浙教版八年级数学下册八年级下学期开学摸底测试卷(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册八年级下学期开学摸底测试卷(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了下列长度，点A，已知点A等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围：浙教版八年级上册全册
第Ⅰ卷 选择题
选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．下列长度（单位cm）的线段不能组成三角形的是（ ）
A．3，3，3B．3，5，5C．3，4，5D．3，5，8
2．已知x＞y，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2yC．xz2＞yz2D．﹣2x＜﹣2y
3．点A（3，﹣1）关于x轴的对称点A'的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（3，1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）
4．已知点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，则y1与y2的大小是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不确定
5．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2B．a＝﹣2，b＝3C．a＝2，b＝﹣3D．a＝﹣3，b＝2
6．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞7B．m≥7C．m＜7D．m≤7
7．已知k＞0，b＜0，则一次函数y＝kx+b的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（ ）
A．（﹣26，50）B．（﹣25，50）C．（26，50）D．（25，50）
第Ⅱ卷 非选择题部分
填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
9．不等式2x+1＜5的非负整数解为 ．
10．若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 ．
11．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
12．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠B＝30°，则∠A为 度．
13．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为 ．
14．（2020秋•西湖区期末）若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（a+1，3），则a＝ ．
15．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑至B．已知AB＝200m，这名滑雪运动员的高度下降了 m．
16．在平面直角坐标系中，若直线y＝kx+b经过第一、三、四象限，则直线y＝bx+k不经过的象限是 ．
17.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（0，3），连接AB．点P在第二象限，若以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P坐标为 ．
18.沿河岸有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．考察下列结论：
①甲船的速度是25km/h；
②从A港到C港全程为120km；
③甲船比乙船早1.5小时到达终点；
④图中P点为两者相遇的交点，P点的坐标为（）；
⑤如果两船相距小于10km能够相互望见，那么，甲、乙两船可以相互望见时，x的取值范围是＜x＜2．
其中正确的结论有 ．
三、简答题（本大题共9小题，共96分）
19．（8分）（2021春•张家川县期末）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．（8分）（2016秋•上城区期末）如图，△ABC中，AB＝AC．
（1）请利用直尺和圆规作∠BAC的平分线，交BC于点D．
（2）若AB＝10，AD＝6，求BC的长．
21．（8分）（2016秋•上城区期末）初二（1）班对数学期末总评成绩规定如下：总评成绩由考试成绩和平时成绩（满分120分）两部分组成，其中考试成绩占80%，平时成绩占20%，且总评成绩大于或等于100分时，该生综合评定为A等．
（1）小敏的考试成绩为90分，它的综合评定有可能达到A等吗？为什么？
（2）小浩的平时成绩为120分，综合评定若要达到A等，他的考试成绩至少要多少分？
22．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且∠1＝∠2，CD＝BE．CD与BE相交于点O．求证：
（1）AB＝AC．
（2）OB＝OC．
24.（10分）某车间有22名工人，用铝片生产听装饮料瓶，每人每天可以生产1200个瓶身或2000个瓶底，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，为使每天生产的瓶身和瓶底刚好配套，应安排生产瓶身和瓶底的工人各多少名？
23.（12分）某校八年级举行演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的．设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为W元．
（1）请写出W（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围．
（2）购买这两种笔记本各多少本时，花费最少？此时的花费是多少元？
25.（12分）【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．
比如，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a﹣b）看成一个整体，则4（a﹣b）﹣2（a﹣b）+（a﹣b）＝（4﹣2+1）（a﹣b）＝3（a﹣b）．
【尝试应用】（1）化简4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）的结果是 ．
（2）化简求值，3（x+y）2+5（x+y）+5（x+y）2﹣3（x+y），其中x+y＝．
【拓展探索】（3）若x2﹣2y＝4，请直接写出﹣3x2+6y+10的值．
26.（14分）在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．
