山东省高中名校2024届高三上学期12月统一调研考试数学

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数学试题
2023.12
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，则（ ）
A B.
C. D.
2. 已知直线和平面，满足，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 复数满足，则的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
4. 已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（ ）
A. 6B. 3C. D.
5. 已知函数部分图象，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则下列结论错误的是（ ）
A. 是周期函数
B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于对称
D. 方程在有2个相异实根
7 已知，则有（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，当时，，则在上的零点个数为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 21
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，下列结论正确的是（ ）
A. 对任意实数
B. 若，则
C. 若，则的最小值是
D. 若，则
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 在上的最小值为
B. 的图象与轴有3个公共点
C. 的图象关于点对称
D. 的图象过点的切线有3条
11. 如图，长方形中，为的中点，现将沿向上翻折到的位置，连接，在翻折的过程中，以下结论正确的是（ ）
A. 存在点，使得
B. 四棱锥体积的最大值为
C. 的中点的轨迹长度为
D. 与平面所成的角相等
12. 设为平面内个点，平面内到点的距离之和最小的点，称为点的“优点”.例如，线段上的任意点都是端点的优点.则有下列命题为真命题的有：（ ）
A. 若三个点共线，在线段上，则是的优点
B. 若四个点共线，则它们的优点存在且唯一
C. 若四个点能构成四边形，则它们的优点存在且唯一
D. 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是______.
14. 已知，则______.
15. 已知圆锥的母线长为（定值），当圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角大小为______.
16. 已知内角分别为，且满足，则的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 记的内角的对边分别为，已知.
（1）求：
（2）若，求面积.
18. 已知函数.
（1）若在处的切线垂直于直线，求的方程；
（2）讨论的单调性.
19. 已知数列是公比不相等的两个等比数列，令.
（1）证明：数列不是等比数列；
（2）若，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20. 如图，在四棱台中，底面为平行四边形，，侧棱底面为棱上的点..
（1）求证：；
（2）若为的中点，为棱上的点，且，求平面与平面所成角的余弦值.
21. 已知数列前项和为，且对任意的正整数与的等差中项为.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
22. 已知函数，其导函数为.
（1）若在不是单调函数，求实数的取值范围；
（2）若在恒成立，求实数的最小整数值.