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初中数学浙教版八年级下册1.1 二次根式精练
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这是一份初中数学浙教版八年级下册1.1 二次根式精练，共20页。
1.理解同类二次根式的定义；
1.掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法
2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算
3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算
【知识点梳理】
知识点1： 同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
知识点2： 二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【典例分析】
【考点1：同类二次根式】
【典例1】（2021秋•嘉定区期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022秋•社旗县期中）下列式子中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022秋•闵行区校级期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022春•东莞市期中）若最简根式与是同类二次根式，则m＝ ．
【考点2：二次根式的加减】
【典例2-1】（2022春•东莞市期中）计算．
【典例2-2】（2022春•富川县期末）计算：﹣3+．
【变式2-1】（2022秋•农安县期中）计算：﹣．
【变式2-2】（2022秋•蒸湘区校级月考）计算：．
【变式2-3】（2022秋•通州区期中）计算：3﹣+．
【变式2-4】（2022春•东莞市期中）计算．
【考点3：二次根式混合运算】
【典例3】（2022秋•雁塔区月考）计算：
×+（）0﹣|﹣2|； （2）（+1）（﹣1）+（1﹣）；
（3）÷﹣×+； （4）﹣3+．
【变式3-1】（2021秋•镇海区期末）计算：
×÷； （2）（﹣）×；
（3）﹣+．
【变式3-2】（2022秋•沙坪坝区校级期中）计算：
（1）2+﹣3； （2）﹣4+÷．
【考点4：二次根式化简求值】
【典例4】（2022春•广州期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）（x+y）2；
（2）x2﹣y2．
【变式4-1】（2022春•广州期中）已知：x＝，y＝，求xy2﹣x2y的值．
【变式4-2】式4-（2022春•莆田期末）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值
（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．
声明：试题【变式4-2】【变
【典例5-1】（2021秋•毕节市月考）先化简，后求值：（a+）（a﹣）﹣a（a﹣2），其中a＝3．
【典例5-2】（2021春•连山区期中）给出以下式子：（﹣）÷，先简化，然后从﹣1，2，2+2三个数中，选个合适的数代入求值．
【变式5-1】（2022秋•长泰县期中）先化简，再求值：，其中：．
【变式5-2】（2021秋•丹江口市期末）（1）已知x＝+1，y＝﹣1，求x2y﹣xy2的值；
（2）先化简，再求值：，其中，m＝﹣2．
【变式5-3】（2022春•隆安县期末）先化简，再求值：（x+）（x﹣）﹣x（x﹣6）+9，其中x＝﹣1．
【考点5：二次根式应用】
【典例6】（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
【变式6-1】（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
【变式6-2】（2022秋•社旗县期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
【变式6-3】（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【变式6-4】（2021春•城厢区期末）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦﹣秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．如图，在△ABC中，a＝8，b＝4，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值．
专题1.4 二次根式的加减（知识解读）
【学习目标】
1.理解同类二次根式的定义；
1.掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法
2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算
3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算
【知识点梳理】
知识点1： 同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
知识点2： 二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【典例分析】
【考点1：同类二次根式】
【典例1】（2021秋•嘉定区期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：＝3．
A、＝3，3与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
B、＝2，2与3的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
