此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进A种配件100件，B种配件200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．
10．（2023•齐齐哈尔一模）某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点A，B，C三地，甲、乙两机器人同时从A地匀速出发，甲机器人到达C地后装货1分钟，再以原速原路返回A地，乙机器人到达B地后装货1分钟，再以原速前往C地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距A地的距离y（单位：米）与甲机器人所用时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为 米，甲机器人的速度为 米/分；
（2）求乙机器人从B地到C地行驶过程中y与x的函数关系式（不用写出x的取值范围）；
（3）两机器人经过多长时间相距120米？请直接写出答案．
【分析】（1）根据图象可得AB两地之间的距离，再根据路程、时间、速度的关系可求得甲的速度；
（2）先根据题意确定点E、F的坐标，然后再运用待定系数法求解即可；
（3）根据A，C，B三地在同一直线上，先分别求得直线OG、OD、HI的解析式，然后再分两种情况解答即可．
【解答】解：（1）由函数图象可得：AB两地之间的距离为240米，甲到达C点用时（11﹣1）÷2＝5，AC两地之间的距离为600米，则甲机器人的速度为600÷5＝120（米/分）．
故答案为：240，120．
（2）由函数图象可得乙机器人从B地到C地行驶过程对应函数图象为EF，点E（5，240），F（11，600），
设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
则240=5k+b600=11k+b，
解得：k=60b=−60，
∴y与x的函数关系式为y＝60x﹣60．
（3）①当甲机器人到达C地前时，由函数图象可得G（5，600），D（4，240），
由待定系数法可得：OG的解析式为：y＝120x；
OD的解析式为：y＝60x，
由两机器人相距120米，则：120x﹣60x＝120，
解得x＝2，
②当甲机器人到达C地返回，乙机器人从B到C过程中相距120米，
由函数图象可得：H（6，600），I（11，0），
由待定系数法可得：y＝﹣120x+1320，
由（2）可得直线EF的解析式为：y＝60x﹣60，
∴|﹣120x+1320﹣（60x﹣60）|＝120，
解得：x＝7或253，
综上，两机器人经过2分或7分或253分相距120米．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
11．（2023春•北仑区期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况．某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装一种蔬菜）．
（1）若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？
（2）计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆，该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润．
【分析】（1）设装运乙蔬菜的汽车有x辆，则装运丙种蔬菜的汽车有（14﹣x）辆，根据“乙、丙两种蔬菜共17吨”列出方程，求解即可；
（2）设装运甲种蔬菜的汽车有a（1≤a≤10）辆，装运乙种蔬菜的汽车有b辆，则装运丙种蔬菜的汽车有（3a﹣a﹣b）辆，以此可得2a+b+2.5（30﹣a﹣b）＝48，则b＝18−13a，进而求得1423≤b≤1723，b为整数，设总利润为w（百元），则w＝﹣3b+300，根据一次函数的性质可得当b＝15时，w取得最大值，算出此时a的值和w的最大值即可求解．
【解答】解：（1）设装运乙蔬菜的汽车有x辆，则装运丙种蔬菜的汽车有（14﹣x）辆，
根据题意得：x+2.5（14﹣x）＝17，
解得：x＝12，
则14﹣12＝2，
∴装运乙蔬菜的汽车有12辆，装运丙种蔬菜的汽车有2辆；
（2）设装运甲种蔬菜的汽车有a（1≤a≤10）辆，装运乙种蔬菜的汽车有b辆，则装运丙种蔬菜的汽车有（3a﹣a﹣b）辆，
根据题意得：2a+b+2.5（30﹣a﹣b）＝48，
整理得：1.5b＝27﹣0.5a，
∴b＝18−13a，
∵要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆，
∴1≤a≤10，
∴1423≤b≤1723，b为整数，
设总利润为w（百元），
∴w＝10a+7b+2.5×4×（30﹣a﹣b）＝﹣3b+300，
∵k＝﹣3＜0，
∴w随b的增大而减小，
∴当b＝15时，w取得最大值，最大值为﹣3×15+300＝255（百元）＝25500（元），
此时15＝18−13a，
∴a＝9，
∴30﹣a﹣b＝6，
∴应安排用9辆汽车装运甲种蔬菜，15辆汽车装运乙种蔬菜，6辆汽车装运丙种蔬菜，最大利润25500元．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用、一次函数的应用、二元一次方程的应用，理清题意，找出等量关系列出方程和函数关系式是解题关键．
12．（2023•耿马县一模）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策．该省的A市有120吨物资，B市有130吨物资．经过调研发现该省的甲乡需要140吨物资，乙乡需要110吨物资．于是决定由A、B两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/吨、150元/吨，从B市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/吨、100元/吨．
（1）设从A市往甲乡运送x吨物资，从A、B两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为y元，求y与x的函数解析式．
（2）请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．
【分析】（1）根据A市的120吨物资运往甲乡x吨，运往乙乡（120﹣x）吨，B市的130吨物资运往甲乡（140﹣x）吨，运往乙乡（x﹣10）吨的费用求和，即可确定y与x的函数关系式；
（2）根据一次函数的性质即可确定运费最低的运送方案和最低运费．
【解答】解：（1）y＝300x+150（120﹣x）+200（140﹣x）+100（110﹣120+x）＝50x+45000，
∵x≥0，120﹣x≥0，140﹣x≥0，x﹣10≥0，
∴x的取值范围是10≤x≤120，
∴y与x的函数解析式为y＝50x+45000（10≤x≤120）；
（2）∵50＞0，
∴y随着x增大而增大，
当x＝10时，y取得最小值，最小值为50×10+45000＝45500（元），
此时从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，
答：运费最低的运送方案是：从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据题意建立一次函数关系式是解题的关键．
压轴题
1．（2023•南山区二模）应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为1.1x元，根据用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台，列方程求解；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，列不等式组求解．
【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为1.1x元，
根据题意得，33001.1x+5=4500x，
解得x＝300，
经检验，x＝300是原方程的根，
300×1.1＝330（元）．
故每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得，
y=330m+300(60−m)60−m≤2m，
解得y＝30m+18000（m≥20），
∵k＝30＞0，
∴y随x的增大而增大，
当m＝20时，y＝18600（元）．
故购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
2．（2023•大庆一模）大庆市为了筹建第五届旅发大会，建设滨水绿道，围绕“以河连湖，以绿串蓝”的理念，秉承“惠及民生、全民共享”的初心，串起一河五湖，沿黎明河主轴线纵伸延展，采用上跨立交和下穿通行的方式，建成一个全长35公里的滨水生态慢行系统．小东与父亲每天在某区段匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父子俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小东先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）小东的速度为 m/s、父亲的速度为 m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出整个过程中，哪个时间段内，父子两人之间距离超过了100m．
【分析】（1）由路程除以时间可得小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s）；
（2）父亲追上小捷所需时间为403−2=40（s），即得A的坐标为（40，0），求出B坐标是（200，160），C的坐标为（280，0），用待定系数法可得BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；
（3）求出直线AB解析式为y＝x﹣40，解x﹣40＞100得x＞140，解﹣2x+560＞100得x＜230，即可得140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．
【解答】解：（1）由函数图象可得：
小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s），
故答案为：2，3；
（2）父亲追上小捷所需时间为403−2=40（s），
∴A的坐标为（40，0），
当父亲出发的时间x＝200s时，两人之间的距离y＝200×3﹣（200+20）×2＝160（m），
∴B坐标是（200，160），
小捷到达终点所需时间为6002=300（s），300﹣20＝280，
∴C的坐标为（280，0），
设BC所在直线的解析式为y＝kx+b，把B（200，160），C（280，0）代入得：
200k+b=160280k+b=0，
解得k=−2b=560，
∴BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；
（3）由A（40，0），B（200，160）可得直线AB解析式为y＝x﹣40，
当x﹣40＞100得x＞140，
当﹣2x+560＞100得x＜230，
∴当140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
3．（2023春•萨尔图区校级月考）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元．
（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
（2）该商店计划再次购进两种练习本500本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍．已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本m个，获得的利润为W元；
①求W关于m的函数关系式，并求出自变量m的取值范围；
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额+100精装练习本销售额＝1450元；200本普通练习本销售额+50精装练习本销售额＝1100元，列出方程组，求出即可；
（2）①购买普通练习本x个，则购买精装练习本（500﹣m）个，根据总利润＝普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式，然后再求出自变量x的取值范围即可；
②根据一次函数的性质和x的取值范，可以得到商店应如何进货才能使销售总利润最大，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，
由题意可得：150m+100n=1450200m+50n=1100，
解得m=3n=10，
答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元；
（2）①购买普通练习本m个，则购买精装练习本（500﹣m）个，
由题意可得：W＝（3﹣2）m+（10﹣7）（500﹣m）＝﹣2m+1500，
∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，
∴m≥3（500﹣m），
解得x≥375，
即W关于x的函数关系式是；W＝﹣2m+1500（375≤m≤500）；
②∵W＝﹣2m+1500，
∴W随x的增大而减小，
∵375≤m≤500，
∴当m＝375时，W取得最大值，此时W＝750，500﹣m＝125，
答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式．
4．（2023•丰润区模拟）某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元．该店计划一次购进这两种蔬菜共60千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜x千克，销售这60千克蔬菜获得的总利润为y元．
（1）求y与x的关系式；
（2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的32，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？
（3）由于蔬菜自身的特点，有13的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是a元（a＞0）．若获得的总利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）设该店购进甲种蔬菜x千克，则该店购进乙种蔬菜（56﹣x）千克，根据题意可得y与x的关系式；
（2）根据乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的32，列不等式得出x的取值范围，根据一次函数的性质即可求解；
（3）根据题意可得y与x的关系式，再根据获得的总利润随x的增大而减小，根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设该店购进甲种蔬菜x千克，则该店购进乙种蔬菜（60﹣x）千克，
依题意，得：y＝1.1x+1.5（60﹣x）＝﹣0.4x+90，
∴y与x的关系式为y＝﹣0.4x+90；
（2）依题意，得：60﹣x≤32x，
解得：x≥24．
∵24≤x＜60，
∵y＝﹣0.4x+90，k＝﹣0.4＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝24时，y取得最大值，最大值为﹣0.4×24+90＝80.4，
∴该店购进甲种蔬菜24千克，
乙种蔬菜60﹣24＝36（千克），
答：该店购进甲种蔬菜24千克，乙种蔬菜36千克时，获得的总利润最大；
（3）有13的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是a元（a＞0），
