人教版八年级数学下册同步精讲精练专题利用勾股定理解决折叠问题(原卷版+解析)
展开题型一利用勾股定理解决三角形中的折叠问题
【例题1】(2021•西城区校级模拟)如图,Rt△ABC中,AB=18,BC=12,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( )
A.8B.6C.4D.10
【变式1-1】如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,点D是边BC上一点,若沿将△ACD翻折,点C刚好落在边上点E处,则BD等于( )
A.2B.52C.3D.103
【变式1-2】如图所示,有一块直角三角形纸片,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为AD,则CE的长为( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
【变式1-3】(2021•鞍山一模)如图的三角形纸片中,AB=8,BC=6,AC=5,沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则△AED的周长是( )
A.7B.8C.11D.14
【变式1-4】(2021秋•高邮市期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点D、E分别在AC、BC边上.现将△DCE沿DE翻折,使点C落在点H处.连接AH,则AH长度的最小值为( )
A.0B.2C.4D.6
【变式1-5】(2022秋•秦淮区校级月考)如图,将三角形纸片ABC沿AD折叠,使点C落在BD边上的点E处.若BC=12,BE=2,则AB2﹣AC2的值为( )
A.20B.22C.24D.26
【变式1-6】(2022•天津模拟)如图,Rt△ABC中,AB=8,BC=6,∠B=90°,M,N分别是边AC,AB上的两个动点.将△ABC沿直线MN折叠,使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处,则线段BN的长为( )
A.3B.53C.3或53D.3或154
【变式1-7】(2022•平果市模拟)如图,在△ABC中,AC=5,BC=8,∠C=60°,BD=3,点D在边BC上,连接AD,如果将△ABD沿AD翻折后,点B的对应点为点E,那么点E到直线DC的距离为( )
A.332B.4C.32D.52
【变式1-8】(2023•沙坪坝区校级开学)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,点D、E分别在AC边和AB边上,沿着直线DE翻折△ADE,点A落在BC边上,记为点F,如果CF=2,则BE的长为( )
A.6B.52C.322D.722
【变式1-9】如图,在△ABC中,D为BC中点,连接AD,把△ABD沿着AD折叠得到△AED,连接EC,若DE=5,EC=6,AB=42,则线段AD的长是( )
A.4B.5C.6D.7
【变式1-10】(2022秋•南海区校级月考)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=22,点D在AC上,将△ABD沿BD折叠,点A落在点A'处,A'B与AC相交于点E,则A'E的最大值为( )
A.22B.83C.163D.8﹣32
【变式1-11】如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,连接AD,把△ACD沿AD翻折,得到△ADC′,DC′与AB交于点E,连接BC′,若BD=BC′=2,AD=3,则点D到AC′的距离( )
A.332B.3217C.7D.13
【变式1-12】(2020春•沙坪坝区校级月考)如图,在△ABC中,∠ACB=120°,AC=6,BC=3,将边BC沿CE翻折,使点B落在AB上的点D处,再将边AC沿CF翻折,使点A落在CD的延长线上的点A′处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段CF的长为( )
A.3B.3721C.377D.6721
题型二 利用勾股定理解决长方形中的折叠问题
【例题2】(2021春•东昌府区期末)如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上F处,则EF的长是( )
A.3B.245C.5D.8916
【变式2-1】如图,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点F处,求AE的长.
【变式2-3】(2021秋•锦江区期末)如图,长方形ABCD中,AB=5,AD=25,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则BE的长为( )
A.12B.8C.10D.13
【变式2-4】(2021春•栾城区期末)如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,将矩形沿BD折叠,点A落在点E处,DE与BC交于点F,则重叠部分△BDF的面积是( )
A.20B.16C.12D.10
【变式2-5】(2021•斗门区一模)如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF的长为 .
【变式2-6】(2021秋•历城区期末)如图,已知长方形纸片ABCD,点E在边AB上,且BE=4,BC=6,将△CBE沿直线CE翻折,使点B落在点G,延长EG交CD于点F,则线段FG的长为 .
【变式2-7】如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,把矩形折叠,使点D与点B重合,点C落在点E处,则折痕FG的长为( )
A.2.5B.3C.5D.25
【变式2-8】如图,在矩形ABCD中,连接BD,将△ABD沿BD进行折叠,使得点A落到点M处,DM交BC于点N,若AB=2,BD=5,则MN的长度为( )
A.172142B.172121C.1721D.3421
【变式2-9】(2022秋•梅县区校级期末)如图是一张矩形纸片ABCD,点E,G分别在边BC,AB上,把△DCE沿直线DE折叠,使点C落在对角线BD上的点F处;把△DAG沿直线DG折叠,使点A落在线段DF上的点H处,HF=1,BF=8,则矩形ABCD的面积为( )
A.420B.360C.4202D.3602
【变式2-10】(2022春•柯桥区期末)在矩形ABCD中,将边AB翻折到对角线BD上,点A落在点M处,折痕BE交AD于点E.将边CD翻折到对角线BD上,点C落在点N处,折痕DF交BC于点F.AB=5,MN=3,则BC的长( )
A.5B.12或 26C.12D.12或13
题型三 利用勾股定理解决正方形中的折叠问题
【例题3】(2021春•永嘉县校级期末)如图,将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是( )
A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm
【变式3-1】(2022•宽城区一模)如图,将正方形纸片ABCD折叠,使顶点B落在边AD上的点E处,折痕交AB于点F,交CD于点G,若AE=1,∠AFE=30°,则AB的长为( )
A.2B.1+3C.23D.2+3
【变式3-2】(2022春•桂林期末)如图,正方形ABCD的边长为4,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH,若BE:EC=3:1,则线段CH的长是( )
A.3B.158C.1D.2
【变式3-3】(2022春•大连月考)如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E是CD边的中点,将该纸片折叠,使点B与点E重合,折痕交AD,BC边于点M,N,连接ME,NE.则ME的长为 .