（1）如图①，连接CD，AE，求证：CD＝AE；
（2）如图②，若AB＝1，BC＝2，求DE的长；
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连接AE，若有DE2+BE2＝AE2，试求∠DEB的度数．
27.（16分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
（3）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．
绝密★考试结束前
2022-2023学年八年级下学期开学摸底测试卷（解析卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围：浙教版八年级上册全册
第Ⅰ卷 选择题
选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1．下列长度（单位cm）的线段不能组成三角形的是（ ）
A．3，3，3B．3，5，5C．3，4，5D．3，5，8
【答案】D
【解答】解：A.3+3＞3，能构成三角形，故此选项不合题意；
B.5+3＞5，能构成三角形，故此选项不合题意；
C.3+4＞5，能构成三角形，故此选项不符合题意；
D.3+5＝8，不能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．已知x＞y，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2yC．xz2＞yz2D．﹣2x＜﹣2y
【答案】C
【解答】解：A、∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，
故A不符合题意；
B、∵x＞y，
∴2x＞2y，
故B不符合题意；
C、∵x＞y，
∴xz2＞yz2（z≠0），
故C符合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，
故D不符合题意；
故选：C．
3．点A（3，﹣1）关于x轴的对称点A'的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（3，1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）
【答案】B
【解答】解：点A（3，﹣1）到关于x轴的对称点A'的坐标是（3，1）．
故选：B．
4．已知点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，则y1与y2的大小是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不确定
【答案】A
【解答】解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）都在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且﹣1＜2，
∴y1＞y2．
故选：A．
5．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣2B．a＝﹣2，b＝3C．a＝2，b＝﹣3D．a＝﹣3，b＝2
【答案】D
【解答】解：
在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞﹣2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在B中，a2＝4，b2＝9，且﹣2＜3，此时不但不满足a2＞b2，也不满足a＞b不成立，故B选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在C中，a2＝4，b2＝9，且2＞﹣3，此时不满足a2＞b2，满足a＞b成立，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；
在D中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时满足a2＞b2，但不能满足a＞b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”不能成立，故D选项中a、b的值能说明命题为假命题；
故选：D．
6．如果不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞7B．m≥7C．m＜7D．m≤7
【答案】B
【解答】解：∵不等式组无解，
∴m≥7，
故选：B．
7．已知k＞0，b＜0，则一次函数y＝kx+b的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：∵k＞0，
∴一次函数y＝kx+b的图象从左到右是上升的，
∵b＜0，一次函数y＝kx+b的图象交于y轴的负半轴，
故选：B．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（ ）
A．（﹣26，50）B．（﹣25，50）C．（26，50）D．（25，50）
【答案】C
【解答】解：经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2＝50；
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．
故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．
故选：C．
第Ⅱ卷 非选择题部分
填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
9．不等式2x+1＜5的非负整数解为 ．
【答案】0和1
【解答】解：不等式2x+1＜5的解集是x＜2，
因而不等式的非负整数解是0，1．
故答案为：0和1．
10．若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】12
【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5，2，
能组成三角形，
周长＝5+5+2＝12，
②5是底边时，三角形的三边分别为2、2、5，
不能组成三角形，
故答案为：12．
11．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
12．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠B＝30°，则∠A为 度．
【答案】50
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴3∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝＝50°．
故答案为：50．
13．如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为 ．