则y＝﹣0.4x+90−13a（60﹣x）＝（13a﹣0.4）x+90﹣20a，
∵获得的总利润y随x的增大而减小，
∴13a﹣0.4＜0，
解得：a＜1.2．
∴a的取值范围为0＜a＜1.2．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．
5．（2023•东新区校级模拟）2022年岁末，随着“新十条”的颁布，各地疫情防控政策逐步放开，为加强个人防护，卫生部门建议居民外出佩戴N95口罩，某口罩厂为抓住商机，组织人员科技更新，购买甲乙两种原材科进行生产，该厂计划购买甲，乙两种原材科共1000吨，已知甲种原材料每吨250元，乙种原材科每吨300元，通过调查了解，甲，乙同种原材料的利用率分别是90%和95%．
（1）若购买这两种原材料共用去280000元，则甲、乙两种原材料各购买多少吨？
（2）要使这批原材料的利用率不低于92%，则甲种原材料最多购买多少吨？
（3）在（2）的条件下，应如何选购原材料，使购买原材料的费用最低？并求出最低费用．
【分析】（1）根据甲，乙两种原材科共1000吨，两种原材料共用去280000元，这两个条件列出二元一次方程组，解出即可；
（2）根据这批原材料的利用率不低于92%，列出不等式，解出即可；
（3）设购买原材料的费用为w元．根据题意，得w＝250a+300（1000﹣a），利用函数性质求最小值．
【解答】解：（1）设甲种原材料购买x吨，乙种原材料购买y吨．
根据题意，得x+y=1000250x+300y=280000，
解得x=400y=600，
答：甲、乙两种原材料各购买400吨和600吨．
（2）设甲种原材料购买a吨，乙种原材料购买（1000﹣a）吨．
90%a+95%（1000﹣a）≥92%×1000，
解得a≤600，
答：甲种原材料最多购买600吨．
（3）设购买原材料的费用为w元．
根据题意，得w＝250a+300（1000﹣a）
＝﹣50a+300000，
∵﹣50＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵a≤600，
∴a＝600时，w有最小值，
w最小＝﹣50×600+300000＝270000（元），
1000﹣600＝400（吨），
∴当甲种原材料购买600吨，乙种原材料购买400吨时，购买原材料的费用最低，并求出最低费用
270000元．
【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，利用函数性质求最小值是解题关键．
6．（2023•许昌一模）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
【分析】（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，根据购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）①根据给定的购买方案分别列出函数关系式即可；
②当80x+1000＞85x+680时，当80x+1000＝85x+680时，当80x+1000＜85x+680时，分别求解即可确定哪种合算．
【解答】解：（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，
根据题意，得5m+10n=130010m+5n=1400，
解得m=100n=80，
答：A品牌篮球的单价为100元，B品牌篮球的单价为80元；
（2）①方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+10×80＝100x+800，
当x＞10时，y＝100×10+100×0.8（x﹣10）+80×10＝80x+1000，
方案二：y＝100×0.85x+80×0.85×10＝85x+680，
∴方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+800；当x＞10时，y＝80x+1000；
方案二：y＝85x+680；
②当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算，理由如下：
∵x＞10，
当80x+1000＞85x+680时，x＜64，此时方案二合算；
当80x+1000＝85x+680时，x＝64，此时两种方案费用相同；
当80x+1000＜85x+680时，x＞64，此时方案一合算，
∴当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．
7．（2023春•河南期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：
方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；
方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的优惠．
设小明当天购书标价总额为x（x＞50）元，方案一应付y1元，方案二应付y2元．
（1）当x＝150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；
（2）直接写出y1，y2与x的函数关系式；
（3）小明如何选择购书方案才更划算？
【分析】（1）当x＝150时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可；
（2）根据题意给出的等量关系即可求出答案；
（3）根据y关于x的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．
【解答】解：（1）当x＝150时，
方案一：150×0.8＝120（元），
方案二：50+150×0.8×0.75＝50+90＝140（元），
∵120＜140，
∴小明用方案一购书更划算；
（2）方案一：y1＝0.8x；
方案二：y2＝50+0.8×0.75x＝0.6x+50；
∴y1与x的函数关系式为y1＝0.8x；y2与x的函数关系式为y2＝0.6x+50；
（3）当y1＞y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＞250；
当y1＜y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＜250；
当y1＝y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＝250．
∴当x＜250时，方案一更划算；当x＞250时，方案二更划算；当x＝250时，方案一、方案二一样划算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
8．（2023•衡水模拟）202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（3）在（2）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a（15＜a＜25）元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，请直接写出a的值．
【分析】（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元”得方程组，解方程组即得；
（2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；
②由已知条件可得关于x的不等式组，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润；
（3）在（2）的条件下，由题意列出关于a的方程，解出a即可．
【解答】（1）设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元；
根据题意，得5m+10n=70010m+5n=800，
解得m=60n=40，
答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①由题意知，y＝60x+40（100﹣x）＝20x+4000，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+4000；
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
则x≥60x≤4(100−x)，
解得：60≤x≤80，
在y＝20x+4000中，
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝80时，y取得最大值，最大值为20×80+4000＝5600，
即最大利润为5600元；
（3）在（2）的条件下60≤x≤80，总利润y＝（20﹣a）x+4000，
当20﹣a＞0时，y随x的增大而增大，
∴x＝80，y最大为4240，
解得a＝17；
当20﹣a＜0时，y随x的增大而减小，
∴x＝60，y最大为4240，
解得a＝16，
∵促销，
∴a＝17．
【点评】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．
9．（2023•虎林市校级一模）我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满．
根据表格中提供的信息，解答以下问题：
（1）设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案？
（3）在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案？求出最大利润．
【分析】（1）等量关系为：车辆数之和＝20，由此可得出x与y的关系式；
（2）利用装运每种水果的车辆数都不少于4辆可列三个不等式，然后解不等式组，再写出整数x的值即可得到方案；
（3）根据总利润为：装运A种水果的车辆数×6×12+装运B种水果的车辆数×5×16+装运C种水果的车辆数×4×10得W＝﹣4800x+160000，由k＝﹣4800＜0，可知W随x的增大而减小，进而可知当x＝4时，W最大，即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意，得6x+5y+4（20﹣x﹣y）＝100．
∴y＝﹣2x+20．
（2）由题意可得：x≥4−2x+20≥420−x−(−2x+20)≥4．
解得4≤x≤8．
∵x为整数，
∴x可取整数为4，5，6，7，8．
共有五种方案如下：
方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果；
方案二：5辆车装运A种水果，10辆车装运B种水果，5辆车装运C种水果；
方案三：6辆车装运A种水果，8辆车装运B种水果，6辆车装运C种水果；
方案四：7辆车装运A种水果，6辆车装运B种水果，7辆车装运C种水果；
方案五：8辆车装运A种水果，4辆车装运B种水果，8辆车装运C种水果．
（3）设获利为W元．
20﹣x﹣y＝x，
W＝6x×1200×5（﹣2x+20）×1600+4x×1000＝﹣4800x+160000．
∵k＝﹣4800＜0，
∴W随x的增大而减小．
∴x＝4时，W最大．
W最大＝﹣4800×4+160000＝140800．
∴选择（2）中的方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果，获利最多为140800元．
【点评】本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装运的几种方案是解决本题的关键．
10．（2023•包头一模）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲，乙两种石材．经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积 x（m2） 间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
（1）求y与x间的函数解析式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过 乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的使用面积才能使总费用最少？总费用最少为多少元？
【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）根据（1）的结论，即可得出w与x间的函数解析式．
（3）根据实际意义可以确定x的范围，结合（2）的结论，利用一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤300时，设y＝kx，
∵点（300，24000）在该函数图象上，
∴24000＝300k，
解得k＝80，
即当0≤x≤300时，y＝80x；
当x＞300时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
∵点（300，24000），（500，30000）在该函数图象上，
∴300a+b=24000500a+b=3000，
解得a=30b=15000，
即当x＞300时，y与x的函数关系式为y＝30x+15000，
由上可得：y与x间的函数解析式为y=80x(0≤x≤300)30x+15000(x＞300)；
（2）当0≤x≤300时，w＝80x+50（600﹣x）＝30x+30000；
当300＜x＜600时，w＝30x+15000+50（600﹣x），
即w＝﹣20x+45000；
∴w与x间的函数解析式为w=30x+30000(0≤x≤300)−20x+45000(300＜x＜600)；
（3）根据题意得x＞300x≤2(600−x)，
∴300＜x≤400，
由（2）知w＝﹣20x+45000，
∵k＝﹣20＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝400时，w最小，最小值为37000，
此时600﹣x＝200，
答：甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
11．（2023春•涡阳县期中）某水产市场，需要把海鲜产品运送全国各地，若用5辆甲车和3辆乙车一次性可运送370吨，若用4辆甲车和7辆乙车一次性可运送480吨．
（1）求每辆甲车和每辆乙车一次可以分别运输多少吨海鲜产品；
（2）为了保证海鲜的鲜活度，及时把产品运送到销售地，该市场负责人计划用20辆甲乙两种同时运送，若运送的海鲜产品不少于955吨．
①至少需要用几辆甲车？
②已知每辆甲车运送一次费用为3000元，每辆乙车运送一次费用为2000元，且总费用不多于58800元，求哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【分析】（1）设每辆甲车一次运输x吨海鲜产品，每辆乙车一次运输y吨海鲜产品，然后根据若用5辆甲车和3辆乙车一次性可运送370吨；若用4辆甲车和7辆乙车一次性可运送480吨列出方程组，最后解方程组即可；
（2）①设需要用α辆甲车，用α表示出需要用乙车的数量，然后根据运送的海鲜产品不少于955吨列出不等式，最后解不等式即可；
②根据题意得费用w＝1000a+40000，然后根据总费用不多于58800元求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）设每辆甲车一次运输x吨海鲜产品，每辆乙车一次运输y吨海鲜产品，
∵若用5辆甲车和3辆乙车一次性可运送370吨，若用4辆甲车和7辆乙车一次性可运送480吨，
∴5x+3y=3704x+7y=480，
解得x=50y=40，
∴每辆甲车一次运输50吨海鲜产品，每辆乙车一次运输40吨海鲜产品；
（2）①设需要用α辆甲车，则需要用（20﹣a）辆乙车，
∵运送的海鲜产品不少于955吨，
∴50a+40 （20﹣a）≥955，
解得a≥15.5，
∴至少需要用16辆甲车；
②∵每辆甲车运送一次费用为3000元，每辆乙车运送一次费用为2000元，总费用w元，
w＝3000a+2000 （20﹣a）＝1000a+40000，
∵总费用不多于58800元，
∴3000a+2000 （20﹣a）≤58800，