【变式3-4】(2022春•荔城区校级月考)如图,在边长为7的正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为AD边上一点,连接AE、EF,将△ABE沿EF折叠,使点A恰好落在CD边上的A′处,若A′D=2,则B′E的长度为( )
A.2714B.137C.2514D.2
【变式3-5】如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD=4cm,则CF的长为( )cm
A.6﹣25B.6﹣23C.32D.54
【变式3-6】(2022春•社旗县期末)如图,点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上,连接AE,BF,沿BF所在直线折叠该纸片,点A恰好落在线段AE上点G处.若正方形纸片边长12,DE=5,则GE的长为( )
A.4913B.5013C.4D.3
【变式3-7】(2022春•长清区期末)如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N,AD=4,则CH的长为( )
A.52B.65C.34D.54
【变式3-8】(2022秋•和平区期末)如图,已知正方形ABCD面积为2,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为( )
A.2B.2C.8D.42
【变式3-9】(2022春•满洲里市校级期末)如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,将△AED沿着AE翻折得到△AEF,点D的对应点F恰好落在对角线AC上,连接BF.若EF=2,则BF2=( )
A.42+4B.6+42C.12D.8+42
【变式3-10】如图,正方形ABCD中,CD=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.
(1)求证:△ABG≌△AFG;
(2)求GC的长;
(3)求△FGC的面积.
八年级下册数学《第十七章 勾股定理》
专题 利用勾股定理解决折叠问题
题型一利用勾股定理解决三角形中的折叠问题
【例题1】(2021•西城区校级模拟)如图,Rt△ABC中,AB=18,BC=12,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( )
A.8B.6C.4D.10
【分析】设BN=x,则由折叠的性质可得DN=AN=18﹣x,根据中点的定义可得BD=6,在Rt△BND中,根据勾股定理可得关于x的方程,解方程即可求解.
【解答】解:设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=18﹣x,
∵D是BC的中点,
∴BD=6,
在Rt△NBD中,x2+62=(18﹣x)2,
解得x=8.
即BN=8.
故选:A.
【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),折叠的性质,勾股定理,中点的定义以及方程思想,综合性较强.
【变式1-1】如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,点D是边BC上一点,若沿将△ACD翻折,点C刚好落在边上点E处,则BD等于( )
A.2B.52C.3D.103
【分析】由勾股定理可知BC=4.由折叠的性质得:AE=AC=3,DE=DC,∠AED=∠C=90˚,设BD=x,由勾股定理可得出答案.
【解答】解:∵∠C=90°,AC=3,AB=5,
∴BC=AB2−AC2=52−32=4,
设 BD=x,则DC=4﹣x,
由折叠可知DE=DC=4﹣x,AE=AC=3,∠AED=∠C=90°,
∴BE=AB﹣AE=2.
在 Rt△BDE 中,BD2=BE2+DE2,
∴x2=22+(4﹣x)2,
解得:x=52,
即BD=52.
故选:B.
【点评】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理,主要利用了翻折前后的两个图形对应边相等,对应角相等,利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键.
【变式1-2】如图所示,有一块直角三角形纸片,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为AD,则CE的长为( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出,根据折叠的性质知,AE=AB,已知AC的长,可将CE的长求出.
【解答】解:在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=82+62=10,
根据折叠的性质可知:AE=AB=10
∵AC=8
∴CE=AE﹣AC=2
即CE的长为2
故选:B.
【点评】此题考查翻折问题,将图形进行折叠后,两个图形全等,是解决折叠问题的突破口.
【变式1-3】(2021•鞍山一模)如图的三角形纸片中,AB=8,BC=6,AC=5,沿过点B的直线折叠这个三角形,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则△AED的周长是( )
A.7B.8C.11D.14
【分析】根据翻折变换的性质得到DC=DE,BE=BC,根据已知求出AE的长,根据三角形周长公式计算即可.
【解答】解:由折叠的性质可知,DC=DE,BE=BC=6,
∵AB=8,∴AE=AB﹣BE=2,
△AED的周长为:AD+AE+DE=AC+AE=7,
答:△AED的周长为7.
故选:A.
【点评】本题考查的是翻折变换的知识,掌握翻折变换的性质、找准对应关系是解题的关键.
【变式1-4】(2021秋•高邮市期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点D、E分别在AC、BC边上.现将△DCE沿DE翻折,使点C落在点H处.连接AH,则AH长度的最小值为( )
A.0B.2C.4D.6
【分析】当H落在AB上,点D与B重合时,AH长度的值最小,根据勾股定理得到AB=10cm,由折叠的性质知,BH=BC=6cm,于是得到结论.
