2023-2024学年北京市中央工艺美术学院附属中学（北京市国际美术学校）高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市中央工艺美术学院附属中学（北京市国际美术学校）高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是( )
A. 8B. 15C. 16D. 30
2.从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有( )
A. 9种B. 6种C. 7种D. 8种
3.由0，1，2，3可以组成多少个没有重复数字的三位数( )
A. 12B. 24C. 18D. 21
4.从1，3，5，7，9这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是( )
A. A53A42B. C53A53C52A42C. C53C42A55D. A53A62
5.x2+2x5的展开式中x4的系数为
A. 10B. 20C. 40D. 80
6.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
7.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数fˈ(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.函数fx=12x−sinx在[0,π2]上的最小值和最大值分别是
A. π6− 32,0B. π4−1,0C. π6− 32,π4−1D. −12,12
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
9.fx=80，则f′x= ．
10.fx=ex，则f′x= ；f′1= ．
11.抛物线y=2x2在点1,2处的切线方程为 ．
12.函数y=x2+x3的单调减区间为 ．
13.函数f(x)=ax3+3x2+2，若f‘(−1)=4，则a的值等于 ．
14.一个袋子中装有5个大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是 ．
15.已知(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.则a0= ；a1+a2+a3+a4+a5= ．
16.已知函数y=f(x)的导函数y=f′x的图象如图示，给出如下命题：
①0是函数y=f(x)的一个极值点；
②当−20
③f(−1)其中正确的命题是 ．
17.设f(x)=x3−12x2−2x+5，当x∈[−1,2]时，f(x)18.已知fx=13x3+mx2+m+2x+3在R上不是单调增函数，那么实数m的取值范围是 ．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3．
(1)求a,b的值；
(2)求函数y的极小值．
20.(本小题12分)
在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的．
(1)求选手甲正确作答2个题目的概率；
(2)求选手乙正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
(3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，直接写出：两位选手中______(甲或乙)晋级的可能性更大．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+ax2−(2a+1)x+1(a≥0)．
(1)当a=0时，求函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值；
(2)函数f(x)在区间(1,+∞)上存在最小值，求a的取值范围．
答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.C
6.C
7.A
8.A
9.0
10.ex ；e
11.y=4x−2
12.−23,0
13.103
14.34
15.1 ；242
16.①③
17.(7,+∞)
18.(−∞,−1)∪(2,+∞)．
19.解：(1)y′=3ax2+2bx，
当x=1时，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3，
即3a+2b=0a+b=3,a=−6,b=9；经检验符合题意，故a=−6,b=9．
(2)由(1)知y=−6x3+9x2，y′=−18x2+18x，
令y′=0，得x=0，或x=1，
当x>1或x<0时，y′<0，函数单调递减；
当00，函数单调递增．
∴y极小值=y|x=0=0．
20.(1)设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则PA=C72C31C103=2140．
所以选手甲正确作答2个题目的概率2140．
(2)设选手乙正确作答的题目个数为X，则X∼B3,0.7，
故PX=0=0.33=0.027；PX=1=C31×0.32×0.7=0.189；
PX=2=C32×0.3×0.72=0.441；PX=3=0.73=0.343；
所以X的分布列为：
所以数学期望EX=3×0.7=2.1．
(3)设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3．
所以PY=2=C31C72C103=63120，PY=3=C73C103=35120．
所以PY≥2=98120≈0.817．
因为PX≥2=0.441+0.343=0.784，
所以PY≥2>PX≥2.所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
21.(1)当a=0时，f(x)=lnx−x+1，则f′(x)=1x−1，
因为x∈[1,+∞)，所以f′(x)≤0．
所以f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，
所以f(x)在区间[1,+∞)上的最大值为f(1)=ln1−1+1=0．
(2)由题可知f′(x)=1x+2ax−(2a+1)=2ax2−(2a+1)x+1x=(2ax−1)(x−1)x．
①当a=0时，由(1)知，函数f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，
所以函数无最小值，此时不符合题意；
②当a≥12时，因为x∈(1,+∞)，所以2ax−1>0,f′x>0．
此时函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增所以函数无最小值，此时亦不符合题意；
③当0x∈1,12a时f′x<0；x∈12a,+∞时f′x>0；
函数f(x)在区间(1,12a)上单调递减，在区间12a,+∞上单调递增，
所以函数f(x)在区间(1,+∞)上存在最小值，
所以a的取值范围为(0,12)．X
0
1
2
3
P
0.027
0.189
0.441
0.343