∴a≤18.8，
∵15.5≤a≤18.8，
∵1000＞0，
∴w随a的减小而减小，
∴a＝16时，w有最小值，最小值为1000×16+40000＝56000，
∴这时20﹣a＝4，
∴用16辆甲车，4辆乙车时，费用最少，最少费用是56000元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出解析式或方程组．
12．（2023春•砀山县校级期中）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每台的价格、年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求a，b的值；
（2）计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次．问有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车（10﹣m）辆，根据“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出m的值，得出购买方案；
（3）设购车总费用为w万元，根据总费用＝购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值．
【解答】解：（1）依题意得：a+2b=4002a+b=350，
解得：a=100b=150，
答：a的值为100，b的值为150；
（2）设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车（10﹣m）辆，
依题意得：100m+150(10−m)≤120060m+100(10−m)≥720，
解得：6≤m≤7，
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，
∴有两种购买方案，
方案一：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
方案二：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；
（3）设购车总费用为w万元，
则w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500，
∵﹣50＜0，6≤m≤7且m为整数，
∴当m＝7时，w最小，最小值为﹣50×7+1500＝1150（元），
∴购车总费用最少的方案是购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆，购车总费用为1150万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确列出函数解析式．
每亩需投入（万元）
每亩可获利（万元）
A种鲜花
2
0.8
B种鲜花
4
1.2
石子馍
油酥角
进价（元/盒）
10
15
售价（元/盒）
25
35
A款10英寸智能手机
B款10英寸智能手机
进货价格（元）
1400
1500
销售价格（元）
今年的销售价格
1800
离开家的时间（单位：min）
5
10
15
22
53
离家的距离（单位：km）
2.9
1.5
0
种类
A种配件
B种配件
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数
2
1
2.5
每吨蔬菜可获利润（百元）
5
7
4
水果品种
A
B
C
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨水果获利/百元
12
16
10
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
年载客量（万人/年）
60
100
（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）
基础题
1．（2021春•遂宁期末）等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是（ ）
A．y＝20﹣2xB．y＝20﹣2x（5＜x＜10）
C．y＝10﹣0.5xD．y＝10﹣0.5x（10＜x＜20）
2．已知小明从A地到B地，速度为4千米/时，A，B两地相距3千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是（ ）
A．y＝4xB．y＝4x﹣3C．y＝﹣4xD．y＝3﹣4x
3．（2023春•济南月考）一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分（如图），与剩余木板的面积y（m2）与x（m）的关系式为（0≤x＜5）（ ）
A．y＝2xB．y＝5xC．y＝10﹣2xD．y＝10﹣x
4．（2022春•长安区校级期中）汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距B地路程s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（ ）
A．s＝120﹣30t（0≤t≤4）B．s＝120﹣30t（t＞0）
C．s＝30t（0≤t≤40）D．s＝30t（t＜4）
5．（2023•济南模拟）学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x表示餐桌的张数，y表示椅子的把数，请你写出椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式 ．
6．（2023•武汉模拟）龟兔赛跑是一个非常励志的寓言故事．龟兔同时间出发，朝终点跑去，刚开始兔子遥遥领先，就偷懒睡起了大觉，乌龟却一直坚持不懈的努力前进，当兔子一觉醒来时，发现乌龟已经到达比赛的终点了．若比赛中龟兔距出发点的距离s（单位：m）与出发时间t（单位：min）的关系如图，则乌龟追上兔子所需要的时间是（ ）
A．400minB．500minC．600minD．700min
7．（2023•济南二模）某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．
8．（2023•宝山区二模）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是 千克．
9．（2023•松北区一模）如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（ ）米．
A．150B．110C．75D．70
10．（2023春•鼓楼区期中）在同一条道路上，甲车从A地到B地匀速出发，乙车从B地到A地匀速出发，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．乙出发0.9小时后两车相遇
D．乙到A地比甲到B地早112小时
11．（2023•莲湖区三模）随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．西安市某区市民 的生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，该地生活用水的费用y（元）与人均生活用水的质量x（吨）之间的关系如图所示．请根据图象信息，回答下列问题：
（1）当人均月生活用水不超过5吨时，每吨按 元收取费用；
（2）当用水量超过5吨时，求生活用水的费用y（元）与人均月生活用水的质量x（吨） 之间的函数关系式；
（3）在该地居住的赵叔叔上个月缴水费30.4元，他上个月用了多少吨水？
12．（2023春•永安市期中）某村在政府的扶持下建起了鲜花大棚基地，准备种植A，B两种鲜花．经测算，种植两种鲜花每亩的投入与获利情况如表：
（1）政府和村共同投入200万元全部用来种植这两种鲜花，总获利y万元．设种植A种鲜花x亩，求y关于x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若要求A种鲜花的种植面积不能多于B种鲜花种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
13．（2023•韩城市一模）韩城地处陕西省东部黄河西岸，关中盆地东北隅，其饮食风格充满浓郁的关中风味和西北风味特点，有很多独特的美食小吃，有羊肉饸饹、羊肉胡悖、红甜面、韩城馄饨、油酥角、石子馍、武家手工面等等，某韩城特产专卖店同时购进石子馍和油酥角两种商品共300盒，其进价和售价如表，设购进石子馍x盒，销售完这300盒商品的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，购进多少盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？
14．（2023•安岳县一模）我县初三实考在即，为了更好地备考，某校准备提前采购A、B两类实验器材．经查询，若购买A类实验器材2套和B类实验器材1套共需1000元；若购买A类实验器材2套和B类实验器材3套共需1800元．
（1）分别求出A、B两类实验器材每套的价格；
（2）经核算，该校决定共购买这两类实验器材30套，其中A类实验器材的数量不多于B类实验器材数量的2倍．如何购买才能使总费用最低？最低费用是多少元？
15．（2023•文山州一模）甲、乙两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同．甲旅行社的优惠是：全家有一人购全票，其余人半价优惠；乙旅行社的优惠是：全家按六折优惠．设某一家庭共有x人，甲、乙两家旅行社的收费分别是y1、y2元．
（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社的费用较低？
提升题
1．（2023•苏州一模）甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，从乙出发开始计时，所计时间设为t秒，在跑步过程中，图1是乙跑步路程y（米）与时间t（秒）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离s（米）与时间t的函数图象，则b﹣a＝ ．
2．（2023•西城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）cm2．
A．24B．12C．18D．21
3．（2022秋•莲池区期末）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行的时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．在步行过程中，小明先到达甲地．有下列结论：
①甲、乙两地相距5400m；
②两人出发后30min相遇；
③小丽步行的速度为100m/min，小明步行的速度为80m/min；④小明到达甲地时，小丽离乙地还有980m．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2022秋•沙坪坝区校级期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．A、B两城相距300千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．乙车追上甲车时甲车行驶了2.5小时
D．当甲、乙两车相距40千米时，t=23或32或72
5．（2022秋•二七区校级期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④慢车先到达目的地．其中正确的是 ．
6．（2023春•临汾月考）“十一”期间，小华一家人开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油50升，当行驶100千米时，发现油箱剩余油量为41升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量．（耗油量＝用油量÷行驶的路程）
（2）写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式．
（3）当油箱中剩余油量低于5升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由．
7．（2023•遂平县一模）随着科学技术的日新月异，技术更新更是首当其冲，智能手机的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某手机商行经营的A款10英寸智能手机去年销售总额为10万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A款10英寸智能手机每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款10英寸智能手机和新款B款10英寸智能手机共600台，且B款10英寸智能手机的进货数量不超过A款10英寸智能手机数量的两倍，应如何进货才能使这批智能手机获利最多？
A，B两款10英寸智能手机的进货和销售价格如下表：
8．（2023•南开区一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、书店、超市依次在同一条直线上，书店离家1.5km，超市离家2.9km．周末小明先匀速骑行10min到超市停留了7min购买一些文具；然后匀速骑行5min到书店；在书店停留了24min后，匀速骑行了7min返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离y（单位：km）与离开家的时间x（单位：min）之间的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①书店到超市的距离为 km；
②小明从超市到书店的速度为 km/min；
③小明从书店返回家的速度为 km/min；
④当小明离家的距离为1km时，他离开家的时间为 min．
（Ⅲ）当0≤x≤22时，请直接写出y关于x的函数解析式．
9．（2023春•龙岗区校级期中）深圳市南山区不仅是一座美丽的海滨之城，更是一个充满了青春与活力的科技之城、创新之城，连续5年蝉联全国“百强区”第一名．该区的无人机制造商“大疆创新科技”更是享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有A和B两种配件，它们的进价和售价如表．用15000元可购进A产品50件和B产品25件．（利润＝售价﹣进价）
（1）求A种配件进价a的值．
（2）若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种配件件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
10．（2023•齐齐哈尔一模）某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点A，B，C三地，甲、乙两机器人同时从A地匀速出发，甲机器人到达C地后装货1分钟，再以原速原路返回A地，乙机器人到达B地后装货1分钟，再以原速前往C地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距A地的距离y（单位：米）与甲机器人所用时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为 米，甲机器人的速度为 米/分；
（2）求乙机器人从B地到C地行驶过程中y与x的函数关系式（不用写出x的取值范围）；
（3）两机器人经过多长时间相距120米？请直接写出答案．
11．（2023春•北仑区期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况．某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装一种蔬菜）．
（1）若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？
（2）计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆，该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润．
