2023-2024学年云南省大理民族中学高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年云南省大理民族中学高一（下）月考数学试卷（6月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足(2−i)z=3+i，则z的虚部是( )
A. −1B. 1C. −iD. i
2.在空间中，若两条直线a与b没有公共点，则a与b( )
A. 相交B. 平行
C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线
3.高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100.则在男生中抽取的样本量为( )
A. 48B. 51C. 50D. 49
4.在边长为2的正方形ABCD中，动点P，Q在线段BD上，且|PQ|=2，则AP⋅AQ的最小值为( )
A. 2B. 2C. 1D. 12
5.某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是( )
A. 圆锥的体积为48πB. 圆锥的表面积为20π
C. 过圆锥两条母线的截面面积最大值为252D. 圆锥的侧面展开图的圆心角为4π5
6.设α，β为两个不同的平面，则α/​/β的一个充分条件可以是( )
A. α内有无数条直线与β平行B. α，β垂直于同一条直线
C. α，β平行于同一条直线D. α，β垂直于同一个平面
7.已知向量a，b满足|a|=2，b=(3,0)，|a−b|= 10，则向量a在向量b方向上的投影向量为( )
A. (16,0)B. (13,0)C. (12,0)D. (1,0)
8.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π−3×π3=π，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为( )
A. 2πB. 4πC. 5πD. 6π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列选项中，正确的是( )
A. A1C1⊥BDB. B1C与BD所成的角为60°
C. 二面角A1−BC−D的平面角为30°D. AC1与平面ABCD所成的角为45°
10.设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 设z=3+4i1−2i，则|z|= 5
B. 若点Z的坐标为(−1,1)，则z−对应的点在第三象限
C. 若复数z=a+bi(a,b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a=0
D. 若1≤|z|≤ 2，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
11.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是( )
A. 每一个直角三角形的面积为54
B. 3csβ−3csα=2
C. 3sinβ−3sinα=2
D. cs(α−β)=59
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若球的体积是92π，则球的表面积是______．
13.为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.则直方图中实数a的值为______．
14.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3csA+sinA=2，则角A= ______；若a=2，则△ABC面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图所示，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，过点A分别作AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)求证：EF⊥PB．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 3ccsA+csinA= 3b．
(1)求角C；
(2)若△ABC的周长为20，面积为10 3，求边c．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．
(1)求证：直线MN/​/平面OCD．
(2)过点C，D，M的平面与棱OB交于点Q，求证Q是OB的中点．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB=3，AD=2，侧面PAD是等腰三角形，且PA=PD= 2，侧面PAD⊥底面ABCD.(Ⅰ)求证：AP⊥平面PCD；
(Ⅱ)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的正弦值．
19.(本小题17分)
如图，是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线方程为y=c2(exc+exc)(c为参数，e≈2.71828)，当c=1时，该方程就是双曲余弦函数csℎ(x)=12(ex+e−x)，类似的有双曲正弦函数sinℎ(x)=12(ex−e−x)．
(1)计算csℎ(0)和sinℎ(ln2)的值；
(2)证明：csℎ(2x)=2[csℎ(x)]2−1；
(3)∀x∈[−1,1]，不等式csℎ(2x)+mcsℎ(x)≥0恒成立，求实数m的取值范围．
答案
1.B
2.D
3.B
4.C
5.C
6.B
7.C
8.B
9.AB
10.ABD
11.ACD
12.9π

14.π6 2+ 3
15.证明：(1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，
又∠ACB=90°，即BC⊥AC，PA∩AC，
所以BC⊥平面PAC，
而BC⊂平面PBC，
所以平面PAC⊥平面PBC；
(2)由(1)平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，AF⊥PC，AF⊂平面PAC，
所以AF⊥平面PBC，而PB⊂平面PBC，
所以AF⊥PB，
又因为AE⊥PB，AE∩AF=A，
可得PB⊥平面AEF，而EF⊂平面AEF，
所以EF⊥PB．
16.解：(1) 3ccsA+csinA= 3b，
由正弦定理，得 3sinCcsA+sinCsinA= 3sinB= 3sin(A+C)，
3sinCcsA+sinCsinA= 3sinAcsC+ 3sinCcsA，
sinCsinA= 3sinAcsC，又0