C、＝，与3被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
D、＝2，2与与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意．
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•社旗县期中）下列式子中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：A、＝＝2，与是同类二次根式，符合题意；
B、＝，与不是同类二次根式，不符合题意；
C、（）2＝5，与不是同类二次根式，不符合题意；
D、＝＝，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：A．
【变式1-2】（2022秋•闵行区校级期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：＝3，
A、与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
B、＝2，2与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
C、＝4，4与3被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
D、＝2，2与与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意．
故选：C．
【变式1-3】（2022春•东莞市期中）若最简根式与是同类二次根式，则m＝ ．
【答案】2
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴﹣2m+9＝5m﹣5，
解得m＝2，
故答案为：2
【考点2：二次根式的加减】
【典例2-1】（2022春•东莞市期中）计算．
【解答】解：
＝4﹣5+4﹣2
＝﹣+2．
【典例2-2】（2022春•富川县期末）计算：﹣3+．
【解答】解：原式＝4﹣+2＝．
【变式2-1】（2022秋•农安县期中）计算：﹣．
解答】解：原式＝2﹣2﹣3+3
＝﹣．
【变式2-2】（2022秋•蒸湘区校级月考）计算：．
【解答】解：
＝6
＝10．
【变式2-3】（2022秋•通州区期中）计算：3﹣+．
【解答】解：原式＝6﹣3+
＝．
【变式2-4】（2022春•东莞市期中）计算．
【解答】解：
＝4﹣5+4﹣2
＝﹣+2．
【考点3：二次根式混合运算】
【典例3】（2022秋•雁塔区月考）计算：
（1）×+（）0﹣|﹣2|； （2）（+1）（﹣1）+（1﹣）；
（3）÷﹣×+； （4）﹣3+．
【解答】解：（1）×+（）0﹣|﹣2|
＝2×2+1﹣（2﹣）
＝4+1﹣2+
＝5﹣1；
（2）（+1）（﹣1）+（1﹣）
＝5﹣1+﹣5
＝﹣1；
（3）÷﹣×+
＝4﹣+2
＝4+；
（4）﹣3+
＝2﹣3×+2
＝2﹣+2
＝+2．
【变式3-1】（2021秋•镇海区期末）计算：
（1）×÷；
（2）（﹣）×；
（3）﹣+．
【解答】解：（1）×÷
＝
＝
＝4；
（2）（﹣）×
＝（3﹣）×2
＝6﹣6；
（3）﹣+
＝﹣+
＝﹣++
＝﹣．
【变式3-2】（2022秋•沙坪坝区校级期中）计算：
（1）2+﹣3；
（2）﹣4+÷．
【解答】解：（1）2+﹣3
＝10+2﹣9
＝3；
（2）﹣4+÷
＝3﹣2+2
＝3．
【考点4：二次根式化简求值】
【典例4】（2022春•广州期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）（x+y）2；
（2）x2﹣y2．
【解答】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，
∴（x+y）2
＝（2）2
＝12；
（2）∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，x﹣y＝2，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝2×2
＝4．
【变式4-1】（2022春•广州期中）已知：x＝，y＝，求xy2﹣x2y的值．
【解答】解：∵x＝，y＝，
∴xy＝1，y﹣x＝2，
∴xy2﹣x2y
＝xy（y﹣x）
＝1×2
＝2．
【变式4-2】式4-（2022春•莆田期末）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值
（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．
【解答】解：（1）当x＝+3，y＝﹣3时，
x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝[（+3）﹣（﹣3）]2＝62＝36；
（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝[（+3）+（﹣3）][（+3）﹣（﹣3）]＝2×6＝12
声明：试题【变式4-2】【变
【典例5-1】（2021秋•毕节市月考）先化简，后求值：（a+）（a﹣）﹣a（a﹣2），其中a＝3．
【解答】解：原式＝a2﹣5﹣a2+2a
＝2a﹣5，
当a＝3时，
原式＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
【典例5-2】（2021春•连山区期中）给出以下式子：（﹣）÷，先简化，然后从﹣1，2，2+2三个数中，选个合适的数代入求值．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝•
＝，
由题意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0，
则x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1，
∴当时
原式＝．
【变式5-1】（2022秋•长泰县期中）先化简，再求值：，其中：．