12．（2023•耿马县一模）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策．该省的A市有120吨物资，B市有130吨物资．经过调研发现该省的甲乡需要140吨物资，乙乡需要110吨物资．于是决定由A、B两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/吨、150元/吨，从B市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/吨、100元/吨．
（1）设从A市往甲乡运送x吨物资，从A、B两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为y元，求y与x的函数解析式．
（2）请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．
压轴题
1．（2023•南山区二模）应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
2．（2023•大庆一模）大庆市为了筹建第五届旅发大会，建设滨水绿道，围绕“以河连湖，以绿串蓝”的理念，秉承“惠及民生、全民共享”的初心，串起一河五湖，沿黎明河主轴线纵伸延展，采用上跨立交和下穿通行的方式，建成一个全长35公里的滨水生态慢行系统．小东与父亲每天在某区段匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父子俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小东先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）小东的速度为 m/s、父亲的速度为 m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出整个过程中，哪个时间段内，父子两人之间距离超过了100m．
3．（2023春•萨尔图区校级月考）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元．
（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
（2）该商店计划再次购进两种练习本500本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍．已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本m个，获得的利润为W元；
①求W关于m的函数关系式，并求出自变量m的取值范围；
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
4．（2023•丰润区模拟）某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元．该店计划一次购进这两种蔬菜共60千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜x千克，销售这60千克蔬菜获得的总利润为y元．
（1）求y与x的关系式；
（2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的32，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？
（3）由于蔬菜自身的特点，有13的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是a元（a＞0）．若获得的总利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围．
5．（2023•东新区校级模拟）2022年岁末，随着“新十条”的颁布，各地疫情防控政策逐步放开，为加强个人防护，卫生部门建议居民外出佩戴N95口罩，某口罩厂为抓住商机，组织人员科技更新，购买甲乙两种原材科进行生产，该厂计划购买甲，乙两种原材科共1000吨，已知甲种原材料每吨250元，乙种原材科每吨300元，通过调查了解，甲，乙同种原材料的利用率分别是90%和95%．
（1）若购买这两种原材料共用去280000元，则甲、乙两种原材料各购买多少吨？
（2）要使这批原材料的利用率不低于92%，则甲种原材料最多购买多少吨？
（3）在（2）的条件下，应如何选购原材料，使购买原材料的费用最低？并求出最低费用．
6．（2023•许昌一模）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
7．（2023春•河南期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：
方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；
方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的优惠．
设小明当天购书标价总额为x（x＞50）元，方案一应付y1元，方案二应付y2元．
（1）当x＝150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；
（2）直接写出y1，y2与x的函数关系式；
（3）小明如何选择购书方案才更划算？
8．（2023•衡水模拟）202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（3）在（2）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a（15＜a＜25）元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，请直接写出a的值．
9．（2023•虎林市校级一模）我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满．
根据表格中提供的信息，解答以下问题：
（1）设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案？
（3）在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案？求出最大利润．
10．（2023•包头一模）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲，乙两种石材．经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积 x（m2） 间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
（1）求y与x间的函数解析式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过 乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的使用面积才能使总费用最少？总费用最少为多少元？
11．（2023春•涡阳县期中）某水产市场，需要把海鲜产品运送全国各地，若用5辆甲车和3辆乙车一次性可运送370吨，若用4辆甲车和7辆乙车一次性可运送480吨．
（1）求每辆甲车和每辆乙车一次可以分别运输多少吨海鲜产品；
（2）为了保证海鲜的鲜活度，及时把产品运送到销售地，该市场负责人计划用20辆甲乙两种同时运送，若运送的海鲜产品不少于955吨．
①至少需要用几辆甲车？
②已知每辆甲车运送一次费用为3000元，每辆乙车运送一次费用为2000元，且总费用不多于58800元，求哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
12．（2023春•砀山县校级期中）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每台的价格、年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求a，b的值；
（2）计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次．问有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
每亩需投入（万元）
每亩可获利（万元）
A种鲜花
2
0.8
B种鲜花
4
1.2
石子馍
油酥角
进价（元/盒）
10
15
售价（元/盒）
25
35
A款10英寸智能手机
B款10英寸智能手机
进货价格（元）
1400
1500
销售价格（元）
今年的销售价格
1800
离开家的时间（单位：min）
5
10
15
22
53
离家的距离（单位：km）
2.9
1.5
0
种类
A种配件
B种配件
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数
2
1
2.5
每吨蔬菜可获利润（百元）
5
7
4
水果品种
A
B
C
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨水果获利/百元
12
16
10
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
年载客量（万人/年）
60
100
八年级下册数学《第十九章 一次函数》
专题 一次函数的实际应用问题
（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）
基础题
1．（2021春•遂宁期末）等腰三角形周长为20cm，底边长ycm与腰长xcm之间的函数关系是（ ）
A．y＝20﹣2xB．y＝20﹣2x（5＜x＜10）
C．y＝10﹣0.5xD．y＝10﹣0.5x（10＜x＜20）
【分析】根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确x的取值范围即可．
【解答】解：∵2x+y＝20，
∴y＝20﹣2x，则20﹣2x＞0，
解得：x＜10，
由两边之和大于第三边，得x+x＞20﹣2x，
解得：x＞5，
综上可得：y＝20﹣2x（5＜x＜10）
故选：B．
【点评】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键．
2．已知小明从A地到B地，速度为4千米/时，A，B两地相距3千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是（ ）
A．y＝4xB．y＝4x﹣3C．y＝﹣4xD．y＝3﹣4x
【分析】直接利用总路程﹣行驶的路程＝余下的路程，进而得出答案．
【解答】解：用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是：y＝3﹣4x．
故选：D．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确理解题意表示出行驶路程是解题关键．
3．（2023春•济南月考）一长为5m，宽为2m的长方形木板，现要在长边上截去长为xm的一部分（如图），与剩余木板的面积y（m2）与x（m）的关系式为（0≤x＜5）（ ）
A．y＝2xB．y＝5xC．y＝10﹣2xD．y＝10﹣x
【分析】根据剩余木板的面积＝原长方形的面积﹣截去的面积．
【解答】解：依题意有：y＝2×5﹣2x＝10﹣2x．
故选：C．
【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
4．（2022春•长安区校级期中）汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距B地路程s（km）与行驶时间t（h）的函数关系式及自变量t的取值范围是（ ）
A．s＝120﹣30t（0≤t≤4）B．s＝120﹣30t（t＞0）
C．s＝30t（0≤t≤40）D．s＝30t（t＜4）
【分析】汽车距B地路程＝120﹣t小时行驶的路程，自变量的取值应从时间为非负数和汽车距B地路程为非负数列式求解．
【解答】解：平均速度是30km/h，
∴t小时行驶30tkm，
∴s＝120﹣30t，
∵时间为非负数，汽车距B地路程为非负数，
∴t≥0，120﹣30t≥0，
解得0≤t≤4．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是得到汽车距B地路程的等量关系，要注意耐心寻找．
5．（2023•济南模拟）学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子．若用x表示餐桌的张数，y表示椅子的把数，请你写出椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式 ．
【分析】由图形可知，第一张餐桌上可以摆放4＝2+2把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放2把椅子，则x张餐桌共有2x+2，依此即可得到椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式．
【解答】解：观察图形：x＝1时，y＝4，x＝2时，y＝6；x＝3时，y＝8；…
可见每增加一张桌子，便增加2个座位，
∴x张餐桌共有2x+2个座位．
∴可坐人数y＝2x+2，
故函数关系式可以为y＝2x+2．
故答案为：y＝2x+2．
【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，难度一般，关键是依据图形得出变量x的变化规律．
6．（2023•武汉模拟）龟兔赛跑是一个非常励志的寓言故事．龟兔同时间出发，朝终点跑去，刚开始兔子遥遥领先，就偷懒睡起了大觉，乌龟却一直坚持不懈的努力前进，当兔子一觉醒来时，发现乌龟已经到达比赛的终点了．若比赛中龟兔距出发点的距离s（单位：m）与出发时间t（单位：min）的关系如图，则乌龟追上兔子所需要的时间是（ ）
A．400minB．500minC．600minD．700min
【分析】根据图象中的数据，可以计算出乌龟的速度，再根据乌龟追上兔子时，乌龟前进的路程为1500米，然后即可计算出乌龟追上兔子所需要的时间．
【解答】解：由图象可得，
乌龟的速度为：2000÷800＝2.5（米/min），
1500÷2.5＝600（min），
即乌龟追上兔子所需要的时间是600min，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（2023•济南二模）某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，
∴y1＝6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，
∴y2＝﹣4x+240，
联立y=6x+40y=−4x+240，
解得x=20y=160，
∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同．
故答案为：20
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法求解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
8．（2023•宝山区二模）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是 千克．
【分析】由图，已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李，即y＝0，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少．
【解答】解：设一次函数y＝kx+b，
∵当x＝40时，y＝6，当x＝50时，y＝10，
∴40k+b=650k+b=10，
解得：k=25b=−10，
∴所求函数关系式为y=25x﹣10（x≥25）；
当y＝0时，25x﹣10＝0，
所以x＝25，
故旅客最多可免费携带25千克行李．