【答案】x＞﹣1
【解答】解：当x＞﹣1，函数y＝x+b的图象在函数y＝kx﹣1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故答案为x＞﹣1．
14．（2020秋•西湖区期末）若点P（2，3）关于y轴的对称点是点P'（a+1，3），则a＝ ．
【答案】﹣3
【解答】解：根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，
可得a+1＝﹣2，
∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
15．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为30°的斜坡，从A滑至B．已知AB＝200m，这名滑雪运动员的高度下降了 m．
【答案】100
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．
在直角△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝200m，
∴AD＝AB＝100m．
即这名滑雪运动员的高度下降了100m．
故答案为100．
16．在平面直角坐标系中，若直线y＝kx+b经过第一、三、四象限，则直线y＝bx+k不经过的象限是 ．
【答案】第三象限
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0，
∴直线y＝bx+k经过第一、二、四象限，
∴直线y＝bx+k不经过第三象限，
故答案为：第三象限
17.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（0，3），连接AB．点P在第二象限，若以点P，A，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P坐标为 ．
【答案】（﹣，）或（﹣3，7）或（﹣7，4）
【解答】解：分三种情况讨论：
①如图所示，当∠APB＝90°时，过P作PE⊥x轴，过P作PD⊥y轴，则∠PEA＝∠PDB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DPE＝90°，
又∵∠APB＝90°，
∴∠APE＝∠BPD，
在△APE和△BDP中，
，
∴△APE≌△BPD（AAS），
∴PD＝PE＝OE＝OD，AE＝BD，
设PD＝PE＝OE＝OD＝a，
又∵A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（0，3），
∴AO＝4，BO＝3，
∵AO﹣OE＝OD﹣BO，
即4﹣a＝a﹣3，
解得a＝，
∴P（﹣，）；
②如图所示，当∠ABP＝90°时，过点P作PD⊥y轴于点D，
∴∠AOB＝∠BDP，∠BPD+∠PBD＝90°，∠ABO+∠PBD＝90°，
∴∠ABO＝∠BPD，
在△ABO和△BPD中，
，
∴△ABO≌△BPD（AAS），
∴PD＝BO＝3，BD＝AO＝4，
则OD＝BO+BD＝7，
∴P（﹣3，7）；
③如图所示，当∠BAP＝90°时，过P作PD⊥x轴于D，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，∠PAD+∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠PAD，
在△ABO和△PAD中，
，
∴△ABO≌△PAD（AAS），
∴AD＝OB＝3，PD＝OA＝4，
∴OD＝OA+OB＝4+3＝7，
∴P的坐标为（﹣7，4）；
综上所述，点P坐标为（﹣，）或（﹣3，7）或（﹣7，4）．
故答案为：（﹣，）或（﹣3，7）或（﹣7，4）．
18.沿河岸有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．考察下列结论：
①甲船的速度是25km/h；
②从A港到C港全程为120km；
③甲船比乙船早1.5小时到达终点；
④图中P点为两者相遇的交点，P点的坐标为（）；
⑤如果两船相距小于10km能够相互望见，那么，甲、乙两船可以相互望见时，x的取值范围是＜x＜2．
其中正确的结论有 ．
【答案】②
【解答】解：甲船的速度为20÷0.5＝40km/h，①不成立；
乙船的速度为100÷4＝25km/h，
从A港到C港全程为20+100＝120km，②成立；
甲船到达C港的时间为120÷40＝3（小时），
4﹣3＝1小时，③不成立；
设两船相遇的时间为t小时，则有40t﹣25t＝20，
解得：t＝，25×＝，
即P点坐标为（，），④不成立；
甲、乙两船第一次相距10km的时间为（20﹣10）÷（40﹣25）＝（小时），
甲、乙两船第二次相距10km的时间为（20+10）÷（40﹣25）＝2（小时），
甲、乙两船第三次相距10km的时间为（100﹣10）÷25＝（小时），
即甲、乙两船可以相互望见时，x的取值范围是＜x＜2和＜x≤4，⑤不成立．
故答案为：②．
三、简答题（本大题共9小题，共96分）
19．（8分）（2021春•张家川县期末）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，由①得，x＜4，由②得，x≥1，
故不等式组的解集为：1≤x＜4，
在数轴上表示为：
．
20．（8分）（2016秋•上城区期末）如图，△ABC中，AB＝AC．
（1）请利用直尺和圆规作∠BAC的平分线，交BC于点D．
（2）若AB＝10，AD＝6，求BC的长．
【解答】解：（1）如图，AD即为所求；
（2）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BC＝2BD．
∵AB＝10，AD＝6，
∴BD＝＝＝8，
∴BC＝2BD＝16．
21．（8分）（2016秋•上城区期末）初二（1）班对数学期末总评成绩规定如下：总评成绩由考试成绩和平时成绩（满分120分）两部分组成，其中考试成绩占80%，平时成绩占20%，且总评成绩大于或等于100分时，该生综合评定为A等．
（1）小敏的考试成绩为90分，它的综合评定有可能达到A等吗？为什么？
（2）小浩的平时成绩为120分，综合评定若要达到A等，他的考试成绩至少要多少分？
【解答】解：（1）设小敏的平时成绩为x分，根据题意得：
90×80%+20%x≥100，
解得：x≥140，
∵满分是120分，
∴小敏的综合评定不能达到A等；
（2）设小浩的期中考试成绩为x，根据题意得：
80%x+20%×120≥100，
解得：x≥95，
∴他的考试成绩至少要95分．
22．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且∠1＝∠2，CD＝BE．CD与BE相交于点O．求证：
（1）AB＝AC．
（2）OB＝OC．
【解答】证明：
（1）在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
