2023-2024学年上海市黄浦区高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市黄浦区高一（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知2+i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根，那么p，q的值分别是( )
A. p=−4，q=5B. p=−4，q=3C. p=4，q=5D. p=4，q=3
2.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x+sinx，当x<0时，f(x)的表达式为( )
A. x+sinxB. −x−sinxC. −x+sinxD. x−sinx
3.若对任意实数x都有3sinx−4csx=5sin(x+φ)，则角φ的终边在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.设θ∈R，若对任意的x1∈[0,π2]，都存在x2∈[0,π2]，使得sin(x2+θ)=cs(x1−π6)成立.则θ可以是( )
A. π4B. 5π12C. 7π12D. 3π4
二、填空题：本题共12小题，共42分。
5.若扇形的圆心角为π4，半径为4，则其弧长为______．
6.已知向量a=(−1,−1)，设m∈R，向量b=(1,m)，若b/​/a，则m= ______．
7.若sin(π2−α)=12，则cs(−α)= ______．
8.在梯形ABCD中，AD=12BC，设AC=a，BD=b，若用a、b的线性组合表示AB，则AB= ______．
9.若sinα+csα= 32，则sin2α= ______．
10.若向量a=(3,4)，b=(−1,2)，则〈a,b〉= ______．
11.设0≤φ<π，若函数y=tan(x+φ)的定义域为{x|x≠kπ+π3,k∈Z}，则φ的值为______．
12.某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B.某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情.在A处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在B处观测到火情在北偏西60°方向.已知B在A的正东方向10km处，那么火场C与A距离约为______km.(结果精确到0.1km)
13.若tanαtanβ=12，则cs(α−β)cs(α+β)= ______．
14.已知点A的坐标为(4 3,1)，若将OA绕坐标原点O逆时针旋转π3至OB，则点B的纵坐标为______．
15.i为虚数单位，若复数z1和复数z2满足|z1−1−i|≤1，z2=z1i，则|z2|的最大值为______．
16.已知平面非零向量a、b、c的模均为λ(λ∈R)，若〈a，b〉=π3，a⋅c=2，b⋅c=4，则λ= ______．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
已知复数z1满足(z1−2)(1+i)=1−i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，z1⋅z2是实数，求z2．
18.(本小题8分)
已知csα=−13，且π<α<3π2．
(1)求cs2α，sin2α的值；
(2)若tanβ= 22，求tan(α+β)的值．
19.(本小题10分)
(1)已知P是直线P1P2上一点，P1P=λPP2(λ为实数，且λ≠−1)，点P1、P2的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，求点P的坐标(x,y)．
(2)已知平面上三点A、B、C的坐标分别是(0,1)、(−3,4)、(2,7)，小明在点B处休憩，有只机器狗沿着AC所在直线来回跑动.当机器狗在什么位置时，离小明最近？
20.(本小题10分)
在△ABC中，已知AB=c，BC=a，CA=b，BC边上的中线长为3m．
(1)求证：2b2+2c2=a2+36m2；
(2)若AC、AB边上的中线长分别为3n、3t(m21.(本小题10分)
设a∈R，f(x)=sin2x+acsx．
(1)当a<−2时，用函数单调性的定义证明：函数y=f(x)在区间(0,π2)上是严格增函数．
(2)
①根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)在区间[0,2π]上零点的个数；
②若函数y=f(x)在区间[0,kπ](k为正整数)上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围．
答案
1.A
2.B
3.D
4.B
5.π
6.1
7.12
8.13a−23b
9.−14
10.arccs 55
11.π6
12.14.6
13.3
14.132
15.1+ 2
16.2
17.解：由(z1−2)(1+i)=1−i，知z1=1−i1+i+2=2−i，
设z2=a+2i，a∈R，
则z1⋅z2=(2−i)(a+2i)=2a+2+(4−a)i，
因为z1⋅z2是实数，所以4−a=0，即a=4，
所以z2=4+2i．
18.解：(1)因为csα=−13，且π<α<3π2，
所以sinα=−2 23，
故cs2α=2cs2α−1=2×19−1=−79，
sin2α=2sinαcsα=2×(−2 23)×(−13)=4 29；
(2)由(1)得，tanα=2 2，
若tanβ= 22，则tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2 2+ 221−2 2× 22=−5 22．
19.解：(1)由P1P=λPP2，可得(x−x1,y−y1)=λ(x2−x,y2−y)，
即x−x1=λ(x2−x)y−y1=λ(y2−y)，解得x=x1+λx21+λy=y1+λy21+λ，(λ≠−1)，
故点P的坐标为(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ)；
(2)由题意，作BD⊥AC，
当机器狗在D处时，离小明最近，
又AC=(2,6)，设AD=μAC=(2μ,6μ)，
则D(2μ,1+6μ)，故BD=(2μ+3,6μ−3)，
由BD⊥AC，有BD⋅AC=4μ+6+36μ−18=0，
解得μ=310，此时D(35,145)，
故当机器狗在点D(35,145)时，离小明最近．
20.(1)证明：设BC的中点为D，则AD=3m，
在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠BDA，可得2BD⋅ADcs∠BDA=BD2+AD2−AB2…①，
同理可得△ADC中，2CD⋅ADcs∠CDA=CD2+AD2−AC2…②，
因为∠BDA+∠CDA=π，所以cs∠BDA=−cs∠CDA，
结合BD=CD，将①、②相加，得0=(BD2+AD2−AB2)+(CD2+AD2−AC2)，
整理得AB2+AC2=BD2+CD2+2AD2，
将AB=c，BD=CD=12a，AC=b，AD=3m代入上式，得c2+b2=14a2+14a2+9m2，
整理得2b2+2c2=a2+36m2，原等式成立；