故答案为：25．
【点评】本题主要考查了函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
9．（2023•松北区一模）如图，是某工程队修路的长度y（单位：m）与修路时间t（单位：天）之间的函数关系．该工程队承担了一项修路任务，任务进行一段时间后，工程队提高了工作效率，则该工程队提高效率前每天修路的长度是（ ）米．
A．150B．110C．75D．70
【分析】设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b，用待定系数法求出函数解析式，然后求出x＝2时，y的值，再根据除以2即可．
【解答】解：设工程队提高了工作效率后修路的长度y与修路时间t之间的函数关系为y＝kx+b（k≠0），
把（4，370）和（5，480）代入解析式得：4k+b=3705k+b=480，
解得k=110b=−70，
∴工程队提高了工作效率后修路的长度y与与修路时间t之间的函数关系为y＝110x﹣70，
当x＝2时，y＝110×2﹣70＝150，
∴该工程队提高效率前每天修路的长度是1502=75（米）．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
10．（2023春•鼓楼区期中）在同一条道路上，甲车从A地到B地匀速出发，乙车从B地到A地匀速出发，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．乙出发0.9小时后两车相遇
D．乙到A地比甲到B地早112小时
【分析】根据已知图象分别分析甲、乙两车的速度，进而分析得出答案．
【解答】解：由图可知，
乙先出发的时间为0.5h．
故选项A说法正确，不符合题意；
乙的速度为（100﹣70）÷0.5＝60（千米/小时），
则乙从B地到A地的时间为：100÷60=53（小时），
则甲车的速度为：100÷（1.75﹣0.5）＝80（千米/小时）．
故选项B说法正确，不符合题意；
甲出发0.5小时后行驶距离为40km，
乙车行驶的距离为60km，
40+60＝100，故两车相遇，
此时乙出发时间为：0.5+0.5＝1（小时）．
故选项C说法错误，符合题意；
乙到A地比甲到B地早1.75−53=112（小时）．
故选项D说法正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
11．（2023•莲湖区三模）随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．西安市某区市民 的生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，该地生活用水的费用y（元）与人均生活用水的质量x（吨）之间的关系如图所示．请根据图象信息，回答下列问题：
（1）当人均月生活用水不超过5吨时，每吨按 元收取费用；
（2）当用水量超过5吨时，求生活用水的费用y（元）与人均月生活用水的质量x（吨） 之间的函数关系式；
（3）在该地居住的赵叔叔上个月缴水费30.4元，他上个月用了多少吨水？
【分析】（1）观察图象，不超过5吨，每吨按16÷5＝3.2元收取；
（2）设y与x 之间的函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法求函数解析式；
（3）把y＝30.4代入（2）中解析式求出x即可．
【解答】解：（1）观察图象得：不超过5吨，每吨按16÷5＝3.2（元）收取，
故答案为：3.2；
（2）当x＞5时，设y与x 之间的函数关系式为y＝kx+b，
把（5，16）和（10，40）代入解析式得：5k+b=1610k+b=40，
解得k=245b=−8，
∴y与x 之间的函数关系式为y=245x﹣8；
（3）∵30.4＞16，
∴赵叔叔上个月用水超过5吨，
∴当y＝30.4时，245x﹣8＝30.4，
解得x＝8，
答：赵叔叔上个月用了8吨水．
【点评】此题考查一次函数的实际运用，结根据题意得出函数解析式是解题的关键．
12．（2023春•永安市期中）某村在政府的扶持下建起了鲜花大棚基地，准备种植A，B两种鲜花．经测算，种植两种鲜花每亩的投入与获利情况如表：
（1）政府和村共同投入200万元全部用来种植这两种鲜花，总获利y万元．设种植A种鲜花x亩，求y关于x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若要求A种鲜花的种植面积不能多于B种鲜花种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
【分析】（1）根据总利润等于两种鲜花利润之和列出函数解析式；
（2）根据A种鲜花的种植面积不能多于B种鲜花种植面积的2倍得到x的取值范围，根据函数的性质求最大值．
【解答】解：（1）由题意得：y=0.8x+1.2×200−2x4=0.2x+60；
（2）由题意得：x≤2×200−2x4，
解得x≤50，
∵y＝0.2x+60，且0.2＞0，
∴y随x的增大而增大．
∴当x＝50时，y最大值为70，
此时B种鲜花种植面积为200−2×504=25（亩）．
∴当种植A种鲜花50亩，B种鲜花25亩时，总获利最大，最大总获利为70万元．
【点评】本题考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式和不等式．
13．（2023•韩城市一模）韩城地处陕西省东部黄河西岸，关中盆地东北隅，其饮食风格充满浓郁的关中风味和西北风味特点，有很多独特的美食小吃，有羊肉饸饹、羊肉胡悖、红甜面、韩城馄饨、油酥角、石子馍、武家手工面等等，某韩城特产专卖店同时购进石子馍和油酥角两种商品共300盒，其进价和售价如表，设购进石子馍x盒，销售完这300盒商品的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，购进多少盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以写出利润关于x的函数关系式，然后根据该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求最值．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝（25﹣10）x+（35﹣15）（300﹣x）＝﹣10x+6000，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x+6000；
（2）由（1）知：y＝﹣10x+6000，
∴y随x的增大而减小，
∵该专卖店计划最多投入4000元用于购进这两种商品，
∴10x+15（300﹣x）≤4000，
解得x≥100，
∴当x＝100时，y取得最大值，此时y＝5000，
答：购进100盒石子馍，专卖店售完这两种商品可获得最大利润，获得的最大利润是5000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
14．（2023•安岳县一模）我县初三实考在即，为了更好地备考，某校准备提前采购A、B两类实验器材．经查询，若购买A类实验器材2套和B类实验器材1套共需1000元；若购买A类实验器材2套和B类实验器材3套共需1800元．
（1）分别求出A、B两类实验器材每套的价格；
（2）经核算，该校决定共购买这两类实验器材30套，其中A类实验器材的数量不多于B类实验器材数量的2倍．如何购买才能使总费用最低？最低费用是多少元？
【分析】（1）设A类实验器材每套的售价为x元，B类实验器材每套的售价为y元，根据“购买A类实验器材2套和B类实验器材1套共需1000元；购买A类实验器材2套和B类实验器材3套共需1800元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购A类实验器材m套，费用为W元，根据A类实验器材的数量不多于B类实验器材数量的2倍可求出m的取值范围，于根据题意得出W＝﹣100m+12000，由函数的性质可得结论．
【解答】解：（1）设A类实验器材每套的售价为x元，B类实验器材每套的售价为y元，根据题意得，
2x+y=10002x+3y=1800，
解得x=300y=400
答：A、B两类实验器材每套的价格分别为300元、400元．
（2）设购A类实验器材m套，费用为W元，则m≤2（30﹣m），
∴m≤20．
∵W＝300m+400（30﹣m）＝﹣100m+12000．
∴当m＝20时，W有最小值，最小值为10000元．
∴购进A类实验器材20套，B类实验器材10套时，总费用最低，最低费用为10000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用和一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量间的关系，找出关于m的一元一次不等式，一次函数关系式．
15．（2023•文山州一模）甲、乙两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同．甲旅行社的优惠是：全家有一人购全票，其余人半价优惠；乙旅行社的优惠是：全家按六折优惠．设某一家庭共有x人，甲、乙两家旅行社的收费分别是y1、y2元．
（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社的费用较低？
【分析】（1）根据题意和题目中的数据可以写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的关系式，可以写出相应的不等式，然后即可得到选择哪家旅行社的费用较低．
【解答】解：（1）由题意可得，
y1＝90+90（x﹣1）×0.5＝45x+45，
y2＝90x×0.6＝54x，
由上可得，y1与x之间的函数关系式是y1＝45x+45，y2与x之间的函数关系式y2＝54x；
（2）当45x+45＜54x时，可得x＞5，
即当某一家庭人数超过5人时，选择甲旅行社的费用比较低；
当45x+45＝54x时，可得x＝5，
即当某一家庭有5人时，选择两家旅行社的费用一样；
当45x+45＞54x时，可得x＜5，
即当某一家庭人数不足5人时，选择乙旅行社的费用比较低．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式．
提升题
1．（2023•苏州一模）甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，从乙出发开始计时，所计时间设为t秒，在跑步过程中，图1是乙跑步路程y（米）与时间t（秒）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离s（米）与时间t的函数图象，则b﹣a＝ ．
【分析】根据题意和函数图象，可以得到甲的速度，再根据函数图象中的数据，即可得到a秒时乙到达终点，甲还需964=24秒到达终点，即b﹣a＝24．
【解答】解：由图2可知．乙没有出发时，甲乙相距12米，且甲先出发3秒，
∴甲的速度为123=4（米/秒），
a秒后乙到达终点，甲、乙两人相距96米，
∴甲还需96米到达终点，
∴甲还需964=24（秒）到达终点，
∴b﹣a＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
2．（2023•西城区校级模拟）如图①，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（ ）cm2．
A．24B．12C．18D．21
【分析】根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需18s，满过“几何体”上方圆柱需24s﹣18s＝6s，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需42s﹣24s＝18s，再设匀速注水的水流速度为xcm3/s，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得a•（30﹣15）＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体”上方圆柱的高为5cm，设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据圆柱的体积公式得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），再解方程即可．
【解答】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11cm，
水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：42s﹣24s＝18（s），
这段高度为：14﹣11＝3（cm），
设匀速注水的水流速度为xcm3/s，则18•x＝30×3，
解得x＝5，
即匀速注水的水流速度为5cm3/s；
“几何体”下方圆柱的高为a，则a•（30﹣15）＝18×5，
解得a＝6，
所以“几何体”上方圆柱的高为11﹣6＝5（cm），
设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm2，根据题意得5•（30﹣S）＝5×（24﹣18），
解得S＝24，
即“几何体”上方圆柱的底面积为24cm2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．
3．（2022秋•莲池区期末）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行的时间x（min）之间的函数关系式如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．在步行过程中，小明先到达甲地．有下列结论：
①甲、乙两地相距5400m；
②两人出发后30min相遇；
③小丽步行的速度为100m/min，小明步行的速度为80m/min；④小明到达甲地时，小丽离乙地还有980m．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①②直接从图象获取信息即可；③设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，根据图象和题意列出方程组，求解即可；④由图可知：点C的位置是小明到达甲地，直接用总路程÷时间可得小明的时间，即54min，二人的距离即C的纵坐标，由此可得小丽离乙地的距离．
【解答】解：由图象可知，甲、乙两地相距5400m，小丽与小明出发30min相遇，
故①②正确，符合题意；
③设小丽步行的速度为V1m/min，小明步行的速度为V2m/min，且V2＞V1，
则30V1+30V2=5400(67.5−30)V1=30V2，
解得：V1=80V2=100，
小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；故③不符合题意；
④5400÷100＝54，54×80＝4320，
∴点C（54，4320），
点C表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m．
∴5400﹣4320＝1080m，
∴小明到达甲地时，小丽离乙地还有1080m．故④不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图象获取信息是解题关键．
4．（2022秋•沙坪坝区校级期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．A、B两城相距300千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．乙车追上甲车时甲车行驶了2.5小时
D．当甲、乙两车相距40千米时，t=23或32或72
【分析】观察图象可判断A、B，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断C，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可判断D，可得出答案．
【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