（2）由（1）可知AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB﹣∠2，即∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC．
24.（10分）某车间有22名工人，用铝片生产听装饮料瓶，每人每天可以生产1200个瓶身或2000个瓶底，一个瓶身和两个瓶底可配成一套，为使每天生产的瓶身和瓶底刚好配套，应安排生产瓶身和瓶底的工人各多少名？
【解答】解：设应安排生产瓶身的工人x名，则应安排生产瓶底的工人（22﹣x）名，
根据题意得：2×1200x＝2000（22﹣x），
解得x＝10，
∴安排生产瓶底的工人为22﹣x＝22﹣10＝12（名），
答：应安排生产瓶身的工人10名，安排生产瓶底的工人12名．
23.（12分）某校八年级举行演讲比赛，购买A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别为12元和8元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共30本，并且购买A笔记本的数量要少于B笔记本数量的，但又不少于B笔记本数量的．设买A种笔记本n本，买两种笔记本的总费用为W元．
（1）请写出W（元）关于n（本）的函数关系式，并求出自变量n的取值范围．
（2）购买这两种笔记本各多少本时，花费最少？此时的花费是多少元？
【解答】解：（1）依题意得：w＝12n+8（30﹣n）
即w＝4n+240
且n＜（30﹣n）和n≥（30﹣n）
解得≤n＜12
所以，w（元）关于n（本）的函数关系式为：w＝4n+240
自变量n的取值范围是≤n＜12，n为整数；
（2）对于一次函数w＝4n+240
∵w随n的增大而增大，且≤n＜12，n为整数
故当n为8时，w的值最小
此时，30﹣n＝30﹣8＝22，w＝4×8+240＝272（元）
因此，当买A种笔记本8本、B种笔记本22本时，所花费用最少，为272元．
25.（12分）【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．
比如，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a﹣b）看成一个整体，则4（a﹣b）﹣2（a﹣b）+（a﹣b）＝（4﹣2+1）（a﹣b）＝3（a﹣b）．
【尝试应用】（1）化简4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）的结果是 ．
（2）化简求值，3（x+y）2+5（x+y）+5（x+y）2﹣3（x+y），其中x+y＝．
【拓展探索】（3）若x2﹣2y＝4，请直接写出﹣3x2+6y+10的值．
【解答】解：（1）原式＝（4+2﹣1）（a+b）
＝5（a+b），
故答案为：5（a+b）；
（2）原式＝8（x+y）2+2（x+y），
当x+y＝时，
原式＝8×（）2+2×
＝8×+1
＝2+1
＝3；
（3）原式＝﹣3（x2﹣2y）+10，
当x2﹣2y＝4时，
原式＝﹣3×4+10
＝﹣12+10
＝﹣2．
26.（14分）在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．
（1）如图①，连接CD，AE，求证：CD＝AE；
（2）如图②，若AB＝1，BC＝2，求DE的长；
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连接AE，若有DE2+BE2＝AE2，试求∠DEB的度数．
【解答】（1）证明：如图①中，∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE＝DC．
（2）解：如图②中，取BE中点F，连接DF．
∵BD＝AB＝1，BE＝BC＝2，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴BF＝EF＝1＝BD，∠DBF＝60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DF＝BF＝EF，∠DFB＝60°，
∵∠BFD＝∠FED+∠FDE，
∴∠FDE＝∠FED＝30°
∴∠EDB＝180°﹣DEB∠DBE﹣∠DEB＝90°，
∴DE＝＝＝．
（3）解：如图③中，连接DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE＝DC．
∵DE2+BE2＝AE2，BE＝CE，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴∠DEC＝90°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠DEB＝∠DEC﹣∠BEC＝30°．
27.（16分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标；
（3）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），
∵点B（6，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）：
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6；
（2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）．
∴AB＝9，
∴S△ABC＝×9×6＝27，
设G（m，﹣m+6），（0＜m＜6），
①当S△ABG：S△ACG＝1：2时，即S△ABG＝S△ABC＝9，
∴×9（﹣m+6）＝9，
∴m＝4，
∴G（4，2）；
当S△ABG：S△ACG＝2：1时，即S△ABG＝S△ABC＝18，
∴×9（﹣m+6）＝18，
∴m＝2，
∴G（2，4）．
综上，点G的坐标为（4，2）或（2，4）；
（3）∵A（﹣3，0），C（0，6），D为AC的中点，
∴D（﹣，3），
①当点D为直角顶点时，如图，过点D作DE⊥y轴于E，过点P作PF⊥DE交ED的延长线于F，交x轴于H，
∴∠F＝∠CED＝90°，
∵△CDP是等腰直角三角形，
∴DP＝CD，∠CDB＝90°，
∴∠PDF+∠CDE＝∠DCE+∠CDE＝90°，
∴△PDF≌△CDE（AAS），
∴DF＝CE，PF＝DE，
∵D（﹣，3），C（0，6）．
∴DE＝PF＝，OE＝3，CE＝DF＝6﹣3＝3，
∴EF＝3+＝，PH＝3+＝，
∴P（﹣，），
同理得：P′（，）；
∴P（﹣，）或（，）；
②当点C为直角顶点时，如图，过点D作DN⊥y轴于N，过点P作PM⊥y轴于M，
同①可得△PCM≌△CDN（AAS），
∴DN＝CM，PM＝CN，
∵D（﹣，3），C（0，6）．
∴DN＝CM＝，ON＝3，CN＝PM＝6﹣3＝3，
∴OM＝6﹣＝，
∴P（3，），
同理得：P′（﹣3，）；
∴P（3，）或（﹣3，）．
综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）或（3，）或（﹣3，）．