【解答】解：
＝a2﹣3﹣a2+4a
＝4a﹣3，
当时，原式＝4×（+1）﹣3＝4+4﹣3＝4+1．
【变式5-2】（2021秋•丹江口市期末）（1）已知x＝+1，y＝﹣1，求x2y﹣xy2的值；
（2）先化简，再求值：，其中，m＝﹣2．
【解答】解：（1）x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），
原式＝
＝1×2
＝2；
（2）原式＝
＝
＝，
当m＝﹣2时，
原式＝．
【变式5-3】（2022春•隆安县期末）先化简，再求值：（x+）（x﹣）﹣x（x﹣6）+9，其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝x2﹣3﹣x2+6x+9
＝6x+6，
当x＝﹣1时，原式＝6（x+1）＝6．
【考点5：二次根式应用】
【典例6】（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，
∴这两个正方形的边长分别为2dm和3dm，
∴原矩形木板的面积为3（2+3）＝45（dm2）；
（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：
∵2≈3.464，≈1.732，
3.46÷1≈3（块），
1.73÷1.5≈1（块），
3×1＝3（块）．
∴从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．
【变式6-1】（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：（cm3），
答：长方体盒子的容积为18cm3；
（2）长方体盒子的侧面积为：（cm2），
答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2．
【变式6-2】（2022秋•社旗县期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
【解答】解：将h＝78.4，g＝9.8代入公式t＝，
得：t＝＝4，
答：落到地面所用时间为4s．
【变式6-3】（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【解答】解：（1）（+）×2
＝（8+5）×2
＝13×2
＝26（米），
答：矩形ABCD的周长为26米；
（2）×﹣2×（+1）×（﹣1）
＝8×5﹣2×（13﹣1）
＝80﹣24
＝56（平方米），
6×56＝336（元），
答：购买地砖需要花费336元．
【变式6-4】（2021春•城厢区期末）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦﹣秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．如图，在△ABC中，a＝8，b＝4，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值．
【解答】解．（1）根据题意知p＝＝9，
所以S＝，
∴△ABC的面积为3；
（2）∵S＝ch1＝bh2＝ah3＝3，
∴×6h1＝×4h2＝×8h3＝3，
∴h1＝，h2＝，h3＝，
∴h1+h2+h3＝．
1.理解同类二次根式的定义；
1.掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法
2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算
3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算
【知识点梳理】
知识点1： 同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
知识点2： 二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【典例分析】
【考点1：同类二次根式】
【典例1】（2021秋•嘉定区期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022秋•社旗县期中）下列式子中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022秋•闵行区校级期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022春•东莞市期中）若最简根式与是同类二次根式，则m＝ ．
【考点2：二次根式的加减】
【典例2-1】（2022春•东莞市期中）计算．
【典例2-2】（2022春•富川县期末）计算：﹣3+．
【变式2-1】（2022秋•农安县期中）计算：﹣．
【变式2-2】（2022秋•蒸湘区校级月考）计算：．
【变式2-3】（2022秋•通州区期中）计算：3﹣+．
【变式2-4】（2022春•东莞市期中）计算．
【考点3：二次根式混合运算】
【典例3】（2022秋•雁塔区月考）计算：
×+（）0﹣|﹣2|； （2）（+1）（﹣1）+（1﹣）；
（3）÷﹣×+； （4）﹣3+．
【变式3-1】（2021秋•镇海区期末）计算：
×÷； （2）（﹣）×；
（3）﹣+．
【变式3-2】（2022秋•沙坪坝区校级期中）计算：
（1）2+﹣3； （2）﹣4+÷．
【考点4：二次根式化简求值】
【典例4】（2022春•广州期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）（x+y）2；
（2）x2﹣y2．
【变式4-1】（2022春•广州期中）已知：x＝，y＝，求xy2﹣x2y的值．
【变式4-2】式4-（2022春•莆田期末）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值
（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．
声明：试题【变式4-2】【变
