浙教版八年级下册2.1 一元二次方程精练

这是一份浙教版八年级下册2.1 一元二次方程精练，共19页。

（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
2．（2022秋•临澧县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点P运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？
3．（2022秋•文山市校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从点B出发，B→A→C向终点B运动，同时动点Q以1ms的速度从点C出发，沿C→B向终点B移动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，设运动时间为t．
（1）当点P在AB上运动时，当t为何值时，S△PCQ＝4；
（2）当PC＝CQ时，求t的值；
（3）当点P运动到AC的中点时，求△PCQ的面积．
4．（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）
求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（3）当t为多少秒时，？
5．（2022秋•商州区校级月考）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
（2）若点P从点A移动到点C停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
6．（2021秋•天山区校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为ts，多少秒后三角形BPQ的面积等于5cm2？
7．（2022秋•涟水县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当△PBQ的面积为15cm²时，则点P运动的时间是多少秒？
8．（2022春•福山区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．
（1）若PQ＝4cm，求x的值．
（2）若△DPQ的面积为31cm2，求x的值．
9．（2022秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一？
（2）如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒钟后，点P，Q相距6cm？
10．（2022秋•江都区期中）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
11．（2022秋•港北区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．
（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离 （6﹣2t） cm．（用含t的代数式表示）
（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
12.（2022•台儿庄区一模）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
13．（2022•盂县一模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
专题2.11 一元二次方程应用-几何动点问题（专项训练）
1．（2022秋•拜泉县校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）当运动时间为ts时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，
根据题意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，
整理得：t2﹣4t+4＝0，
解得：t1＝t2＝2．
答：t的值为2．
（2）△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等，理由如下：
当运动时间为ts时，CP＝2t，CQ＝（16﹣4t）cm，
根据题意得：×2t（16﹣4t）＝××8×16，
整理得：t2﹣4t+8＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根．
∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等．
2．（2022秋•临澧县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点P运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
设点P运动开始后第t秒时，△PBQ的面积等于8cm2，
由题意得：（6﹣t）•2t＝8，
解得：t＝2或t＝4，
答：点P运动开始后第2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8cm2．
3．（2022秋•文山市校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从点B出发，B→A→C向终点B运动，同时动点Q以1ms的速度从点C出发，沿C→B向终点B移动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，设运动时间为t．
（1）当点P在AB上运动时，当t为何值时，S△PCQ＝4；
（2）当PC＝CQ时，求t的值；
（3）当点P运动到AC的中点时，求△PCQ的面积．
【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，设运动时间为t．
∴PB＝2tm，CQ＝tm，
∵S，
∴，
解得t＝2或t＝﹣2（不合题意，舍去），
∴当点P在AB上运动时，当t＝2s时，S△PCQ＝4；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AB＝6m，BC＝8m，
∴AC＝＝＝10（m），
由题意得，当Q停止时需要8秒，
∵2×8＝16，AB+AC＝16m，
∴P点运动到C点停止，
∴PC＝（16﹣2t）m，CQ＝tm，
当PC＝CQ时，16﹣2t＝t，
解得t＝，
即当PC＝CQ时，求t的值为s；
（3）如图，
当点P运动到AC的中点时，
作PE⊥BC于点E，
∴PC＝5m，即16﹣2t＝5，
解得t＝（m），
∴CQ＝t＝m，
∵PE⊥BC，∠B＝90°，
∴PE∥AB，
∵点P是AC的中点，
∴点E是BC的中点，
∴PE＝AB＝3（m），
∴△PCQ的面积为：＝m2．
4．（2022秋•市北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，（0≤t≤5）
求：（1）当t为多少秒时，P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（3）当t为多少秒时，？
【解答】解：（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，
∵∠C＝90°，PQ＝10cm，
∴PC2+CQ2＝PQ2，
即（20﹣4t）2+（2t）2＝102，
解得t1＝3，t2＝5，
答：当t为3秒或5秒时，P、Q两点之间的距离是10cm；
（2）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，
∴S＝CP•CQ＝（20﹣4t）×2t＝20t﹣4t2，
∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）；
（3）根据题意得：20t﹣4t2＝××20×15，
解得t1＝2，t2＝3，
答：当t为2秒或3秒时，．
5．（2022秋•商州区校级月考）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
（2）若点P从点A移动到点C停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【解答】解：（1）过点P作PE⊥CD于E，如图：