【解答】解:当H落在AB上,点D与B重合时,AH长度的值最小,
∵∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=10cm,
由折叠的性质知,BH=BC=6cm,
∴AH=AB﹣BH=4cm.
故选:C.
【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),勾股定理,熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
【变式1-5】(2022秋•秦淮区校级月考)如图,将三角形纸片ABC沿AD折叠,使点C落在BD边上的点E处.若BC=12,BE=2,则AB2﹣AC2的值为( )
A.20B.22C.24D.26
【分析】根据折叠,可得AC=AE,ED=CD,∠ADE=90°,根据勾股定理可得AB2=AD2+BD2,AE2=AD2+DE2,根据AB2﹣AC2=AB2﹣AE2=BD2﹣DE2=(BD+DE)(BD﹣DE)=BC•BE,求解即可.
【解答】解:根据折叠,可得AC=AE,ED=CD,∠ADE=90°,
在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AB2=AD2+BD2,
在Rt△AED中,根据勾股定理,得AE2=AD2+DE2,
∴AB2﹣AC2=AB2﹣AE2=BD2﹣DE2=(BD+DE)(BD﹣DE)=BC•BE,
∵BC=12,BE=2,
∴AB2﹣AC2=12×2=24,
故选:C.
【点评】本题考查了折叠问题,勾股定理等,熟练掌握折叠变换是解题的关键.
【变式1-6】(2022•天津模拟)如图,Rt△ABC中,AB=8,BC=6,∠B=90°,M,N分别是边AC,AB上的两个动点.将△ABC沿直线MN折叠,使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处,则线段BN的长为( )
A.3B.53C.3或53D.3或154
【分析】由题意可知BD=2或BD=4,分两种情况由勾股定理可得出答案.
【解答】解:∵D为BC的三等分点,
∴BD=2或BD=4,
由折叠可知AN=DN,
∴AN=8﹣BN,
当BD=2时,
在Rt△BDN中,DN2=BD2+BN2,
∴(8﹣BN)2=4+BN2,
∴BN=154;
当BD=4时,
在Rt△BDN中,DN2=BD2+BN2,
∴(8﹣BN)2=4+BN2,
∴BN=3;
综上所述:BN的长为3或154,
故选:D.
【点评】本题考查折叠的性质,熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键.
【变式1-7】(2022•平果市模拟)如图,在△ABC中,AC=5,BC=8,∠C=60°,BD=3,点D在边BC上,连接AD,如果将△ABD沿AD翻折后,点B的对应点为点E,那么点E到直线DC的距离为( )
A.332B.4C.32D.52
【分析】先证△ACD是等边三角形,可得∠ADC=60°,由折叠的性质可得∠ADB=∠ADE=120°,BD=ED=3,由直角三角形的性质可求解.
【解答】解:如图,过点E作EN⊥BC于N,
∵BC=8,BD=3,
∴CD=5,
∵AC=5,
∴AC=DC,
又∵∠ACB=60°,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ADC=60°,
∴∠ADB=120°,
∵将△ABD沿AD翻折后,点B的对应点为点E,
∴∠ADB=∠ADE=120°,BD=ED=3,
∴∠EDC=60°,
∵EN⊥BC,
∴∠DEN=30°,
∴DN=12DE=32,NE=3DN=332,
∴点E到直线DC的距离为332,
故选:A.
【点评】本题考查了翻折变换,等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
【变式1-8】(2023•沙坪坝区校级开学)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,点D、E分别在AC边和AB边上,沿着直线DE翻折△ADE,点A落在BC边上,记为点F,如果CF=2,则BE的长为( )
A.6B.52C.322D.722
【分析】过F作FG⊥AB于点G.先求出AB=62,BF=6﹣2=4,则FG=GB=22BF=22,所以AG=AB﹣BG=62−22=42,设AE=x,则根据折叠的性质得出EF=x,EG=42−x,在Rt△EGF中,EG2+FG2=EF2,利用勾股定理解列出(42−x)2+(22)2=x2,解得x=522,即求出BE.
【解答】解:过F作FG⊥AB于点G,如图,
∵∠C=90°,AC=BC=6,CF=2,
∴AB=62,BF=6﹣2=4,
∴FG=GB=22BF=22,
∴AG=AB﹣BG=62−22=42,
设AE=x,则EF=AE=x,EG=42−x,
在Rt△EGF中,EG2+FG2=EF2,
即(42−x)2+(22)2=x2,
解得x=522,
∴BE=AB﹣AE=62−522=722,
故选:D.
【点评】本题考查翻折变换,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是熟练运用勾股定理,属于中考常考题型.
【变式1-9】如图,在△ABC中,D为BC中点,连接AD,把△ABD沿着AD折叠得到△AED,连接EC,若DE=5,EC=6,AB=42,则线段AD的长是( )
A.4B.5C.6D.7
【分析】连接BE交AD于点F,由折叠的性质得出BD=DE,AD⊥BE,求出BE的长,可求出AF,DF的长,则可得出答案.