【典例5-1】（2021秋•毕节市月考）先化简，后求值：（a+）（a﹣）﹣a（a﹣2），其中a＝3．
【典例5-2】（2021春•连山区期中）给出以下式子：（﹣）÷，先简化，然后从﹣1，2，2+2三个数中，选个合适的数代入求值．
【变式5-1】（2022秋•长泰县期中）先化简，再求值：，其中：．
【变式5-2】（2021秋•丹江口市期末）（1）已知x＝+1，y＝﹣1，求x2y﹣xy2的值；
（2）先化简，再求值：，其中，m＝﹣2．
【变式5-3】（2022春•隆安县期末）先化简，再求值：（x+）（x﹣）﹣x（x﹣6）+9，其中x＝﹣1．
【考点5：二次根式应用】
【典例6】（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
【变式6-1】（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
【变式6-2】（2022秋•社旗县期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
【变式6-3】（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【变式6-4】（2021春•城厢区期末）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦﹣秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．如图，在△ABC中，a＝8，b＝4，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值．
专题1.4 二次根式的加减（知识解读）
【学习目标】
1.理解同类二次根式的定义；
1.掌握合并化简后被开方数相同的最简二次根式的方法
2.掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算
3.能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算
【知识点梳理】
知识点1： 同类二次根式
同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
知识点2： 二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
知识点3：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【典例分析】
【考点1：同类二次根式】
【典例1】（2021秋•嘉定区期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：＝3．
A、＝3，3与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
B、＝2，2与3的被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
C、＝，与3被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
D、＝2，2与与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意．
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•社旗县期中）下列式子中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：A、＝＝2，与是同类二次根式，符合题意；
B、＝，与不是同类二次根式，不符合题意；
C、（）2＝5，与不是同类二次根式，不符合题意；
D、＝＝，与不是同类二次根式，不符合题意；
故选：A．
【变式1-2】（2022秋•闵行区校级期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：＝3，
A、与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
B、＝2，2与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；
C、＝4，4与3被开方数相同，是同类二次根式，符合题意；
D、＝2，2与与3的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意．
故选：C．
【变式1-3】（2022春•东莞市期中）若最简根式与是同类二次根式，则m＝ ．
【答案】2
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴﹣2m+9＝5m﹣5，
解得m＝2，
故答案为：2
【考点2：二次根式的加减】
【典例2-1】（2022春•东莞市期中）计算．
【解答】解：
＝4﹣5+4﹣2
＝﹣+2．
【典例2-2】（2022春•富川县期末）计算：﹣3+．
【解答】解：原式＝4﹣+2＝．
【变式2-1】（2022秋•农安县期中）计算：﹣．
解答】解：原式＝2﹣2﹣3+3
＝﹣．
【变式2-2】（2022秋•蒸湘区校级月考）计算：．
【解答】解：
＝6
＝10．
【变式2-3】（2022秋•通州区期中）计算：3﹣+．
【解答】解：原式＝6﹣3+
＝．
【变式2-4】（2022春•东莞市期中）计算．
【解答】解：
＝4﹣5+4﹣2
＝﹣+2．
【考点3：二次根式混合运算】
【典例3】（2022秋•雁塔区月考）计算：
（1）×+（）0﹣|﹣2|； （2）（+1）（﹣1）+（1﹣）；
（3）÷﹣×+； （4）﹣3+．
【解答】解：（1）×+（）0﹣|﹣2|
＝2×2+1﹣（2﹣）
＝4+1﹣2+
＝5﹣1；
（2）（+1）（﹣1）+（1﹣）
＝5﹣1+﹣5
＝﹣1；
（3）÷﹣×+
＝4﹣+2
＝4+；
（4）﹣3+
＝2﹣3×+2
＝2﹣+2
＝+2．
【变式3-1】（2021秋•镇海区期末）计算：
（1）×÷；
（2）（﹣）×；
（3）﹣+．
【解答】解：（1）×÷
＝
＝
＝4；
（2）（﹣）×
＝（3﹣）×2