根据题意得EQ＝16﹣2×3﹣2×2＝6（cm），PE＝AD＝6cm，
在Rt△PEQ中，PE2+EQ2＝PQ2，
∴36+36＝PQ2，
∴PQ＝6cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；
（2）连接BQ，设经过ys后△PBQ的面积为12cm2，
①当P在AB上，即0≤y≤时，则PB＝16﹣3y，
∴PB•BC＝12，即×（16﹣3y）×6＝12，
解得y＝4；
②当P在BC上，即＜y≤时，
BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y，
∴BP•CQ＝（3y﹣16）×2y＝12，
解得y1＝6，y2＝﹣（舍去）；
综上所述，经过4s或6s，△PBQ的面积为12cm2．
6．（2021秋•天山区校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为ts，多少秒后三角形BPQ的面积等于5cm2？
【解答】解：由题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，则PB＝（6﹣t）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵三角形PBQ的面积等于5cm2，
∴•2t•（6﹣t）＝5，
解得：t1＝1，t2＝5，
当t＝5s时，BQ＝2t＝10cm＞7cm，
∴t＝5不符合题意，舍去，
答：1秒后三角形BPQ的面积等于5cm2．
7．（2022秋•涟水县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当△PBQ的面积为15cm²时，则点P运动的时间是多少秒？
【解答】解：当运动时间为t秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，
∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm．
依题意得：BQ•BP＝15，
即×2t（8﹣t）＝15，
整理得：t2﹣8t+15＝0，
解得：t1＝3，t2＝5．
当t＝3时，BQ＝2t＝2×3＝6，符合题意；
当t＝5时，BQ＝2t＝2×5＝10＞6，不符合题意，舍去．
答：当△PBQ的面积为15cm2时，点P运动的时间是3秒．
8．（2022春•福山区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．
（1）若PQ＝4cm，求x的值．
（2）若△DPQ的面积为31cm2，求x的值．
【解答】解：（1）由题意可得：BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
根据勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2，
即：（6﹣x）2+（2x）2＝（4）2，
解得：x＝或x＝2，
答：PQ＝4cm，x的值为或2；
（2）由题意可得：S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△CDQ﹣S△BPQ
＝AB•BC﹣AD•AP﹣CD•CQ﹣BP•BQ
＝6×12﹣×12x﹣×6（12﹣2x）﹣（6﹣x）•2x
＝x2﹣6x+36＝31，
解得：x1＝1，x2＝5，
当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．
9．（2022秋•兴城市期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动（到达点C即停止运动）．
（1）如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一？
（2）如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，几秒钟后，点P，Q相距6cm？
【解答】解：（1）设经过xs后，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一，
依题意得：×2x（6﹣x）＝××6×8，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2s或4s后，△PBQ的面积等于△ABC面积的三分之一．
（2）设ys后，点P，Q相距6cm，
依题意得：（6﹣y）2+（2y）2＝62，
解得：y1＝0，y2＝．
答：s后，点P，Q相距6cm．
10．（2022秋•江都区期中）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm．
（1）依题意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33，
解得：t＝5．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示．
∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，
∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）．
答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm．
11．（2022秋•港北区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．
（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离 （6﹣2t） cm．（用含t的代数式表示）
（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴Rt△ABC中，AC＝6cm，
又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，
∴AP＝2t，
∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm；
故答案为：（6﹣2t）；
（2）△ABC的面积为S△ABC＝×6×8＝24，
①当0＜t＜3时，PC＝6﹣2t，QC＝t，
∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），
∴t（6﹣2t）＝4，
即t2﹣3t+4＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，
∴该一元二次方程无实数根，
∴该范围下不存在；
②当3＜t≤8时，PC＝2t﹣6，QC＝t，
∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6），
∴t（2t﹣6）＝4，
即t2﹣3t﹣4＝0，
解得t＝4或﹣1（舍去），
综上所述，存在，当t＝4时，△PQC的面积是△ABC面积的．
12.（2022•台儿庄区一模）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
【解答】解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝•PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．
根据题意，•（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t1＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
13．（2022•盂县一模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【解答】解：（1）∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16，
∴t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；
（2）当S△PCQ＝S△ABC时，t（8﹣2t）＝16×，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．