【解答】解:连接BE交AD于点F,
∵把△ABD沿着AD折叠得到△AED,
∴BD=DE,AD⊥BE,
∵D为BC的中点,
∴BD=CD,
∴BD=CD=DE,
∴△BEC为直角三角形,∠BEC=90°,
∵CE=6,BC=10,
∴BE=BC2−CE2=8,
∵∠BEC=∠BFD=90°,
∴DF∥CE,
∴BF=EF=4,DF=12CE=3,
∵AB=42,
∴AF=AB2−BF2=4,
∴AD=AF+DF=7,
故选:D.
【点评】此题考查了直角三角形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理.熟练掌握折叠的性质是解题的关键.
【变式1-10】(2022秋•南海区校级月考)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=22,点D在AC上,将△ABD沿
BD折叠,点A落在点A'处,A'B与AC相交于点E,则A'E的最大值为( )
A.22B.83C.163D.8﹣32
【分析】首先利用勾股定理求出AC,然后确定A'E取最大值时BE最小,然后利用垂线段最短解决问题.
【解答】解:∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=22,
∴AC=AB2+BC2=62,
∵A'E=A′B﹣BE,A′B=AB=8,
∴当BE最小时,A'E最大,
当BE⊥AC时BE最小,
而S△ABC=12×AB×BC=12×BE×AC,
∴BE的最小值为83,
∴A'E的最大值为8−83=163.
故选:C.
【点评】本题考查了翻折变换,灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题的关键.
【变式1-11】如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,连接AD,把△ACD沿AD翻折,得到△ADC′,DC′与AB交于点E,连接BC′,若BD=BC′=2,AD=3,则点D到AC′的距离( )
A.332B.3217C.7D.13
【分析】连接CC',交AD于点M,过点D作DH⊥AC'于点H,由翻折知,△ADC≌△ADC',AD垂直平分CC',证△BDC'为等边三角形,利用解直角三角形求出DM=1,C'M=3DM=3,AM=2,在Rt△AMC'中,利用勾股定理求出AC'的长,在△ADC'中利用面积法求出DH的长.
【解答】解:如图,连接CC',交AD于点M,过点D作DH⊥AC'于点H,
∵BD=BC′=2,D是AC边上的中点,
∵BD=DC=2,
由翻折知,△ADC≌△ADC',AD垂直平分CC',
∴DC=DC'=2,AC=AC',CM=C'M,
∴BD=BC′=DC'=2,
∴△BDC'为等边三角形,
∴∠BDC'=∠BC'D=∠C'BC=60°,
∵DC=DC',
∴∠DCC'=∠DC'C=12×60°=30°,
在Rt△C'DM中,
∠DC'C=30°,DC'=2,
∴DM=1,C'M=3,
∴AM=AD﹣DM=3﹣1=2,
在Rt△AMC'中,
AC'=AM2+CM2=7,
∵S△ADC′=12AC'•DH=12AD•CM,
∴7DH=3×3,
∴DH=3217.
故选:B.
【点评】本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,勾股定理等,解题关键是会通过面积法求线段的长度.
【变式1-12】(2020春•沙坪坝区校级月考)如图,在△ABC中,∠ACB=120°,AC=6,BC=3,将边BC沿CE翻折,使点B落在AB上的点D处,再将边AC沿CF翻折,使点A落在CD的延长线上的点A′处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段CF的长为( )
A.3B.3721C.377D.6721
【分析】过点A作AH⊥BC交BC的延长线于H,由直角三角形的性质可求HC=12AC=3,AH=3HC=33,由勾股定理可求AB的长,由面积法可求CE的长,由折叠的性质可求∠BEC=∠DEC=90°,∠BCE=∠DCE,∠ACF=∠DCF,即可求解.
【解答】解:如图,过点A作AH⊥BC,交BC的延长线于H,
∵∠ACB=120°,∠ACB=∠H+∠HAC,
∴∠HAC=30°,
∴HC=12AC=3,AH=3HC=33,
∴BH=6,
∴AB=AH2+BH2=27+36=37,
∵S△ACB=12×BC×AH=12×AB×CE,
∴33×3=37×CE,
∴CE=3217,
∵将边BC沿CE翻折,使点B落在AB上的点D处,再将边AC沿CF翻折,
∴∠BEC=∠DEC=90°,∠BCE=∠DCE,∠ACF=∠DCF,
∴∠ECF=12∠ACB=60°,
∴∠CFE=30°,
∴CF=2CE=6217,
故选:D.
【点评】本题考查了折叠的性质,勾股定理,直角三角形的性质,添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键.
题型二 利用勾股定理解决长方形中的折叠问题
【例题2】(2021春•东昌府区期末)如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上F处,则EF的长是( )
A.3B.245C.5D.8916
【分析】由折叠可得BF=AB=6,AE=EF,可求DF=4,根据勾股定理可求EF的长.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD=8,∠A=90°
∵AB=6,AD=8
∴BD=AB2+AD2=10
∵将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上F处
∴AB=BF=6,AE=EF,∠A=∠BFE=90°
∴DF=4
Rt△DEF中,DE2=EF2+DF2
(8﹣AE)2=AE2+16
∴AE=3即EF=3
故选:A.
【点评】本题考查了折叠问题,矩形的性质,利用勾股定理求线段的长度是本题的关键.
【变式2-1】如图,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点F处,求AE的长.