(2)解：如图所示，AC、AB边上的中线分别为BE、CF，且BE=3n，CF=3t．
类似于(1)的证明，可得2c2+2a2=b2+36n2且2a2+2b2=c2+36t2，
由2a2+2b2=c2+36t22b2+2c2=a2+36m22c2+2a2=b2+36n，解得a2=8n2+8t2−4m2b2=8t2+8m2−4n2c2=8m2+8n2−4t2，
因为m当△ABC为钝角三角形时，a为钝角所对的边，可知角A为钝角，
由csA<0，得b2+c2−a22bc<0，即b2+c2−a2<0，
所以(8t2+8m2−4n2)+(8m2+8n2−4t2)−(8n2+8t2−4m2)<0，整理得5m2−n2−t2<0．
综上所述，m、n、t之间所满足的关系式为5m2−n2−t2<0，角A为钝角．
21.解：(1)证明：设0f(x1)−f(x2)=sin2x1+acsx1−sin2x2−acsx2
=2sinx1csx1+acsx1−2sinx2csx2−acsx2
=csx1(2sinx1+a)−csx2(2sinx2+a)，
因为0csx1>csx2>0，
且a<−2，所以2sinx1+a<2sinx2+a<0，
所以−(2sinx1+a)>−(2sinx2+a)>0，
则−csx1(2sinx1+a)>−csx2(2sinx2+a)，
所以csx1(2sinx1+a)−csx2(2sinx2+a)<0，
即f(x1)−f(x2)<0，所以f(x1)所以函数y=f(x)在区间(0,π2)上是严格增函数．
(2)①sin2x+acsx=0，则2sinxcsx+acsx=0，
当csx=0时，即x=π2+kπ，k∈Z，x∈[0,2π]，
所以不管a为何值，x=π2和3π2是函数的零点，
当csx≠0，即x≠π2且3π2时，a=−2sinx，
如图：画出函数y=−2sinx，x∈[0,2π]的图象，

若a<−2或a>2时，y=a与y=−2sinx无交点，
没有零点，
若a=2或a=−2时，y=a与y=−2sinx有1个交点，为x=和x=π，需舍去，所以没有零点，
当0当a=0时，y=a与y=−2sinx有3个交点，
综上可知，a≤−2或a≥2时，y=f(x)有2个零点．
当0当a=0时，y=f(x)有5个零点．
②由①可知，k=2时，y=f(x)最多有5个零点，
k=3时，区间为[0,3π]，不管a为何值，函数的零点包含3个零点，
当csx≠0时，y=a与y=−2sinx在区间[0,3π]有4个交点，
如图：

当a∈(−2,0]时，在区间[0,3π]有4个交点，
此时交点的横坐标为函数的零点，
所以k的最小值为3，此时a∈(−2,0]．