故A、B都正确，不符合题意；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得m+n=04m+n=300，
解得m=100n=−100，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，
解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时驾车出发2.5小时，
故C正确，不符合题意；
令|y甲﹣y乙|＝40，可得|60t﹣100t+100|＝40，即|100﹣40t|＝40，
当100﹣40t＝40时，可解得t=32，
当100﹣40t＝﹣40时，可解得t=72，
又当t＝40÷（300÷60）=23时，y甲＝40，此时乙还没出发，
当t＝5−23=113时，乙到达B城，y甲＝260；
综上可知当t的值为23或32或72或113时，两车相距40千米，
故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．
5．（2022秋•二七区校级期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a＝340；④慢车先到达目的地．其中正确的是 ．
【分析】根据题意可知两车出发2小时后相遇，据此可知他们的速度和为180km/h，相遇后慢车停留了0.5 h，快车停留了1.6 h，此时两车距离为88 km，据此可得慢车的速度为80km/h，进而得出快车的速度为100km/h，根据“路程和＝速度和×时间”即可求出a的值，从而判断出谁先到达目的地．
【解答】解：由函数图象的倾斜程度可得：
相遇后慢车停留了2.5﹣2＝0.5（ h），快车停留了3.6﹣2＝1.6（ h），
故①不符合题意；
根据题意可知，两车的速度和为：360÷2＝180（ km/h），
慢车的速度为：88÷（3.6﹣2.5）＝80（ km/h），
则快车的速度为100 km/h，所以快车速度比慢车速度多20 km/h；故②符合题意；
∵88+（5﹣3.6）×180＝340（ km），
所以图中a＝340，故③结论符合题意；
快车到达终点的时间为360÷100+1.6＝5.2（小时），
慢车到达终点的时间为360÷80+0.5＝5（小时），因为5.2＞5，
所以慢车先到达目的地，故④结论符合题意．
所以正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了一次函数的应用，行程问题中数量关系的运用，函数图象的意义的运用，解答时读懂函数图象，从图象中获取有用信息是解题的关键．
6．（2023春•临汾月考）“十一”期间，小华一家人开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油50升，当行驶100千米时，发现油箱剩余油量为41升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量．（耗油量＝用油量÷行驶的路程）
（2）写出剩余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式．
（3）当油箱中剩余油量低于5升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由．
【分析】（1）依据耗油量＝用油量÷行驶的路程求解即可；
（2）由剩余油量等于总油量减去耗油量（每千米的耗油量乘以行驶路程）求解即可；
（3）求出行驶400千米后的剩余油量，比较即可得到答案．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为：50−41100=0.09，
∴该车平均每千米的耗油量为0.09升；
（2）由（1）得：∵50÷0.09=50009，∴Q＝50﹣0.09x
即Q＝﹣0.09x+50（0≤x≤50009）；
（3）他们能在汽车报警前回家，
理由如下：
由（2）可知，当x＝400千米时，Q＝﹣0.09×400+50＝14（升），
∵14＞5，
∴他们能在汽车报警前回家．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键在于能够准确根据题意得到Q＝﹣0.09x+50．
7．（2023•遂平县一模）随着科学技术的日新月异，技术更新更是首当其冲，智能手机的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某手机商行经营的A款10英寸智能手机去年销售总额为10万元，今年每台销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年A款10英寸智能手机每台售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该电器商行计划新进一批A款10英寸智能手机和新款B款10英寸智能手机共600台，且B款10英寸智能手机的进货数量不超过A款10英寸智能手机数量的两倍，应如何进货才能使这批智能手机获利最多？
A，B两款10英寸智能手机的进货和销售价格如下表：
【分析】（1）设今年A款40英寸智能电视每台售价x元，则去年售价每台为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A款40英寸智能电视a台，则B款40英寸智能电视（60﹣a）台，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【解答】解：（1）设今年每台手机售价x元，由题意得100000x+400=100000(1−20%)x，
解得：x＝1600．
检验：当x＝1600时，是分式方程的解．
答：今年A款10英寸智能手机每台售价是1600元；
（2）设进A款手机a台，B款为（600﹣a）台，总获利为W元．
由题意，W＝（1600﹣1400）a+（600﹣a）（1800﹣1500），
W＝﹣100a+180000，﹣100＜0，
∴当a＝200时获利最大，此时600﹣a＝400，
∵600﹣a≤2a，a≥200，
∴A款手机进200台，B款手机进400台获利最多．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
8．（2023•南开区一模）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、书店、超市依次在同一条直线上，书店离家1.5km，超市离家2.9km．周末小明先匀速骑行10min到超市停留了7min购买一些文具；然后匀速骑行5min到书店；在书店停留了24min后，匀速骑行了7min返回家中，给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离y（单位：km）与离开家的时间x（单位：min）之间的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①书店到超市的距离为 km；
②小明从超市到书店的速度为 km/min；
③小明从书店返回家的速度为 km/min；
④当小明离家的距离为1km时，他离开家的时间为 min．
（Ⅲ）当0≤x≤22时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【分析】（Ⅰ）先算出0～10min小明匀速骑行的速度，再根据“路程＝速度×时间”即可求得离开家的时间为5min时离家的距离，根据图象即可得到离开家的时间为15min时离家的距离；
（Ⅱ）①根据图象即可得到答案；
②利用速度＝路程÷时间即可得到答案；
③利用速度＝路程÷时间即可得到答案；
④分两种情况：从家出发离家的距离为1km和返回时离家的距离为1km，分别列式计算即可；
（Ⅲ）根据路程＝速度×时间，分段列出函数关系式即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据图象可得，0～10min小明匀速骑行的速度为2.910=0.29km/min，
则离开家的时间为5min时，离家的距离为0.29×5＝1.45（km），
到离开家的时间为15min时，离家的距离为2.9km；
故答案为：1.45，2.9；
（Ⅱ）①书店到超市的距离为2.9﹣1.5＝1.4（km）；
故答案为：1.4；
②小明从超市到书店的速度为2.9−1.522−17=0.28（km/min）；
故答案为：0.28；
③小明从书店返回家的速度为1.553−46=314（km/min）；
故答案为：314；
④当小明从家出发离家的距离为1km时，他离开家的时间为10.29=10029（min），
当小明从家返回离家的距离为1km时，他离开家的时间为53−1314=1453（min）；
故答案为：10029或1453；
（Ⅲ）当0≤x≤10时，y＝0.29x，
当10＜x≤17时，y＝2.9，
当17＜x≤22，y＝2.9﹣0.28（x﹣17）＝﹣0.28x+7.66，
综上，y=0.29x(0≤x≤10)2.9(10＜x≤17)−0.28x+7.66(17＜x≤22)．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题关键是读懂题意，掌握从函数图象中获取信息的能力．
9．（2023春•龙岗区校级期中）深圳市南山区不仅是一座美丽的海滨之城，更是一个充满了青春与活力的科技之城、创新之城，连续5年蝉联全国“百强区”第一名．该区的无人机制造商“大疆创新科技”更是享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有A和B两种配件，它们的进价和售价如表．用15000元可购进A产品50件和B产品25件．（利润＝售价﹣进价）
（1）求A种配件进价a的值．
（2）若该配件销售部购进A种配件和B种配件共300件，据市场销售分析，B种配件进货件数不低于A种配件件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）设购进A种配件x件，则购进B种配件（300﹣x）件，根据B种配件进货件数不低于A种配件件数的2倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）依题意得：50a+80×25＝15000，
解得：a＝260．
答：a的值为260；
（2）设购进A种配件x件，则购进B种配件（300﹣x）件，
依题意得：300﹣x≥2x，
解得：x≤100．
设两种配件全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝（300﹣260）x+（100﹣80）（300﹣x）＝20x+6000．
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝100时，w取得最大值，最大值＝20×100+6000＝8000，
此时300﹣x＝300﹣100＝200．
答：当购进A种配件100件，B种配件200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式．
10．（2023•齐齐哈尔一模）某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点A，B，C三地，甲、乙两机器人同时从A地匀速出发，甲机器人到达C地后装货1分钟，再以原速原路返回A地，乙机器人到达B地后装货1分钟，再以原速前往C地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距A地的距离y（单位：米）与甲机器人所用时间x（单位：分）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为 米，甲机器人的速度为 米/分；
（2）求乙机器人从B地到C地行驶过程中y与x的函数关系式（不用写出x的取值范围）；
（3）两机器人经过多长时间相距120米？请直接写出答案．
【分析】（1）根据图象可得AB两地之间的距离，再根据路程、时间、速度的关系可求得甲的速度；
（2）先根据题意确定点E、F的坐标，然后再运用待定系数法求解即可；
（3）根据A，C，B三地在同一直线上，先分别求得直线OG、OD、HI的解析式，然后再分两种情况解答即可．
【解答】解：（1）由函数图象可得：AB两地之间的距离为240米，甲到达C点用时（11﹣1）÷2＝5，AC两地之间的距离为600米，则甲机器人的速度为600÷5＝120（米/分）．
故答案为：240，120．
（2）由函数图象可得乙机器人从B地到C地行驶过程对应函数图象为EF，点E（5，240），F（11，600），
设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
则240=5k+b600=11k+b，
解得：k=60b=−60，
∴y与x的函数关系式为y＝60x﹣60．
（3）①当甲机器人到达C地前时，由函数图象可得G（5，600），D（4，240），
由待定系数法可得：OG的解析式为：y＝120x；
OD的解析式为：y＝60x，
由两机器人相距120米，则：120x﹣60x＝120，
解得x＝2，
②当甲机器人到达C地返回，乙机器人从B到C过程中相距120米，
由函数图象可得：H（6，600），I（11，0），
由待定系数法可得：y＝﹣120x+1320，
由（2）可得直线EF的解析式为：y＝60x﹣60，
∴|﹣120x+1320﹣（60x﹣60）|＝120，
解得：x＝7或253，
综上，两机器人经过2分或7分或253分相距120米．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
11．（2023春•北仑区期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况．某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装一种蔬菜）．
（1）若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？
（2）计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆，该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润．
【分析】（1）设装运乙蔬菜的汽车有x辆，则装运丙种蔬菜的汽车有（14﹣x）辆，根据“乙、丙两种蔬菜共17吨”列出方程，求解即可；
（2）设装运甲种蔬菜的汽车有a（1≤a≤10）辆，装运乙种蔬菜的汽车有b辆，则装运丙种蔬菜的汽车有（3a﹣a﹣b）辆，以此可得2a+b+2.5（30﹣a﹣b）＝48，则b＝18−13a，进而求得1423≤b≤1723，b为整数，设总利润为w（百元），则w＝﹣3b+300，根据一次函数的性质可得当b＝15时，w取得最大值，算出此时a的值和w的最大值即可求解．
【解答】解：（1）设装运乙蔬菜的汽车有x辆，则装运丙种蔬菜的汽车有（14﹣x）辆，
根据题意得：x+2.5（14﹣x）＝17，
解得：x＝12，
则14﹣12＝2，
∴装运乙蔬菜的汽车有12辆，装运丙种蔬菜的汽车有2辆；
（2）设装运甲种蔬菜的汽车有a（1≤a≤10）辆，装运乙种蔬菜的汽车有b辆，则装运丙种蔬菜的汽车有（3a﹣a﹣b）辆，
根据题意得：2a+b+2.5（30﹣a﹣b）＝48，
整理得：1.5b＝27﹣0.5a，
∴b＝18−13a，
∵要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆，
∴1≤a≤10，
∴1423≤b≤1723，b为整数，
设总利润为w（百元），
∴w＝10a+7b+2.5×4×（30﹣a﹣b）＝﹣3b+300，
∵k＝﹣3＜0，
∴w随b的增大而减小，
∴当b＝15时，w取得最大值，最大值为﹣3×15+300＝255（百元）＝25500（元），
此时15＝18−13a，
∴a＝9，
∴30﹣a﹣b＝6，
∴应安排用9辆汽车装运甲种蔬菜，15辆汽车装运乙种蔬菜，6辆汽车装运丙种蔬菜，最大利润25500元．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用、一次函数的应用、二元一次方程的应用，理清题意，找出等量关系列出方程和函数关系式是解题关键．