【分析】由折叠性质得出DF=AD=5,EF=EA,EF⊥BD,在Rt△BAD中,由勾股定理求出BD,求出BF,根据勾股定理得出关于x的方程,求出x即可.
【解答】解:由折叠性质可知:DF=AD=5,EF=EA,EF⊥BD,
在Rt△BAD中,由勾股定理得:
BD=AD2+AB2=52+122=13,
则BF=BD﹣DF=13﹣5=8,
设AE=EF=x,
则BE=12﹣x,
在Rt△BEF中,由勾股定理可知:EF2+BF2=BE2,
即x2+82=(12﹣x)2,
解得:x=103,
即AE=103.
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点,能根据题意得出关于x的方程是解此题的关键.
【变式2-3】(2021秋•锦江区期末)如图,长方形ABCD中,AB=5,AD=25,将此长方形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则BE的长为( )
A.12B.8C.10D.13
【分析】根据折叠可得:BE=DE,在直角△ABE中,利用勾股定理可以即可求出BE.
【解答】解:将此长方形折叠,使点B与点D重合,
∴BE=ED.
∵AD=25cm=AE+DE=AE+BE.
∴AE=25﹣BE,
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2.
∴52+(25﹣BE)2=BE2,
解得BE=13,
故选:D.
【点评】本题考查了折叠的性质以及勾股定理的应用,掌握折叠的性质及方程思想的应用是解此题的关键.
【变式2-4】(2021春•栾城区期末)如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,将矩形沿BD折叠,点A落在点E处,DE与BC交于点F,则重叠部分△BDF的面积是( )
A.20B.16C.12D.10
【分析】由折叠可得∠ADB=∠BDE,由题意可证∠DBC=∠BDE,则可得∠BDE=∠DBC即DF=BF,在Rt△DFC中,根据勾股定理可列方程,解得DF的长度,即可求△BDF的面积.
【解答】解:∵折叠,
∴∠ADB=∠BDE,BE=AB=4,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC=8,CD=AB=4,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠BDE=∠DBC,
∴BF=DF,
在Rt△DFC中,DF2=FC2+CD2,
∴DF2=(8﹣DF)2+16,
∴DF=5,
∴S△BDF=12DF×BE=10,
故选:D.
【点评】本题考查了折叠问题,矩形的性质,关键是根据勾股定理列出方程.
【变式2-5】(2021•斗门区一模)如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF的长为 .
【分析】设AF=xcm,则DF=(8﹣x)cm,利用矩形纸片ABCD中,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,由勾股定理求AF即可.
【解答】解:设AF=xcm,则DF=(8﹣x)cm,
∵矩形纸片ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,
∴DF=D′F,
在Rt△AD′F中,∵AF2=AD′2+D′F2,
∴x2=42+(8﹣x)2,
解得:x=5(cm).
故答案为:5cm
【点评】本题考查了图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键.
【变式2-6】(2021秋•历城区期末)如图,已知长方形纸片ABCD,点E在边AB上,且BE=4,BC=6,将△CBE沿直线CE翻折,使点B落在点G,延长EG交CD于点F,则线段FG的长为 .
【分析】由折叠的性质可得BE=GE=4,∠CEB=∠CEG,BC=CG=6,∠B=∠CGE=90°,由勾股定理可求解.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,∠B=90°,
∵将△CBE沿直线CE翻折,
∴BE=GE=4,∠CEB=∠CEG,BC=CG=6,∠B=∠CGE=90°,
∵CD∥AB,
∴∠DCE=∠CEB,
∴∠DCE=∠CEG,
∴EF=FC,
∵FC2=FG2+CG2,
∴(FG+4)2=FG2+36,
∴FG=52,
故答案为:52.
【点评】本题考查了翻折变换,矩形的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,掌握折叠的性质是解题的关键.
【变式2-7】如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,把矩形折叠,使点D与点B重合,点C落在点E处,则折痕FG的长为( )
A.2.5B.3C.5D.25
【分析】先连接BD,在Rt△ABD中,求得BD的长,在Rt△ABE中运用勾股定理求得BF的长,即可得到DF长,最后在Rt△DOF中求得FO的长,即可得到FG的长.
【解答】解:如图,连接BD,交EF于O,则由轴对称的性质可知,FG垂直平分BD,
Rt△ABD中,BD=AD2+AB2=25
∴DO=5,
由折叠可得,∠BFO=∠DFO,
由AD∥BC可得,∠DFO=∠BGO,
∴∠BFO=∠BGO,
∴BF=BG,即△BFG是等腰三角形,
∴BD平分FG,
设BF=DF=x,则AF=4﹣x,
在Rt△ABF中,(4﹣x)2+22=x2,
解得x=52,即DF=52,
∴Rt△DOF中,OF=DF2−DO2=52,
∴FG=2FO=5.
故选:C.
【点评】本题是折叠问题,主要考查了折叠的性质,勾股定理以及矩形的性质的综合应用,解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解.本题也可以运用面积法求得FO的长.
【变式2-8】如图,在矩形ABCD中,连接BD,将△ABD沿BD进行折叠,使得点A落到点M处,DM交BC于点N,若AB=2,BD=5,则MN的长度为( )
A.172142B.172121C.1721D.3421
【分析】先根据勾股定理求得AD的长,再设MN=x,求得BN=DN=21−x,最后在Rt△BMN中根据勾股定理列出关于x的方程,求得x的值即可.