＝6﹣6；
（3）﹣+
＝﹣+
＝﹣++
＝﹣．
【变式3-2】（2022秋•沙坪坝区校级期中）计算：
（1）2+﹣3；
（2）﹣4+÷．
【解答】解：（1）2+﹣3
＝10+2﹣9
＝3；
（2）﹣4+÷
＝3﹣2+2
＝3．
【考点4：二次根式化简求值】
【典例4】（2022春•广州期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）（x+y）2；
（2）x2﹣y2．
【解答】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，
∴（x+y）2
＝（2）2
＝12；
（2）∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝2，x﹣y＝2，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝2×2
＝4．
【变式4-1】（2022春•广州期中）已知：x＝，y＝，求xy2﹣x2y的值．
【解答】解：∵x＝，y＝，
∴xy＝1，y﹣x＝2，
∴xy2﹣x2y
＝xy（y﹣x）
＝1×2
＝2．
【变式4-2】式4-（2022春•莆田期末）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值
（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．
【解答】解：（1）当x＝+3，y＝﹣3时，
x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝[（+3）﹣（﹣3）]2＝62＝36；
（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝[（+3）+（﹣3）][（+3）﹣（﹣3）]＝2×6＝12
声明：试题【变式4-2】【变
【典例5-1】（2021秋•毕节市月考）先化简，后求值：（a+）（a﹣）﹣a（a﹣2），其中a＝3．
【解答】解：原式＝a2﹣5﹣a2+2a
＝2a﹣5，
当a＝3时，
原式＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
【典例5-2】（2021春•连山区期中）给出以下式子：（﹣）÷，先简化，然后从﹣1，2，2+2三个数中，选个合适的数代入求值．
【解答】解：（﹣）÷
＝[﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝•
＝，
由题意得，x﹣2≠0，x+2≠0，x+1≠0，
则x≠2，x≠﹣2，x≠﹣1，
∴当时
原式＝．
【变式5-1】（2022秋•长泰县期中）先化简，再求值：，其中：．
【解答】解：
＝a2﹣3﹣a2+4a
＝4a﹣3，
当时，原式＝4×（+1）﹣3＝4+4﹣3＝4+1．
【变式5-2】（2021秋•丹江口市期末）（1）已知x＝+1，y＝﹣1，求x2y﹣xy2的值；
（2）先化简，再求值：，其中，m＝﹣2．
【解答】解：（1）x2y﹣xy2＝xy（x﹣y），
原式＝
＝1×2
＝2；
（2）原式＝
＝
＝，
当m＝﹣2时，
原式＝．
【变式5-3】（2022春•隆安县期末）先化简，再求值：（x+）（x﹣）﹣x（x﹣6）+9，其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝x2﹣3﹣x2+6x+9
＝6x+6，
当x＝﹣1时，原式＝6（x+1）＝6．
【考点5：二次根式应用】
【典例6】（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，
∴这两个正方形的边长分别为2dm和3dm，
∴原矩形木板的面积为3（2+3）＝45（dm2）；
（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：
∵2≈3.464，≈1.732，
3.46÷1≈3（块），
1.73÷1.5≈1（块），
3×1＝3（块）．
∴从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．
【变式6-1】（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：（cm3），
答：长方体盒子的容积为18cm3；
（2）长方体盒子的侧面积为：（cm2），
答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2．
【变式6-2】（2022秋•社旗县期中）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
【解答】解：将h＝78.4，g＝9.8代入公式t＝，
得：t＝＝4，
答：落到地面所用时间为4s．
【变式6-3】（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【解答】解：（1）（+）×2
＝（8+5）×2
＝13×2
＝26（米），
答：矩形ABCD的周长为26米；
（2）×﹣2×（+1）×（﹣1）
＝8×5﹣2×（13﹣1）
＝80﹣24
＝56（平方米），
6×56＝336（元），
答：购买地砖需要花费336元．
【变式6-4】（2021春•城厢区期末）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦﹣秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．如图，在△ABC中，a＝8，b＝4，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值．
【解答】解．（1）根据题意知p＝＝9，
所以S＝，
∴△ABC的面积为3；
（2）∵S＝ch1＝bh2＝ah3＝3，
∴×6h1＝×4h2＝×8h3＝3，
∴h1＝，h2＝，h3＝，
∴h1+h2+h3＝．
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