12．（2023•耿马县一模）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策．该省的A市有120吨物资，B市有130吨物资．经过调研发现该省的甲乡需要140吨物资，乙乡需要110吨物资．于是决定由A、B两市负责援助甲、乙两乡、已知从A市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/吨、150元/吨，从B市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/吨、100元/吨．
（1）设从A市往甲乡运送x吨物资，从A、B两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为y元，求y与x的函数解析式．
（2）请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费．
【分析】（1）根据A市的120吨物资运往甲乡x吨，运往乙乡（120﹣x）吨，B市的130吨物资运往甲乡（140﹣x）吨，运往乙乡（x﹣10）吨的费用求和，即可确定y与x的函数关系式；
（2）根据一次函数的性质即可确定运费最低的运送方案和最低运费．
【解答】解：（1）y＝300x+150（120﹣x）+200（140﹣x）+100（110﹣120+x）＝50x+45000，
∵x≥0，120﹣x≥0，140﹣x≥0，x﹣10≥0，
∴x的取值范围是10≤x≤120，
∴y与x的函数解析式为y＝50x+45000（10≤x≤120）；
（2）∵50＞0，
∴y随着x增大而增大，
当x＝10时，y取得最小值，最小值为50×10+45000＝45500（元），
此时从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，
答：运费最低的运送方案是：从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运送130吨物资物资，从B市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据题意建立一次函数关系式是解题的关键．
压轴题
1．（2023•南山区二模）应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台．
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱．
【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为1.1x元，根据用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台，列方程求解；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，列不等式组求解．
【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为1.1x元，
根据题意得，33001.1x+5=4500x，
解得x＝300，
经检验，x＝300是原方程的根，
300×1.1＝330（元）．
故每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元；
（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60﹣m）个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得，
y=330m+300(60−m)60−m≤2m，
解得y＝30m+18000（m≥20），
∵k＝30＞0，
∴y随x的增大而增大，
当m＝20时，y＝18600（元）．
故购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解．
2．（2023•大庆一模）大庆市为了筹建第五届旅发大会，建设滨水绿道，围绕“以河连湖，以绿串蓝”的理念，秉承“惠及民生、全民共享”的初心，串起一河五湖，沿黎明河主轴线纵伸延展，采用上跨立交和下穿通行的方式，建成一个全长35公里的滨水生态慢行系统．小东与父亲每天在某区段匀速慢跑，以600m距离为一个训练段．已知父子俩起点终点均相同，约定先到终点的人原地休息等待另一人．已知小东先出发20s，如图，两人之间的距离y与父亲出发的时间x之间的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）小东的速度为 m/s、父亲的速度为 m/s；
（2）求出点A坐标和BC所在直线的解析式；
（3）直接写出整个过程中，哪个时间段内，父子两人之间距离超过了100m．
【分析】（1）由路程除以时间可得小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s）；
（2）父亲追上小捷所需时间为403−2=40（s），即得A的坐标为（40，0），求出B坐标是（200，160），C的坐标为（280，0），用待定系数法可得BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；
（3）求出直线AB解析式为y＝x﹣40，解x﹣40＞100得x＞140，解﹣2x+560＞100得x＜230，即可得140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．
【解答】解：（1）由函数图象可得：
小捷的速度为40÷20＝2（m/s），父亲的速度为600÷200＝3（m/s），
故答案为：2，3；
（2）父亲追上小捷所需时间为403−2=40（s），
∴A的坐标为（40，0），
当父亲出发的时间x＝200s时，两人之间的距离y＝200×3﹣（200+20）×2＝160（m），
∴B坐标是（200，160），
小捷到达终点所需时间为6002=300（s），300﹣20＝280，
∴C的坐标为（280，0），
设BC所在直线的解析式为y＝kx+b，把B（200，160），C（280，0）代入得：
200k+b=160280k+b=0，
解得k=−2b=560，
∴BC所在直线的解析式为y＝﹣2x+560；
（3）由A（40，0），B（200，160）可得直线AB解析式为y＝x﹣40，
当x﹣40＞100得x＞140，
当﹣2x+560＞100得x＜230，
∴当140＜x＜230时，父女两人之间距离超过了100m．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
3．（2023春•萨尔图区校级月考）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元．
（1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？
（2）该商店计划再次购进两种练习本500本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍．已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本m个，获得的利润为W元；
①求W关于m的函数关系式，并求出自变量m的取值范围；
②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额+100精装练习本销售额＝1450元；200本普通练习本销售额+50精装练习本销售额＝1100元，列出方程组，求出即可；
（2）①购买普通练习本x个，则购买精装练习本（500﹣m）个，根据总利润＝普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式，然后再求出自变量x的取值范围即可；
②根据一次函数的性质和x的取值范，可以得到商店应如何进货才能使销售总利润最大，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，
由题意可得：150m+100n=1450200m+50n=1100，
解得m=3n=10，
答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元；
（2）①购买普通练习本m个，则购买精装练习本（500﹣m）个，
由题意可得：W＝（3﹣2）m+（10﹣7）（500﹣m）＝﹣2m+1500，
∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，
∴m≥3（500﹣m），
解得x≥375，
即W关于x的函数关系式是；W＝﹣2m+1500（375≤m≤500）；
②∵W＝﹣2m+1500，
∴W随x的增大而减小，
∵375≤m≤500，
∴当m＝375时，W取得最大值，此时W＝750，500﹣m＝125，
答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式．
4．（2023•丰润区模拟）某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙种蔬菜每千克获利1.5元．该店计划一次购进这两种蔬菜共60千克，并能全部售出．设该店购进甲种蔬菜x千克，销售这60千克蔬菜获得的总利润为y元．
（1）求y与x的关系式；
（2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的32，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多少千克时，获得的总利润最大？
（3）由于蔬菜自身的特点，有13的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是a元（a＞0）．若获得的总利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）设该店购进甲种蔬菜x千克，则该店购进乙种蔬菜（56﹣x）千克，根据题意可得y与x的关系式；
（2）根据乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的32，列不等式得出x的取值范围，根据一次函数的性质即可求解；
（3）根据题意可得y与x的关系式，再根据获得的总利润随x的增大而减小，根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设该店购进甲种蔬菜x千克，则该店购进乙种蔬菜（60﹣x）千克，
依题意，得：y＝1.1x+1.5（60﹣x）＝﹣0.4x+90，
∴y与x的关系式为y＝﹣0.4x+90；
（2）依题意，得：60﹣x≤32x，
解得：x≥24．
∵24≤x＜60，
∵y＝﹣0.4x+90，k＝﹣0.4＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝24时，y取得最大值，最大值为﹣0.4×24+90＝80.4，
∴该店购进甲种蔬菜24千克，
乙种蔬菜60﹣24＝36（千克），
答：该店购进甲种蔬菜24千克，乙种蔬菜36千克时，获得的总利润最大；
（3）有13的乙种蔬菜需要保鲜处理，每千克的保鲜费用是a元（a＞0），
则y＝﹣0.4x+90−13a（60﹣x）＝（13a﹣0.4）x+90﹣20a，
∵获得的总利润y随x的增大而减小，
∴13a﹣0.4＜0，
解得：a＜1.2．
∴a的取值范围为0＜a＜1.2．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．
5．（2023•东新区校级模拟）2022年岁末，随着“新十条”的颁布，各地疫情防控政策逐步放开，为加强个人防护，卫生部门建议居民外出佩戴N95口罩，某口罩厂为抓住商机，组织人员科技更新，购买甲乙两种原材科进行生产，该厂计划购买甲，乙两种原材科共1000吨，已知甲种原材料每吨250元，乙种原材科每吨300元，通过调查了解，甲，乙同种原材料的利用率分别是90%和95%．
（1）若购买这两种原材料共用去280000元，则甲、乙两种原材料各购买多少吨？
（2）要使这批原材料的利用率不低于92%，则甲种原材料最多购买多少吨？
（3）在（2）的条件下，应如何选购原材料，使购买原材料的费用最低？并求出最低费用．
【分析】（1）根据甲，乙两种原材科共1000吨，两种原材料共用去280000元，这两个条件列出二元一次方程组，解出即可；
（2）根据这批原材料的利用率不低于92%，列出不等式，解出即可；
（3）设购买原材料的费用为w元．根据题意，得w＝250a+300（1000﹣a），利用函数性质求最小值．
【解答】解：（1）设甲种原材料购买x吨，乙种原材料购买y吨．
根据题意，得x+y=1000250x+300y=280000，
解得x=400y=600，
答：甲、乙两种原材料各购买400吨和600吨．
（2）设甲种原材料购买a吨，乙种原材料购买（1000﹣a）吨．
90%a+95%（1000﹣a）≥92%×1000，
解得a≤600，
答：甲种原材料最多购买600吨．
（3）设购买原材料的费用为w元．
根据题意，得w＝250a+300（1000﹣a）
＝﹣50a+300000，
∵﹣50＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵a≤600，
∴a＝600时，w有最小值，
w最小＝﹣50×600+300000＝270000（元），
1000﹣600＝400（吨），
∴当甲种原材料购买600吨，乙种原材料购买400吨时，购买原材料的费用最低，并求出最低费用
270000元．
【点评】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，利用函数性质求最小值是解题关键．
6．（2023•许昌一模）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
【分析】（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，根据购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元，列二元一次方程组，求解即可；
（2）①根据给定的购买方案分别列出函数关系式即可；
②当80x+1000＞85x+680时，当80x+1000＝85x+680时，当80x+1000＜85x+680时，分别求解即可确定哪种合算．
【解答】解：（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，
根据题意，得5m+10n=130010m+5n=1400，
解得m=100n=80，
答：A品牌篮球的单价为100元，B品牌篮球的单价为80元；
（2）①方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+10×80＝100x+800，
当x＞10时，y＝100×10+100×0.8（x﹣10）+80×10＝80x+1000，
方案二：y＝100×0.85x+80×0.85×10＝85x+680，
∴方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+800；当x＞10时，y＝80x+1000；
方案二：y＝85x+680；
②当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算，理由如下：
∵x＞10，
当80x+1000＞85x+680时，x＜64，此时方案二合算；
当80x+1000＝85x+680时，x＝64，此时两种方案费用相同；
当80x+1000＜85x+680时，x＞64，此时方案一合算，
∴当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立函数关系式是解题的关键．
7．（2023春•河南期中）4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：
方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；
方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的优惠．