【解答】解:在矩形ABCD中,AB=2,BD=5,∠A=90°,
∴AD=52−22=21,BM=2,
∴DM=21,
设MN=x,则DN=21−x,
由题得,∠ADB=∠MDB,∠ADB=∠DBC,
∴∠MDB=∠DBC,
∴BN=DN=21−x,
在Rt△BMN中,BM2+MN2=BN2
∴22+x2=(21−x)2
解得x=172142,
即MN的长度为172142.
故选:A.
【点评】本题以折叠问题为背景,主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用,解决问题的关键是依据直角三角形的三边数量关系,列出关于x的方程求得线段的长,这是方程思想的应用.
【变式2-9】(2022秋•梅县区校级期末)如图是一张矩形纸片ABCD,点E,G分别在边BC,AB上,把△DCE沿直线DE折叠,使点C落在对角线BD上的点F处;把△DAG沿直线DG折叠,使点A落在线段DF上的点H处,HF=1,BF=8,则矩形ABCD的面积为( )
A.420B.360C.4202D.3602
【分析】由折叠的性质得HD=AD,FD=CD,设AD=x,则HD=x,得AB=CD=x+1,BD=x+9,再在Rt△ABD中,由勾股定理得出方程,解方程,即可解决问题.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠A=90°,
由折叠的性质得:HD=AD,FD=CD,
设AD=x,则HD=x,
∴AB=CD=FD=HD+HF=x+1,
∴BD=FD+BF=x+9,
在Rt△ABD中,由勾股定理得:x2+(x+1)2=(x+9)2,
解得:x=20或x=﹣4(舍去),
∴AD=20,AB=21,BD=x+9=29,
∴矩形ABCD的面积=AD•AB=20×21=420,
故选:A.
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识,熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.
【变式2-10】(2022春•柯桥区期末)在矩形ABCD中,将边AB翻折到对角线BD上,点A落在点M处,折痕BE交AD于点E.将边CD翻折到对角线BD上,点C落在点N处,折痕DF交BC于点F.AB=5,MN=3,则BC的长( )
A.5B.12或 26C.12D.12或13
【分析】分两种情况:点M在线段AN时,点M在线段DN上时,由折叠性质和线段和差分别求得BD,进而由勾股定理求得BC.
【解答】解:当点M在线段AN上时,如下图,
由折叠性质得AB=BM=BC=DN=5,
∴BD=BM+MN+DN=13,
∵∠C=90°,
∴BC=BD2−CD2=132−52=12;
当点M点在线段DN上时,如下图,
由折叠性质得AB=BM=BC=DN=5,
∴MD=DN﹣MN=5﹣3=2,
∴BD=AM+DM=5+2=7,
∵∠C=90°,
∴BC=BD2−CD2=72−52=26;
综上,BC=12或26,
故选:B.
【点评】本题主要考查了矩形的性质,折叠性质,勾股定理,关键是由折叠性质求得BD的长度.
题型三 利用勾股定理解决正方形中的折叠问题
【例题3】(2021春•永嘉县校级期末)如图,将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是( )
A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm
【分析】根据折叠的性质,只要求出DN就可以求出NE,在直角△CEN中,若设CN=x,则DN=NE=8﹣x,CE=4cm,根据勾股定理就可以列出方程,从而解出CN的长.
【解答】解:由题意设CN=x cm,则EN=(8﹣x)cm,
又∵CE=12DC=4cm,
∴在Rt△ECN中,EN2=EC2+CN2,即(8﹣x)2=42+x2,
解得:x=3,即CN=3cm.
故选:D.
【点评】本题考查翻折变换的问题,折叠问题其实质是轴对称,对应线段相等,对应角相等,找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键.
【变式3-1】(2022•宽城区一模)如图,将正方形纸片ABCD折叠,使顶点B落在边AD上的点E处,折痕交AB于点F,交CD于点G,若AE=1,∠AFE=30°,则AB的长为( )
A.2B.1+3C.23D.2+3
【分析】先求出AF和EF的长,再根据翻折变换的知识得到EF=BF,进而求出AB的长.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=90°,
∵AE=1,∠AFE=30°,
∴EF=2,
∴AF=3,
∵正方形纸片ABCD折叠,使顶点B落在边AD上的点E处,
∴EF=BF,
∴BF=2,
∴AB=AF+BF=2+3,
故选:D.
【点评】本题主要考查了翻折变换以及正方形的性质,解题的关键是根据翻折变换得到EF=BF,此题难度不大.
【变式3-2】(2022春•桂林期末)如图,正方形ABCD的边长为4,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH,若BE:EC=3:1,则线段CH的长是( )
A.3B.158C.1D.2
【分析】由折叠的性质得DH=EH,设CH=x,则DH=EH=4﹣x,再由BE:EC=3:1得CE=2,然后由勾股定理列出方程,解方程即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠C=90°,BC=CD=4,
由折叠的性质得:EH=DH,
设CH=x,则DH=EH=4﹣x,
∵BE:EC=3:1,
∴CE=14BC=1,
在Rt△ECH中,由勾股定理得:EH2=EC2+CH2,
即(4﹣x)2=12+x2,
解得:x=158,
即CH=158.
故选:B.
【点评】本题主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识,熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质,由勾股定理得出方程是解题的关键.
【变式3-3】(2022春•大连月考)如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E是CD边的中点,将该纸片折叠,使点B与点E重合,折痕交AD,BC边于点M,N,连接ME,NE.则ME的长为 .
【分析】连接BM,由折叠性质可得ME=BE,由正方形的性质可得∠A=∠D=90°,由勾股定理可得BM2=AB2+AM2,ME2=DE2+DM2,设AM=x,则DM=4﹣x,即可求解.
【解答】解:如图,连接BM,
∵四边形ABCD为正方形,AB=4,
∴∠A=∠D=90°,AD=CD=AB=4,
∵点E是CD边的中点,
∴DE=2,
在Rt△ABM和Rt△DEM中,由勾股定理可得:
BM2=AB2+AM2,ME2=DE2+DM2,
设AM=x,则DM=4﹣x,
∴BM2=42+x2,ME2=22+(4﹣x)2,
由折叠性质可得ME=BE,
∴42+x2=22+(4﹣x)2,
解得:x=12,
∴DM=AD﹣AM=72,
∴ME=DM2+DE2=(72)2+22=652,
故答案为:652.
【点评】本题考查正方形的性质,折叠的性质,勾股定理,解题的关键是明确折叠前后对应图形全等.
【变式3-4】(2022春•荔城区校级月考)如图,在边长为7的正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为AD边上一点,连接AE、EF,将△ABE沿EF折叠,使点A恰好落在CD边上的A′处,若A′D=2,则B′E的长度为( )
A.2714B.137C.2514D.2
【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得AB=BC=CD=7,∠B=∠C=90°,A'C=CD﹣A'D=5,AE=AE',BE=B'E,由勾股定理可求B'E的长度.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=7,∠B=∠C=90°,
∴A'C=CD﹣A'D=5,
∵△ABE沿EF折叠,使点A恰好落在CD边上的A′处,
∴AE=A'E,BE=B'E,
在Rt△ABE中,AE2=AB2+BE2,
在Rt△A'CE中,A'E2=A'C2+EC2,
∴49+BE2=25+(7﹣BE)2,
∴BE=2514=B'E,
故选:C.
【点评】本题考查了正方形的性质,折叠的性质,勾股定理,利用勾股定理列出方程是解决问题的关键.
【变式3-5】如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD=4cm,则CF的长为( )cm
A.6﹣25B.6﹣23C.32D.54
【分析】设BF=x,则FG=x,CF=4﹣x,在Rt△GEF中,利用勾股定理可得EF2=(25−4)2+x2,在Rt△FCE中,利用勾股定理可得EF2=(4﹣x)2+22,从而得到关于x方程,求解x,最后用4﹣x即可.
【解答】解:设BF=x,则FG=x,CF=4﹣x.
在Rt△ADE中,利用勾股定理可得AE=25.
根据折叠的性质可知AG=AB=4,所以GE=25−4.
在Rt△GEF中,利用勾股定理可得EF2=(25−4)2+x2,
在Rt△FCE中,利用勾股定理可得EF2=(4﹣x)2+22,
所以(25−4)2+x2=(4﹣x)2+22,
解得x=25−2.
则FC=4﹣x=6﹣25.
故选:A.
【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理.折叠问题主要是抓住折叠的不变量,在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键.
【变式3-6】(2022春•社旗县期末)如图,点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上,连接AE,BF,沿BF所在直线折叠该纸片,点A恰好落在线段AE上点G处.若正方形纸片边长12,DE=5,则GE的长为( )
A.4913B.5013C.4D.3
【分析】由折叠及轴对称的性质可知,△ABF≌△GBF,BF垂直平分AG,先证△ABF≌△DAE,推出AF的长,再利用勾股定理求出BF的长,最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长,可进一步求出AG的长,GE的长.
【解答】解:设BF与AE的交点为H,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD=12,∠BAD=∠D=90°,
由折叠及轴对称的性质可知,△ABF≌△GBF,BF垂直平分AG,
∴BF⊥AE,AH=GH,
∴∠BAH+∠ABH=90°,
又∵∠FAH+∠BAH=90°,
∴∠ABH=∠FAH,
∴△ABF≌△DAE(ASA),
∴AF=DE=5,
∴BF=122+52=13,
∵S△ABF=12AB•AF=12BF•AH,
∴12×5=13AH,
∴AH=6013,
∴AG=2AH=12013,
∵AE=BF=13,
∴GE=AE﹣AG=13−12013=4913.
故选:A.
【点评】本题考查了正方形的性质,轴对称的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,面积法求线段的长度等,解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质.
【变式3-7】(2022春•长清区期末)如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N,AD=4,则CH的长为( )
A.52B.65C.34D.54
【分析】设DH=x,表示出CH,再根据翻折变换的性质表示出DE、EH,然后利用勾股定理列出方程求出x,即可得出答案.
【解答】解:设DH=x,CH=2﹣x,
由翻折的性质,DE=12AD=2,EH=CH=4﹣x,
在Rt△DEH中,DE2+DH2=EH2,
即22+x2=(4﹣x)2,
解得x=32,
∴CH=4﹣x=52;
故选:A.