设小明当天购书标价总额为x（x＞50）元，方案一应付y1元，方案二应付y2元．
（1）当x＝150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；
（2）直接写出y1，y2与x的函数关系式；
（3）小明如何选择购书方案才更划算？
【分析】（1）当x＝150时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可；
（2）根据题意给出的等量关系即可求出答案；
（3）根据y关于x的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．
【解答】解：（1）当x＝150时，
方案一：150×0.8＝120（元），
方案二：50+150×0.8×0.75＝50+90＝140（元），
∵120＜140，
∴小明用方案一购书更划算；
（2）方案一：y1＝0.8x；
方案二：y2＝50+0.8×0.75x＝0.6x+50；
∴y1与x的函数关系式为y1＝0.8x；y2与x的函数关系式为y2＝0.6x+50；
（3）当y1＞y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＞250；
当y1＜y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＜250；
当y1＝y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＝250．
∴当x＜250时，方案一更划算；当x＞250时，方案二更划算；当x＝250时，方案一、方案二一样划算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
8．（2023•衡水模拟）202年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元．
（1）求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润为多少；
（3）在（2）的条件下，该商店对A品牌足球以每个优惠a（15＜a＜25）元的价格进行“双十二”促销活动，B品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为4240元，请直接写出a的值．
【分析】（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和10个B品牌足球的利润和为700元，销售10个A品牌和5个B品牌足球的利润和为800元”得方程组，解方程组即得；
（2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；
②由已知条件可得关于x的不等式组，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润；
（3）在（2）的条件下，由题意列出关于a的方程，解出a即可．
【解答】（1）设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元；
根据题意，得5m+10n=70010m+5n=800，
解得m=60n=40，
答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；
（2）商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．
①由题意知，y＝60x+40（100﹣x）＝20x+4000，
∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+4000；
②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，
则x≥60x≤4(100−x)，
解得：60≤x≤80，
在y＝20x+4000中，
∵20＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝80时，y取得最大值，最大值为20×80+4000＝5600，
即最大利润为5600元；
（3）在（2）的条件下60≤x≤80，总利润y＝（20﹣a）x+4000，
当20﹣a＞0时，y随x的增大而增大，
∴x＝80，y最大为4240，
解得a＝17；
当20﹣a＜0时，y随x的增大而减小，
∴x＝60，y最大为4240，
解得a＝16，
∵促销，
∴a＝17．
【点评】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．
9．（2023•虎林市校级一模）我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满．
根据表格中提供的信息，解答以下问题：
（1）设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式；
（2）如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案？
（3）在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案？求出最大利润．
【分析】（1）等量关系为：车辆数之和＝20，由此可得出x与y的关系式；
（2）利用装运每种水果的车辆数都不少于4辆可列三个不等式，然后解不等式组，再写出整数x的值即可得到方案；
（3）根据总利润为：装运A种水果的车辆数×6×12+装运B种水果的车辆数×5×16+装运C种水果的车辆数×4×10得W＝﹣4800x+160000，由k＝﹣4800＜0，可知W随x的增大而减小，进而可知当x＝4时，W最大，即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意，得6x+5y+4（20﹣x﹣y）＝100．
∴y＝﹣2x+20．
（2）由题意可得：x≥4−2x+20≥420−x−(−2x+20)≥4．
解得4≤x≤8．
∵x为整数，
∴x可取整数为4，5，6，7，8．
共有五种方案如下：
方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果；
方案二：5辆车装运A种水果，10辆车装运B种水果，5辆车装运C种水果；
方案三：6辆车装运A种水果，8辆车装运B种水果，6辆车装运C种水果；
方案四：7辆车装运A种水果，6辆车装运B种水果，7辆车装运C种水果；
方案五：8辆车装运A种水果，4辆车装运B种水果，8辆车装运C种水果．
（3）设获利为W元．
20﹣x﹣y＝x，
W＝6x×1200×5（﹣2x+20）×1600+4x×1000＝﹣4800x+160000．
∵k＝﹣4800＜0，
∴W随x的增大而减小．
∴x＝4时，W最大．
W最大＝﹣4800×4+160000＝140800．
∴选择（2）中的方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果，获利最多为140800元．
【点评】本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装运的几种方案是解决本题的关键．
10．（2023•包头一模）为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲，乙两种石材．经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积 x（m2） 间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．
（1）求y与x间的函数解析式；
（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材设购买两种石材的总费用为w元，请直接写出w与x间的函数解析式；
（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过 乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的使用面积才能使总费用最少？总费用最少为多少元？
【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）根据（1）的结论，即可得出w与x间的函数解析式．
（3）根据实际意义可以确定x的范围，结合（2）的结论，利用一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤300时，设y＝kx，
∵点（300，24000）在该函数图象上，
∴24000＝300k，
解得k＝80，
即当0≤x≤300时，y＝80x；
当x＞300时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
∵点（300，24000），（500，30000）在该函数图象上，
∴300a+b=24000500a+b=3000，
解得a=30b=15000，
即当x＞300时，y与x的函数关系式为y＝30x+15000，
由上可得：y与x间的函数解析式为y=80x(0≤x≤300)30x+15000(x＞300)；
（2）当0≤x≤300时，w＝80x+50（600﹣x）＝30x+30000；
当300＜x＜600时，w＝30x+15000+50（600﹣x），
即w＝﹣20x+45000；
∴w与x间的函数解析式为w=30x+30000(0≤x≤300)−20x+45000(300＜x＜600)；
（3）根据题意得x＞300x≤2(600−x)，
∴300＜x≤400，
由（2）知w＝﹣20x+45000，
∵k＝﹣20＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝400时，w最小，最小值为37000，
此时600﹣x＝200，
答：甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．
11．（2023春•涡阳县期中）某水产市场，需要把海鲜产品运送全国各地，若用5辆甲车和3辆乙车一次性可运送370吨，若用4辆甲车和7辆乙车一次性可运送480吨．
（1）求每辆甲车和每辆乙车一次可以分别运输多少吨海鲜产品；
（2）为了保证海鲜的鲜活度，及时把产品运送到销售地，该市场负责人计划用20辆甲乙两种同时运送，若运送的海鲜产品不少于955吨．
①至少需要用几辆甲车？
②已知每辆甲车运送一次费用为3000元，每辆乙车运送一次费用为2000元，且总费用不多于58800元，求哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【分析】（1）设每辆甲车一次运输x吨海鲜产品，每辆乙车一次运输y吨海鲜产品，然后根据若用5辆甲车和3辆乙车一次性可运送370吨；若用4辆甲车和7辆乙车一次性可运送480吨列出方程组，最后解方程组即可；
（2）①设需要用α辆甲车，用α表示出需要用乙车的数量，然后根据运送的海鲜产品不少于955吨列出不等式，最后解不等式即可；
②根据题意得费用w＝1000a+40000，然后根据总费用不多于58800元求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）设每辆甲车一次运输x吨海鲜产品，每辆乙车一次运输y吨海鲜产品，
∵若用5辆甲车和3辆乙车一次性可运送370吨，若用4辆甲车和7辆乙车一次性可运送480吨，
∴5x+3y=3704x+7y=480，
解得x=50y=40，
∴每辆甲车一次运输50吨海鲜产品，每辆乙车一次运输40吨海鲜产品；
（2）①设需要用α辆甲车，则需要用（20﹣a）辆乙车，
∵运送的海鲜产品不少于955吨，
∴50a+40 （20﹣a）≥955，
解得a≥15.5，
∴至少需要用16辆甲车；
②∵每辆甲车运送一次费用为3000元，每辆乙车运送一次费用为2000元，总费用w元，
w＝3000a+2000 （20﹣a）＝1000a+40000，
∵总费用不多于58800元，
∴3000a+2000 （20﹣a）≤58800，
∴a≤18.8，
∵15.5≤a≤18.8，
∵1000＞0，
∴w随a的减小而减小，
∴a＝16时，w有最小值，最小值为1000×16+40000＝56000，
∴这时20﹣a＝4，
∴用16辆甲车，4辆乙车时，费用最少，最少费用是56000元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出解析式或方程组．
12．（2023春•砀山县校级期中）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买A型和B型两种公交车，其中每台的价格、年载客量如表：
若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求a，b的值；
（2）计划购买A型和B型两种公交车共10辆，如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次．问有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案使得购车总费用最少？最少费用是多少万元？
【分析】（1）利用总价＝单价×数量，结合“购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据购买A型公交车8辆，B型公交车2辆，设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车（10﹣m）辆，根据“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于720万人次”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出m的值，得出购买方案；
（3）设购车总费用为w万元，根据总费用＝购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值．
【解答】解：（1）依题意得：a+2b=4002a+b=350，
解得：a=100b=150，
答：a的值为100，b的值为150；
（2）设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车（10﹣m）辆，
依题意得：100m+150(10−m)≤120060m+100(10−m)≥720，
解得：6≤m≤7，
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，
∴有两种购买方案，
方案一：购买A型公交车6辆，购买B型公交车4辆；
方案二：购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆；
（3）设购车总费用为w万元，
则w＝100m+150（10﹣m）＝﹣50m+1500，
∵﹣50＜0，6≤m≤7且m为整数，
∴当m＝7时，w最小，最小值为﹣50×7+1500＝1150（元），
∴购车总费用最少的方案是购买A型公交车7辆，购买B型公交车3辆，购车总费用为1150万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确列出函数解析式．
每亩需投入（万元）
每亩可获利（万元）
A种鲜花
2
0.8
B种鲜花
4
1.2
石子馍
油酥角
进价（元/盒）
10
15
售价（元/盒）
25
35
A款10英寸智能手机
B款10英寸智能手机
进货价格（元）
1400
1500
销售价格（元）
今年的销售价格
1800
离开家的时间（单位：min）
5
10
15
22
53
离家的距离（单位：km）
2.9
1.5
0
种类
A种配件
B种配件
进价（元/件）
a
80
售价（元/件）
300
100
甲
乙
丙
每辆汽车能装的吨数
2
1
2.5
每吨蔬菜可获利润（百元）
5
7
4
水果品种
A
B
C
每辆汽车运载量/吨
6
5
4
每吨水果获利/百元
12
16
10
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
年载客量（万人/年）
60
100
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