【点评】本题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,设出DH边长,然后利用勾股定理列出方程是解题的关键.
【变式3-8】(2022秋•和平区期末)如图,已知正方形ABCD面积为2,将正方形ABCD沿直线EF折叠,则图中阴影部分的周长为( )
A.2B.2C.8D.42
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质,可以将图中阴影部分的周长表示出来,然后根据正方形ABCD面积为2,即可求得图中阴影部分的周长.
【解答】解:设EF交AB于点G,交CD于点O,A′D′交AB于点H,交BC于点M,OD′交BC于点N,
由图可知:A′G+GB=AG+GB=AB=2,A′D′=AD=2,BC=2,CD=DO+OC+D′O+OC=CD=2,
∴阴影部分的周长为:(A′G+GH+HA′)+(HB+BM+HM)+(MN+MD′+D′N)+(NC+CO+NO)
=A′G+GH+HA′+HB+BM+HM+MN+MD′+D′N+NC+CO+NO
=(A′G+GH+HB)+(HA′+HM+MD′)+(BM+MN+NC)+(D′N+NO+CO)
=AB+A′D′+BC+CD
=2+2+2+2
=42,
故选:D.
【点评】本题考查正方形的性质、折叠变化,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
【变式3-9】(2022春•满洲里市校级期末)如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,将△AED沿着AE翻折得到△AEF,点D的对应点F恰好落在对角线AC上,连接BF.若EF=2,则BF2=( )
A.42+4B.6+42C.12D.8+42
【分析】点F作FG⊥BC交于G点,设正方形的边长为x,则AC=2x,由折叠可知,DE=EF,AD=AF,∠D=∠DFA=90°,可得DE=2,EC=x﹣2,在Rt△EFC中,由勾股定理可得(x﹣2)2=4+(2x﹣x)2,解得x,即为正方形的边长为22+2,再求出FC=2,由∠ACB=45°,可求FG=CG=2,BG=2+2,在Rt△BFG中,由勾股定理可得BF2=(2+2)2+2=8+42.
【解答】解:过点F作FG⊥BC交于G点,
由折叠可知,DE=EF,AD=AF,∠D=∠DFA=90°,
设正方形的边长为x,
∵EF=2,
∴DE=2,EC=x﹣2,AC=2x,
在Rt△EFC中,EC2=FE2+FC2,
∴(x﹣2)2=4+(2x﹣x)2,
解得x=22+2,
∴FC=2x﹣x=2,
∵∠ACB=45°,
∴FG=CG=2,
∴BG=2+2,
在Rt△BFG中,BF2=BG2+GF2=(2+2)2+2=8+42,
故选:D.
【点评】本题考查正方形的性质,翻折的性质,熟练掌握翻折的性质,灵活应用勾股定理是解题的关键.
【变式3-10】如图,正方形ABCD中,CD=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.
(1)求证:△ABG≌△AFG;
(2)求GC的长;
(3)求△FGC的面积.
【分析】(1)利用翻折变换对应边关系得出AB=AF,∠B=∠AFG=90°,利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可;
(2)利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2,进而求出BG即可;
(3)首先过C作CM⊥GF于M,由勾股定理以及由面积法得,CM=2.4,进而得出答案.
【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,AD=AB=BC=CD,∠D=∠B=∠BCD=90°,
∵将△ADE沿AE对折至△AFE,
∴AD=AF,DE=EF,∠D=∠AFE=90°,
∴AB=AF,∠B=∠AFG=90°,
又∵AG=AG,
在Rt△ABG和Rt△AFG中,
AG=AGAB=AF,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL);
(2)解:∵CD=3DE,
∴DE=2,CE=4,
设BG=x,则CG=6﹣x,GE=x+2,
∵GE2=CG2+CE2,
∴(x+2)2=(6﹣x)2+42,
解得x=3,
∴CG=6﹣3=3;
(3)解:如图,过C作CM⊥GF于M,
∵BG=GF=3,
∴CG=3,EC=6﹣2=4,
∴GE=32+42=5,
CM•GE=GC•EC,
∴CM×5=3×4,
∴CM=2.4,
∴S△FGC=12GF×CM=12×3×2.4=3.6.
【点评】本题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质,根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键.
人教版八年级数学下册同步精讲精练专题用勾股定理解决最短路径问题(原卷版+解析): 这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练专题用勾股定理解决最短路径问题(原卷版+解析),共39页。试卷主要包含了用计算法求平面中的最短问题,用平移法求平面中的最短问题,用对称法求平面的最短问题,用展开图求长方体中的最短问题,用展开图求圆柱体的最短问题等内容,欢迎下载使用。
人教版八年级数学下册同步精讲精练专题勾股定理与赵爽弦图问题(基础题&提升题&压轴题)(原卷版+解析): 这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练专题勾股定理与赵爽弦图问题(基础题&提升题&压轴题)(原卷版+解析),共63页。
人教版八年级数学下册同步精讲精练专题与平行四边形有关的折叠问题(原卷版+解析): 这是一份人教版八年级数学下册同步精讲精练专题与平行四边形有关的折叠问题(原卷版+解析),共43页。试卷主要包含了平行四边形中的折叠问题等内容,欢迎下载使用。